连续性的证明
实数的连续性公理证明确界存在定理
定理一实数基本定理（戴德金实数连续性定理）实数系按戴德金连续性准这是连续地，即对地任意分划，都存在唯一地实数，它大于或等于下类地每一实数.小于或等于上类中地每一个实数.定理二单调有界有极限单调上升（下降）有上（下）界地数列必有极限存在.定理三确界定理在实数系内，非空地有上（下）界地数集必有上（下）确界存在.定理四区间套定理设是一个区间套，则必有唯一地实数，使得包含在所有地区间套里，即.定理五有限覆盖定理实数闭区间地任一个覆盖，必存在有限地子覆盖.定理六紧致性定理有界数列必有收敛子数列.定理七收敛原理在实数系中，数列有极限存在地充分必要条件是：任给>，存在，当>，>时，有.定理一—三是对实数连续性地描述，定理四—定理六是对实数闭区间地紧致性地描述，定理七是对实数完备性地描述.上述七个定理都描述了实数地连续性（或称完备性），它们都是等价地.下面给出其等价性地证明：定理一定理二：设数列单调上升有上界.令是全体上界组成地集合，即，而\,则是实数地一个分划.事实上，由有上界知不空.又单调上升，故，即不空.由\知、不漏.又，则，使，即、不乱.故是实数地一个分划.根据实数基本定理，存在唯一地使得对任意，任意，有.下证.事实上，对，由于，知，使得 .又单调上升.故当>时，有.注意到，便有.故当>时有，于是.这就证明了.若单调下降有下界，则令，则就单调上升有上界，从而有极限.设极限为，则.定理二证完.定理二定理三：只需证明在实数系内，非空地有上界地数集必有上确界存在.设数集非空，且有上界.则，使得对，有 .又是全序集，对，与有且只有一个成立.故,有与有且只有一个成立.故是地上界与不是地上界有且只有一个成立. 有上界，实数是地上界.若不存在实数不是地上界，则由上知，实数都是地上界，这显然与非空矛盾.故，使得不是地上界，是地上界.则使得.用地中点二等分，如果是地上界，则取；如果不是地上界，则取.继续用二等分，如果是地上界，则取；如果不是地上界，则取.如此继续下去，便得到两串序列.其中都不是地上界且单调上升有上界（例如），都是地上界且单调下降有下界（例如）.并且（当时）.由单调上升有上界知有存在，使得 .下证.①事实上，对，，当时有.又都不是上界对每一个，，使得.故对，，使得.②若，使得，则由知.故，使得.又都是地上界，故对有.而，故，这是不可能地.故对，有.综上①、②即有.即有上确界存在.定理三定理四：由条件知集合非空，且有上界（例如）.故由确界定理知有上确界，记为 .则对，有.同理可知集合有下确界，记为.则对，有.又，由上可知. 两边取极限，令有 .又显然.否则由于是地上确界，则，使得；同理，使得，则有.又由区间套地构造可知，对，记（），则有.故有，矛盾.故必有.故，记为.则对，有.下证具有这一性质地点是唯一地.用反证法，如果还有另一，使得.由于对一切成立，故,令，得，与矛盾.故这样地是唯一地，即存在唯一地实数，使得包含在所有地区间里，即 .定理四定理五：用反证法.设是区间地一个覆盖，但没有地有限子覆盖. 记，二等分，则必有一区间没有地有限子覆盖（否则把两区间地地有限子覆盖地元素合起来构成一新地集合’,则’是地地有限子覆盖，即有地有限子覆盖与反证假设矛盾），记其为 .二等分，则必有一区间没有地有限子覆盖，记为.如此继续下去，得到一组实数地闭区间序列，满足() ；() .故构成一个区间套，且每个都没有地有限子覆盖.则由区间套定理有存在唯一地实数，使得.又由覆盖地定义有，使得，即.又由上区间套定理地证明可知，其中.故，使得，，使得.设，则，即有覆盖.这与没有地有限子覆盖地构造矛盾，故必有地有限子覆盖.定理五定理六：设数列有界，即实数，且<，有 .用反证法，如果无收敛子数列，则对，使得只有有限个.（如果不然，即，对，有中有无限个.选定，再选，使.这是办得到地，因为包含数列地无限多项.再取，使 .如此继续下去，便得到地一子数列 .令，则有 .又，与反证假设矛盾）.又以这样地作为元素组成地集合显然是地一覆盖，记为.则由有限覆盖定理知有地有限子覆盖.而中地每个元素都只包含地有限项，有限个有限地数相加仍为有限数，故只包含地有限项.这与矛盾，故必有收敛子数列，即有界数列必有收敛子数列.定理六定理七：必要性：设在实数系中，数列有极限存在，则，，使得只要，有（记）.因此只要，就有.必要性得证.充分性：设在实数系中，数列满足：，，当时，有，即是基本列.先证是有界地.事实上，取，则，使得当时，有.取定一，则有.取，则有.这就证明了是有界地.再证明有极限存在.由紧致性定理可知有子数列，使得存在，记为.下证.事实上，，由题设知，当时，有 .又，，只要，就有.取，则只要，选取，就有.这就证明了.即有极限存在.充分性得证.综上，定理七证完.定理七定理一：对任意给定地实数地分划，、非空，可任取点.又分划满足不乱，.用地中点二等分，如果，则取；如果.则取.（分划满足不漏，对任意实数，或者属于，或者属于.故或.）继续用二等分，如果，则取；如果，则取 .如此继续下去，便得到两串序列.其中单调上升有上界（例如），单调下降有下界（例如），并且（当时）.下面用柯西收敛原理来证明存在.事实上如果不然，则，，，有.不妨设，由单调上升有 . 对上式都成立（），取，并把所得地不等式相加得.其中为不等式地个数.故，当时.而由地取法可知对每一个都有相应地’与之对应，即有相应地与之对应.故对，，使得.即无界，与有界矛盾.故存在，记为.下证对，有.这等价于证明对，有.事实上，，由知，使.故.而对，由知.故，使.从而，这就证明了，即证明了实数基本定理.综上，这就证明了这七个定理是等价地.而从证明过程来看：定理二定理三地方法可用于定理二定理四及定理四定理三；定理七定理一地方法可运用于定理七定理二，定理二定理四，定理四定理一.而这并不构成逻辑循环，因为我们已用十进小数证明了实数基本定理.而这其实是用无限不循环小数方法来定义无理数.事实上我们还可以用戴德金分割法、康托基本序列法或魏尔斯特拉斯地单调有界序列法来定义无理数，这都能构成反映实数本质地实数公理系统.。
连续性及其性质
连续性及其性质连续性是数学中重要的概念之一，涵盖了各个分支领域。
从数学角度来看，连续性意味着在某个定义域内的函数能够实现无间断的变化。
本文将探讨连续性的性质以及其在不同领域的应用。
一、连续性的数学定义在数学中，连续性是一个函数的基本特性。
若一个函数在其定义域内的任意一点，其左极限和右极限存在且相等，且与该点的函数值也相等，则称该函数在该点连续。
这一定义可以简要地表示为：在$x=a$处连续的条件是：$f(a)=\lim_{x\to a}f(x)=f(a^{+})=f(a^{-})$其中，$f(a)$代表函数在点$a$处的函数值，$f(a^{+})$和$f(a^{-})$分别表示函数在点$a$处的右极限和左极限。
二、连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，下面我们将介绍其中的几个。
1. 保号性若函数$f$在区间$(a,b)$内连续，并且$f(a)<0$，$f(b)>0$，则在该区间内存在一个值$x_0$，使得$f(x_0)=0$。
这一性质被称为连续函数的保号性。
2. 介值性若函数$f$在区间$(a,b)$内连续，并且$f(a)<k<f(b)$，那么存在一个值$c\in(a,b)$，使得$f(c)=k$。
这一性质被称为连续函数的介值性。
3. 初等函数的连续性初等函数，如多项式函数、指数函数和对数函数等，在其定义域上都是连续的。
这一性质使得初等函数在实际问题中的应用更加方便。
三、连续性在数学中的应用连续性在数学中有着广泛的应用，下面我们将介绍其中的几个。
1. 一致连续性若函数$f$在定义域上连续，且对于任意给定的正数$\epsilon$，存在正数$\delta$，使得对于任意满足$|x-y|<\delta$的$x$和$y$，有$|f(x)-f(y)|<\epsilon$，那么函数$f$被称为一致连续的。
一致连续性在数学分析中有着重要的应用，如在证明柯西收敛准则中就用到了一致连续性。
函数的连续性
函数的连续性图第九节 函数的连续性和间断点有了极限的概念，我们就可以来讨论函数的一种重要特性——连续性。
首先，我们应注意到连续性也是客观现实的反映，是从许多自然现象的观察中抽象出来的一种共同特性。
如气温T 随时间t 的变化而连续变化，铁棒长度l 随着温度u 的变化而连续变化等。
它们的共同特性是：一方面在变化，另一方面是在逐渐变化的。
可在很短一段时间内，T 的变化很小；同样当温度u 变化很小时，l 的变化也很小。
这些现象反映在数学上就是自变量有一个微小的变化时，函数的变化也是微小的。
下面我们就专门来讨论这种概念。
一、函数的连续性1. 预备知识改变量：设变量u 从它的一个初值1u 变到终值2u ，终值与初值的差21u u -，就叫u 的改变量，记作21u u u ∆=-。
改变量也叫增量。
注意：①1u ，2u 并不是u 可取值的起点和终点，而是u 变化过程中从1u 变到2u 。
②u ∆可正可负。
③u ∆是一个整体记号，不是某个量∆与变量u 的乘积。
2. 函数()y f x =在0x x =处连续的定义 定义1 当自变量x 在点0x 的改变 量x ∆为无穷小时，相应函数的改变量 ()()()()000y f x x f x f x f x ∆=+∆-=- 也是同一过程中的无穷小量，即0lim 0x y ∆→∆=，则称()f x 在0x 处连续，见图1-37.定理1 ()f x 在0x 处连续的充要条 件是()()00lim x x f x f x →=。
证明 由定义1，()()()()()()00000lim 0lim 0lim lim 0lim .x x x x x x x x x y f x f x f x f x f x f x ∆→→→→→∆=⇔-=⎡⎤⎣⎦⇔-=⇔= 由定理1，我们可将定义1改写为以下定义2. 定义2 如果0ε∀>，0δ∃>，当0x x δ-<时，有()()0f x f x ε-<，则()f x 在0x 处连续。
证明函数连续的几种方法
证明函数连续的几种方法
本文将介绍几种证明函数连续的方法，包括直接证明法、ε-δ定义法、极限运算法和函数连续性定理法。
1. 直接证明法
直接证明法是最简单的证明函数连续的方法之一。
假设函数f(x)在某一点a处连续，那么我们需要证明对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。
2. ε-δ定义法
ε-δ定义法是一种比较严谨的证明函数连续的方法。
假设函数f(x)在某一点a处连续，那么对于任意的ε>0，存在一个δ>0，使得当|x-a|<δ时，|f(x)-f(a)|<ε。
这个定义中的ε和δ都是任意给定的正数。
3. 极限运算法
极限运算法是一种比较巧妙的证明函数连续的方法。
如果函数f(x)在某一点a处连续，那么当x趋近于a时，f(x)的极限值也应该等于f(a)。
换句话说，lim(x→a) f(x) = f(a)。
这个性质可以用来证明函数在某一点处的连续性。
4. 函数连续性定理法
函数连续性定理法是一种比较高级的证明函数连续的方法。
其中包括了中间值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等定理，通过运用这些定理可以证明函数在某一点处的连续性。
这种方法需要一定的数学基础和技巧，适合于高等数学的学习者。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
第2章一元函数的连续性
第二章 一元函数的连续性一.基本内容1.函数)(x f 在点0x 处连续的定义：)1(极限形式：)()(lim 00x f x f x x =→)2(增量形式：0lim 0=∆→∆y x)3(“δε-”语言：0>∀ε，0>∃δ，当δ<-0x x 时，有ε<-)()(0x f x f )4(左右连续性：)()0()0(000x f x f x f =-=+2．函数)(x f 在区间I 上连续的定义 3．间断点及其类型间断点（不连续点）：第一类间断点（左右极限均存在）；第二类间断点（左右极限中至少有一个不存在）4．)(x f 在区间I 上一致连续：0>∀ε，0>∃δ，∀1x ,2x I ∈,当δ<-21x x 时， 总有ε<-)()(21x f x f ，则称)(x f 在I 上一致连续． 5．)(x f 在点0x 处连续的局部性质局部有界性，局部保号性，四则运算保持连续性和复合保持连续性． 6．闭区间上连续函数的整体性质)1(反函数的存在连续性：若函数)(x f 在[]b a ,上严格单调且连续，则其反函数在以)(a f ,)(b f 为端 点的闭区间上也是严格单调并且连续．)2(有界性：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上有界．)3(取最值性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则)(x f 在[]b a ,上能取到最大，最小值．)4(根的存在性若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，且0)()(<⋅b f a f ,则),(b a c ∈∃，使0)(=c f ．)5(界值性设函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，μ介于)(a f 与)(b f 之间，则),(b a c ∈∃使得μ=)(c f ．)6(若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则在[]b a ,上一致连续．7．一切初等函数在其定义区间上连续 二．难点解析与重要结果1.函数)(x f 在点0x 处连续的归结原则任一趋于0x 的数列{n x }其对应的函数值组成的数列均收敛．【注】函数极限的归结原则中要求→n x 0x ，这是由于与函数极限中)(x f 有可能没定义，而在连续的定义中要求函数)(x f 于0x 的某邻域内有定义，在0x 处必有定义，特别地{0x }即为趋于0x 的一个数列． 2. 0x 为)(x f 的间断点的正面刻画∃00>ε，∀δ0>, ∃δx , 满足δδ<-0x x ,但有)()(0x f x f -δ≥0ε．特别地,取δ=n 1,则得数列{n x }⊂)(0x U ,使n x x n 10<-,但)()(0x f x f n -≥0ε.3. 函数)(x f 在区间I 上连续∀0x ∈I ，∀0>ε, ∃0>δ，当δ<-0x x 时， 有ε<-)()(0x f x f .函数)(x f 在区间I 上一致连续：∀0>ε, ∃0>δ, ∀0x I ∈, 当δ<-0x x 时, 有ε<-)()(0x f x f .这两者的区别在于，对同一个ε，前者对于不同的0x ，可找到不同的δ，δ既依赖于0x ，又依赖于ε.事实上，δ对0x 的依赖程度更高（为什么？），后者对同一个ε，总可找到一个δ，该δ对所有的0x 均适用. 4. 一致连续与一致收敛之间的区别与联系⇒)(x f n )(x f )(D x ∈，可看成是给定一批极限{∞→n lim )(x f n ︱D x ∈}.对每个数列极限而言，对给定的0>ε,由不同的数列可找到不一定相同的N ，当N n >时，有ε<-)()(x f x f n 是否一致收敛.就看是否有共用的N 的问题.)(x f 在I 上一致连续可看成是给了一批函数极限{)()(lim x f y f xy =→︱x ∈I}.对每一个函数的极限而言，对给定的0>ε，由不同的函数极限可找到不一定相同的δ.当δ<-x y 时，有ε<-)()(x f y f 是否一致连续，就看是否有共用的δ的问题.5.一致连续的判定与性质)1( 设)(x f 在有限开区间),(b a 内连续，则)(x f 在),(b a 内一致连续的充分必要条件是)(lim x f ax +→与)(lim x f bx -→均存在且有限.)2( 设)(x f 在),[+∞a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.)3(设)(x f 在),[+∞a 上连续,)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-+∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续，此结论在)(x f 有斜渐近线时很有用.)4(若)(x f ，)(x g 均在有限开区间),(b a 上一致连续，则)(x f )(x g ±，⋅)(x f )(x g 均在),(b a 上一致连续,若),(b a 为无限开区间,则⋅)(x f )(x g 不一定一致连续.如=)(x f x x g =)(，在),(+∞-∞上.)5( 若)(x f 导数)(x f '在I 上有界，则)(x f 在I 上一致连续.)6(若)(x f 在],(b a 与),[c b 上均一致连续，则)(x f 在),(c a 上一致连续.)7(若)(u f y =在R 上一致连续，)(x g u =在I 上一致连续，则))((x g f y =在I 上一致连续.6. )(x f 在I 上非一致连续的肯定刻画I x x ∈'''∃>∀>∃δδδε,,0,00,且δδδ<''-'x x ，但有0)()(εδδ≥''-'x f x f ．特别地,取n1=δ,则设两点列I x x n n⊆'''}{},{,满足)(0∞→→''-'n x x n n ,但有0)()(ε≥''-'n nx f x f ． 三．基本题型与方法 1.证明连续性和一致连续性要证明一个函数在某点或某个范围内连续，绝大部分是通过连续性的定义直接证明．例1．按定义证明：)1(⎪⎩⎪⎨⎧=∈==+内的无理数和，互质)1,0(1,00),,,(,1)(x q p N q p q p x qx R 在所有的无理点处连续．在)1,0(中的有理点处不连续．)2(xx x x f 1sin 12)(⋅++=在),1[+∞上一致连续,在)1,0(上非一致连续． 证明：)1(]1,0[0∈∀x ,0>∀ε,ε≤-0)(x R . 显然当x 为)1,0(中的无理数时，不等式成立.当q p x =时,ε<=q x R 1)(,即ε1>q . 而ε1≤q 的正整数只有有限个，这些数为分母构成的]1,0[中的有理数也仅为有限个，设为n x x x ,,,21 ，取}}0{\},,min{{001x x x x n --= δ,则n x x x ,,,21 均落在),(00δx U 之外，即当δ<-<00x x 时.若x 为有理数，则将其表示成既约分数时的分母必大于ε1.此时ε>>qx R 1)(.若x 为无理数则ε<=0)(x R . 即当δ<-<00x x 时，总有ε<-0)(x R ,所以0)(lim 0=→x R x x .故)(x R 在)1,0(中的无理点处连续，有理点处不连续.)2(),1(,,0+∞∈'''∀>∀x x ε,由于 x x x x x x x f x f ''⋅+''+''-'⋅+'+'=''-'1sin 121sin 12)()(x x x x x x x x x x x x ''⋅+''+''-''⋅+'+'+''⋅+'+'-'⋅+'+'=1sin 121sin 121sin 121sin 12 12121sin 1sin 1sin 12+''+''-+'+'''+''-'+'+'≤x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''-'≤+''+'''-'+'''''-'⋅'''''+'≤2)1)(1(2222,故可取=δ2ε，当x x ''',∈),1[+∞且δ<''-'x x 时,有ε<''-')()(x f x f ,所以)(x f 在),1[+∞上一致连续.取221ππ-='n x n,221ππ+='n x n, ,2,1=n , 显然nx 'n x '')1,0(∈,则 )(0441442222∞→→-=-=''-'n n n x x n nπππππ,但2122222)1(122222)()(>++++--+-+-=''-'ππππππππn n n n x f x f n n, 所以)(x f 在)1,0(上非一致连续.[注])1(Riemann 函数是一个重要的反例，其解法与一般的求解不等式ε<-A x f )(不同，它解的是其互补不等式ε≥-A x f )(.)2(第二小题的解法上，有一定的代表性，当遇到由两种不同的基本初等函 数一起构成的某一初等函数时，常用到此插项方法. )3(狄立克雷函数在构造反例中的作用. )4(第2小题中由于∞→A lim12++x x x1sin =0,且)(x f 在),1(+∞上连续，据前面的结论即证一致连续性.例2 设)(x f 为),(+∞-∞上的单调函数，令)(lim )(0y f x g x y +→=,证明：)(x g 在),(+∞-∞上右连续.证明：),(0+∞-∞∈∀x ，由于)0()(lim )(000+==+→x f y f x g x y ,故0>∀ε, 0>∃δ, 当δ+<<00x x x 时有ε<-)()(0x g y f .由于)(x f 在R 上单调，故在任一点处的左、右极限均存在， 所以，),(00δ+∈∀x x x ,令+→x y ,有ε≤-+→)()(lim 00x g y f x y ,即ε≤-)()(0x g x g ,所以，)()(lim 00x g x g x x =+→.故)(x g 在0x 右连续,由0x 的任意性,即)(x g 在),(+∞-∞上右连续.例3 设)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，lim ()x f x →+∞存在，则)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续.证明：由于lim ()x f x →+∞存在，故ε∀0>，∃M ，当M x x >''',时，有ε<''-')()(x f x f . 又)(x f 在),a +∞⎡⎣上连续，所以在]1,[+M a 上连续，故)(x f 在]1,[+M a 上一致连续.所以对上述0>ε,01>∃δ,当]1,[,+∈'''M a x x 且1δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取11min ,2δδ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当],[,+∞∈'''a x x 且1δ<''-'x x 时,()i 若21+≤'M x ,则21+≤+'<''M x x δ,即]1,[,+∈'''M a x x ,且δ<''-'x x 1δ≤,故有ε<''-')()(x f x f .()ii 若21+>'Mx ,则M M x x =-+≥-'>''2121δ，即M x x >''',,故有ε<''-')()(x f x f .即当δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .所以)(x f 在),a +∞⎡⎣上一致连续. 【注】此题的方法具有很强的代表性，望注意体会掌握，特别是将区间叠起的一段的技巧.2．连续函数性质的证明一般地，连续函数性质的证明特别是闭区间上连续函数性质的证明，与实数的完备性理论是紧密联系的.例4 试分别用闭区间套定理、聚点定理、和有限覆盖定理证明闭区间上连续函数的有界性定理.证明 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续,证明)(x f 在闭区间],[b a 上有界. (1) 用闭区间套定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,中分],[b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[11b a ;中分],[11b a 为两个子闭区间,则)(x f 至少在其中的一个子闭区间上无界,记其为],[22b a ;如此下去则得一闭区间列]},{[n n b a 满足：① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n ③)(x f 在闭区间],[n n b a 上无界, ,2,1=n .由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.又)(x f 在ξ连续,故)(x f 在ξ的某邻域),(δξU 内有界.由闭区间套定理的推论知,存在N ,当N n >时,有),(],[δξU b a n n ⊂,而)(x f 在],[n n b a 上无界,故)(x f 在),(δξU 上无界,矛盾.所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(2)用聚点定理假设)(x f 在闭区间],[b a 上无界,则],[,0b a x M M ∈∃>∀,使得M x f M >)(. 取],,[,11b a x M ∈∃=使得1)(1>x f ；],,[,22b a x M ∈∃=使得2)(2>x f ；,],,[,b a x n M n ∈∃=使得n x f n >)(；如此下去则得数列}{n x ],[b a ⊆，使得 ,2,1,)(=>n n x f n .由于}{n x 有界,由致密性定理, }{n x 由收敛子列}{k n x ，设)(,0∞→→k x x k n ，由于)(x f 在0x 连续，所以)(),()(0∞→→k x f x f k n ，而由}{n x 的选取知)(,)(∞→∞→k x f k n ，矛盾. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.(3) 用有限覆盖定理由于)(x f 在闭区间],[b a 上连续,即],[0b a x ∈∀,)(x f 在0x 连续,故在0x 处局部有界,即0,0],,[000>∃>∃∈∀x x M b a x δ,使得当),(00x x U x δ∈时,0|)(|x M x f <. 显然,]},[|),({b a x x U x ∈δ覆盖],[b a ,由有限覆盖定理,必可从中选出有限个它们也能覆盖],[b a ,设为),(11δx U ,,),,(22 δx U ),(n n x U δ. 取},,,m ax {21n M M M M =,则],[b a x ∈∀,有M x f <|)(|. 所以)(x f 在闭区间],[b a 上有界.3．连续函数性质的应用)1(连续性在有界和最值性方面的应用例5 设函数)(x f 在有有限或无穷区间(),a b 内连续，且lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==, (A 为有限数，+∞或-∞).证明)(x f 在(),a b 内能取到最大或最小值. 证明：若A 为有限数，且(),x a b ∀∈均有A x f =)(.则结论显然成立.若0x ∃(),a b ∈,使0()f x A ≠，若0()f x A >，由于lim ()lim ()x ax bf x f x A +-→→==，由极限的保号性，故δ∃0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时，有)()(0x f x f <，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，所以)(x f 在[],a b δδ+-上有最大值M 存在,且≥M 0()f x ，此时最大值M 显然也是)(x f 在(),a b 上的最大值.若0()f x A <，则有最小值存在.若+∞=A ，任取0x (),a b ∈，由于lim ()lim ()x ax bf x f x +-→→==+∞，故∃δ0>,当δ+<<a x a 或b x b <<-δ时有)()(0x f x f >，又)(x f 在[],a b δδ+-上连续，故有最小值m 存在，且)(0x f m ≤，显然m 为)(x f 在(),a b 上的最小值.当-∞=A 时有最大值存在.当(),a b 为无穷区间，类似地可证.例6 设)(x f 在],[b a 上连续，且有唯一的最值点],[0b a x ∈.若数列],[}{b a x n ⊆且)()(lim 0x f x f n n =∞→,证明：0lim x x n n =∞→.证明：假设0lim x x n n ≠∞→．则N ∀，N n N >∃使00ε≥-x x n ．取11=N 则11>∃n 使001ε≥-x x n .取12n N =，则12n n >，使002ε≥-x x n .如此下去，则设}{n x 的子列}{i n x 使得ε≥-0x x i n .由],[}{b a x i n ⊆，由致密性定理,}{i n x ∃的收敛子列}{ki n x ,设)(∞→→k c x ki n ,则0x c ≠．又由f 的连续性，知)()(lim c f x f ki n k =∞→．而由子列的性质知，)()(lim )(lim 0x f x f x f n n n k k i ==∞→∞→.所以)()(0x f c f =为f 的最值点矛盾．)2(连续性介值方面的应用例7 设)(x f 在],[b a 上连续，且有反函数存在．证明)(x f 在],[b a 上严格单调． 证明：假设)(x f 在],[b a 上非严格单调,则321x x x <<,使得)()()(321x f x f x f ≥≤或)()(21x f x f ≥且)()(32x f x f ≤.由于)(x f 有反函数存在,故上不等式中的等号不能成立．即有)()()(321x f x f x f ><.取M 介于)(2x f 与)}(),(m ax {31x f x f 之间,由)(x f 在],[21x x 上连续,),(21x x ∈∃ξ 使M f =)(ξ.又)(x f 在],[32x x 上连续, ),(32x x ∈∃η使M f =)(η.且ηξ≠,这与)(x f 有反函数矛盾）． 【注】有反函数存在．则对应必为一对一的，反过来一对一再加上介值性，必可推出严格单调和连续性.例8 设函数],[],[:)(b a b a x f →是连续函数．证明：],[b a ∈∃ξ,使ξξ=)(f . 证明：若a a f =)(或b b f =)(,则结论成立．否则有a a f >)(，b b f <)(． 令x x f x F -=)()(,则)(x F 在],[b a 上连续,且0)(,0)(<>b F a F ,由介值性定理即得.【注】此题即为不动点定理．例9 设函数)(x f 在]1,0[上连续，且0)1()0(==f f ,证明：+∈∀Z n ，]1,0[∈∃ξ，有)()1(ξξf nf =+．证明： 当1=n 时，取0=ξ，则结论成立.否则令)()1()(x f nx f x F -+=,则有)1()1()0(nn F n F F -+++)1()1()1()2()0()1(nn f f n f n f f n f --++-+-=0)0()1(=-=f f .若上式中的每一项均为0，则结论成立.若不全为0，则必既有正项，又有负项出现，由介值性定理,在正负项之间0)(=ξF ,即)()1(ξξf nf =+.【注】上面的两例给出了用介值性定理或根的存在定理的一般方法.引入辅助函数，将待证的等式转化为考察辅助函数的根的存在性问题，最后，只要找到辅助函数的两个点处的函数值异号.)3(一致连续的性质的应用例10设函数)(x f 在),(+∞a 上一致连续,且无穷积分⎰∞+adx x f )(收敛.证明：0)(lim =∞→x f x .证明：假设0)(lim ≠∞→x f x ，即00>∃ε,M ∀，M x M >∃,但有0)(ε≥x f .又)(x f 在[)0,+∞上一致连续，故对上述0ε0>,∃δ0>,当12x x -≤δ时,有12()()f x f x -<2ε. 故对0ε,δ0>，M ∀，∃A '=M x ，A ''=M x +δM >,但有δεδδ0)()(≥=⎰⎰++M MM Mx x x x dx x f dx x f .由Cauchy 收敛准则知⎰∞→AaA dx x f )(lim 不存在,矛盾. 四.综合举例例11 设函数)(x f 在[],a b 上连续，],[b a x ∈∀,记)(sup )(],[t f x M x a t ∈=,证明：)(x M 在[],a b 上连续.证明：由于)(x f 在[],a b 上连续，则在[],a b 上一致连续,即0ε∀>,0δ∃>, 当1x ,2x ∈[],a b ,且12x x -≤δ时有12()()f x f x -<ε.所以0x ∀∈[],a b ,当δ<∆<x 0, 0x x ∆+∈[],a b 时，有)0[][]0000,,()()sup ()sup ()t a x x t a x M x x M x f t f t ∈∆+∈≤∆+-=-))()((sup )()(sup0],[0],[00x f t f x f t f x a t x x a t ---=∈+∆∈))()((sup )))()((sup )),()((sup m ax (0],[0],[0],[000x f t f x f t f x f t f x a t x x a t x a t ----=∈+∆∈∈ε<.同理，当0<∆<-x δ时，有ε-00()()M x x M x ≤∆+-,故)(x M 在[],a b 上连续. 例12 设函数)(x f 在),(b a 内每一点的左，右极限都存在，且),(,b a y x ∈∀,都有2)()()2(y f x f y x f +≤+.证明)(x f 在),(b a 内连续. 证明：),(0b a x ∈∀,则),(b a y ∈∀,有2)()()2(00y f x f y x f +≤+, 令i x y +→0,)0(21)(21)0(000++≤+x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤+. 令0x y →,有))0(21)((21)0(000-+≤-x f x f x f ,即有)()0(00x f x f ≤-.在2)()()2(y f x f y x f +≤+中 令h x x +=0,h y y -=0,且令i h +→0, ))0()0((21)(000-++≤x f x f x f ,所以有))0()0(()(000--+≤x f x f x f ,即)(x f 连续.由0x 的任意性即有)(x f 在),(b a 内连续.【注】要证明函数的连续性，绝大部分情况下均直接从连续的定义出发. 例13 证明：非常值的连续周期函数必有最小正周期.证明：设}{的正周期为f t t S =.下证S 的下确界S T inf =属于S ，即证：T 仍为f 的周期，且0>T ，显然0T ≥.由于S T inf =,故由定义,S t n ⊆∃}{,使得T t n n =∞→lim .又由)(x f 的连续性，有R x ∈∀,)()(lim )(x f t x f T x f n n =+=+∞→,即T 为一个周期.假设S T ∉=0,则存在严格递减数列S T ∉=0,且)(0∞→→n t n .则R x ∈∀，N n ∈∀,Z k n ∈∃使n t k x n n +=0,其中n n t k <≤0,故)(0∞→→n k n .所以,))(0()()()(∞→→=+=n f n f n t k f x f n n ,即)0()(f x f =.这与)(x f 非常数矛盾.所以0≠T ,即0>T ，故S S T ∈=inf . 例14 设)(x f 对R 上一切x 均有)()(2x f x f =，且)(x f 在0=x 处连续.证明：)(x f 在R 上为常数.证明：由于)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-,即)(x f 为偶函数，故可仅考察0≥x 这一侧.当0>x 时，由已知，有：=====)()()()(214121nx f x f x f x f ,由于)(121∞→→n xn及f 在1=x 处的连续性,故有()=x f ()1lim 21f x f nn =⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞→, 又()+→=0lim 0x f ()()1f x f =.即当0≥x 时,有()()1f x f =.所以,R x ∈∀,有()f x f ≡()1.例15 设)(x f 在),0[+∞上连续且有界，又设R l ∈∀方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，证明)(lim x f x ∞→存在.证明 由于)(x f 在),0[+∞上有界，设M x f M <<-)(,对0=l ,由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为1M ,则当1M x >时, )(x f 全落在],0[M 或]0,[M -中,记其为],[b a ；对2ba l +=，由于方程l x f =)(在),0[+∞至多只有有限个解，设其最大解为2M ,则当2M x >时, )(x f 全落在]2,[b a a +或],2[b ba +中,记其为],[11b a ； , 如此下去，则得一闭区间列]},{[n n b a 满足： ① ],[],[11++⊇n n n n b a b a , ,3,2,1=n ② )(,02∞→→-=-n ab a b nn n③ 0,>∃∀n M n ，当n M x >时，有 ,2,1],,[)(11=∈--n b a x f n n由①, ②及闭区间套定理知 ,2,1],,[!=∈∃n b a n n ξ.由闭区间套定理的推论知，,,0N ∃>∀ε当N n >时，),(],[εξU b a n n ⊆.故可取1+=N M G ,当G x >时,有),(],[)(11εξU b a x f N N ⊆∈++.所以ξ=∞→)(lim x f x .例16 设)(),(x g x f 在],[b a 上连续,],[}{b a x n ⊆,满足 ,2,1),()(1==+n x f x g n n 证明 存在],[0b a x ∈,使得)()(00x g x f =. 证明 令)()()(x g x f x h -=,则)(x h 在],[b a 上连续.若)}({n x h 中有零项或异号的项，由根的存在性定理,0x 的存在性显然. 若若)}({n x h 中所有项均为正项或负项,不妨设0)(>n x h ,于是,,,2,1,0)()()()()(1 =>=-=-+n x h x g x f x f x f n n n n n即数列)}({n x f 为单调递减有界数列,故收敛,设)(,)(∞→→n x f n ξ,又,2,1),()(1==+n x f x g n n ,故)(,)(∞→→n x g n ξ.注意到}{n x 有界,由致密性定理}{n x 有收敛子列}{k n x ,设)(,0∞→→k x x k n ,由)(),(x g x f 在0x 的连续性知,)(),()(0∞→→k x f x f k n ,)(),()(0∞→→k x g x g k n ,而)(,)(∞→→k x f k n ξ,,由极限的唯一性有ξ==)()(00x g x f .例14 设定义在R 上的函数()x f 满足：)1(()x f 在0=x 处连续.)2(R y x ∈∀.,有()()()y f x f y x f +=+.证明：()ax x f =.证明：由f ()()()()()0000000=⇒+==+f f f f .又()x f 在0=x 处连续, 故有()()00lim 0==→f x f x .所以,R x ∈∀,有()()()()()x f x f x f x x f x x =∆+=∆+→∆→∆0lim lim ,即()x f 在R 上连续.由已知,有()()()21112⋅=+=f f f , ()()()n f f n f ⋅=+++=1111 , 又()()()0=+=+-n n f n f n f ,故有()()()n f f n f -⋅=-1. 即对一切整数x 有()()x f x f ⋅=1.又由 ()()2112121212121⋅=⎪⎭⎫⎝⎛⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+f f f f f ,()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==⎪⎭⎫ ⎝⎛+n f n f n nf 1111, ()n f n f 111⋅=⎪⎭⎫⎝⎛,故有, ()n m f n mf n m f ⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛11 , N m n ∈..所以, ()⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-n m f n m f n m f 1,即对一切有理数x ,有()()x f x f ⋅=1.R x ∈∀,{Q r n ⊆∃}使得()∞→→n x r n .由f 在R 上的连续性,有()()()()x f r f r f x f n n n n ⋅=⋅==∞→∞→11lim lim .例15 设()x f 在[)b a ,上连续且无上界,()[)b a d c ,,⊂∀,()x f 在()d c ,上不取最小值，证明()x f 在[)b a ,上严格递增（陕师大）.证明：由()x f 在[)b a ,上连续，且无上界，知()x f 只能在b 的左邻域内无上界. 假设[)b a x x ,,21∈∃,且<1x 2x ,但有()()21x f x f ≥.由于()x f 在b 的左邻域内无上界.故b x x x <<∃323,.使()()23x f x f >.由于()x f 在[]31,x x 上连续,故有最小值()0x f 存在.又()312,x x x ∈且()()()()3212,x f x f x f x f <≤,故最小值点()310,x x x ∈.即()x f 在()[)b a x x ,,31⊂内取到最小值()0x f .矛盾.例16 设()x f 在[]1,0上非负连续,且()()010==f f ，则[]1,0∈∀l ,[]1,00∈∃x ,使得()()l x f x f +=00.（上海交大）证明：[]1,0∈∀l 作辅助函数()()()x f l x f x F -+=.则()x F 在[]l -1,0上连续,且()()()000≥-=f l f F ,()()().0111≤--=-l f f l F由F 的连续性，知[]l x -∈∃1,00,使得()00=x F ,即()()00x f l x f =+. 例17 设() 3,2,2=+++=n x x x x f n n ,证明：)1(方程()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x ,)2(数列{}n x 有极限存在，并求n n x ∞→lim .（北师大）证明：)1(2≥∀n ,令()()[)+∞∈-+++=-=-,0,111x x x x x f x F n n n ,则(),10-=F 当1≥x 时,有()0>x F .从而在[]1,0上至少有一个实根,又()()1121++-+='-- n n x n nx x F ,当0≥x 时,有()0>'x F ,即()x F 在[)+∞,0上严格递增.所以()x F 在[)+∞,0上有且仅有一个实根n x .即()1=x f n 在[)+∞,0上有唯一实根n x .)2(2≥∀n .由于n x 与1+n x 分别满足：n n n n x x x ++2=1, 1111211=+++++++++n n n n n n x x x x .若01>>+n n x x ,则1=1111+++++++n n nn n x x x >1111112>+=++++++++n n n n n n n n x x x x x ,矛盾，所以1+≤n n x x .即数列{}n x 单调递减且有下界0，所以数列{}n x 收敛，设()∞→→n l x n ,由()111=--=++nnn nnnn x x x x x ,在上式中令∞→n ,得()1101=--ee . 即,21-1=⇒=e e e . 例18 设函数()x f 在[)+∞,0上连续,在()∞+，0内可导,且()A x f x ='+∞→lim .证明：当 且仅当+∞<A 时，()x f 在()∞+，0上一致连续. 证明：)1(若()0lim ,>∃='+∞<+∞→M A x f A x ，故则由，当M x >时，有()M x f ≤'，所以当M x x >2,时，有()()()121212x x M x x f x f x f -≤-'=-ξ.即()x f 在[)+∞,M 上满足李普斯基条件，故)(x f 在[)∞+，M 上一致连续,又f 在[]M ，0上连续,故()x f 在上[]M ,0一致连续,所以()x f 在[)+∞,0上一致连续.)2(设()x f 在[)+∞,0上一致连续，假设+∞=A .则对0,0>∀>δε，由()+∞=='∞→A x f x lim ,知0>∃M ，当M x >时，有()δ1>'x f ,取21,121δ++=+=M x M x ，则δδ<=-221x x ,但有()()()21211212=⋅>-⋅'=-δδξx x f x f x f .这与)(x f 在[)+∞,0上一致连续矛盾.例19：设)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，且0))()((lim =-∞→x x f x ϕ,则)(x f 在),[+∞a 上一致连续.证明：由于)(x ϕ在),[+∞a 上一致连续，故0>∀ε，01>∃δ，当x x ''',∈),[+∞a ，且1δ<''-'x x 时，有εϕϕ<''-')()(x x .又0))()((lim=-+∞→x x f x ϕ,故0>∃M ,当M x >时,有εϕ<-)()(x x f .所以,当M x x >''',,且1δ<''-'x x 时，有εϕϕϕϕ3)()()()()()()()(<''-''+''-'+'-'<''-'x f x x x x x f x f x f .又)(x f 在]1,[+M a 上连续，故一致连续.对上述0>ε,02>∃δ，当]1,[,+∈'''M a x x 且2δ<''-'x x 时，有ε<''-')()(x f x f .取}21,,min{21δδδ=,则当],[,b a x x ∈'''且δ<''-'x x 时，总有ε<''-')()(x f x f .例20设函数()[)+∞,0在x f 上一致连续，且0>∀x 有()0lim =++∞→n x f n ,证明：()0lim =+∞→x f x .证明：由于()[)+∞,0在x f 上一致连续，故0,0>∃>∀δε,[)+∞∈∀,,21a x x ,当δ<-21x x 时,有()()ε<-21x f x f .取δ1>k ,将[]k 10，等分,记分点为k i kix i ...2,1,==,则每个小区间的长度均小于δ,对每个i x ,由于()0lim =++∞→n x f i n ,故i N ∃,i N n >时,有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取{}K N N N N ,...,m ax 21=，则当N n >时，有()k i n x f i ...2,1,=<+ε.取1+=N M ，当M x >时，则[]N N x n >+≥=1，[)1,0∈-n x .故{}k i ,...2,1∈∃，使得 ()()δ<+-=--i i x n x x n x ，故有, ()()ε<+-n x f x f i .从而有, ()()()()εεε2=+<+++-≤n x f n x f x f x f i i ， 所以()0lim =+∞→x f x .例21设函数()()+∞∞-,在x f 上一致连续，则存在正数B A ,,使得x ∀有()B x A x f +≤.证明：由于()x f 在R 上一致连续，故0,0>∃>∀δε，R x x ∈'''∀,且δ≤-'''x x 时，有 ()()ε<''-'x f x f .固定δε,，则Z n R x ∈∃∈∀,，0x n x +=δ，其中()δδ,0-∈x ，由于()(]δδ,-在x f 上连续，故有界，即0>∃M ，当()δδ,-∈x 时，有()M x f ≤. 又()()()()()()()()()0000211x n f x n f x n f x n f x f +--+-++--+=δδδδ()()()000...x f x f x f +-+++δ.故有, ()()()()()M n x f x k f x k f x f nk +⋅≤++--+≤∑=εδδ01001⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤+-=00x M x M x x δεδεδε ()εδε++≤M x . 取εδε+==M B A ,,则有()B x A x f R x +≤∈∀,. 练习题1． 用“δε-”定义证明()2sin x x f =在R 上连续，但不一致连续.2． 证明：xx y 1sin ⋅=在()+∞,0内一致连续.3． 设()y x f ,在[]b a ,上连续，定义()()[]{}b a y y x f x g ,|,m ax ∈=,证明()x g 在[]b a , 上连续.4.设函数()x f 在[]b a ,上单调，且值域充满区间()()[]b f a f ,或()()[]a f b f ,，则()x f 在[]b a ,上连续.5.设函数()x f 在[)+∞,a 上连续，且有斜渐近线b ax y +=，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续.6.设()x f 在(]b a ,可导，且()x f ax '+→lim 存在，证明)1(()x f ax +→lim 存在.)2(()x f 在(]b a ,上一致连续.7.证明：设()x f 在R 上一致连续，()t g 在区间I 上一致连续，则复合函数()()t g f 在区间I 上一致连续.8.设函数()x f 在[)+∞,1上可导，且()+∞=+∞→x f x lim ，证明()x f 在[)+∞,1上非一致连续.9.设()x f 在()+∞∞-,内连续，且()+∞∞-∈∀,,y x ，都有()()22y f x f y x f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则()R x x f ∈+=βαβα,,.10.设()x f 在()+∞∞-,上非负连续，()+∞∞-∈∀,,y x ,都有()()()y f x f y x f ⋅=+， 求()x f .11.设()x f 在()b a ,内连续，()x f 2在()b a ,内一致连续，证明()x f 在()b a ,内一致连续.12.设()x f 在区间I 上有定义，则()x f 在I 上一致连续，()0lim 0=⋅+→δωδf iff ,其中()()()x f x f x x fx x f ''-'=<''-'∈'''',sup χδω称为f 的连续模.13.设函数()x f 在()1,0上有定义，且函数()x f e x 和()x f e -在()1,0都单调不减，证明()x f 在()1,0连续.14.设()x f 为R 上的周期函数，其周期小于任意小的正数，证明若()x f 在R 上连续，则()x f 为常值函数.15.设I 为有限区间，()x f 在其上有定义，证明()x f 在I 上一致连续的充要条件是函数()x f 把柯西列映成柯西列. 16.若函数()x f 在[)+∞,1上一致连续，求证()xx f 在[)+∞,1上有界. 17.证明()x f 在R 上连续的充要条件是任何开集的原像是开集.21 18.设函数()x f 在R 上连续，且()()x f f =x ，证明：在R 内至少存在一点0x 使()00x x f =.19.设()x f 在R 上连续，()x g 在R 一致连续且有界，证明()()x g f 在R 上一致连续.20.设()x f 在R 上连续，且()()∞=∞→x f f x lim ，证明()∞=∞→x f x lim . 21.设函数()x f ，()x g 均在[]b a ,上连续，{}[]b a x n ,⊆且对N n ∈∀有()()1+=n n x f x g ，证明至少存在一点[]b a x ,0∈，使()()00x g x f =.22.设()x f 在[)+∞,0上具有二阶连续导数，且()()()0,00,00<''<'>x f f f ，[)()+∞∈,0x ,则()()⎥⎦⎤ ⎝⎛'-∈∃00,0f f ξ,使得()0=ξf .。
关于函数一致连续性证明的几个方法
关于函数一致连续性证明的几个方法函数的一致连续性是指在定义域上的任意两个点，只要它们之间的距离足够小，函数的值之间的差异也会足够小。
在数学分析中，有多种方法可以证明函数的一致连续性。
以下是一些常用的方法。
1.δ-ε方法：δ-ε方法是最常见的证明函数连续性的方法之一、它利用ε-δ定义函数的极限的概念来证明函数的一致连续性。
具体来说，我们需要证明对于给定的任意ε>0，存在对应的δ>0，使得对于任意任意x和y，只要，x-y，<δ，就有，f(x)-f(y)，<ε。
通过选择合适的δ，我们可以保证无论x和y之间的距离有多小，函数值之间的差异都不会超过ε。
2.介值定理：介值定理是一种基于连续函数的性质来证明一致连续性的方法。
根据介值定理，如果函数f：[a,b]->R在区间[a,b]上连续，并且f(a)≤y≤f(b)或者f(b)≤y≤f(a)，那么存在一个c∈(a,b)，使得f(c)=y。
利用这个定理，我们可以证明函数在给定区间上的一致连续性。
3.分割法：分割法是一种通过将函数的定义域划分成更小的区间，然后证明函数在每个区间上的一致连续性来证明整个函数的一致连续性的方法。
具体来说，我们可以将定义域[a,b]划分成n个子区间，然后证明函数在每个子区间上的一致连续性。
通过选择足够小的子区间，并确保相邻子区间之间的重叠部分足够小，我们可以得出整个定义域上的一致连续性。
4. Cauchy 判准：Cauchy 判准是一种基于数列收敛的概念来证明函数一致连续性的方法。
具体来说，对于给定的任意ε > 0，我们需要证明存在一个δ > 0，使得对于任意满足，x - y，< δ的x和y，函数值之间的差异，f(x) - f(y)，< ε。
为了证明这一点，我们可以利用 Cauchy 列的特性来构造数列，并利用数列的收敛性质来证明函数的一致连续性。
5.一致连续性的特性：除了上述方法外，我们还可以利用一些函数的特性来证明一致连续性。
实数连续性循环证明及相互证明
关于实数连续性的基本定理以上的定理表述如下：实数基本定理：对R 的每一个分划A|B ，都∃唯一的实数r ，使它大于或等于下类A 中的每一个实数，小于或等于上类B 中的每一个实数。
确界定理:在实数系R 内,非空的有上(下)界的数集必有上(下)确界存在。
单调有界原理:若数列}{n x 单调上升有上界，则}{n x 必有极限。
区间套定理:设｛,[n a ]n b ｝是一个区间套,则必存在唯一的实数r,使得r 包含在所有的区间里,即∞=∈1],[n n n b a r 。
有限覆盖定理:实数闭区间[a,b]的任一覆盖E,必存在有限的子覆盖。
紧致性定理：有界数列必有收敛子数列。
柯西收敛定理：在实数系中，数列}{n x 有极限存在的充分必要条件是：εε<->>∃>∀||,,,0m n x x ，N m N n N 有时当。
这些定理虽然出发的角度不同，但描写的都是实数连续性这同一件事，它们之间是相互等价的，即任取其中两个定理，它们可以相互证明。
那么，它们在证明过程中有哪些联系？作为工具，它们又各具有什么特点？以下先给出它们的等价证明。
（二）实数基本定理的等价证明一．用实数基本定理证明其它定理1．实数基本定理→单调有界定理证明：设数列}{n x 单调上升有上界。
令B 是数列}{n x 全体上界组成的集合，即B={b|n b x n ∀≤,}, 而A=R ﹨B ，则A|B 是实数的一个分划。
事实上，由单调上升}{n x ，故1x -1∈A ，即A 不空，由A=R ﹨B ，知A 、B 不漏。
又对任给a ∈A ，b ∈B ，则存在0n ，使a <0n x ≤b ，即A 、B 不乱。
故A|B 是实数的一个分划。
根据实数基本定理，A ，a R r ∈∀∈∃使得对,b r a B ，b ≤≤∈有。
下证∞→n limn x =r 。
事实上，对n N n n x x r ，N n ，x ，x r N ，A ，r ≤-∴-∃∈->∀ εεεε有时当单调上升又使知由于}{,0。