上海市七宝中学2017届高三10月月考数学试题

七宝中学高三月考数学卷

一. 填空题

1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是

2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是

3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A =

4. 二项式9

2

1()x x -

的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ?=+(||)2π?<的图像关于点4(,0)3

π

中心对称，则?=

6. 若12

2

log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是

7. 已知0x >，0y >，

1211x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB u u u r 与AC u u u r 的夹角为120o

，且||2AB =u u u r ，||3AC =u u u r ，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ， 且AP BC ⊥u u u r u u u r

，则实数λ的值为

9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红 包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有 种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于 直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的 最小值，则实数t =

11. 右侧程序框图的运行结果：S =

12. 已知函数1

,0

()42,0

x

x x x f x x --?+>?=?-≤??，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实

数a 的取值范围是

13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3

1819992017(1)2016(5)sin()3

a a π

-+-=-

， 31999182017(5)2016(1)cos()6

a a π

-+-=-

，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于

二. 选择题

15. 无穷等比数列{}n a *

()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1

lim 2

n n S →∞

=

的 只可能是（ ） A.

12 B. 12- C. 14 D. 14

- 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函 数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要 17. 对于平面向量x r 和给定的向量a r ，记()2()f x x x a a =-?r r r r r ，若()()f x f y x y ?=?r r r r

对 任意向量,x y r r 恒成立，则a r

的坐标可能是（ ） A. 51(

,)22- B. 22(,)44 C. 31

(,)44

D. 13(,)22- 18. 函数()sin(2)f x A x θ=+(0,||)2

A π

θ>≤

部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，

对不同的12,[,]x x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ） A. )(x f 在5(,)1212ππ

-

上是减函数 B. )(x f 在5(,)1212ππ

-上是增函数

C. )(x f 在5(,)36ππ

上是减函数

D. )(x f 在5(,)36

ππ

上是增函数

三. 解答题

19. 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =--； （1）解不等式|()|5g x <；

（2）若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围；

20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元）， 若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且

()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000

()511450C x x x

=+

-，每千件商 品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完； （1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点， △11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点；

（1）若DE ∥平面11A MC ，求CE

EB

； （2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积；

22. 已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(1)n

n S a a n n

=+-； （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若3(1)n n

n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；

（3）若1

2

a =

，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使

得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；

23. 已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数； （1）若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；

（2）若1a ≤-，[1,0]D =-，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； （3）若0a >，在[0,]a 上存在n 个点i x (1,2,,.3)i n n =≥L ，满足10x =，n x a =，

12n x x x <<

求实数a 的取值范围；

七宝中学2016第一学期高三10月考试数学试卷

考试时间：120分钟 满分：150分

一、填空题(每题4分，共56分)： 1. 已知函数()f x 的定义域是[1 2]-，，则()()y f x f x =+-的定义域是 [1 1]-，. 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 (7 0)-，

3. 在锐角中ABC ?，角 A B 、所对的边长分别为 a b 、. 若2sin a B b =，则A = 6

π

. 4. 二项式9

2

1()x x -

的展开式中常数项为 (结果用数值表示)84-． 5. 若函数cos(2)(||)2y x π

??=+<

的图像关于点4(

0)3π，中心对称，则?= 6

π-.

6. 若2

12

log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是

4a >.

7. 已知0 0x y >>，，

1211x y +=+，则x y +的最小值为

8. 已知向量与AC uuu r 的夹角为120o

，且||2 ||3AB AC ==u u u r u u u r ，

，若AP AB AC λ=+u u u r u u u r u u u r ，且AP BC ⊥u u u r u u u r ，则实数λ的值为 127

9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相 同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙 两人都抢到红包的情况有 种22

142443

34

34

72P P C P C P ===. 10. 设函数()min{|| ||}f x x x t =+，的图像关于直线3x =-对 称，其中min{ }a b ，表示 a b 、中的最小值. 则实数t = 6. 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 1320.

12. 已知函数10

()420x

x x x f x x --?+>=?-≤?

，，，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 23a <≤.

13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3

1819992017(1)2016(5)sin()3

a a π-+-=-，

31999182017(5)2016(1)cos()6

a a π

-+-=-，则2016S = 6048.

14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 52

π

. 二、选择题(每题5分，共20分)：

15. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2

n n S →∞

=

的只可能是 ( C )

A ．

12 B ．12- C ．14 D ．14

-. 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的 ( D )

A.充分非必要条

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

17. 对于平面向量x r 和给定的向量a r ，记()2()f x x x a a =-?r r r r r

．若()()f x f y x y ?=?r r r r 对

任意向量 x y r r 、恒成立，则a r 的坐标可能是 ( D )

A ．51(

)2-， B ．22( )， C ．31( )44

， D ．13( )2-， 18. 函数()sin(2)(0 ||)2

f x A x A π

θθ=+>≤

，部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，

对不同的12 [ ]x x a b ∈，

，，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则 ( B ) A.)(x f 在5( )1212ππ-，上是减函数 B.)(x f 在5( )1212ππ

-，上是增函数 C.)(x f 在5( )36ππ，上是减函数 D.)(x f 在5( )36

ππ

，上是增函数

三、解答题：

19. (12分)已知函数322)(++-=x a x x f ，()12g x x =--. (1)解不等式()5g x <；

(2)若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围. 解：(1)由|()|||1|2|5g x x =--<得3|1|7x -<-<，∴|1|7x -<，解得68x -<<． 所以原不等式的解集为{|68}x x -<<；

(2)∵{|()}y y y f x ∈=是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件， 所以{|()}{||()|}y y f x y y g x =?=，

又()223232f x x a x a =-++-≥+-，()||1|2|0g x x =--≥ 所以32a +≥，解得：1a ≥-或5a ≤-.

20. (14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本

()C x (万元)，若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时

()0C x <的解集为(30 0)-，，且()C x 的最小值是75-. 若年产量

不小于80千件，10000

()511450C x x x

=+-. 每千件商品售价 为50万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.

(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

解：(1)依题意，当080x <<(千件)时，设2

()(30)C x a x x =+，则22575a -=-

O

b

a x

A y 2

解得13a =

，即21()(30)3C x x x =+，此时21()50[250()]402503

L x x C x x x =-+=-+- 当80x ≥(千件)时，10000

()50[250()]1200()L x x C x x x

=-+=-+

∴2

140250 0803()10000

1200() 80

x x x L x x x x ?-+-<

，

，

(2)当080x <<(千件)时，2

1()(60)9503

L x x =--+，此时，max ()(60)950L x L ==；

当80x ≥(千件)时，10000

()1200()1000L x x x

=-+≤(当且仅当100x =时等号成立)

此时，max ()(100)1000L x L ==，

综上所述，当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为1000万元. 21. (14分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的

中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．

(1)若DE ∥平面11A MC ，求

CE

EB

； (2)平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分， 求含有点A 的那部分体积．

解：取BC 中点为N ，连结1 MN C N ，

， ∵,M N 分别为,AB CB 中点

∴MN ∥AC ∥11A C ，∴11,,,A M N C 四点共面，

且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =

又DE ü平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ，∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点，∴

13

CE EB =． (2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC

，

又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A

∵122AB AA ==，又11A MC ?是等腰三角形，所以111A M AC ==

如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：

1111111111111232232212

V AM AA AC CF CC NF =

???-????=??????=

M

E

D

C 1

B 1

A

A 1

B

C

N

F

22. (16分)已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)n

n S a a a n n

==+-，. (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)若3(1)n n

n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；

(3)若1

2

a =

，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数 p q 、，使得

k p q c c c =？若存在，求出 p q 、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由.

解：(1)11(1)(1)n

n n n S a a a n na S a n n n

==

+-?=+-， {

1111(1)22(1)(1)

n n n n n n n n na S a n n

na na an a a a n a S an n ++++=+-?-=?-=+=++

∴{}n a 是以11a =为首项，2d a =为公差的等差数列，∴12(1)n a a n =+-

(2)11113(1)3(1)n n n n n n n n b b a a ++++

a n -+-<

若n 为奇数，则31

(1 3 5 )21

n a n n +>-

=-L ，，，恒成立， 考察31

()21

n f n n +=--，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-

+=<+-+- 即(1)(3)(5)f f f >>>L ，∴(1)4a f >=-；

若n 为偶数，则31

(2 4 6 )21

n a n n -<

=-L ，，，恒成立， 考察31

()21

n g n n -=-，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n g n g n n n n n +---++-=

+=>+-+- 即(2)(4)(6)g g g <<

43

a -<<；

(3)由(1)2016

n n n a n c n ==+，.假设对任意*

k N ∈，总存在正整数 p q 、，

使k p q c c c =， 则(2016)

201620162016k p q k q p k p q q k

+=??=+++-

令1q k =+，则(2017)p k k =+(或2q k =，则22016p k =+；…) ∴(2017)1k k k k c c c ++=(或220162k k k c c c +=；…)

23. (18分)已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数.

M B 1

A 1

B

(1)若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值； (2)若1 [10]a D ≤-=-，，，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值；

(3)若0a >，在[0,]a 上存在n 个点(1,2,,.3)i x i n n =≥L ，满足10x =，n x a =，

12n x x x <<

解：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立， ∴||||x x a x x a -=+，即0ax =对任意x ∈R 恒成立，∴0a =；

(2)2

22

2

() 24()||()24

a a x x a f x x x a a a x x a ?--≥?=-=??--+

，， ∵1a ≤-，∴[1 0][ )a -?+∞，，，∴2

2()()24

a a f x x =--，[1 0]x ∈-，

①当21a -≤≤-时，1122a -≤≤-，()f x 在[1 ]2a -，上递减，在[ 0]2

a

，递增，

2min [()]4a f x =- ②当2a <-时，12

a

<-，()f x 在[1 0]-，上单调递增，min [()](1)1f x f a =-=+

综上所述，2

21()41 2a a g a a a ??--≤≤-=??+<-?，，

， 若21a -≤≤-，则1

1()4g a -≤≤-；若2a <-，则()1g a <-

∴当1a =-时，max 1

[()]4g a =-

(3)∵0a >，且()f x 在[0 ]2a ，上单调递增，在[ ]2

a

a ，上单调递减，

∴max min ()()()(0)2

a

f x f f x f ==，

而12231max min |()()||()()||()()|2[()()]n n f x f x f x f x f x f x f x f x --+-++-≤-L 要使满足条件的点存在，必须且只需2[()(0)]82

a

f f -≥，即282a ≥，解得4a ≥为所求.