有限维线性空间上线性变换地值域与核

有限维线性空间上线性变换的值域与核

数学系 04数本 410401142 郭文静

摘要： 定义在有限维空间V 上的线性变换的值域与核都是V 的子空间。本文

主要讨论了这两个子空间与大空间的关系。本文还进一步讨论了幂等变换的值域与核的有关性质。简明介绍了用线性变换的值域与核来刻划可逆变换.

关键词：值域、核、直和、幂等变换。 正文：

定义1：设σ是线性空间V 上的一个线性变换，σ的全体象的集合称为的σ

值

域,用()V σ或m I σ表示，所有被σ变成零的向量的集合称为σ核，用

()10σ-或()Ker σ表示。且记为：

()(){}m V I V σσσαα==∈

()(){}

1(0)0,Ker V σσασαα-===∈.

不难证明，()V σ与()10σ-都是σ的不变子空间。

一:线性空间V 与ker ,()V σσ的关系

结论1: dim ()dim(ker )V σσ+=σ的秩＋σ的零度＝()dim V .

证明见 《高等代数》大学数学系几何与代数教研代数小组编。 应当指出，虽然子空间()V σ与()Ker σ的维数之和为n ，但是，

()()10V σσ-+不一定是整个子空间，那么当σ满足什么条件时

()()10V V σσ-=+？若()()10V V σσ-=+成立，σ必须满足什么条件呢？结论2就回答了这个问题.

结论2: σ为n 维线性空间V 上的线性变换，则

秩2σ=秩σ?()()10V V σσ-=+ 证明：()?设1,2,...,n εεε是V 的一组基，

而()()()()()()()11,,,,n i is V L L σσεσεσεσε==

这里()()1,

,i is σεσε为()V σ的一组基.于是，

()()()(

)2221,

,i is V L σσεσε=

已知 秩2σ=秩σ 则

()()2dim dim V V σσ= 则()()221,,i is σεσε 为()2V σ的基。

()()10V ασσ-?∈? 则 ()()11i s is a a ασεσε=+

+

且()()()22110i s is a a σασεσε==++

从而10s a a ===

即0α=

故()()10{0}V σσ-?= 即()()10V σσ-+为直和. 又因为()()()

()()11dim 0dim dim 0V V n σσσσ--+=+= 所以 ()()10V V σσ-=⊕ ；

()?设 ()()10V V σσ-=⊕，任取()()10V ασσ-=⊕

(),.V s t βασβ?∈=，

而 ()()1110,V βσβγ

γσβ-=+∈∈

于是()()221V ασβσ=∈，故()()2V V σσ? 显然，()()2V V σσ? 所以，()()2V V σσ= 得，秩2σ=秩σ.

特别的，如果2σσ=，那么()()10V V σσ-=⊕

结论3: 数域P 上的n 维线性空间V 的任一子空间W 必为某一线性变换的核。

证明：设V 的任一子空间W 的一组基为12,,

,s ααα 则它可扩充为V 的一组基

121,,,,,,s s n ααααα+ . 作线性变换

()0()i j j σασαα=???

=??1,,1,,i s

j s n

==+ 下面验证ker W σ=

1212,(,,

,)s s x x W x ααααα??

? ??∈= ? ? ???

()11221()((),

,())0,0,

,00s s s x x x

x

x x σασασα???? ? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ???

??

ker ασ∴∈

ker ασ?∈，()0σα= 0α≠ 则W α∈

否则1212(,,

,,)s j s j x x x x ααααα?? ? ?

?= ? ? ??? 1s j n +≤≤ ,0j j W x α?≠

()()()()()()

121,,s s j j s j x x x x x σασασασασα?? ? ?

?== ? ? ???

j W α? 故()0j σα≠

又 0j x ≠ 故()0σα≠ 与Ker ασ∈矛盾

W α∴∈ Ker W σ∴? W Ker σ∴=

结论4: 设12,W W 是n 维线性空间V 的两个子空间,且其维数之和为n ,则存在

V 线性变换σ,使12,()Ker W V W σσ==

证明: 设1dim ,W s =则2dim ,W n s m =-=

在2W 中任取一组基12,,

,m ααα

再在1W 中取一组基12,,,s βββ 并将其扩充为V 的基

121,,,,,s s n βββββ+

用σ表示以下条件所确定的线性变换:

1()()0s σβσβ===

11(),

,()s n m σβασβα+==

首先,显然12()(,,,)m V L σααα==2W

其次,由于12,,

,s βββ是1W 的基,

11(,

)ker S W L ββσ∴=?,

另一方面,ker ασ?∈ 设1111s s s s n n k k k k αββββ++=+++

+

,

则由()0σα=

()()1111110

s s s s n n s n m k k k k k k σασββββαα++++=+

+++=+

+=

由线性无关，得 10s m k k +=

== 知

111k k W δδαββ=++∈，1ker W σ∴?

故1ker W σ=

注： 对于n 非线性空间V 的线性变换，有子空间()V σ与ker σ，s t ?

()()()dim dim ker V n σσ+=

反过来，若有两个子空间1W 与2W ，有12dim dim W W n +=，

1W 与2W 能否成为某个线性变换的值域与核，本例题就回答了这个问题.

且易验证，秩2σ=秩σ，故()12ker V W W V σσ=⊕=⊕.

结论5: 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，证明：若A(V) 的维数为r ，

则必有一个r 维的子空间W ，使()10V W A -=⊕

证明： 因A(V) 的维数为r ，故可设1

r εε为A(V) 的一组基，于是存在

,,1,2

i i i V s t A i r ηηε∈?==

显然，12,,

,r ηηη是线性无关，令 1()r W L ηη=

则W 是V 的一个r 维子空间. 下证 1(0)V W A -=⊕

1(0)W A α-?∈?，设11r r k k αηη=+

+，

0A α= 即 111111()0r r r r r r A A k k k A k A k k αηηηηεε=++=+

=+

+=

因1,

,r εε无关，故1100(0){0}r k k W

A α-===∴=∴=

因11dim()dim((0))dim()dim((0))AV A W A n --+=+=，得

1111

1dim dim dim (0)

dim((0))dim((0))

dim((0))(0).

V n W A W A W A W A V W A -----==+=++=+∴=+

因此1(0)V W A -=⊕.

注：虽有1dim dim (0)AV A n -+=，但未必有1()(0)V A V A -=⊕，本例提出却

有与A(V) 维数相同的子空间W ，使用使1(0)V W A -=⊕成立。此结论是显然的。由《高等代数》北大数学系几何与代数教研室代数小组编第2版第268页定理10，U 是线性空间V 的一个子空间，那么一定存在一个子空间W 使V U W =⊕。

本题也可设1(0)A -的一组基1,

,n r αα-，将其扩充为V 的一组基

1,,n r αα-,1,,n r n αα-+.那么1(,

,)n r n W L αα-+=满足题目要求.

下面是一道非常有趣的例题:

例题1:设n 维线性空间V 有两个子空间12,V V ,便得12ker()V V σ=?,其中

()L V σ∈则存在12,()L V σσ∈,使得1221ker(),ker()V V σσ∈∈且12σσσ+=.

证明: (1)ker(){0}σ=时是显然的

(2)ker(){0}σ≠ 设1,

,p αα为ker()σ的基,将其扩充为12,V V 的基.

分别为11,

,,,p s ααββ，和11,

,,,

,p t ααγγ由维数公式知

111,,,,,,,p s t ααββγγ，线性无关. 故可扩充为V 的基1111,

,,,,,

,,

,, p s t q ααββγγδδ，

从而p s t q n +++=,作

21110,()(),{,}1

(),{,,}2

s q V ασασααββσααδδ?

?∈?

=∈???∈?，

12110,()(),{,,},1

(),{,}2t q V ασασααγγσααδδ?

?∈?

=∈???∈?，

则12,σσ就是所求.

此类题目是根据要求构造n 维线性空间V 的线性变换这类题目难度也较大.

二:下面是关于线性变换的值域与核的维数的两个结论：

结论1：设线性空间'V V →的线性映射，W 是'V 的子空间，且m W

I σ?则

()(){}

1W v V v W

σσ-=∈∈是V 的子空间，且

()1dim dimker dim W W σσ-+=。

结论2：W 是有限维线空间V 的子空间，σ是V 上的线性变换，则

（1）()dim dimker dim ()dim W W W σσ-≤≤ （2）()1dim dim dim dimker W W W σσ-≤≤+