一元一次不等式知识点及典型例题(精)
解不等式②，得 ．
原不等式组的解集是 ．
则原不等式组的整数解是 ．
所有整数解的和是：
不等式复习1
一：知识点回顾
1、一元一次不等式（组）的定义：
2、一元一次不等式（组）的解集、解法：
3、求不等式组的解集的方法 ： 若a＜b，
当 时，x＞b；（同大取大） 当 时，x＜a；（同小取小）
３）求不等式的非负整数解。
４）设不等式２ｘ－ａ≤０只有３个正整数解，求正整数
题型二：不等式与方程的综和题
例关于Ｘ的不等式２ｘ－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
不等式组{ 的解集是ｘ＞２，则ｍ的取值范围是？
若关于Ｘ、Ｙ的二元一次方程组{的解是正整数，求整数Ｐ的值。
已知关于ｘ的不等式组{的解集为３≤ｘ＜５，求 的值。
当 时， ，
当 ， 随 的增大而减小，
当 时， ， 即 的最大值为7．
故 ．
解不等式组 并把解集表示在下面的数轴上.
解： 的解集是：
的解集是：
所以原集表示如图…………………………………………………………………（5分）
解不等式组
解：
由不等式（1）得： <5
考点三、一元一次不等式
1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组 （8分）
1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
已知关于x的方程ｘ－ 的解是非负数，ｍ是正整数，求ｍ的值。
例 x取什么值时，代数式 的值不小于 的值，并求出X的最小值。
例 ｘ取哪些非负整数时， 的值不小于 与１的差。
若方程组{ 的解中x>y，求K的范围。
若{ 的解集为＞３，求ａ的取值范围。
如果{ 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型七 解不定方程
6.已知关于 的不等式组 的整数解共有3个，则 的取值范围是 ．
答案：
9.不等式组 的解集是 ． 答案：
10．直线 与直线 在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于 的不等式 的解集为 ．
答案： <-1
13.已知不等式组 的解集为－1＜x＜2，则(m＋n)2008＝__________．答案：1
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
一. 解下列不等式,并在数轴上表示出它们的解集.
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11. 12.
13. 14.
15. 16.
17. 18.
19. 20.
题型一：求不等式的特殊解
１）求x+3＜6的所有正整数解
２）求10-4（x-3）≥2（x-1）的非负整数解，并在数轴上表示出来。
5、如果一元一次方程 的解是正数，那么 的取值范围是________．
6、如图，直线 经过点 和点 ，直线 过点A，则不等式 的解集为（）
A． B． C． D．
7、不等式组 的解集为x＜2，试求k的取值范围______
8、由x＞y得ax≤ay的条件是（）
A.a＞0 B.a＜0 C.a≥0 D.a≤0
已知{ 无解，求ａ的取值范围。
题型九不等式组解的分类讨论
例 解关于ｘ的不等式组{
8、常见题型
一、选择题
在平面直角坐标系中，若点P(m－3，m＋1)在第二象限，则m的取值范围为( )
A．－1＜m＜3 B．m＞3C．m＜－１ D．m＞－１答案：A
已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D． 答案：D
四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为P、Q、R、S，如图3所示， 则他们的体重大小关系是（ D ）
A、 B、 C、 D、
把不等式组 的解集表示在数轴上正确的是（ ）
答案：C
不等式 的解集是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：C
若不等式组 有实数解，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D． 答案：A
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
答案：A
不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
答案：A
在数轴上表示不等式组 的解集，正确的是（ ）
答案：A
二、填空题
已知3x+4≤6+2(x-2),则 的最小值等于________. 答案：1
如图，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为 ．
答案：
不等式组 的解集为 ． 答案：
不等式组 的整数解的个数为 ． 答案：4
5若方程组 的解 、 的值都不大于1，求 的取值范围。
6、不等式组的整数解共有5个，则a的取值范围是
7、用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若每辆车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？
8、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载30人和20件行李。
题型三确定方程或不等式中的字母取值范围
例ｋ为何值时方程５ｘ－６＝３（ｘ＋ｋ）的值是非正数
已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围
已知在不等式３ｘ－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。
若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
已知可供建造沼气池的占地面积不超过365m2，该村农户共有492户．
(1)满足条件的方案共有几种?写出解答过程．
(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱．
型号
占地面积
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明： 在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
解：解不等式得 ，则整数解x=-2代入方程得a=4。
解方程 。由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3
A．a＞c＞bB．b＞a＞c C．a＞b＞cD．c＞a＞b
答案：C
不等式组 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
答案：C
把不等式组 的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（ ）
A． B． C． D．
答案：B
用 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么 这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）
9、由a＞b得am2＞bm2的条件是（）
A.m＞0 B.m＜0 C.m≠0 D.m是任意有理数
三：例题讲解
1、已知关于x的不等式2x+m>-5的解集如图所示，则m的值为（）
A, 1 B, 0 C, -1 D, 3
2、不等式2x+1<a有3个正整数解，则a的取值范围是？
3、关于x的不等式组 的整数解共有3个，则a的取值范围是多少？
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的方案
（2）如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。
9、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题．两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程 的解为
（2）解不等式 ≥9；
（3）若 ≤a对任意的x都成立，求a的取值范围
解：（1）1或 ． （2） 和 的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与 的两侧．
当 在3的右边时，如图（2）， 易知 ．
当 在 的左边时，如图（2），
易知 ． 原不等式的解为 或
（3）原问题转化为： 大于或等于 最大值．
答案：B
不等式组 ，的解集是（ ）
A． B． C． D．无解 答案：C
不等式组 的解集在数轴上可表示为（ ）
A B C D
答案：D
实数 在数轴上对应的点如图所示，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）
一元一次不等式
初中数学不等式知识点大全
一元一次不等式知识点1.不等式不等式的概念：用不等号),,,,(≠≤<≥>表示不等关系的式子叫做不等式。
常用的表示不等关系的语言及符号：（1）大于、比……大、超过：>； （2）小于、比……小、低于：<；（3）不大于、不超过、至多：≥； （4）不小于、不低于、至少：≤；（5）正数：0>； （6）负数：0<；（7）非负数：0≥；（8）非正数：0≤【例1】下列式子中：① 21>-；② 13-≥x ；③ 3-x ；④ vt s =；⑤ y x 243<- ⑥ 2253+=-x x ；⑦ 022≥+a ；⑧ 222c b a ≠+.是不等式的有_________________.【例2】下列语句不能用不等式表示的是（ ）A. 1+m 是负数B. 2a 是正数C.n m +等于xD. 1-m 是非负数【练习1】下列式子：①05>；②043>+b a ；③2=x ；④1-x ；⑤53≠+x ；⑥732≤+a ；⑦812≥+x ，其中，不等式有______________.【练习2】符号“≥”的含义是“大于或等于”，即“不小于”；符号“≤”的含义是“小于或等于”，即“不大于”．请用文字语言翻译下列不等式：（1）02≥x ：____________.（2）0≤-x ：_____________.知识点2.不等式的基本性质不等式性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 即如果b a >，那么c b c a c b c a ->-+>+,不等式的性质2 不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即 如果0,>>c b a ，那么cb c a bc ac >>,.不等式的性质3 不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即 如果0,<>c b a ，那么cb c a bc ac <<,. 不等式的性质4 如果b a >，那么a b <.不等式的性质5 如果c b b a >>,，那么c a >.【例1】由13+<-b a ，可得到的结论（ ）A. b a <B. 13-<+b aC. 31+<-b aD. 31-<+b a【例2】如果b a >，那么下列变形错误的是（ ）A. b a 33->-B. b b a 2>+C.b a 2222-<-D.b a +->+-11【例3】下列判断中，正确的是（ ）A. 若b a <，则c b c a <B. 若b a <，则22bm am <C. 若22bm am <，则b a <D. 若b a <，则22b a <【例4】 若0<<b a ，则下列式子：① 21+<+b a ；② 1>ba ；③ ab b a <+；④ba 11<. 其中正确的有_______________. 【例5】已知关于x 的不等式()21>-x a 可化为ax -<12，试化简：21++-a a .【练习1】若b a >，则下列不等式成立的是（ ）A ． b a 22-<-B ．b m a m 22<C ．21-<-b aD ．21+<+b a 【练习2】已知y x >，则下列不等式不成立的是（ ）A ．66->-y xB ．y x 33>C ．y x 22-<-D ．6363+->+-y x【练习3】下列叙述正确的是（ ）A ．若b a =，则b a =B ．若b a >，则b a >C ．若b a <，则b a <D ．若b a =，则b a ±= 【练习4】有理数n m ,在数轴上的位置如图示，则下列关系式中正确的个数（ ）0<+n m ；0>-m n ；n m 11>；02>-n m ；0>--m n A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【练习5】如果0>+b a ，且0>b ，那么b a b a --,,,的大小关系为（ ）A ．b a b a -<-<<B ．b a a b <-<<-C ．b a b a <-<-<D ．a b b a -<<-<知识点3.不等式的解集1.使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解。
一元一次不等式经典例题+习题
可编写可改正【经典例题1】1、已知 a＜ b，则以下不等式中不正确的选项是（）＜4b+4 ＜ b+4 C. ﹣ 4a＜﹣ 4b﹣4＜b﹣ 42、不等式3x＋ 2＜ 2x＋ 3 的解集在数轴上表示正确的选项是()3、实数 a，b，c 在数轴上对应的点以以下列图所示，则以下式子中正确的选项是()> bc B.|a–b| = a–b C. – a < – b < c D. – a–c > – b–c【经典例题2】4、若是不等式组恰有3个整数解，则 a 的取值范围是（）≤﹣ 1＜﹣1 C. ﹣ 2≤ a＜﹣ 1 D. ﹣ 2＜ a≤﹣ 15、对于 x 的不等式组有四个整数解，则 a 的取值范围是（）A. ﹣＜a≤﹣B. ﹣≤ a＜﹣C. ﹣≤ a≤﹣D. ﹣＜a＜﹣6、若对于的不等式组有三个负整数解，则的取值范围是（）.<a<-3<a ≤-2≤ a<-3≤ a≤ -2【经典例题3】7、某商品的进价为800 元 , 销售标价为1200 元, 后出处于该商品积压, 商铺准备打折销售,要保证收益率不低于5％ , 该商品最多可打( )A.9 折折 C.7 折 D.6 折可编写可改正8、在抗震救灾中，某抢险地段需实行爆破. 操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400 米以外的安全地区.已知导火线的焚烧速度是厘米/ 秒，操作人员跑步的速度是 5 米 / 秒 . 为了保证操作人员的安全，导火线的长度要高出（）厘米厘米厘米厘米9、某大型商场从生产基地购进一批水果，运输过程中质量损失10%，假定不计商场其他费用，若是商场要想最少获得20%的收益，那么这种水果的售价在进价的基础上应最少提高（）%%【经典例题4】10、不等式﹣ 3x﹣ 1＜ 7 的负整数解是_________.11、某种商品的进价为15 元，销售时标价是元。
由于市场不景气销售情况不好，商铺准备降价办理，但要保证收益率不低于10%，那么该店最多降价____________元销售该商品。
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解
一元一次不等式组的知识点及其经典习题讲解知识点一：一元一次不等式组由含有同一未知数的几个一元一次不等式组合在一起，叫做一元一次不等式组。
如：，。
要点诠释：在理解一元一次不等式组的定义时，应注意两点：(1)不等式组里不等式的个数并未规定，只要不是一个，两个、三个、四个等都行；(2)在同一不等式组中的未知数必须是同一个，不能在这个不等式中是这个未知数，而在另一个不等式中是另一个未知数。
知识点二：一元一次不等式组的解集组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解集.(1)求几个一元一次不等式的解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的，公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分。
(2)用数轴表示由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，一般可分为以下四种情况：知识点三：一元一次不等式组的解法求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
解一元一次不等式组的一般步骤为：(1)分别解不等式组中的每一个不等式；(2)将每一个不等式的解集在数轴上表示出来，找出它们的公共部分；(3)根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集(若没有公共部分，说明这个不等式组无解).要点诠释：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
知识点四：利用不等式或不等式组解决实际问题列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式或不等式组；（5）解：解出所列的不等式或不等式组的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案。
要点诠释：在以上步骤中，审题是基础，是根据不等关系列出不等式的关键，而根据题意找出不等关系又是解题的难点，特别要注意结合实际意义对一元一次不等式或不等式组的解进行合理取舍，这是初学者易错的地方。
专题10 一元一次不等式(组)(含解析)
专题10 一元一次不等式（组）一、解读考点二、考点归纳归纳 1：有关概念基础知识归纳：1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3、用数轴表示不等式的方法4、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式．5、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集．求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．基本方法归纳：判断不等式（组）时只需看未知数的个数及未知数的次数为1即可；不等式的解只需带入不等式是否成立即可；不等式（组）的解集是所有解得集合．注意问题归纳：不等式组的解集是所有解得公共部分．【例1】如图，身高为xcm的1号同学与身高为ycm的2号同学站在一起时，如果用一个不等式来表示他们的身高关系，则这个式子可以表示成x y（用“＞”或“＜”填空）．【答案】＜．考点：不等式的定义．归纳 2：不等式基本性质基础知识归纳：1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变．2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．基本方法归纳：观察不等式的变化再选择应用那个性质．注意问题归纳：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．【例2】若x>y，则下列式子中错误．．的是（）A、x－3>y－3B、x y>33C、x+3>y+3D、－3x>－3y【答案】D．考点：不等式基本性质。
(完整)一元一次不等式与一元一次不等式组知识点和训练,推荐文档.docx
一元一次不等式与一元一次不等式组知识点和训练本章知识点：1、不等式： 用 或 号表示大小关系的式子叫做不等式。
2、不等式的解： 把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
3、解集： 使不等式成立的 x 的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。
4、一元一次不等式： 含有一个未知数， 未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
5、不等式的性质：（ 1）基本性质 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。
（用 字母表示：若 a b ，则 a c b c ；若 a b ，则 a c b c ）（ 2）基本性质 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
（用字母表示： 若 ab,c 0 ，则 ac bc ，或ab；若 a b, c 0 ，则 ac bc ，或ab ）cccc（ 3）基本性质 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（用字母表示： 若 ab,c 0 ，则 ac bc ，或ab；若 a b, c0 ，则 ac bc ，或ab ）c ccc6、一元一次不等式的解法： 与一元一次方程的解法类似。
一般步骤如下：（ 1）去分母（注意每一项都要乘以各分母的最小公倍数，不要漏乘 ; 如分子是多项式的， 去掉分母要加括号）（ 2）去括号（括号前是负号，去掉括号时里面的每一项都要变号） （ 3）移项（移项要变号） （ 4）合并同类项（ 5）未知数的系数化为 1（当两边同时乘以（或除以）一个负数时，要改变不等号的方向）7、元一次不等式组： 把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。
8．一元一次不等式组的解法：（ 1）分别求出每个不等式的解集。
（ 2）确定各个解集的公共部分。
（在同一条数轴上表示出各个解集， 再由图形直观得出不等式组的解集）（3）．如果 a x a xx a 无解（或空集）；x a b ，则的解集为 a ；的解集为 x 的x b x bb解集为 b xx a b 。
(完整版)一元一次不等式知识点汇总
一元一次不等式知识点汇总【知识点一】不等式的有关概念1、不等式定义：用符号“<”、“≤”、“>"、“≥”、“≠"连接而成的数学式子,叫做不等式.这5个用来连接的符号统称不等号。
2、列不等式：步骤如下（1）根据所给条件中的关系确定不等式两边的代数式；（2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义；(3）选择与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。
3、用数轴表示不等式（1）x a <表示小于a 的全体实数，在数轴上表示a 左边的所有点，不包括a 在内。
(2）x a ≥表示大于或等于a 的全体实数，在数轴上表示a 右边的所有点，包括a 在内.(3)()b x a b a <<<表示大于b 而小于a 的全体实数。
b【知识点二】不等式的基本性质1、不等式的基本性质（1)基本性质1：若a b <，b c <,则a c <。
(不等式的传递性）（2）基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立。
①若a b >，则a c b c +>+，a c b c ->-；②若a b <,则a c b c +<+，a c b c -<-。
(3）基本性质3：①不等式的两边都乘(或都除以）同一个正数,所得的不等式仍成立;若a b >，且0c >，则ac bc >,a bc c>.②不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须把不等号的方向改变,所得的不等式成立。
若a b >，且0c <,则ac bc <,a bc c<。
2、比较等式与不等式的基本性质【知识点三】一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次。
一元一次不等式知识归纳及例题
一元一次不等式知识点及例题1.用不等号＞、＜表示不等关系的式子，叫不等式。
如120＞135 ，x ＜30 ,120＜5x例题：用不等式表示下列数量关系。
（1）a 的一半与－3的和小于或等于1。
解：x 的5倍加16：5x ＋16其关系不大于：练习用不等式表示：x 的2倍与1的和大于－1为__________，y 的与t 的差的一半是负数为_________2.能使不等式成立的未知数的值，叫不等式的解。
例题：下列各数中，哪些是不等式x+2＞5的解？那些不是？-3，-2，-1,0,1.5，2.5，3，3.5,5,73.一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集。
例题：两个不等式的解集分别为x ＜2和x ≦2，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？练习：两个不等式的解集分别为x ≦1和x>1，他们有什么不同？在数组上怎么表示他们的区别？4.不等式的性质。
如果(1)a ＞b ，那么a+c ＞b+c,a-c ＞b-c.(2).如果a ＞b,并且c ＞0,那么ac ＞bc. (3).如果a ＞c ，并且c ＜0,那么ac ＜bc.例题： 指出下列各题中不等式的变形依据练习： 把下列不等式变成x>a x<a 的形式。
（）的与的差的相反数不小于。
2a 3525-（）的相反数的不大于的倍加。
317516x x （）的一半：112a a 与－的和：3123a +-()小于或等于：11231a +-≤()故：1231a +-≤()（）的与的差：2352352a a -相反数：－()352a -不小于－：53525--≥-()a 故：---≥-()3525a （）的相反数的：31717x x --≤+17516x x 故：-≤+17516x x5不等号的两边都是整数，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式。
例题判断下列属于一元一次不等式的是（）10>8 2x+1>3y+2 121)1(2->+y y x 2 +3>5 判断下列哪些是一元一次方程，哪些是一元一次不等式x+1＜6 x+8=2 x 30 x ≥90 x+1＜6 x+2 x ≦3 13 x+1=6 6一元一次方程的解法解一元一次方程有哪些步骤⑴去分母——方程两边同乘以各分母的最小公倍数．⑵去括号——应用分配律、去括号法则，⑶移项—一般把含未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。
10一元一次不等式组(基础) 知识讲解及其练习 含答案
一元一次不等式组（基础）知识讲解【学习目标】1.理解不等式组的概念；2.会解一元一次不等式组，并会利用数轴正确表示出解集；3.会利用不等式组解决较为复杂的实际问题，感受不等式组在实际生活中的作用．【要点梳理】要点一、不等式组的概念定义：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组．如2562010xx->⎧⎨-<⎩，7021163159xxx->⎧⎪+>⎨⎪+<⎩等都是一元一次不等式组．要点诠释：(1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上．(2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数．要点二、解一元一次不等式组1. 一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中几个不等式的解集的公共部分叫做这个一元一次不等式组的解集．要点诠释：(1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分．(2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况．2.一元一次不等式组的解法解一元一次不等式组的方法步骤：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集．（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集．要点三、一元一次不等式组的应用列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答．要点诠释：(1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系．(2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取非负整数．【典型例题】类型一、不等式组的概念1．某小区前坪有一块空地，现想建成一块面积大于48平方米，周长小于34米的矩形绿化草地，已知一边长为8米，设其邻边为x，请你根据题意写出x必须满足的不等式．【思路点拨】由题意知，x必须满足两个条件①面积大于48平方米．②周长小于34米．故必须构建不等式组来体现其不等关系．【答案与解析】解：依题意得：8482(8)34.x x >⎧⎨+<⎩【总结升华】建立不等式组的条件是：当感知所求的量同时满足几个不等关系时，要建立不等式组，建立不等式组的意义与建立方程组的意义类似．举一反三：【变式】直接写出解集：(1)2,3x x >⎧⎨>-⎩的解集是______； (2)2,3x x <⎧⎨<-⎩的解集是______； (3)2,3x x <⎧⎨>-⎩的解集是_______；(4)2,3x x >⎧⎨<-⎩的解集是_______． 【答案】（1）2x >；（2）3x <-；（3）32x -<<；（4）空集．类型二、解一元一次不等式组2.（•莆田）解不等式组：． 【思路点拨】解不等式组时，要先分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后画数轴，找它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集．【答案与解析】 解：解：．由①得x ≤1；由②得x ＜4；所以原不等式组的解集为：x ≤1．【总结升华】确定一元一次不等式组解集的常用方法有两种：(1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集；如果没有公共部分，则这个不等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握．(2)口诀法：为了便于快速找出不等式组的解集，结合数轴将其总结为朗朗上口的四句口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找，大大小小无解了．【变式】解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：，∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞﹣2，∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤1．在数轴上表示不等式组的解集为：类型三、一元一次不等式组的应用3. “六·一”儿童节，学校组织部分少先队员去植树．学校领到一批树苗，若每人植4棵树，还剩37棵；若每人植6棵树，则最后一人有树植，但不足3棵，这批树苗共有多少棵．【思路点拨】设有x 名学生，则由第一种植树法，知道一共有(4x +37)棵树；第二种植树法中，前（x-1）名学生中共植6（x-1）棵树；最后一名学生植树的数量是：[(4x +37)- 6（x-1）]棵，这样，我们就探求到第一个不等量关系：最后一人有树植，说明第二种植树法中前（x-1）名学生植树的数量要比树木总数少，即(4x +37)＞6（x-1）；第二种植树法中，最后一名学生植树的数量不到3棵，也就是说[(4x +37)- 6（x-1）]＜3，或者理解为：[(3x +8)- 5（x-1）]≤2，这样，我们就又找到了第二个不等量关系式.到此，不等式组即建立起来了，接下来就是解不等式组．【答案与解析】解：设有x 名学生，根据题意，得：4376114376132x x x x +>-⎧⎨+--<⎩（）（）（）（）（）， 不等式(1)的解集是：x ＜2121； 不等式（2）的解集是：x ＞20， 所以，不等式组的解集是：20＜x ＜2121， 因为x 是整数，所以，x=21，4×21+37=121（棵）答：这批树苗共有121棵.【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】一件商品的成本价是30元，若按原价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按原价的九折销售，可获得不足20%的利润，此商品原价在什么范围内？解：设这件商品原价为x 元，根据题意可得：88%303010%90%303020%x x ≥+⨯⎧⎨<+⨯⎩ 解得：37.540x ≤<答：此商品的原价在37.5元（包括37.5元）至40元范围内．4. “全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书．经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案．【思路点拨】（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元，根据题意列出方程组解答即可；（2）根据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组，解答即可．【答案与解析】解：（1）设每本文学名著x 元，动漫书y 元， 可得：， 解得：，答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元；（2）设学校要求购买文学名著x 本，动漫书为（x+20）本，根据题意可得：， 解得：，因为取整数，所以x 取26，27，28；方案一：文学名著26本，动漫书46本；方案二：文学名著27本，动漫书47本；方案三：文学名著28本，动漫书48本．【总结升华】此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．举一反三：【变式】A 地果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆，将这批水果全部运往B 地. 已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝香蕉各2吨．（1）若要安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，那么选择哪种方案使运费最少？运费最少是多少？【答案】解：（1）设租甲种货车x 辆，则租乙种货车（10x -）辆，依题意得：42(10)302(10)13x x xx +-≥⎧⎨+-≥⎩，解得57x ≤≤，又x 为整数，所以5x =或6或7，∴有三种方案：方案1：租甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案2：租甲种货车6辆，乙种货车4辆；方案3：租甲种货车7辆，乙种货车3辆．（2）运输费用：方案1：2000×5＋1300×5＝16500（元）；方案2：2000×6＋1300×4＝17200（元）；方案3：2000×7＋1300×3＝17900（元）．∴方案1运费最少，应选方案1．一元一次不等式组（基础）巩固练习【巩固练习】一、选择题1．下列选项中是一元一次不等式组的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为 （ ）．3．（•来宾）已知不等式组的解集是x≥1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＜1 B ．a ≤1C ．a ≥1D ．a ＞1 4．不等式32015x -<≤的整数解有（ ）． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个5．现用甲、乙两种运输车将46t 抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5t ，乙种运输车载重4t ，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排（ ）．A ．4辆B ．5辆C ．6辆D ．7辆6．如果|x+1|＝1+x ，|3x+2|＝-3x-2，那么x 的取值范围是（ ）．A ．213x -≤≤-B ．1x ≥-C ．23x ≤-D ．213x -≤≤- 二、填空题7.如果a ＜2，那么不等式组2x a x >⎧⎨>⎩的解集为_______，2x a x <⎧⎨>⎩的解集为_______． 8．（•广东）不等式组x x x x --⎧⎪⎨-⎪⎩1222132≤＞的解集是 ． 9．不等式组34125x +-≤<的所有整数解的和是______． 10. 如图所示，在天平右盘中的每个砝码的质量都是1g ，则物体A 的质量m(g)的取值范围为 ．11．从彬彬家步行到学校的路程是2400米，如果彬彬7时离家，要在7时30分至40分间到达学校，那么步行的速度x （米/分）的范围是________．12. 在△ABC 中，三边为a 、b 、c ,如果a 3x =，b 4x =，c 28=，那么x 的取值范围是 ．三、解答题13.解下列不等式组，并将其解集在数轴上表示出来．（1）2(1)31134x x x x +≤-⎧⎪+⎨<⎪⎩；（2）1＜3x-2＜4；14.若关于x 、y 的二元一次方程组中，x 的值为负数，y 的值为正数，求m 的取值范围．15.郑老师想为希望小学四年级(3)班的同学购买学习用品，了解到某商店每个书包价格比每本词典多8元，用124元恰好可以买到3个书包和2本词典．(1)每个书包和每本词典的价格各是多少元?(2)郑老师计划用1000元为全班40位学生每人购买一件学习用品(一个书包或一本词典)后，余下不少于100元且不超过120元的钱购买体育用品．共有哪几种购买书包和词典的方案?【答案与解析】一、选择题1. 【答案】D ；【解析】解：A 、含有两个未知数，错误；B 、未知数的次数是2，错误；C 、含有两个未知数，错误；D 、符合一元一次不等式组的定义，正确；故选D.2. 【答案】A ；【解析】解不等式组可得：1,2x x >≥且．3. 【答案】A ；4. 【答案】B ；【解析】32053215x x -⎧<⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩，解得：312x -≤<，所以整数解：-1，0，1. 5. 【答案】C ；【解析】设甲种运输车安排x 辆，5x+4（10-x ）≥46，x≥6，故至少要甲种运输车6辆．6. 【答案】A ；【解析】由10320x x +≥⎧⎨--≥⎩，解得213x -≤≤-． 二、填空题7. 【答案】x ＞2，无解；8. 【答案】﹣3＜x≤1；【解析】解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x ＞-3，所以不等式组的解集是：﹣3＜x≤1.9. 【答案】-5；【解析】所有整数解：-3，-2，-1,0,1，所以和为-5.10．【答案】1＜m ＜2；【解析】由第一幅图得m ＞1，由第二幅图得m ＜2，故1＜m ＜211.【答案】60＜x ＜80； 【解析】设步行速度为x 米/分，依题意可得：3240042400x x <⎧⎨>⎩，得60＜x ＜80 12.【答案】4＜x ＜28；【解析】4x-3x ＜28＜4x+3x ，即4＜x ＜28．三、解答题13.【解析】解：(1)由①得解集为x ≥3，由②得解集为x ＜3，在数轴上表示①、②的解集，如图， 所以不等式组无解．（2）不等式组的解集为1＜x ＜2，表示在数轴上如图：14.【解析】 解：，①+②得2x=4m ﹣2，解得x=2m ﹣1，②﹣①得2y=2m+8，解得y=m+4，∵x 的值为负数，y 的值为正数， ∴，∴﹣4＜m ＜．15.【解析】解：(1)设每个书包的价格为x 元，则每本词典的价格为(x-8)元．根据题意得：3x+2(x-8)＝124解得：x ＝28．∴ x-8＝20．答：每个书包的价格为28元，每本词典的价格为20元．(2)解：设购买书包y 个，则购买词典(40-y)本．根据题意得：1000[2820(40)]1001000[2820(40)]120y y y y -+-≥⎧⎨-+-≤⎩， 解得：10≤y ≤12.5．因为y 取整数，所以y 的值为10或11或12．所以有三种购买方案，分别是：①书包10个，词典30本；②书包11个，词典29本；③书包12个，词典28本．。
一元一次不等式(组)知识总结与经典例题分析
一元一次不等式和不等式组【知识要点】一、一元一次不等式1. 一元一次不等式定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
2.一元一次不等式的解集：使一元一次不等式成立的每一个未知数的值叫做一元一次不等式的解。
一元一次不等式的所有解组成的集合是一元一次不等式的解集。
注：其标准形式： ax+b ＜0或ax+b ≤0， ax+b ＞0或ax+b ≥0(a ≠0)．二、一元一次不等式的解法：解一元一次不等式，要根据不等式的性质，将不等式逐步化为x a <(x a >或 )x a xa ≥≤或或的形式，其一般步骤为：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1。
说明：解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．例如：131321≤---x x 解不等式： 解：去分母，得 6)13(2)13≤---x x （ （不要漏乘！每一项都得乘）去括号，得 62633≤+--x x （注意符号，不要漏乘!）移 项，得 23663-+≤-x x （移项，每一项要变号；但符号不改变） 合并同类项，得 73≤-x （计算要正确）系数化为1， 得 37-≥x （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 三、一元一次不等式组含有同一个未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
说明：判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．四、一元一次不等式组的解集一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．五、不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型(b a <) < > ≤ ≥①⎩⎨⎧>>b x a x 的解集是b x >，如下图： ②⎩⎨⎧<<b x a x 的解集是a x <，如下图： 同大取大 同小取小③⎩⎨⎧<>b x a x 的解集是b x a <<，如下图： ④⎩⎨⎧><b x a x 无解，如下图： 大小交叉取中间 大小分离解为空六、解一元一次不等式组的步骤(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集；(2)利用数轴求出这些解集的公共部分，即这个不等式组的解集．七、一元一次不等式的综合应用1.列不等式解决问题比列方程解决问题的应用更广泛、更实际。
初二数学一元一次不等式知识点及经典例题
一元一次不等式重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。
难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。
知识点一：不等式的概念1.不等式：用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.要点诠释：(1)不等号的类型:①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“＜”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；(2) 等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实世界中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。
(3) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。
知识点二：不等式的基本性质基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，那么。
基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。
基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
符号语言表示为：如果，并且，那么（或）要点诠释：(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。