2019年杭州市高一数学下期中一模试卷附答案
解析：C 【解析】 【分析】 根据确定一个平面的公理及推论即可选出. 【详解】 A 选项，根据平面基本性质知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B 选项，根据平面基 本性质公理一的推论，直线和直线外一点确定一个平面，故错误；C 选项，根据公理一可 知，不共线的三点确定一个平面，而两两相交且不共点的三条直线，在三个不共线的交点 确定的唯一平面内，所以两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，正确；选项 D,空间 四边形不能确定一个平面，故错误；综上知选 C. 【点睛】 本题主要考查了平面的基本性质公理一及其推论，属于中档题.
A． a3 4
B． a3 3
C． a3 2
D． a3 a3
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C．
D．
10．若圆x y a 0 的距离为 2 ，则 a 的值为( ) 2
A．-2 或 2
B． 1 或 3 22
体积的最大值为（ ）
A． 64 3
B．32
C．54
D．64
3．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
D．四边形确定一个平面
4．圆心在 x+y=0 上，且与 x 轴交于点 A（-3，0）和 B（1，0）的圆的方程为（ ）
C．2 或 0
11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：
D．-2 或 0
① BM 与 ED 平行
② CN 与 BE 是异面直线
③ CN 与 BM 成 60 角
④ DM 与 BN 是异面直线
以上四个命题中，正确命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
12．α，β 是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面 α，β 平行的是（ ）
A． (x 1)2 ( y 1)2 5
B． (x 1)2 ( y 1)2 5
C． (x 1)2 ( y 1)2 5
D． (x 1)2 ( y 1)2 5
5．已知平面 / / 平面 ，直线 m ，直线 n ，点 Am ,点 B n ，记点 A、B 之
间的距离为 a ,点 A 到直线 n 的距离为 b,直线 m 和 n 的距离为 c,则
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一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
首先画出长方体 ABCD A1B1C1D1 ，利用题中条件，得到 AC1B 30 ，根据 AB 2 ， 求得 BC1 2 3 ，可以确定 CC1 2 2 ，之后利用长方体的体积公式求出长方体的体积.
【详解】
等，所以球心在对角线 AC 上，且球的半径为 AC 长度的一半，
即 r 1 AC 1
2
2
AB2
BC2
5 2
，所以V
4 r3 3
4 3
5 2
3
125 6
.
故选：C 【点睛】 本题考查球与几何体的切、接问题，二面角的概念，属于基础题.
8．B
解析：B 【解析】 【分析】 当 P 与 A 重合时，异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大，由此能求出当异面直线 CP 与 BA1 所 成的角最大时，三棱锥 C﹣PA1D1 的体积． 【详解】
则 OA 2a , PO1 平面 ABCD. 2
则
OO12
O1 A2
OA2
,即
2
2 2
a
h 32 32 ，可得 a2 12h 2h2 .
则该四棱锥的体积为V 1 a2h 1 12h 2h2 h
3
3
令 f h 12h 2h2 h ，则 f h 24h 6h2
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，可得 a2 12h 2h2 ，得出四棱锥的体积关
于 h 的函数V h ，求出V 的极大值点，即可得到四棱锥的体积的最大值.
【详解】
正四棱锥 P ABCD 的所有顶点都在同一球面上，若球的半径为 3， 设底面 ABCD 的边长为 a ，四棱锥的高为 h ，设正四棱锥的底面 ABCD 的中心为O1 .
直线 l2 垂直且圆相交于 A,C 和 B, D ，则四边形 ABCD 的面积的取值范围是_________.
14．已知一束光线通过点 A3,5，经直线 l ： x y 0 反射，如果反射光线通过点
B2,5 ，则反射光线所在直线的方程是______.
15．在三棱锥 P ABC 中, PA 平面 ABC ， AB BC ， AB 3 ， BC 4 ， PA 5 ， 则三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为__________ 16．如图，在 ABC 中， AB BC 6 ， ABC 90 ，点 D 为 AC 的中点，将 △ABD 沿 BD 折起到的位置，使 PC PD ，连接 PC ，得到三棱锥 P BCD ，若该三
者切线长时，经常用到垂径定理。
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平面与平面平行的判断性质,判断 c 最小,再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离
判断 a 最大.
【详解】
由于平面 / / 平面 ,直线 m 和 n 又分别是两平面的直线,则 c 即是平面之间的最短距离.
而由于两直线不一定在同一平面内,则 b 一定大于或等于 c,判断 a 和 b 时,
棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是__________.
17．在平面直角坐标
xOy
系中,设将椭圆 x2 a2
y2 a2 1
1a
0 绕它的左焦点旋转一周所覆
盖的区域为 D ， P 为区域 D 内的任一点，射线 x－y 0 x 2 上的点为 Q ，若 PQ 的最
小值为 a ，则实数 a 的取值为_____．
4．A
解析：A 【解析】 【分析】 由题意得：圆心在直线 x=-1 上，又圆心在直线 x+y=0 上，故圆心 M 的坐标为（-1，1）， 再由点点距得到半径。 【详解】 由题意得：圆心在直线 x=-1 上， 又圆心在直线 x+y=0 上， ∴圆心 M 的坐标为（-1，1），
又 A（-3，0），半径|AM|= -1+32 + 1-02 = 5 ，
（1）若 F 是 AB 的中点，求异面直线 C1F 与 AC 所成角的大小； （2）求三棱锥 B1 DBE 的体积． 26．如图，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，A1A＝ 6 ，M
是 CC1 的中点．
(1)求证：A1B⊥AM； (2)求二面角 B--AM--C 的平面角的大小．.
当 0 h 4时， f h 0 ， f h 单调递增.
当 h 4 时， f h 0 ， f h 单调递减.
所以当 h 4 时，该四棱锥的体积有最大值，最大值为： 1 12 4 2 42 4 64 .
3
3
故选：A
【点睛】 本题考查了四棱锥与球的组合体，求椎体的体积，关键是利用了导数求体积的最值．属于 中档题．
其外心为 BD 中点 O1 ，设 O 为 AD 中点，
则 O 为外接球球心，
半径长度为 1 AD 5 ，
2
2
所以表面积为 25 .
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
由矩形的对角线互相平分且相等即球心到四个顶点的距离相等推出球心为 AC 的中点，即
可求出球的半径，代入体积公式即可得解.
【详解】
因为矩形对角线互相平分且相等，根据外接球性质易知外接球球心到四个顶点的距离相
在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，连接 BC1 ，
根据线面角的定义可知 AC1B 30 ，
因为 AB 2 ，所以 BC1 2 3 ，从而求得 CC1 2 2 ， 所以该长方体的体积为V 2 2 2 2 8 2 ，故选 C.
【点睛】 该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体的体积公式为 长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一条边的长就显得 尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从而求得结果.
求证：（1）A1B1∥平面 DEC1； （2）BE⊥C1E．
24．已知圆
C
:
x
12
y2
4
内有一点
P
1 2
,1
，过点
P
作直线
l
交圆
C
于
A,
B
两点．
（1）当点 P 为 AB 中点时，求直线 l 的方程；
（2）当直线 l 的倾斜角为 45 时，求弦 AB 的长．
25．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，AB=3，E 在 CC1 上且 CE 2EC1 ．
则圆的方程为（x+1）2+（y-1）2=5． 故选 A．
【点睛】
这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来
解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到
直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或
B AC D ，则四面体 ABCD 的外接球的体积是（ ）
A． 125 12
B． 125 9
C． 125 6
D． 125 3
8．在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AA1 A1D1 a, A1B1 2a ，点 P 在线段 AD1 上运
动，当异面直线 CP 与 BA1 所成的角最大时，则三棱锥 C PA1D1 的体积为（ ）
ABCD， AD 2 ， PD 2 5 ， AB PB 4 ， BAD 60 .
2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年浙江省杭州地区重点中学高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.一、选择题(每小题只有一个选项符合题意，共12小题，每小题5分，共60分)(2015・北京东城区综合练习)若a>b>0，则下列不等式不成立的是．A. B. |a|>|b| C. D.(n∈N∗)，则a1⋅a2⋅a3…a2017=()2.已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=1+a n1−a nA. −6B. 6C. −2D. 23.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1)=0，f′(x)是f(x)的导函数，当x>0时总有xf′(x)<f(x)成立，则不等式f(x)>0的解集为()A. {x|x<−1或x>1}B. {x|x<−1或0<x<1}C. {x|−1<x<0或0<x<1}D. {x|−1<x<1，且x≠0}4.海上有A，B两个小岛相距10√2km，从A岛望C岛和B岛所成的视角为60°，从B岛望C岛和A岛所成的视角为75°，则B岛和C岛之间的距离BC=()km．A. 10B. 10√3C. 20D. 10√25.定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+1)+f(x)=0，且在[3,4]上是增函数，A. B是锐角三角形的两个内角，则()A。
f(sinA)<f(cosB)B. f(sinA)>f(cosB)C. f(sinA)>f(sinB)D. f(cosA)>f(cosB)6.函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A.B.C.D.7.已知函数f(x)=x3−3x+m的图像与x轴有三个不同的交点，则实数m的取值范围为A. (−2,2)B. (−∞,−2)∪ (2,+ ∞)C. (−3,1)D. (−∞,0) ∪ (1,+∞)8. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n +S n =1，则a 4=( ) A. 18 B. 116 C. 132 D. 164 9. 等差数列中，和是方程的两根，则该数列的前项和 A. B. C. D.10. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 若2acosB =c ，则2cos 2A 2+sinB −1的取值范围是 ( )A. [−√2,√2]B. [1,√2]C. (0,√2]D. (−1,√2]二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2−2n +q(p,q ∈R)，n ∈N ∗．(Ⅰ)求q 的值；(Ⅱ)若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足a n =2log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．12. 设a >2，则a +1a−2的最小值是______ ．13. 已知奇函数f(x)的定义域为R ，且当x >0时，f(x)=x 2−3x +2，若函数y =f(x)−a 有3个零点，则实数a 的值是______ ．三、多空题（本大题共3小题，共18.0分）14. 已知函数f(x)={x 2−2x,x ≤2log 2x −1,x >2则f(f(4))= (1) ；函数f(x)的单调递增区间是 (2) ． 15. 记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和．若S 4=4，S 6−S 2=1，则公比q = (1) ；S 8= (2) ．16. 如图，菱形ABCD 的边长为3，对角线AC 与BD 相交于O 点，|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3，E 为BC 边(包含端点)上一点，则|EA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 ，EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为 ．四、解答题（本大题共4小题，共50.0分）17. 设向量a ⃗ =(sinx,cosx)，b ⃗ =(cosx,cosx)，x ∈R ，函数f(x)=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )(1)求函数f(x)的最大值；(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调增区间．18. 如图所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,|EC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√7,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为23π，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为π3．(1)求△CDE 的面积S ；(2)求|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |．19. 设的定义域为，且是奇函数，当时，(1)求当时，的解析式；(2)20.已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1，}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(1)证明：数列{a n+12(2)设b n=2n−1，求数列{b n}的前n项和S n2a n+1【答案与解析】1.答案：C解析：∵a >b >0，∴，且|a|>|b|，又2a >2b ，∴ ，易知，故选C ． 2.答案：D解析：本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+a n 1−a n (n ∈N ∗)，可得a 2=−3，a 3=−12，a 4=13，a 5=2，….可得a n+4=a n .即可得出．解：∵数列{a n }满足a 1=2，a n+1=1+an 1−a n (n ∈N ∗)， ∴a 2=−3，a 3=−12，a 4=13，a 5=2，…．可得a n+4=a n ．则a 1⋅a 2⋅a 3…a 2017=[2×(−3)×(−12)×13]504×2=2．故选：D ． 3.答案：B解析：解：设g(x)=f(x)x ，则g(x)的导数为g′(x)=xf′(x)−f(x)x 2，∵当x >0时总有xf′(x)<f(x)成立，即当x >0时，g′(x)恒小于0，∴当x >0时，函数g(x)=f(x)x 为减函数， 又∵g(−x)=f(−x)−x =−f(x)−x =f(x)x=g(x) ∴函数g(x)为定义域上的偶函数又∵g(1)=f(1)1=0∴函数g(x)的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f(x)>0⇔x ⋅g(x)>0⇔{x >0g(x)>0或{x <0g(x)<0⇔0<x <1或x <−1故选B由已知当x >0时总有xf′(x)<f(x)成立，可判断函数g(x)=f(x)x 为减函数，由已知f(x)是定义在R 上的奇函数，可证明g(x)为(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，根据函数g(x)在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，模拟g(x)的图象，而不等式f(x)>0等价于x ⋅g(x)>0，数形结合解不等式组即可本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题． 4.答案：B解析：解：∠A =60°，∠B =45°，∠C =180°−60°−75°=45°，AB =10√2km ．根据正弦定理BC sinA =AB sinC 得BC =ABsinA siinC =10√2⋅√32√22=10√3km ．故选B ．先根据∠A 和∠B 求出∠C ，进而根据正弦定理求得BC ．本题考查正弦定理的运用，考查利用数学知识解决实际问题，属于基础题． 5.答案：A解析：试题分析：由题意知的周期为2，且在上单调递减，因A 、B 是锐角三角形的两个内角，则或，故或考点：抽象函数、函数的性质 6.答案：B解析：试题分析：从向x轴作垂线，垂足为，由，可得，，，所以，故选B.考点：1.三角函数的图像与性质；2.三角函数求值．7.答案：A解析：设g(x)=x 3，ℎ(x)=3x−mf(x)=x 3−3x+m有三个不同零点即g(x)与ℎ(x)有三个交点g′(x)=3x²ℎ′(x)=3当g(x)与ℎ(x)相切时g′(x)=ℎ′(x)，3x²=3，得x=1，或x=−1当x=1时，g(x)=1，ℎ(x)=3−m=1，得m=2当x=−1时，g(x)=−1，ℎ(x)=−3−m=−1，得m=−2要使得g(x)与ℎ(x)有三个交点，则−28.答案：B解析：在数列递推式中分别取n=1，2，3，4即可求得a4的值．本题考查了数列递推式，考查了计算能力，是基础题．解：∵a n+S n=1，∴a1+S1=2a1=1，即a1=12；a2+S2=a2+a1+a2=1，2a2+12=1，∴a2=14；a3+S3=a3+a1+a2+a3=1，2a3=1−12−14=14，∴a3=18；a4+S4=a4+a1+a2+a3+a4=1，2a4=1−12−14−18=18，a4=116．故选：B．9.答案：B解析：主要考查了等差数列的性质和前n项和公式．解：由题意得+=16，则．故选B．10.答案：B解析：解：由余弦定理得：cosB=a2+c2−b22ac，代入2acosB=c得：a2+c2−b2=c2，即a2=b2，可得：a=b，即A=B，2cos2A2+sinB−1=cosA+sinB=sinB+cosB=√2sin(B+π4)，∵2acosB=c，即cosB=c2a>0，∴B∈(0,π2)，∴B+π4∈(π4,3π4)，∴sin(B+π4)∈(√22,1]，∴√2sin(B+π4)∈(1,√2]，即2cos2A2+sinB−1的取值范围是(1,√2]，故选：B．利用余弦定理表示出cos B，代入已知的等式化简，可得出a=b，根据等边对等角可得A=B，然后把所求式子的第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，再由B为三角形的内角，得出B的范围，进而得到这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质得到此时正弦函数的值域，即可得到所求式子的取值范围．本题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，考查特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．11.答案：解：(Ⅰ)当n=1时，a1=S1=p−2+q，当n≥2时，a n=S n−S n−1=pn2−2n+q−p(n−1)2+2(n−1)−q=2pn−p−2，∵{a n}是等差数列，∴p−2+q=2p−p−2，∴q=0．(Ⅱ)依题意a3=a1+a52，∴a3=18．又a3=6p−p−2，∴6p−p−2=18，∴p=4，∴a n=8n−6，又a n=2log2b n，得b n=24n−3，∴b1=2，b n+1b n =24(n+1)−324n−3=24=16，即{b n}是等比数列．∴数列{b n}的前n项和T n=2(1−16n)1−16=215(16n−1)．解析：(Ⅰ)根据等差数列的前n项和Sn，建立方程关系即可求q的值；(Ⅱ)求出数列的通项公式，利用等比数列的求和公式即可得到结论．本题主要考查数列通项公式的应用以及等比数列的前n项和Sn的计算，要求熟练掌握相应的公式．12.答案：4解析：解：∵a >2，∴a −2>0．∴a +1a−2=(a −2)+1a−2+2≥2√(a −2)⋅1a−2+2=4，当且仅当a =3时取等号．故答案为：4．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了基本不等式的应用，属于基础题．13.答案：±14解析：解：∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，且f(0)=0， 做出f(x)的函数图象如图所示：由图象可知当a =±14时，方程f(x)=a 有3解，故答案为：±14．根据奇函数的性质作出f(x)的函数图象，根据函数图象判断f(x)=a 的解的个数． 本题考查了奇函数的性质，函数零点与函数图象的关系，属于中档题． 14.答案：−1(1,+∞)解析：解：∵f(x)={x 2−2x,x ≤2log 2x −1,x >2， ∴f(4)=log 24−1=1，则f(f(4))=f(1)=1−2=−1；作出函数f(x)的图象如图：由图可知，函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞)．故答案为：−1；(1,+∞)．直接利用分段函数解析式求得f(f(4))的值；作出分段函数的图象，数形结合可得函数f(x)的单调递增区间．本题考查分段函数的应用，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：12174解析：解：∵S 4=4，S 6−S 2=1，q >0．∴a 1(1+q +q 2+q 3)=4，a 1q 2(1+q +q 2+q 3)=1，解得a 1=3215，q =12，则公比q =12；S 8=3215[1−(12)8]1−12=174． 故答案为：12，174．利用等比数列的通项公式求和公式即可得出．本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 16.答案：[2√2,2√3]234解析：本题考查平面向量数量积的运算，涉及平面向量坐标表示及运算，属于较难题．(1)当AF ⊥BC 时AE 最短，根据菱形性质及所给数据可求得最小为2√2，当E 与C 重合时，AE 最长为2√3；(2)以O 为原点，BD 所在直线为x 轴建立直角坐标系，BC 所在直线方程：y =−√22x −√3，设E(m,−√22m −√3)，用坐标表示出EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(√3m +√22)2+234，其中m ∈[−√6,0]，再结合二次函数最值求解即可．解：根据菱形性质可得OC =√3，则BO =√6．(1)作AF ⊥BC ，则AF =2√3×√63=2√2，此时AE 最短，当E 与C 重合时，AE 最长，故2√2≤AE ≤2√3，即|EA⃗⃗⃗⃗⃗ |∈[2√2,2√3]； (2)以O 为原点，BD 所在直线为x 轴建系如图：则A(0,√3)B(−√6,0)，C(0,−√3)，D(√6,0)，所以BC ：y =−√22x −√3，设E(m,−√22m −√3)， 则EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−m,2√3+√22m)·(√6−m,√22m +√3) =12(√3m +√22)2+234，其中m ∈[−√6,0]，对称轴为m =−√66∈[−√6,0]，故当m =−√66时EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ 最小，最小值为234． 故答案为：[2√2,2√3]；234．17.答案：解(1)∵向量a ⃗ =(sinx,cosx)，b ⃗ =(cosx,cosx)，∴函数f(x)=a ⃗ ·(a ⃗ +b ⃗ )=a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗=sin 2x +cos 2x +sinxcosx +cos 2x=1+12sin2x +12(1+cos2x)=32+12(sin2x+cos2x)=32+√22sin(2x+π4)，∴函数f(x)的最大值是32+√22；(2)∵f(x)=32+√22sin(2x+π4)，令2kπ−π2≤2x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，解得kπ−3π8≤x≤kπ+π8，k∈Z；∴函数在[0,π]上的单调增区间为[0,π8]和[5π8,π]．解析：本题考查了三角恒等变换与平面向量的数量积应用问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．(1)根据平面向量的数量积运算与三角恒等变换，求出函数f(x)的最大值；(2)利用正弦函数的图象与性质，求出f(x)在[0,π]上的单调增区间．18.答案：解：由题意可知：DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=2π3，∠BEC=π3．设∠CED=α．(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2=CD2+DE2−2CD⋅DE⋅cos∠EDC，于是由题设知，7=CD2+1+CD，即CD2+CD−6=0，解得CD=2(CD=−3舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC =CDsinα，于是，sinα=CD⋅sin∠EDCEC =2×√32√7=√217，即sin∠CED=√217．于是，S=12DE⋅EC⋅sinα=12×√7×√217=√32；(2)由题设知，0<α<π3，于是由(1)知，cosα=√1−sin2α=√1−2149=2√77．而∠AEB =2π3−α， 所以cos∠AEB =cos(2π3−α)=cos 2π3cosα+sin 2π3sinα =−12cosα+√32sinα =−12×2√77+√32×√217=√714． 在Rt △EAB 中，cos∠AEB =EA BE =2BE ，故|BE ⃗⃗⃗⃗⃗ |=BE =2cos∠AEB =2√714=4√7．解析：(1)由题意可得DA ⊥AB ，DE =1，EC =√7，EA =2，∠ADC =2π3，∠BEC =π3.设∠CED =α.运用余弦定理和正弦定理，再由面积公式，即可得到所求S ；(2)求得cosα，以及cos∠AEB =cos(2π3−α)，再由解直角三角形，即可得到所求．本题主要考查余弦定理和正弦定理、面积公式的运用，同时考查向量垂直的条件，同角公式和两角差的余弦公式，属于中档题． 19.答案：(1)；(2) ．解析：本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式的方法，以及分类讨论解不等式的问题。
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】
2019学年浙江省高一下学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 在等比数列中，若，，则的值为（）A. B. ___________________________________ C.D.2. 在中，已知，则等于（）A． B. _________________________________ C.D.3. 已知直线在轴和轴上的截距相等，则实数的值是（）A. _______________________B. ____________________________C.或____________________________ D. 或4. 在中，内角的对边分别为，若，，则的面积为（）A. ________________________B. ______________________C.______________________ D.5. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A．____________________ B. ______________ C.___________ D.6. 若，则一定有（）A. _________________________________B.____________________________ C．______________________________ D.7. 直线分别交轴和轴于两点，是直线上的一点，要使最小，则点的坐标是（）A. ___________________________________B._________________________________ C. ______________________________ D.8. 已知是上的奇函数,数列满足,则数列的通项公式为（）A. ________________________B. ________________________C.________________________ D.二、填空题9. 已知直线，直线；若直线的倾斜角为，则______________ ，若，则______________ .10. 若规定，则______________ ，不等式的解集为______________ .11. 已知数列是等比数列，是其前项的和，若，，则___________ ，______________ .12. 在中，内角的对边分别为，已知， ,，则______________ ，边______________ .13. 若是等差数列的前项和，且，则______________ .14. 在中，内角的对边分别为，已知，则角______________ .15. 设数列满足：，则的前项的和为______________ .三、解答题16. 已知直线 .（Ⅰ ）证明：直线过定点；（Ⅱ ）若直线与直线平行，求的值并求此时两直线间的距离.17. 在中内角的对边分别为，已知．（Ⅰ ）求角的大小；（Ⅱ ）求的取值范围．18. 已知等差数列的前项和为，，，是递减的等比数列，且， .（Ⅰ ）求，；（Ⅱ ）求数列的前项和 .19. 已知不等式 .（Ⅰ ）若不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ ）若存在实数使得该不等式成立，求实数的取值范围.20. 已知数列的前项和为，且，数列满足.（Ⅰ ）求数列、的通项公式；（Ⅱ ）数列满足，记，求使恒成立的实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
(新课标人教版)杭州市七校2019-2020学年高一下期中考试数学模拟试题(附答案)(已审阅)
2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考高一年级数学学科模拟试题一．选择题(共12小题，每小题4分，共48分)1．330sin 的值为（ ） A ．21-B ．21C ．23-D ．232．下列四式不能化简为AD 的是（ ）A ．；）＋＋（BC CD AB B ．）；＋）＋（＋（CM BC MB AD C ．；－＋BM AD MB D ．；＋－CD OA OC3． 把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是( ) A ．sin(2)3y x π=-，x R ∈ B.sin()26x y π=+，x R ∈ C.sin(2)3y x π=+，x R ∈ D.sin(2)32y x π=+，x R ∈ 4．已知)sin ,(cos αα=a ，)sin ,(cos ββ=b ，且()0cos =-βα，=+b a （ ） A ．2 B ．22C ．2D ．3 5.已知α是第二象限角，其终边上一点P (x ，5)，且cos α＝24x ，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( )． A ．－104 B ．－64 C ．64 D ．1046．已知船A 在灯塔C 北偏东85且到C 的距离为km 2，船B 在灯塔C 西偏北25且到C 的距离为km 3，则A ，B 两船的距离为( )A ．km 32B ．km 23 C.．km 15 D ．km 137．函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为( )A ．22sin -=x yB ．13cos 2-=x yC ．1)52sin(--=πx y D ． )52sin(1π--=x y 8．在△ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰或直角三角形 C ．不能确定 D ．等腰三角形 9．==-αααα2cos 则,55cos sin 是第一象限角，已知( ) A. 53-B. 53±C.54D.54± 10．已知ABC ∆的重心为G ，内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，若033=++GC c GB b GA a ，则角A 为( ) A ．4π B ．6π C ．3π D ．2π 11． 在△ABC中，,4(0)a b m m ==>，如果三角形有解，则A 的取值范围是（ ）A ．060A ︒<≤︒B ．030A ︒<<︒C ．090A ︒<<︒D ．3060A ︒<<︒12. 如图，O 为△ABC 的外心，BAC AC AB ∠==,2,4为钝角，M 是边BC 的中点，则AO AM ⋅的值( ) A ． 4 B.．6 C ．7 D ． 5二．填空题（本大题共6小题，单空题每小题4分,多空题每小题6分每空3分，共28分，将答案填在答题卷的相应位置）13．一扇形的周长等于4cm ，面积等于12cm ，则该扇形的半径为 ，圆心角第12题图为 ．14．化简()()=+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---+αππααπαπsin 32sin cos )2cos(3 ， =++ 35tan 25tan 335tan 25tan ．15．已知向量a 与b 的夹角为120°,且|a |=2, |b |=5,则(2a -b )·a = 16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a+b+c=20，三角形面积为310， 且角60=A ，则边a = ________17．在ABC ∆中，90=C ，3=CB ,点M 是 AB 上的动点（包含端点），则CB MC ⋅的取值范围为 ． 18．函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则如下结论中不正确的序号是_________________ ①、图象C 关于直线11π12x =对称； ②、图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③、函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④、由3sin 2y x =的图像向右平移π3个单位长度可以得到图象C三．解答题（本大题有4小题，前2题每题10分，后2题每题12分，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.）19．（本题10分）已知a 、b 、c 是同一平面内的三个向量，其中a =（1，－2）.（1）若|c |52=，且a c //，求c 的坐标；（2）若|b |=1，且a b +与2a b -垂直，求a 与b 的夹角θ的余弦值.20．（本题10分）已知A,B,C 的坐标分别为)sin 3,cos 3(),4,0(),0,4(ααC B A . (1)若)0,(πα-∈且||||BC AC =，求α的值；(2)若0=⋅BC AC ，求αααtan 12sin sin 22++21．（本题12分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（1）求函数)(x f 的最小正周期和单调递增区间； （2）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值．22．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+. (1)求角B 的大小；(2)设BC 中点为D ，且3=AD ，求c a 2+的最大值．2019-2020学年第二学期期中杭州地区七校联考模拟高一年级数学学科参考答案一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ACCCBDDBABAD二．填空题13． 1 ， 2 14． 1-，315． 13 16． 717． []09，- 18． ④ 三．解答题19. 解：（1）设),(y x c =，由a c //和52||=c 可得：⎩⎨⎧2212020y x x y ⋅+⋅=+= ， ……………….. 2分 ∴ ⎩⎨⎧24x y =-= 或 ⎩⎨⎧24x y ==- ………………..4分∴(2,4)c =-，或(2,4)c =- ………………… 5分 （2）()(2),a b a b +⊥-∴()(2)0a b a b +⋅-= ……… 7分即2220,a a b b -⋅-=∴22||2||0a a b b -⋅-=，∴ 520a b -⋅-=，所以3a b ⋅=， ………….8分 ∴35cos 5||||a b a b θ⋅==⋅ …………10分 20.解：（1）由已知：)sin 3,4cos 3αα-=（AC ，)4sin 3,cos 3(-=ααBC …………..1分BCAC =()()()()4sin 3cos 3sin 34cos 32222--+=+∴αααα化简得：1tan ,cos sin ==ααα即………………..3分 )0,(πα-∈ 43πα-=∴……………………5分 （2）0=⋅BC AC 0)4sin 3(sin 3)4sin 3(cos 3=-+-∴αααα 43cos sin =+αα ………….7分 两边平方得：167cos sin 2-=αα ………………..8分 又αααtan 12sin sin 22++=ααααααcos cos sin cos sin 22sin 2++=167cos sin 2-=αα………………….10分 21. 解：（1）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s ....................2分 23)32cos(++=πx ． ……………..4分 函数最小正周期T=π ……………..5分由ππππk x k 2322≤+≤-，得632ππππ-≤≤-k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]6,32[ππππ--k k （Z k ∈）．…………………………………………….7分（2）∵65)(=θf ，∴6523)32cos(=++πx ，32)32cos(-=+πθ．∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+，35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ． ………………….9分 ∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=…………………………………12分 22．解：（1）()()()C A c B A b a sin sin sin sin -=-+ 所以由正弦定理可得()()()c a c b a b a -=-+ ， 即ac b c a =-+222，…………………2分由余弦定理可知212cos 222=-+=ac b c a B ，…………………………4分 因为()π,0∈B ，所以3π=B …………………………5分(2)设θ=∠BAD ，则在ABD ∆中， 由3π=B 可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ， 由正弦定理及3=AD 可得23sin32sin sin ==⎪⎭⎫⎝⎛-=πθπθADAB BD， (7)分所以θsin 2=BD ，θθθπsin cos 332sin 2+=⎪⎭⎫⎝⎛-=AB ，…………………………8分所以⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+6sin 34sin 6cos 322πθθθc a ，…………………………10分 由⎪⎭⎫ ⎝⎛∈32,0πθ可知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+65,66πππθ，所以当26ππθ=+， 即3πθ=时，c a 2+的最大值为34.…………………………12分。
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题 PDF版含答案
2
2
(a − 2b)(a + b)= − 6 ……5 分
（2） 2a − b =
2 (2a − b)=
2 2 4a − 4a b + b ……8 分
a − 2b = 2 3 ……10 分
1
20.（本小题满分 12 分） （1）因为 a7 =6 ， a10 = − 3
π
3
a = 2sin A , c = 2sin C ……7 分
2
1 π 3 3 所以 a − = c 2sin A − sin C = 2sin A − sin( A + = ) sin A − cos A ……9 分 2 3 2 2
因为 b ≤ a ，所以 所以 a − c =
1 2
2π π π π ， ≤ A− < ……10 分 3 3 6 6 2 π 3 ………………………12 分 3 sin （A − ) ∈ ，3 6 2 ≤ A<
考生须知： 1．本卷满分 120 分，考试时间 100 分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。 1． sin
AE = AB +
2 AC ，则 的值为（ ） 3
A．
1 3
B． −
1 3
C． −
1 6
D．
1 6
高一数学试题 第2页（共 4 页）
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分，共 36 分。 11．已知向量 a = (1, 2) ， b = (2, −1) ， | a |= _____， a • b = ______． 12．函数 f ( x) = A sin( x + ) ( A, , 是常数，A 0, 0) 的部分图象如图，则
浙江省杭州市2019年高一下学期期中数学试卷A卷
浙江省杭州市2019年高一下学期期中数学试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·宾县月考) 集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）在内，不等式的解集是（）A .B .C .D .3. （2分）sin210°的值为（）A .B . -C .D . -4. （2分）(2017·包头模拟) 如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若=λ +μ ，则λ+μ的值为（）A .B .C . 1D . ﹣15. （2分） (2016高一下·广州期中) 设A是三角形的一个内角且cos（π+A）= ，那么cos（ +A）的值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高二上·山西月考) 已知，则（）A .B .C .D .7. （2分）(2018·兰州模拟) 已知非零单位向量满足，则与的夹角为（）A .B .C .D .8. （2分）为了得到函数的图像，只需把函数的图像上所有的点的（）A . 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B . 横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C . 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D . 纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变9. （2分） (2019高三上·安徽月考) 已知向量在向量方向上的投影为3，则与的夹角为（）A .B .C . 或D . 或10. （2分） (2018高二下·石嘴山期末) 在平面直角坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边.若tanα<cosα<sinα，则P所在的圆弧是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·黄石模拟) 如图，在同一平面内，点P位于两平行直线l1、l2两侧，且P到l1 ， l2的距离分别为1，3，点M，N分别在l1 ， l2上，| + |=8，则• 的最大值为（）A . 15B . 12C . 10D . 912. （2分）已知函数的一部分图象如右图所示，如果，则（）A . a=4B .C .D . B=4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·温州期末) 己知点O为坐标原点，△ABC为圆C1：（x﹣1）2+（y﹣）2=1的内接正三角形，则•（）的最小值为________．14. （1分） (2020高一上·天津期末) ，则sin2α+2sinαcosα﹣3co s2α＝________．15. （1分）已知tanα=2,tan[（α+β）=则tanβ的值为________16. （1分） (2017高一下·新余期末) y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈（0，π）的图象的一段如图所示，它的解析式是________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2020高一下·平谷月考)（1）求值：（2）已知，求的值．18. （5分）已知长度相等的三个非零向量、，满足，求每两个向量之间的夹角．19. （10分） (2016高一下·南市期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 =（，﹣）， =（sinx，cosx），x∈（0，）．（1）若⊥ ，求tanx的值；（2）若与的夹角为，求x的值．20. （10分）已知sinα+cosα= 且 0＜α＜π求：（1）sinαcosα；（2）tanα．21. （10分） (2017高二上·大连开学考) 已知函数f（x）=sin2x﹣ sinxcosx+ ，g（x）=mcos（x+）﹣m+2（1）若对任意的x1，x2∈[0，π]，均有f（x1）≥g（x2），求m的取值范围；（2）若对任意的x∈[0，π]，均有f（x）≥g（x），求m的取值范围．22. （5分）飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东75°的方向飞行1400km 到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？丙地距甲地多远？参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题(精编含解析)
杭州地区七校2018-2019学年高一第二学期期中联考数学试题一、选择题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用诱导公式和特殊角的三角函数值可得所求三角函数的值.【详解】由题意可得：.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】【分析】逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.【点睛】本题主要考查向量的定义与向量的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程可得的值.【详解】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查向量平行的充分必要条件，由向量平行求参数的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】由题意结合函数的解析式可得函数图像的平移变换方法.【详解】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，属于基础题.5.已知为等差数列，，，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用等差数列的性质可得的值. 【详解】由等差数列的性质有：.故选：C .【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于基础题. 6.函数（）是（ ）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D 【解析】 【分析】首先对函数的解析式进行恒等变形，然后考查函数的性质即可. 【详解】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A 说法错误； 在区间上是减函数，选项B 说法错误；函数不存在对称点，选项C 说法错误；，选项D说法正确.故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数式的化简，三角函数的性质，三角函数图像的绘制等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先确定数列的周期性，然后结合周期性可得的值.【详解】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.【点睛】本题主要考查数列的递推关系，周期数列的概念与性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由正弦定理边化角，然后结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得的值，据此可得的值.【详解】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定b的值.【详解】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，三角形面积公式，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的运算法则和平面向量基本定理整理计算可得的值.【详解】由题意可得：，注意到，故，故选C.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题。
2018-2019学年浙江省杭州地区七校高一下学期期中联考数学试题(答案+解析)
浙江省杭州地区七校2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题一、选择题1.的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可得：.故选：B.2.下列结论正确的是（）A. B.C. ，D.【答案】A【解析】逐一考查所给的说法：若，则，选项A说法正确；若，则由不一定能得到，选项B说法错误；若，则由，不一定能得到，选项C说法错误；两个向量无法比较大小，故结论错误，选项D说法错误；故选：A.3.已知向量，且，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由向量平行的充分必要条件可得：，解得.故选：B.4.已知函数，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】注意到，故得到函数的图象，只要将的图象向右平移个单位长度. 故选：D.5.已知为等差数列，，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由等差数列的性质有：.故选：C.6.函数（）是（）A. 最小正周期是B. 区间上的增函数C. 图象关于点对称D. 偶函数【答案】D【解析】函数的解析式：，绘制函数图像如图所示：结合函数图像可知函数的最小正周期为，选项A说法错误；在区间上是减函数，选项B说法错误；函数不存在对称点，选项C说法错误；，选项D说法正确.故选：D.7.数列满足，，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，，故数列是周期为的周期数列，则.故选：C.8.在中，角、、的对边分别为，，，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意利用正弦定理边化角可得：，.故选：D.9.在中，角、、的对边分别为，，，若，，成等差数列，，的面积为，那么的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，求解方程组可得：.故选：A.10.在中，已知是延长线上一点，若，点为线段的中点，，则的值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可得：，注意到，故，故选C.二、填空题11.已知向量，，_______，______.【答案】【解析】由题意可得：.12.函数（，，是常数，，）的部分图象如图，则_______，_______.【答案】【解析】由图象知A，，即T＝π，则Tπ，得ω＝2.故答案为：，2．13.在中，角、、所对的边分别为，，，若，且，则_______，外接圆半径是______【答案】【解析】，由正弦定理可得：.14.已知列中，中，中，则_____，____.【答案】【解析】由题意可得：，则：.则.15.在中，角、、所对的边分别为，，，，，若三角形有两解，则的取值范围是_______.【答案】【解析】由题意结合正弦定理可知，满足题意时有：，即，据此可得的取值范围是.16.已知，为锐角，，，则________.【答案】【解析】∵α、β为锐角，cosα，∴sinα，sin（α+β）sinα，∴α+β为钝角，∴cos（α+β），∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα••．故答案为.17.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角余弦值为_______.【答案】【解析】不妨设，则，，由平行四边形的性质有：，即：.据此可得：，在如图所示的等边三角形中，三向量的关系如图所示，则向量与的夹角为，向量与的夹角余弦值为.三、解答题18.数列满足，.（1）写出，，；（2）由（1）写出数列的一个通项公式；（3）判断实数是否为数列中的一项，并说明理由.解：(1)由递推关系可得：，，.(2)结合(1)的结果可猜测数列的一个通项公式为：.很明显时，满足，且，，故满足.即猜测的通项公式满足题意.(3)由可得：，即实数是否为数列中的第项.19.已知，，且与夹角为，求：（1）；（2）.解：（1）由题意可知：，则.（2）.20.已知数列中，，，为等差数列的前项和.（1）求数列的通项公式及的最大值；（2）求.解：（1）因为，，故：，解得，，则，数列的前n项和公式为：，注意到数列单调递减，且，所以. （2）因为所以，由于，，即.21.在中，角、、的对边分别是，，满足. （1）求角的值；（2）若且，求的取值范围.解：（1），化简得，所以.（2）由正弦定理得，则，，所以，因为，所以，，所以.。
人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)
人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。
2019年浙江省杭州市中考数学一模试卷附解析
2019年浙江省杭州市中考数学一模试卷 学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．顺次连结菱形的各边中点所得到的四边形是 （ ）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．正方形2． ，（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个 3．如果代数式32a-的值大于 一3 且小于 7，那么 a 的取值范围是（ ）A ．0a <B ．20a >C ．020a <<D ．20a o a <>或4． 下列语句错误的是（ ）A ．连结两点的线段长度叫做两点间的距离B ．两点之间，直线最短C ．两条平行线中，-条直线上的点到另一条直线的距离叫两条平行线间的距离D ．平移变换中，各组对应点连成两线段平行且相等5．下列因式分解正确的是（ ）A ．222()m n m n +=+⋅B ．2222()a b ab b a ++=+C ．222()m n m n -=-D ．2222()a ab b a b +-=-6．结果为2a 的式子是（ ）A ．63a a ÷B ．24-⋅a aC ．12()a -D ．42a a - 7．如图，已知BE=CF ，且∠B=∠DEF, ∠A=∠D ，那么△ABC 和△DEF 是（ ） A ．一定全等B ．一定不全等C ． 无法判定D ．不一定全等 8．下列计算中，错误．．的是（ ） A ．33354a a a -= B ．236m n m n +⋅=C ．325()()()a b b a a b -⋅-=-D ．78a a a ⋅= 9．如图所示，若根据“SAS”来说明△ABC ≌△DBC ，已知BC 是公共边，需要补充的条件是（ ）A ．AB=DB ，∠l=∠2 B ．AB=DB ，∠3=∠4C ．AB=DB ，∠A=∠D D ．∠l=∠2，∠3=∠410．下列方程中，属于一元一次方程的是（ ）A ．2170y -=B ．2150x y +=C ．3410t -=D ．2320x x +-= 二、填空题11．一个正方体的每个面上都写一个汉字，这个正方体的平面展开图如图所示，则这个正方体中与“菏”字相对的面上的字为__________．12．如图，在10×6的网格图中（每个小正方形的边长均为1个单位长），⊙A 的半径为1，⊙B 的半径为2，要使⊙A 与静止的⊙B 内切，那么⊙A 由图示位置需向右平移 个单位长．13． 如图，Rt △ABC 内有三个内接正方形，DF=18，GK=12，则 PQ= ．14． 抛物线y ＝－5x 2+5x ＋m 的顶点在x 轴上,则m ＝___________.45- 15．解方程（组）：(1)()1812=+x (2)⎪⎩⎪⎨⎧=-=+135435y x y x 16．填空： 21122818323= ； (2)2211()0.339= ； 482375 ；3111212233= ． 17．如图，CD 平分∠ACB ，AE ∥DC 交BC 的延长线于点E ，若∠ACE=80°，则∠CAE= ．18．PA与PB是⊙O 的切线，A、B为切点，AC是⊙O 的直径，∠ABC=20°，则∠P=________．19．如图,将一等边三角形剪去一个角后，∠1+∠2= ．20．(1)自行车用脚架撑放比较稳定的原因是．(2)若AABC的三边长都为整数，周长为11，有一边长为4，且任何两边都不相等，则这个三角形的最大边长为．21．如图是根据某市l999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图．观察统计图可得：增长幅度最大的年份是年，比它的前一年增加亿元．工业生产总值，亿元三、解答题22．利用墙为一边，再用13m长的铁丝当三边，围成一个面积为 20m2的长方形，求这个长方形的长和宽.23．如图所示，木工师傅用角尺画出工件边缘的两条垂线，这两条垂线平行吗？为什么？24．解下列分式方程： (1)2711x x x=+--； (2）11222x x x -=-++.25．某工厂2005年产品销售额为a 万元，2006年、2007年平均每年的销售额增长m%，每年成本均为该年销售额的65%，税额和其他费用合计为该年销售额的15%．(1)用含a ，m 的代数式表示该工厂2006年、2007年的年利润；(2)若a=100万，m=10，则该工厂2007年的年利润为多少万元？26．已知n 为正整数，求212(2)2(2)n n +-+⋅-的值.27．如图 ，AB 、AC 表示两杂交叉的公路，现要在∠BAC 的内部建一个物流中心，设计时要求该物流中心到两条公路的距离相等，且到公路交叉处点A 的距离为1000，请在图中作出物流中心的位置(用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹).(1)若要以 1：50000的比例尺作设计图，求物流中心到公路交叉处点A 的图上距离；(2)在图中作出物流中心的位置.28．如图，两条直线相交有1个交点，三条直线相交有l 个交点或3个交点．。
2019年杭州市高考数学一模试卷附答案
点为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为 6cos .
（1）求圆 C 的直角坐标方程；
（2）设圆 C 与直线 l 交于点 A, B ，若点 P 的坐标为 2,1 ，求 PA PB 的最小值.
26．
x 2+t,
在直角坐标系
xOy
中，直线
l1
的参数方程为
y
kt,
（t 为参数），直线 l2 的参数方程为
C．{1, 2}
D．{0,1, 2}
6．下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 x 对称的函数是（ ） 3
A．
y
2
sin
2
x
3
B．
y
2
sin
2
x
6
C．
y
2
sin
x 2
3
D．
y
2
sin
2
x
3
7．不等式 2x2-5x-3≥0 成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． x 1或 x 4 B． x 0 或 x 2 C． x 0 或 x 2
y 2 0
18．已知实数
x,
y
满足不等式组
x
x
y y
1 0 3 0
，则
y x
的取值范围为__________．
19．函数 y lg1 2sin x 的定义域是________．
20． sin 50 1 3 tan10 ________________.
三、解答题
21． 11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概 率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各球的结果相互独立.在某局双方 10:10 平后，甲 先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束. （1）求 P（X=2）； （2）求事件“X=4 且甲获胜”的概率. 22．如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D,E 分别是 AB，BB1 的中点.