数学：《变化率问题》课件(人教a版选修)

2
计算第2 h和第6 h，原油温度的瞬时变化率，
并说明它们的意义。
说明导数的符号确定函数的增减，导数的绝对值确定了 函数值的变化快慢
例2.求y=x2在点x=1处的导数．
y |x1 2
'
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去处理，假如事态变得不能由我控制了，那就要麻烦到傅总管了，到那境况，我也保不住你们，你们肯定要受罚的。”说罢， 傅三带我去到另一个小别院，刚踏进一小步，迎面走来了一位大娘。这位大娘年约四十有余，身体略发胖，穿戴还是比较光鲜 的。大娘见到傅三，便满嘴笑脸的迎过来，讲道，“哟，今个儿是什么风把您大爷给吹过来了？”傅三听罢，只微微一笑，便 反问道，“对了，翠大娘，今日不是咱家四少爷纳妾的日子吗？怎么你在这还闲着呢？”傅翠大娘听罢，脸色顿时沉了下去， 无力答道，“今个儿仁家那女娃嫁过来，却总是摆着一脸呆相，怎么和她搭话都不理会人家，所以我便想找媒婆问问这是咋一 回事呢。”我缩在傅三的一旁，听着傅翠大娘讲着话。“咦，傅三啊，这娃是？”傅翠娘看到我问起了傅三。“哦，这娃是从 仁家刚过来我们傅家的，他是个家丁，现在我正带他熟悉熟悉这傅家环境。”傅三好生地答道。“哟，怎么看着娃长得颇奇怪 的，这头发咋这么短，而且这脸看起来像个女孩似的，这是得了什么怪病吧？”傅翠娘不假思索地说道。我一听，心中又是一 愣，这大娘说话这么不经大脑，难道不知道这样乱说话会得罪很多人的吗？还是知道我是一个普通的家丁，所以也犯不着对我 尊敬什么的，总之我对这大娘没什么好感。傅三听罢，为我解脱道，“其实这娃身体没什么病，只是在外遇上几个坏人，遇上 些坏事才导致这模样的；但你不觉得这娃长得不也挺秀气的吗？”我听了，心中又是一阵感激，这傅老大爷实在是太好了，他 该是不知道我是何许人也，但还是为我开脱，这真是上天派来打救我的活菩萨啊。傅三说罢，又对傅翠娘说道，“翠大娘，你 看这小伙，他是从仁家来的家丁，想必多少知道点这仁家新娘的事儿，你说把他叫去问问新娘，会不会有些用处呢？”傅翠娘 一听，觉得也是一个办法，起码省下了跑去找媒婆的路。于是便回应道，“你说得也对，这娃是仁家来的，应该还有点儿用 处。”说罢，便对我说，“你叫啥名字？”，“小的叫傅莲。”我答道。“好，傅莲，跟着大娘走去。”说罢，傅翠娘转身便 作离开样。傅三冲我点头，示意我跟过去，于是我也回礼点了点头，跟上翠大娘的脚步，离开了这小别院。路上，大娘走在前 头，我跟在后头，大娘见我有点小怕，于是便说道，“傅莲，你是新来的家丁，会有许多不懂的地方，但是有些规矩你就必须 现在就得牢记。本大娘是管理我们傅家所有丫鬟的，这与丫鬟有关的事都得由本大娘来处理，你明白了吗？”我听罢连忙说是。 “还有就是，这傅家就数你们这类人最低下，所以见到府中的主子或是客人，你都得低头叫人，而且对于他们叫你干的活，你 都不得违抗，懂了吗？”我听后又连忙称是，心中却
1 运动员在这段时间里是 静止的吗? 2 你认为用平均速度描述运动员运动
状态有什么问题吗 ?
探究过程：如图是函数h(t)= 4.9t2+6.5t+10的图像，
65 h( ) h(0) v 49 0(s / m) 65 0 49
o x y
用平均速度不能精确 描述运动员的运动状态．
背景
微积分主要与四类问题的处理相关:
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在 任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。
新课讲解
问题1 气球膨胀率
吹气球时,会发现:随着气球内空气容量的增 加,气球的半径增加得越来越慢,能从数学的角 度解释这一现象吗? 1.把半径r表示为体积V的函数 2.当空气容量Ｖ从０增 3.当空气容量Ｖ从1增 加１Ｌ时， 加2Ｌ时，
如何求t=3这时刻的瞬时速度呢？ （我们可以取t=3临近时间间隔内的 平均速度当作t=3时刻的瞬时速度， 不过时间隔要很小很小）
3.导数
一般地，函数 y =f(x) 在点x=x0处的瞬时变 化率是
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df lim lim Dx 0 Dx 0 Dx Dx
例 2.经过曲线 f ( x ) x 1上 A、 B两点作
2
பைடு நூலகம்
割线，求割线的斜率 .
(1) x A 1，x B 2 ; ( 2) x A 1，x B 1.5 ; ( 3) x A 1，x B 1.1 .
2.1
3
5 2
2.瞬时速度
物体自由落体的运动方程是: 1 S(t)= gt2, 2
1.平均变化率
值就从y1变化到y2，则函数f(x)从x1到x2的
对于函数f(x)，当自变量x从x1变化到x2时，函数
f ( x2 ) f ( x1 ) 平均变化率： x2 x1
对于函数 y f ( x ), 若设 D x x 2 x 1， D y f ( x 2 ) f ( x 1 )，（ D x 看作对于 x 1的一个 则平均变化率为 增量，可用 x 1 D x 替代 x 2）
我们称它为函数 y = f (x)在点x=x0处的导数， 记为 f ( x0 ) 或
y
x xo
，即
f ( x0 Dx) f ( x0 ) Df f ( x0 ) lim lim Dx 0 Dx Dx 0 Dx
求f(x)在x0处的导数步骤：
(1) 求增量 Dy f ( x Dx ) f ( x );
气球平均膨胀率： 气球平均膨胀率：
r (1) r (0) 0.62 1 0
r ( 2) r (1) 0.16 2 1
问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h 单位 : m 与起跳后的时间t 单位 : s 2 存在函数关系 h t 4.9t 6.5t 10.
Dy f ( x Dx ) f ( x ) ( 2) 算比值 ; Dx Dx Dy ( 3) 求极限 y lim . Dx 0 D x
例1、将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种不同 产品，需要对原油进行冷却和加热。如果第 xh 时，原油的温度（单位：℃）为
f ( x) x 7 x 15 (0 x 8).
图1.1 1
它是曲线y f ( x )上的点( x1， f ( x1 ))， ( x 2， f ( x 2 ))两点的割线的斜率 .
例题分析
2 例 1. 例 已知函数f ( x ) x x的图像上的一点 A( 1， 2)及附近一点B( 1 Dx， 2 Dy )，则 Dy 3-△x . Dx
用运动员某段 时间内的平均速度v描 述其运动状态, 那么
在0 t 0.5这段时间里 , h0.5 h0 v 4.05 m / s ; 0.5 0 在1 t 2这段时间里 , h2 h1 v 8.2 m / s . 21
65 探究 计算运动员在 0t 这段时间 49 里的平均速度 , 并思考下面的问题:
D y f ( x 2 ) f ( x1 ) f ( x D x ) f ( x ) Dx x 2 x1 x
它的几何意义是什么呢？
y
y f x f x 2 f x 1
B A
f x2 f x1
x 2 x1
O
x1
x2
x
思考 观察函数 f x 的图象图1.1.1 , 平均 变化率 Df f x2 f x1 Dx x2 x1 表示什么?