第3章 不等式§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

§3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 §3．3.1 二元一次不等式(组)与平面区域对点讲练一、二元一次不等式(组)表示的平面区域例1 画出下列不等式(组)表示的平面区域． (1)2x －y －6≥0； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.解 (1)如图1，先画出直线2x －y －6＝0，取原点O (0,0)代入2x －y －6中，因为2×0－1×0－6＝－6<0，所以在直线2x －y －6＝0左上方的所有点(x ，y )都满足2x －y －6<0，故直线2x －y －6＝0右下方的区域就是2x －y －6>0，因此2x －y －6≥0表示直线右下方的区域(包含边界)；图1 图2(2)先画出直线x －y ＋5＝0(画成实线)，如图2取原点O (0，0)，代入x －y ＋5，因为0－0＋5＝5>0，所以原点在x －y ＋5>0表示的平面区域内，即x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及其右下方的点的集合，同理可得，x ＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及其右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及其左方的点的集合．总结 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分，但要注意是否包含边界．►变式训练1 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x <32y ≥x3x ＋2y ≥63y <x ＋9表示的区域．解不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合；不等式2y ≥x 即x-2y ≤0表示直线x-2y=0上及左上方点的集合；不等式3x+2y ≥6，即3x+2y-6≥0表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合；不等式3y<x+9，即x-3y+9>0表示直线x-3y+9=0右下方点的集合．综上可得，不等式组表示的平面区域是如图所示的阴影部分．二、平面区域的面积问题例2 在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12D.14解析 记 ,,x y m x y n -=-= 则,22m n m nx y +-== 1220,0,m n m nm n m n +-⎧+≤⎪⎪+≥⎨⎪-≥⎪⎩即1,0,0m m nm n ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩作出可行域可知面积为1.答案 B►变式训练2 若A 为不等式组 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，动直线x+y=a 扫过A 中的那部分区域的面积为 . 答案74解析如图所示，区域A 表示的平面区域为△OBC 内部及其边界组成的图形，当a 从-2连续变化到1时扫过的区域为四边形ODEC 所围成的区域． 又D(0,1)，B(0,2)，E 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭，C(-2,0)． S 四边形ODEC=S △OBC -S △BDE =.三、平面区域内的整点个数问题例3 利用平面区域求不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3y ≥26x ＋7y ≤50的整数解．分析 先画出平面区域，再用代入法逐个验证．解 把x=3代入6x+7y ≤50，得y ≤447，又∵y ≥2，∴整点有：(3,2)(3,3)(3,4)； 把x=4代入6x+7y ≤50，得y ≤537，∴整点有：(4,2)(4,3)． 把x=5代入6x+7y ≤50，得y ≤627， ∴整点有：(5,2)；把x=6代入6x+7y ≤50，得y ≤2，整点有(6,2)； 把x=7代入6x+7y ≤50，得y ≤87，与y ≥2不符． ∴整数解共有7个为(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)． 总结 求某个平面区域内的整点，一般采用代入验证法来求，要做到不漏掉任何一个整点．►变式训练3 画出2x-3<y ≤3表示的平面区域，并求出所有的正整数解．解 由于2x-3<y ≤3⇔23,3,x y y -<⎧⎨≤⎩平面区域如图所示：而其中的正整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)，共5组．课堂小结：1．二元一次不等式(组)的解集对应着坐标平面的一个区域，该区域内每一个点的坐标均满足不等式(组)．常用特殊点法确定二元一次不等式表示的是直线哪一侧的部分．2．画平面区域时，注意边界线的虚实问题．3．求平面区域内的整点个数时，要有一个明确的思路不可马虎大意，常先确定x 的范围，再逐一代入不等式组，求出y 的范围最后确定整数解的个数．课时作业一、选择题1．已知点(－1,2)和(3，－3)在直线3x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是( ) A ．a ∈(－1,6) B ．a ∈(－6,1)C ．a ∈(－∞，－1)∪(6，＋∞)D ．a ∈(－∞，－6)∪(1，＋∞) 答案 A2．如图所示，表示满足不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0的点(x ，y )所在的区域为( )答案 B解析 不等式(x －y )(x ＋2y －2)>0等价于不等式组(Ⅰ)⎩⎪⎨⎪⎧ x －y >0，x ＋2y －2>0或不等式组(Ⅱ)⎩⎪⎨⎪⎧x －y <0，x ＋2y －2<0.分别画出不等式组(Ⅰ)和(Ⅱ)所表示的平面区域，再求并集，可得正确答案为B.3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ≤12，x －y >－1，y ≥0表示的平面区域内整点的个数是( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案 C解析 画出可行域后，可按x ＝0，x ＝1，x ＝2，x ＝3分类代入检验，符合要求的点有(0,0)，(1,0)，(2,0)，(3,0)，(1,1)，(2,1)共6个．4．若平面区域D 的点(x ，y )满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2＋y 2≤1x －y ≤0x ＋y ≤0，则平面区域D 的面积是( )A.12＋π2 B ．1＋π2 C.12＋π4 D ．1＋π4答案 B解析 画出平面区域，如图，阴影部分面积S=1+2π. 5．(2009·天津滨海新区五所重点学校联考)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a(a 为常数)表示的平面区域的面积是9，那么实数a 的值为( )A ．32＋2B ．－32＋2C ．－5D ．1答案 D解析 区域如图，易求得A(-2,2)，B(a ，a+4)，C(a ，-a)． S △ABC=1/2|BC|·|a+2|=(a+2)2=9，得a=1. 二、填空题6．△ABC 的三个顶点坐标为A (3，－1)，B (－1,1)，C (1,3)，则△ABC 的内部及边界所对应的二元一次不等式组是________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0解析如图直线AB 的方程为x+2y -1=0(可用两点式或点斜式写出) 直线AC 的方程为2x+y -5=0 直线BC 的方程为x -y+2=0 把(0,0)代入2x+y -5=-5<0∴AC 左下方的区域为2x ＋y －5<0.∴同理可得△ABC 区域(含边界)为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0x －y ＋2≥02x ＋y －5≤0.7．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于________．答案 43解析平面区域如图．解 34,34,x y x y +=⎧⎨+=⎩得 ()1,1A易得()40,4,0,3B C ⎛⎫⎪⎝⎭48433BC =-= 1841233ABC S ∆∴=⨯⨯=8．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n ＝________.答案 10 3 解析可行域如图所示，设直线l ：x=my+n 的倾斜角为α， 则10,220,sin()OA OA R πα===-11sin ,tan 3mα∴==±=m ∴=又点 )A 在直线 ,x my n =+上m ∴=时，5,m n =+0,n ∴=又n >0, m ∴=当m =5,m n =+n ∴=三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1≥0，2x ＋y －5≤0，y ≤x ＋2所表示的平面区域并求其面积．解如图所示，其中的阴影部分便是欲表示的平面区域． 由 20,250,x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得()1,3A ,同理得 ()()1,1,3,1B C --AC ∴==而点B 到直线250,x y +-=距离为d ==11622ABC S AC d ∆∴=⋅=⨯=10．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，x ＋2y ＋3＞0，5x ＋3y －5≤0表示的平面区域，并求其中的整数解(x ，y )．解 作出平面区域，如图所示．可求得顶点坐标36,55⎛⎫--⎪⎝⎭5101920,,111177⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭故,x y 的范围是35-<197，207-<1011，其中整数是 0,1,2;0,1,2,x y ==--结合图形并经检验可得整数解有(0,0)，(0，- 1)，(1,0)，(1，- 1)，(2， -2)．。