2018年广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练题八(含答案)
Hale Waihona Puke B． p q12．函数 y cos x 的图象上各点的横坐标变为原来的 则所得函数的解析式是
1 倍(纵坐标不变)，再向左平移 个单位， 2 6
1 ) 2 6 1 C． y cos( x ) 2 12
B.0
C .
1 2
D.
2 2
4． “
3 ”是“ sin ”的 3 2
B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分必要条件 5．已知函数 f
x
log 2 x, x 0 1 , 则 f f 的值是 x 4 3 , x 0
E、F 分别是 PC、AC、BC 的中点。 ．
(1) 证明：平面 DEF //平面 PAB ； (2) 证明： AB PC ； (3) 若 AB 2 PC
2 ，求三棱锥 P ABC 的体积．
4
2018 年广东省普通高中学业水平考试模拟训练题八 数学试题参考答案和评分标准
一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 4 分，共 60 分．
, tan x sin x 2
x
B. x0 R, sin x0 cos x0 2 D. x0 R, lg x0 0
C. x R, 3 0
15. 已知 f ( x) 是奇函数，当 x 0 时 f ( x ) x (1 x ) ,当 x 0 时 f ( x) = A.
D.4
10.过抛物线 y 4 x 的焦点且与直线 y 2 x 1 平行的直线方程是 A. y
1 x 1 2
B. y
1 1 x 2 2
C. y 2 x 4 11．给定命题 p :若 x R ,则 x 是 A． p q
D. y 2 x 2
1 2 ； 命题 q :若 x 0 ，则 x 2 0 .则下列各命题中,假命题的 x
2018 年广东省普通高中学业水平考试模拟训练题八
数学试卷
满分 100 分，考试时间 90 分钟
一、选择题:本大题共 15 小题，每小题 4 分，满分 60 分.每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求。
1．设 i 为虚数单位，则复数 A．
1 2 i 5 5
i 等于 2i 1 2 B． i 5 5
A． y cos( x
B． y cos(2 x
) 3 D． y cos(2 x ) 6
x 1 13．若变量 x,y 满足约束条件 y x 则 z 2 x y 的最大值为 3 x 2 y 15
A.3 B.2 C.8 D.9
14．下列命题中是假命题的是 A. x 0,
x 1 x
B.
x 1 x
C.
x 1 x
D.
x 1 x
2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分。
16. 设 S n 为等比数列 {an } 的前 n 项和， 8a2 a5 0 ，则 17．函数 y
S5 S2
．
3 sin x sin( x ) 的最小正周期是 __________. 2
20． （本小题满分 12 分） 解： （1）设{an}是公差为 d 的等差数列， {bn}是公比为 q 的等比数列，
18．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有“2” ， “3” ， “4” ， “6”这四个数，现从中随机 选取三个球，则所选的三个球上的数不能构成等差数列的概率是 19． 已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3,2) ,且圆心 C 在直线 y x 上,则圆 C 的方程为 . .
三．解答题：本大题共 2 小题，每小题 12 分，满分 24 分，解答应写出文字说明，证明 过程或演算步骤。
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
A
D
B
B
B
C
C
D
A
D
D
B
D
B
D
二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分．
16． 11 17． 2 18．
1 2
19．
x 1 y 1
2
2
5
三、解答题 本题共 2 小题共 24 分．解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程．
C．
1 2 i 5 5
D．
1 2 i 5 5
2．已知集合 A 1, 2, m ， B 3, 4 ， A B 1, 2,3, 4 ,则 m A. 0 B. 3 C. 4 D. 3 或 4
3．已知向量 a (1, cos ), b (1, 2 cos ) 且 a b ，则 cos 2 等于 A. 1
B．
A． 9 6．函数 f ( x )
1 9
C． 9
D．
1 9
1 lg( x 1) 的定义域是 1 x
B． (1, ) C． ( 1,1) (1, ) D． ( , )
A． (, 1)
7．已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，若 a3 a4 a5 12 ，则 S7 的值为 A． 56
20． （本小题满分 12 分） 已知 an 是等差数列， bn 是等比数列，且 b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4． （1）求 an 的通项公式； （2）设 cn an bn ，求数列 cn 的前 n 项和．
3
21．(本小题满分 12 分) 如图，在三棱锥 P ABC 中，△PAB 和△CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，D、
2
B． 42
C． 28
D． 14
x2 y2 8．若抛物线 y 2 px 的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p 的值为 6 2
A．－2 B．2 1 C．－4 D．4
9．设平面向量 a 3,5 , b 2,1 ，则 a 2b A． 5 2
2
B.5
C. 2
2018年广东省揭阳市高三学业水平考试数学理模拟试题试题(附答案)
2018年广东省揭阳市高三学业水平考试数学理模拟试题试题（附答案）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式： 样本数据12,,,n x x x的标准差，s =其中x 表示样本均值．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合{}210A x x =-=，(){}10B x x x =-=，则A B ⋃=A. {}1,1-B. {}0,1C.{}0,1-D. {}0,1,1-2．设i 为虚数单位，复数()21z i =+，则z 的共轭复数为A. 2i -B. 2iC. 22i - D ．22i +3．已知命题p ：四边形确定一个平面；命题q ：两两相交的三条直线确定一个平面．则下列命题为真命题的是A ．p q ∧B ．p q ∨C ．()p q ⌝∨D ．()p q ∧⌝ 4．已知数列的前n 项和212n S n n =+，则2232a a -的值为 A ．9 B ．18 C ．21 D ．1125．已知||6a =，||4b =，a 与b 的夹角为120°，则(2)(3)a b a b +⋅-的值是. A ．-84 B ．144 C ．-48 D ．-726．若变量,x y 满足约束条件2040330x y x y x y -+-≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩，且35z x y =+，则3log 2z 的最大值为A ．18B ．2C ．9D ．331log 47．图1是某小区100户居民月用电量（单位：度）的频率分布直方图，记月用电量在[50,100) 的用户数为A 1，用电量在[100,150)的用户数为A 2，……，以此类推，用电量在[300,350]的用户数为A 6，图2是统计图1中居民月用电量在一定范围内的用户数的一个算法流程图．根据图1提供的信息，则图2中输出的s 值为A ．82B ．70C ．48D ．30}{n a8．已知函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +、(1)f x -都是奇函数，则A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. (5)f x +是偶函数D.(7)f x +是奇函数 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．一几何体的三视图如图3示, 则该几何体的体积为________. 10．函数()1x f x e =-的图象与x 轴相交于点P ，则曲线在P 处的切线方程是 ．11．在61()x x-的二项展开式中，常数项等于 .12．抛物线218y x =上到焦点的距离等于6的点的坐标为 ．13．在区域02,0 4.x y π≤≤⎧⎨≤≤⎩中随机取一点(,)P a b ,则满足sin 1b a ≥+的概率为 .（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系(,)(0,02)ρθρθπ≥≤<中，曲线2cos ρθ=与24cos 30ρρθ-+=的交点的极坐标为 ． 15. （几何证明选讲选做题）如图4，锐角三角形ABC 是一块钢板的余料，边BC=24cm ，BC 边上的高 AD=12cm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，则这个正方形零件的面积为 cm 2．三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c 且a c >，已知ABC ∆的面积32S =，4cos 5B =，b =（1）求a 和c 的值；（2）求cos()B C -的值． 17．（本小题满分12分）在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用n x 表示编号为n (1,2,,6)n =的同学所得成绩，（1）求第6位同学的成绩6x ，及这6位同学成绩的标准差s ；（2）从这6位同学中，随机地选3位，记成绩落在（70，75）的人数为ξ， 求ξ的分布列和数学期望． 18．（本小题满分14分）如图5，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形， PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．（1）证明：//PB 平面AEC ；（2）已知1AP =，AD =EC 与平面ABCD 所成的角为α，且tan α=，求二面角D AE C --的大小． 图5 19．（本小题满分14分）已知函数31()(1)1()2x f x f f ax b ===+3，，4，数列{}n x 满足113()2n n x x f x +==，． （1）求23x x ，的值；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）证明：12233334n n x x x +++<．20．（本小题满分14分）已知双曲线C 的焦点分别为12(F F -,且双曲线C 经过点P . （1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线x =0⋅=OA OB ，是否存在以点O 为圆心的定圆恒与直线AB 相切？若存在，求出该圆的方程，若不存在，请说明理由.21．（本小题满分14分）若实数、、满足||||-≤-x m y m ，则称比更接近. （1）若23-x 比1更接近0，求的取值范围；（2）对任意两个正数、，试判断2()2+a b 与222+a b 哪一个更接近ab ？并说明理由； （3）当2≥a 且1≥x 时，证明：ex比+x a 更接近ln x .数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．x y m x y m x a b三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：DACB CBAD解析：7．由图2知，输出的2345+s A A A A =++，由图1知16(0.00240.0012)50100A A +=+⨯⨯18=,故s=100-18=82，选A.8．由(1)f x +、(1)f x -都是奇函数得(1)(1)f x f x -+=-+，(1)(1)f x f x --=--，从而有()(2)f x f x =--，()(2)f x f x =---，故有(2)(2)f x f x -=--(2)(2)f x f x ⇒+=-(4)()f x f x ⇒+=，即()f x 是以4为周期的周期函数，因(1)f x -为奇函数，8也是函数()f x 的周期，所以(7)f x +也是奇函数.选D.二、填空题：9.π；10.y x =-；11. 20-；12.(-或；13.34；14.11))66ππ或； 15. 64.解析：13.如图，满足sin 1b a ≥+的点(,)P a b 落在图中阴影部分，根 据对称性易得其面积为14462πππ+⋅=，故所求概率6384P ππ==. 或208(sin 1)63884x dxP πππππ-+===⎰. 三、解答题：16．解：（1）∵4cos 5B =>0 ∴02B π<<∴3sin 5B ==--------------1分 由13sin 22S ac B ==,得5ac =-------------------①-------------------------------3分由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-,∴2226a c +=---------------②-------------5分 由①②结合a c >，解得5,1a c ==.-----------------------------------------------7分 (2)由正弦定理知sin sin b c B C =，∴sin sin c B C b=10=，---------------------------9分 ∵a c >，∴02C π<<,∴cos 10C ==分 ∴cos()B C -cos cos sin sin B C B C =+------------------------------------------11分43510510=⨯+⨯50=.---------------------------------------------------12分 17.解：（1）由61(7076727072)756x +++++=，---------------------------------2分解得690x =，-------------------------------------------------------------------3分 这6位同学成绩的标准差：7s ===.------6分 （2）这6位同学中，成绩落在（70，75）的有编号为3、5两位同学，故ξ的可能取值为：0，1，2 . -----------------------------------------------------7分且34361(0)5C P C ξ===，-----------------------------------------------------------8分2142363(1)5C C P C ξ===，-----------------------------------------------------------9分1242361(2)5C C P C ξ===，--------------------------------------------------------10分 ∴ξ的分布列为------------------------------11分ξ的数学期望：1310121555E ξ=⨯+⨯+⨯=.---------------------------------------12分18.解：(1)证明：连结BD 交AC 于点O ，连接EO .∵ABCD 为矩形，∴O 为BD 的中点-------------------1分 又E 为PD 的中点，∴EO ∥PB . ----------------------2分 ∵EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，∴PB ∥平面AEC ．----------------------------------3分 （2）过点E 作EF//PA 交AD 于F ，连结FC ， ∵PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD ,且1122EF PA == ∴ECF α∠=-------------------------------------4分 由tan 6EF FC α==得FC =---------------------5分 则32CD ==，------------------------6分 解法一：过D 作DQ AE ⊥交AE 于点Q ，连结CQ ，∵PA ⊂面PAD ，∴面PAD ⊥面ABCD ，----------7分又面PAD ⋂面ABCD AD =，CD AD ⊥ ∴CD ⊥面PAD --------------------------------8分AQ ⊂面APD CD AQ ∴⊥，且DQ AQ Q ⋂=AQ ∴⊥面CDQ ，故AQ CQ ⊥---------------------------------------------------9分∴DQC ∠是二面角D AE C --的平面角. -----------------------------------------10分 ∵1AP =,AD =∴6PDA π∠=又∵E 为PD 的中点，∴6EAD EDA π∠=∠=--------------------------------------11分在t AQD R ∆中，12DQ AD ==∴3tan CDCQD DQ ∠===-----------------------------------------------13分∵0CQD π<∠<3CQD π∴∠=，即二面角D AE C --的大小为3π.---------------------------------14分【解法二：以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，-7分则(000)A ，，，3(00)2B ，，，(0D，3(2C ，(00,1)P ，，----------------------8分 故1(0)22E ，，，313(0),(22AE AC ==，，，,3(00)2AB =，，，-----------9分 由条件可知，3(00)2AB =，，为平面ADE 的一个法向量，------10分 设平面AEC 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00n AE n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得102302y z x +=⎨⎪=⎪⎩，取2x =，得3y z ==， ∴(2,3,3)n =----------------------------------------------------------------12分设二面角D AE C --的大小为θ，则cos cos ,AB n θ=12||||AB n AB n ⋅==⋅，3πθ∴=，即二面角D AE C --的大小为3π．-------------------------------------14分】 19.解：（1）由(1)1f =，得3a b += 由1()2f =34得24a b += 解得2,1a b ==，3()21∴=+xf x x ，----------------------------------------------2分 2133392()()328212x f x f ⨯∴====⨯+-----------------------------------------------3分 32927()()826x f x f ===---------------------------------------------------------4分（2）解法一：由13()21n n n n x x f x x +==+且0n x ≠得：1211211333n n n nx x x x ++==+⋅，-------5分即11111(1)3n nx x +-=-，----------------------------------------------------------7分 ∵131,=2n x x ≠否则与矛盾 ∴1111131n nx x +-=-，------------------------------------8分 ∴数列1{1}n x -是以11113x -=-为首项，公比为13的等比数列，∴11111()33n n x --=-⨯，331n n nx =-.-----------------------------------------------9分 【解法二：由132=x ，23927826==x x ，，猜想3()31+=∈-n n nx n N .---------------------6分 下面用数学归纳法证明.①当n = 1猜想显然成立；②假设当n = k （1≥k ）结论成立，即331kk k x =-，则当1n k =+时，111133331()321312131k k k k k k k k k k x x f x x ++++-====+-⋅+-， 即当1=+n k 猜想成立. ----------------------------------------------------------8分综合①、②可知猜想对+∈n N 都成立. 即3()31+=∈-nn nx n N -------------------------9分】 （3）证法一：由331nn n x =-得1331n n n x =-， ∵111131331233123nn n n n -----=⋅-=⋅+-≥⋅-------------------------------------11分∴111111,(1,2,...,)331233123k k k k k k a k n ---==≤=-⋅+-⋅----------------------------12分 ∴122211*********3(1)(1)13332333243413nn n n n a a a --+++≤++++=⋅=-<-． ∴命题得证.-------------------------------------------------------------------14分 以下其它解法请参照给分。
【高二数学试题精选】2018广州市高二数学学业水平测试模拟卷(附答案)
2018广州市高二数学学业水平测试模拟卷（附答案）
5 广州市高二水平测试摸拟题(113中学提供)
第一部分选择题（共50分）
一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，，则等于( )
A． B． c． D．
2 函数的定义域是 ( )
A． B c D
3 是（）
A 最小正周期为的奇函数 B最小正周期为的偶函数
c 最小正周期为的奇函数 D 最小正周期为的偶函数[frx10
4若直线ax+(1-a)=3与直线(a－1)x+(2a－3)=5,互相垂直,则a= ( )
A 3;
B 1; c －2; D 3或1
5 设向量等于（）
A． B． c． D．
6．在边长为1的正方形内随机取一点，则点到点
的距离小于1的概率为（）
A． B． c． D．
7、在△ABc中，分别是∠A、∠B、∠c的对边，
且，则∠A等于（）
A 60°
B 30° c 120° D 150°
8、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A B c D
9偶函数满足，且在区间[0,3]与上分别递减和递增，则不等式的解集为（）。
(完整版)2018年的1月广东省普通高中的学业水平考试数学试卷真的题目及答案详解解析汇报
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。
2018学年度广州市高二数学学业水平测试(模拟试卷解析版)
2018学年度广州市高二数学学业水平测试（模拟试卷解析版）满分150分. 考试用时120分钟.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知集合{}1,2A =, {}1,0,1B =-, 则A B 等于 （ ）A .{}1 B. {}1,0,2- C. {}1,0,1,2- D. ∅ 答案：A2. cos120︒的值是（ ）A . 2-B. 12-C. 12D. 2答案：B3. 不等式2230x x --<的解集是（ ）A . ()3,1- B. ()1,3- C. ()(),13,-∞-+∞ D. ()(),31,-∞-+∞ 答案：B4. 已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为（ ） A . 8 B. 2 C. 12- D. 2- 答案：A5. 函数sin 2y x =是（ ）A . 最小正周期为2π的偶函数 B. 最小正周期为2π的奇函数 C. 最小正周期为π的偶函数 D. 最小正周期为π的奇函数 答案：D6. 在等比数列{}n a 中, 若362459,27a a a a a ==, 则2a 的值为（ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9 答案：B7. 如果实数x 、y 满足条件1,210,10.y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则2x y +的最大值为（ ）A . 1 B.53C. 2D. 3 答案：D8. 已知某几何体的三视图如图1所示,是腰长为2的等腰梯形,则该几何体的体积为（）A . B. C. D. 答案：C9. 已知向量=a ()1,n , =b (),1n , 其中1n ≠±, 则下列 结论中正确的是（ ）A . ()()//-+a b a b B. ()//+a b b C. )()(b a b a +⊥- D. ()+⊥a b b 答案：C10. 已知函数()1f x =, 则对任意实数12x x 、,且1202x x <<<, 都有（ ）A.)()(1221x f x x f x <B. )()(1221x f x x f x >C.)()(2211x f x x f x <D. )()(2211x f x x f x > 答案：A正视图 侧视图俯视图图1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分. 11. 函数()ln 21y x =-的定义域是 .答案：1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12. 在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 . 答案：()1,2,3--13. 某公司生产A 、B 、C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，那么n = . 答案：7214. 已知函数1(0x y a a -=>且1)a ≠的图象恒过点A . 若点A 在直线)0(01>=-+mn ny mx上, 则12m n+的最小值为 .答案：3+三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程.15. （本小题满分12分）编号分别为12312,,,,A A A A 的12名篮球运动员在某次篮球比赛中的得分记录如下:（1）完成如下的频率分布表:（2）从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人 , 求这2人得分之和大于25的概率. 解:频率分布表:--------------4分(2)解: 得分在区间[)10,20内的运动员的编号为2A ,3A ,4A ,8A ,11A .从中随机抽取2人,所有可能的抽取结果有:{}23,A A ,{}24,A A ,{}28,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共10种. 7分“从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于25”(记为事件B )的所有可能结果有:{}24,A A ,{}211,A A ,{}34,A A ,{}38,A A ,{}311,A A ,{}48,A A ,{}411,A A ,{}811,A A ,共8种. …10分 所以()80.810P B ==. 答: 从得分在区间[)10,20内的运动员中随机抽取2人, 这2人得分之和大于25的概率为0.8. 12分16．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，已知13,2,cos 3a b A ===．（1）求sin B 的值；（2）求c 的值. （1）解：∵0A π<<，1cos 3A =，∴sin 3A ==． 2分 由正弦定理得：sin sin a bA B=， ………4分2sin 3sin 39b AB a===. ………6分 （2）解：∵13,2,cos 3a b A ===，222123b c a bc +-=. ………8分∴222231223c c +-=⨯，解得3c =. ………12分 17．(本小题满分14分)如图2，在三棱锥P ABC -中，5,4,3AB BC AC ===，点D 是线段PB 的中点，平面PAC ⊥平面ABC ．（1）在线段AB 上是否存在点E , 使得//DE 平面PAC ？ 若存在, 指出点E 的位置, 并加以证明；若不存在, 请说明理由; （2）求证：PA BC ⊥.（1）解：在线段AB 上存在点E , 使得//DE 平面点E 是线段AB 的中点.…2分下面证明//DE 平面PAC :取线段AB 的中点E , 连接DE ， ……3分 ∵点D 是线段PB 的中点，∴DE 是△PAB 的中位线. ………4分 ∴//DE PA . ………6分 ∵PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ，∴//DE 平面PAC . ………8分 （2）证明：∵5,4,3AB BC AC ===, ∴222AB BC AC =+. ∴AC BC ⊥. ………10分∵平面PAC ⊥平面ABC ，且平面PAC 平面ABC AC =，BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面PAC . ………12分 ∵PA ⊂平面PAC ，∴PA BC ⊥. ………14分18. （本小题满分14分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1310a a +=,424S =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12111n nT S S S =+++ ，求证：34n T <.（1）解：设等差数列{}n a 的公差为d , ∵ 1310a a +=, 424S =,∴112210,43424.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ………2分解得13a =, 2d =. ………4分 ∴ ()32121n a n n =+⨯-=+. ………6分 （2）证明：由（1）得()()()1321222n n n a a n n S n n +++===+， ………8分 ∴ 12111n nT S S S =+++ ()11111324352n n =++++⨯⨯⨯+ =11111111111232435112n n n n⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ----10分111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭=31114212n n ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭………12分34<. ………14分 19. （本小题满分14分）已知圆C 的圆心坐标为()1,2, 直线:10l x y +-=与圆C 相交于M 、N 两点，MN =2.（1）求圆C 的方程;（2）若1t ≠, 过点(),0A t 作圆C 的切线, 切点为B ，记1d AB =, 点A 到直线l 的距离为2d , 求211d d -的取值范围. (1)解: 设圆C 的半径为r ，圆C 的圆心()1,2到直线l 的距离d ==. ………2分∵ MN =2,∴2=. ………3分 ∴2=. ………4分解得r = ………5分 ∴ 所求的圆C 的方程为()()22123x y -+-=. ………6分(2) 解:∵圆C ：()()22123x y -+-=的圆心()1,2C ,半径r =∴1d AB====………8分又点(),0A t 到直线l 的距离2d ==. ………9分∴121d d -==.………10分m =，则1t -= ………11分∵1t ≠，∴1m>. ∴121d d-===. ………12分 ∵1m >, ∴12m +>.∴2011m <<+. ∴20111m <-<+. (13)分 ∴0<<∴121d d -的取值范围是(. ………14分20. （本小题满分14分）已知113a ≤≤, 若函数()22f x ax x =-在[]1,3上的最大值为()M a ,最小值为()N a , 令()()()g a M a N a =-. （1）求()g a 的表达式;（2）若关于a 的方程()0g a t -=有解, 求实数t 的取值范围.(1) 解: ()22f x ax x =-211a x a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. ………1分∵113a ≤≤, ∴113a ≤≤. ① 当112a ≤≤,即112a ≤≤时, 则3x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时,函数()f x 取得最小值.∴()()396M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴ ()()()g a M a N a =-=196a a+-. ………3分 ② 当123a <≤,即1132a ≤<时, 则1x =时, 函数()f x 取得最大值; 1x a=时, 函数()f x 取得最小值.∴()()12M a f a ==-，()11N a f a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.∴()()()g a M a N a =-=12a a+-. ………5分 综上，得()g a =1112,,321196, 1.2a a a a a a ⎧+-≤<⎪⎪⎨⎪+-≤≤⎪⎩………6分（2）解：任取1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，()()1212121122g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()1212121a a a a a a --=. ………7分∵1211,,32a a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，且12a a <，∴1212120,0,10a a a a a a -<>-<.∴()()12121210a a a a a a -->,即()()120g a g a ->.∴()()12g a g a >.∴函数()g a 在11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减. ………8分任取341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，()()343434119696g a g a a a a a ⎛⎫⎛⎫-=+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()34343491a a a a a a --=. ………9分∵341,,12a a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且34a a <，∴3434340,0,910a a a a a a -<>->. ∴()()343434910a a a a a a --<,即()()340g a g a -<.∴()()34g a g a <.∴函数()g a 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增. ………10分2018年广州市高二数学学业水平考试模拟试卷当12a =时,()g a 取得最小值,其值为12g ⎛⎫= ⎪⎝⎭12, ………11分 又13g ⎛⎫= ⎪⎝⎭43, ()1g =4. ∴函数()g a 的值域为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. ………12分 ∵关于a 的方程()0g a t -=有解等价于()t g a =有解， ∴实数t 的取值范围为函数()g a 的值域． ………13分 ∴实数t 的取值范围为1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.………14分。
2018年广东省中考数学模拟试题及答题卡答案
2018年广东省中考数学模拟试题含答题卡和答案（时间100分钟，满分120分）一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分) 1．－2的绝对值是( )A ．2B ．－2C ．D ．－2．平面直角坐标系内点P(2,－3)关于原点对称点的坐标是( )A ．(3,－2)B ．(2,3)C ．(2,－3)D ．(－2,3)3．如图是由相同小正方体组成的立体图形，它的左视图为( )4．已知是完全平方式，则常数等于( ) A ．64 B ．48C ．32D ．165．方程组 的解是( ) A ．B ．C ．D ．6．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )7．702班某兴趣小组有7名成员，他们的年龄(单位：岁)分别为：A B C DA ．B ．C ．D ．(第3题)12，13，13，14，12，13，15，则他们年龄的众数和中位数分别为( ) A ．13，14 B ．14，13C ．13，13D ．13，13.58．如图，矩形ABCD 的对角线AC ＝8cm ，∠AOD ＝120o ，则AB 的长为( )A ．cmB ．2cmC ．2cm D ．4cm9．如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点P ，∠A=40o ，∠APD=75o ，则∠B=( )A ．15oB ．35oC ．40oD ．75o10．下列运算正确的是( )A ．3a ﹣a=3B ．a 15÷a 3=a 5(a ≠0)C ．a 2•a 3=a 5D ．(a 3)3=a 6二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11．我区今年约有6600人参加中考，这个数据用科学记数法可表示为_________人．12．若二次根式有意义，则的取值范围是_________．13．点(1，－1)_________在反比例函数的图象上．(填“是”或“不是”)14．若、是一元二次方程 x 2－6x －5＝0 的两个根，则的值等于_________．15．如图，AB ∥CD ∥EF ，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=_________度． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o ，AC=4，BC=2，分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为_____________．(用含的代数式表示)ABCDO第8题POCABD第9题CA B第16题 第15题三、解答题(本大题3小题，每小题6分，共18分) 17．计算：(－)－1－3tan30o +(1－)o +18．已知，，．当=3时，对式子(A －B )÷C 先化简，再求值．19．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛(双循环比赛)，共要比赛90场，问共有多少个队参加比赛？四、解答题(本大题3小题，每小题7分，共21分)20．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．“五一”期间，小记者刘凯随机调查了城区若干名学生和家长对中学生带手机现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图： (1)求这次调查的家长人数，并补全图①； (2)求图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数；(3)从这次接受调查的学生中，随机抽查一个，恰好是“无所谓”态度的学生的概率是多少？21．某兴趣小组用高为1.2米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D的仰角为．测得A ，B 之间的距离为4米，若tan α=1.6，tan β=1.2，试求建筑物CD 的高度．22．如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E .学生及家长对中学生带手机的态度统计图家长学生无所谓反对赞成30803040140类别人数28021014070家长对中学生带手机 的态度统计图图① 图②A⊙O 的切线BF 与弦AD 的延长线相交于点F ， 且AD =3，cos ∠BCD=.(1)求证：CD ∥BF ； (2)求⊙O 的半径； (3)求弦CD 的长.五、解答题(本大题3小题，每小题9分，共27分) 23．如图，已知二次函数y=－x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B . (1)求此二次函数关系式和点B 的坐标；(2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△PAB 是以 AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不 存在，请说明理由.24．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ，B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ，PE 交边BC 于点F ，连接BE ，DF . (1)求证：∠ADP ＝∠EPB ； (2)求∠CBE 的度数；(提示：过点E 作EG ⊥AB ，交AB 延长线于点G) (3)当的值等于多少时，△PFD ∽△BFP ？并说明理由.25．把两块全等的直角三角形ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O 重合，其中∠ABC =∠DEF =90o ，∠C =∠F =45，AB =DE =4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．(1)如图，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ ．此时，AP ·CQ = ．(直接填答案)(2)将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为α．其中GPFE DCBA0o <α<90o ，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由． (3)在(2)的条件下，设CQ =x ，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．Ｂ ＥＰ ＡＤ(Ｏ) ＣＱ Ｆ Ｍ Ｂ Ｅ Ｐ Ａ Ｃ Ｑ Ｆ Ｄ(Ｏ) Ｄ(Ｏ) B (Q ) C F EAP 图1 图图32018年中考模拟考试试卷数学答题卷题号一二三四五总分2得分说明：数学科考试时间为100分钟，满分为120分。
广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析
2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =I （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10xx =3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =r ，(0,2)b =r，则下列结论正确的是（ ）A .//a b r rB .(2)a b b -⊥r r rC .a b =r rD .3a b =r r g7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=u u u r u u u r u u u rB .DA DC DO +=u u u r u u u r u u u rC .OA OB AD DB -+=u u u r u u u r u u u r u u u r D .AO OB BC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r11、设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=L （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-I ，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=-Q 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-Q242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=r r ，(0,2)b =r ，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥r r r，正确；对于C 项，2a b ==r r，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=r rg，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=u u u r u u u r u u u r，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=u u u r u u u r u u u r，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===，又0C π<<Q 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =Q max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=Q22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x Q 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x Q 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >Q 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x <Q111111()2x x x x ∴+=--+≤-=--111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-L ，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2 解析：2sin()cos 23πθθ-==Q ，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =Q 适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE Q 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F Q 为BC 的中点 EF ∴为BCP V 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂Q 平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =Q ，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥DE Q 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =Q I ，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂Q 平面 PC BD ∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂Q 平面平面 PA BD ∴⊥又PC PA P =Q I ，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂Q 平面 BD AC ∴⊥。
广东省普通高中学业水平考试数学模拟训练题
某空间几何体的三视图，则这个空间几何体的体积为
A. 48
B. 24
主视图
左视图
C. 12
D. 8
11．从某班的 2 名女生、2 名男生中任选 2 人，代表该班参加学校
俯视图
的才艺展示活动，则选中的学生刚好为一男一女的概率为
A. 1 6
C. 2 3
B. 1 2
D. 1
12．已知直线 3x 4 y 3 0 与直线 6x my 14 0 平行，则它们之间的距离是
sin C sin B
8
（2）由余弦定理： b2 a2 c2 2ac cos B 得： 2 a2 1 2a 3 ， 4
即 a2 3 a 1 0 ，解得 a 2 或 a - 1 （舍去），
2
2
所以， SABC
1 2
a
c
sin
B
1 2
1
2
7 4
7 4
21．(本小题满分 12 分)
解 ：（1）直三棱柱 ABC A1B1C1 ， 底面三边长 AC 3 ， BC 4 ， AB 5 , AB2 AC 2 BC 2 ，∴ AC BC ， CC1 平面ABC , AC 平面ABC , AC CC1 ，又 BC CC1 C , AC 平面BCC1B1, BC1 平面BCC1B1 ， ∴ AC BC1 …………5 分
A． 17
B． 17
C．8
D．2
10
5
13．若向量 a (x, 6)(x R) ，则“ | a | 10 ”是“ x 8 ”的
（第 10 题图）
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
2x y 2 0
广东省2018年高一下学期期末学业水平考试数学试题+Word版含答案8
高中一年级学业水平考试数学科试题卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U R =，集合{|13}A x x =-<<，{|1}B x x =<，则()U A C B = （ ） A ．{|13}x x << B ．{|13}x x ≤< C ．{|13}x x <≤ D ．{|13}x x ≤≤2.若lg lg 0a b +=且a b ≠，则函数()x f x a =与()x g x b =的图像（ ） A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称 D ．关于直线y x =对称3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐月增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ． 各年1月至6月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4.运行如图所示框图的相应程序，若输入,a b 的值分别为2log 3和3log 2，则输出M 的值是（ ）A ．0B ．1 C. 2 D ．-15.已知空间两条不同的直线,m n 和两个不同的平面,αβ，以下能推出“αβ⊥”的是（ ）A ．m n ⊥，//m α，//n βB ．//m n ，m α⊥，n β⊥ C. m n ⊥，m α⊥，n αβ= D ．//m n ，m α⊥，n β⊂6.直线20mx y m +-+=恒经过定点（ ）A ．(1,1)-B ．(1,2) C. (1,2)- D ．(1,1) 7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．12π+ B ．32π+ C.312π+ D ．332π+8.函数223,0()2ln ,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨-+>⎩的零点个数为（ ）A ． 0B ． 1 C. 2 D ．39.直线2340x y --=与直线(1)10mx m y +++=互相垂直，则实数m =（ ）A ． 2B ．25- C. 35- D ．-310.设函数()cos f θθθ+，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点1(2P ，则()f θ=（ ）A ． 2B ．211.已知函数21()log 1f x x x=+-，若1(1,2)x ∈，2(2,)x ∈+∞，则（ ） A ．1()0f x <，2()0f x < B ．1()0f x <，2()0f x > C. 1()0f x >，2()0f x < D ．1()0f x >，2()0f x >12.菱形ABCD 中，60BAD ∠=，点E 满足2DE EC =，若172AE BE ∙= ，则该菱形的面积为（ ）A ．92B C. 6 D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如图，在矩形区域ABCD 的,A C 两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF （该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常），若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 ．14.某实验室一天的温度（单位：0C ）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：()102sin()123f t t ππ=-+，[0,24)t ∈，该实验室这一天的最大温差为 ．15.已知幂函数a y x =的图像经过点(2,8)，且与圆222x y +=交于,A B 两点，则||AB = ．16.已知0sin104m =，则用含m 的式子表示0cos7为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知函数()sin(2)cos(2)36f x x x ππ=++-，x R ∈.（1）求()f x 的最小正周期；（2）将()y f x =图像上所有点向左平行移动6π个单位长度，得到()y g x =的图像，求函数()y g x =的单调递增区间.18. 已知函数2()21f x ax x a =-++. （1）若(1)(1)f x f x -=+，求实数a 的值； （2）当0a >时，求()f x 在区间[0,2]上的最大值.19. 某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等，试估计总体中男生和女生人数的比例.20. 如图所示，在四棱锥P ABCD -中，//AB CD ，且90BAP CDP ∠=∠= .（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若P A P D A B D C ===，90APD ∠= ，求直线PB 与平面ABCD 所成的角的大小.21. 长为2a 的线段AB 的两个端点A 和B 分别在x 轴和y 轴上滑动. （1）求线段AB 的中点的轨迹Γ的方程；（2）当2a =时，曲线Γ与x 轴交于,C D 两点，点G 在线段CD 上，过G 作x 轴的垂线交曲线Γ于不同的两点,E F ，点H 在线段DF 上，满足GH 与CE 的斜率之积为-2，试求DGH ∆与DGF ∆的面积之比.22.已知函数(),x x f x e a e x R -=+∙∈. （1）当1a =时，证明：()f x 为偶函数；（2）若()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（3）若1a =，求实数m 的取值范围，使[(2)2]()1m f x f x +≥+在R 上恒成立.高中一年级学业水平考试数学科参考答案一、选择题13．14π-； 14．4； 15． 16． 17．解：（1）()sin 2cos 236f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2coscos 2sincos 2cossin 2sin3366x x x x ππππ=+++sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故()f x 的最小正周期22T ππ==； 【法二：由于22632x x πππ-=+-，故cos 2sin 263x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()sin 2cos 22sin 2363f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故()f x 的最小正周期为π】（2）()22sin 263g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由2222232k x k πππππ-+≤+≤+，解得71212k x k ππππ-+≤≤-+ 故()g x 的单调递增区间为7,1212k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈．18．解：（1）因为)1()1(x f x f +=-，故()f x 的图像关于直线1=x 对称， 故0a ≠且11=a，解得1=a ；【法二：直接把)1()1(x f x f +=-代入展开，比较两边系数，可得1=a 】 （2）由于0a >，()f x 的图像开口向上，对称轴10x a=>， 当11a ≤，即1a ≥时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f ≤，故()f x 在[]0,2上的最大值为()253f a =-； 当112a <<，即112a <<时，()f x 在10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，且()()02f f >，()f x 在[]0,2上的最大值为()01f a =+； 当11a≥，即102a <≤时，()f x 在[]0,2上递减，最大值为()01f a =+；综上所述，()max 53,11,01a a f x a a -≥⎧=⎨+<<⎩19．解：（1）由频率分布直方图知，分数小于70的频率为()10.040.02100.4-+⨯=， 故从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率为0.4； （2）由频率分布直方图知，样本中分数在[]50,90之间的人数为 ()1000.010.020.040.021090⨯+++⨯=（人）， 又已知样本中分数小于40的学生有5人，故样本中分数在区间[)40,50内的人数为1009055--=（人）， 估计总体中分数在区间[)40,50内的人数为20人；（3）由频率分布直方图知，样本中分数不小于70共60人，男、女各30人， 又已知样本中有一半男生的分数不小于70， 从而样本中男生共60人，女生有40人， 故总体中男生和女生人数的比例为603402=． 20．解：（1）//AB CD ，CD PD ⊥，故AB PD ⊥， 又AB PA ⊥，PA PD P = ，可得AB ⊥平面PAD ，AB ⊂ 平面PAB ，故平面PAB ⊥平面PAD ；（2）取AD 的中点O ，连PO 、BO ， 由于PA PD =，故PO ⊥AD ，结合平面PAB ⊥平面PAD ，知PO ⊥平面ABCD ， 故PBO ∠为直线PB 与平面ABCD 所成的角， 在等腰Rt PAD ∆和等腰Rt PAB ∆中，PO PA =，PB =， 于是1sin 2PO PBO PB ∠==，即直线PB 与平面ABCD 所成的角为30 ．21．解：设线段AB 的中点为(),x y ，则()2,0A x ，()0,2B y ， 故2AB a ==，化简得222x y a +=，此即线段AB 的中点的轨迹Γ的方程； 【法二：当A 、O 重合或B 、O 重合时，AB 中点到原点距离为a ；当A 、B 、O 不共线时，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，知AB 中点到原点距离也恒为a ，故线段AB 的中点的轨迹Γ的方程为222x y a +=】（2）当2a =时，曲线Γ的方程为224x y +=，它与x 轴的交点为()2,0C -、()2,0D ，设()0,0G x ，()00,E x y ，()00,F x y -， 直线CE 的斜率002CE y k x =+，故直线GH 的斜率()0022GH x k y -+=， 直线GH 的方程是()()00022x y x x y -+=-，而直线DF 的方程是0022y x y x -=--，即()0022y y x x =--- 联立()()()000002222x y x x y y y x x -+⎧=-⎪⎪⎨⎪=--⎪-⎩，解得()0021323x x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此即点H 的坐标，故23DGH H DGF F S y S y ∆∆==． 22．解：（1）当1a =时，()x x f x e e -=+，定义域(),-∞+∞关于原点对称， 而()()x x f x e e f x --=+=，说明()f x 为偶函数； （2）在[)0,+∞上任取1x 、2x ，且12x x <， 则()()()()()121211221212x x x x x x x x x x e e e a f x f x e ae e ae e+--+---=+-+=，因为12x x <，函数x y e =为增函数，得12x x e e <，120x x e e -<， 而()f x 在[)0,+∞上单调递增，得()()12f x f x <，()()120f x f x -<， 于是必须120x x e a +->恒成立， 即12x x a e +<对任意的120x x ≤<恒成立，1a ∴≤；（3）由（1）、（2）知函数()f x 在(],0-∞上递减，在[)0,+∞上递增， 其最小值()02f =，且()()22222x x x x f x e e e e --=+=+-，设x x t e e -=+，则[)2,t ∈+∞，110,2t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是不等式()()221m f x f x ⋅+≥+⎡⎤⎣⎦恒成立，等价于21m t t ⋅≥+，即21t m t +≥恒成立，而22211111124tt t t t+⎛⎫=+=+-⎪⎝⎭，仅当112t=，即2t=时取最大值34，故34m≥．。
(完整版)2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷真题及答案解析,推荐文档
⎩2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合 M = {-1,0,1, 2}， N = {x | -1 ≤ x < 2}，则 M N = （）A . {0,1, 2}B . {-1,0,1}C . MD . N2、对任意的正实数 x , y ，下列等式不成立的是（）A . lg y - lg x = lg y xB . lg(x + y ) = lg x + lg yC . lg x 3= 3lg xD . lg x =ln x ln10⎪x 3 -1, x ≥ 03、已知函数 f (x ) =⎪2x , x < 0 ，设 f (0) = a ，则 f (a )= （）A . -2B . -1C .1 D . 0 2x4、设i 是虚数单位， x 是实数，若复数的虚部是 2，则 x = （）1+ iA . 4B . 2C . -2D . -45、设实数 a 为常数，则函数 f (x ) = x 2 - x + a (x ∈ R ) 存在零点的充分必要条件是（）A . a ≤ 1B . a > 1C . a ≤ 14D . a > 146、已知向量 a = (1,1) ， b = (0, 2) ，则下列结论正确的是（ ）A . a / /bB . (2a - b ) ⊥ bC . a = bD . a b = 37、某校高一（1）班有男、女学生共 50 人，其中男生 20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）3 13 ⎩y= > A . 6和9B . 9和6C . 7和8D . 8和78、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（）A .1B . 2C . 4D . 8⎧x - y +1 ≥ 0 ⎪9、若实数 x , y 满足 ⎨x + y ≥ 0 ，则 z = x - 2 y 的最小值为⎪x ≤ 0 （）A . 0B . -1C . - 32D . -210、如图， o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A . DA - DC = AC C . O A - OB + AD = DBB . DA + DC =D OD . AO + OB + B C = AC11、设 ABC 的内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ，若 a =A .5 B .C .2 D . 66333, b = 2, c = ，则C = （）12、函数 f (x ) = 4 s in x cos x ，则 f (x ) 的最大值和最小正周期分别为（）A . 2和B . 4和C . 2和2D . 4和213、设点 P 是椭圆 x 2 +a 2 241(a 2) 上的一点， F 1，F 2 是椭圆的两个焦点，若 F 1F 2 = 4 ，则 PF 1 + P F 2 = （）2 { }n n A . 4 B . 8 C . 4 D . 414、设函数 f (x ) 是定义在 R 上的减函数，且 f (x ) 为奇函数，若 x 1 < 0 ， x 2 > 0 ，则下列结论不正确的是（）A . f (0) = 0B . f (x 1) > 0C . f (x 2 +1) ≤ x 2f (2) D . f (x 1 + 1) ≤ x 1f (2)15、已知数列 a 的前 n 项和 S = 2- 2 ， 则 a + a + + a = （）n +122 2 12nA . 4(2n -1)2B . 4(2 n -1 +1)24(4n -1) C .34(4n -1 + 2)D .3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分.x 2y 216、双曲线- = 1的离心率为 .9 16217、若sin( -)= ，且0 << ，则tan =.2 318、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒， 第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线 x + y - 2 = 0 和 -x + 3y +10 = 0 的交点，且与直线 x + y - 4 = 0 相切的圆的标准方程是.三、解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{a n }满足 a 1 + a 3 = 8 ，且 a 6 + a 12 = 36 .（1） 求{a n }的通项公式；（2） 设数列{b n }满足b 1 = 2 ， b n +1 = a n +1 - 2a n ，求数列{b n }的前 n 项和 S n .721、如图所示，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PB =BC ，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC，PC 于点D, E .（1）证明：EF / /平面ABP ；（2）证明：BD ⊥AC .3 2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共 15 小题. 每小题 4 分，满分 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析： M N = {-1，0 1，}，故选 B.2、B 解析：对于 B 项，令 x = y = 1 ，则lg(x + y ) = lg 2 > lg1 = 0 ，而lg x + lg y = 0 ，显然不成立，故选 B.3、C解析： a = f (0) = 03 -1 = -1 ∴ f (a ) = f (-1) = 2-1 = 1， 故 选 C.2x x (1- i )x x x4、D 解析： == - i ∴- = 2 ⇒ x = -4 ，故选 D. 1+ i (1+ i )(1- i ) 2 2 25、C解析：由已知可得， ∆ = 1- 4a ≥ 0 ⇒ a ≤6、B 解析：对于 A 项，1⨯ 2-0 ⨯1 ≠ 0 ，错误；1 ，故选 C.4对于 B 项， 2a - b = (2, 0) ， b = (0, 2) ，则 2 ⨯ 0+0 ⨯ 2 = 0 ⇒ (2a - b ) ⊥ b ，正确；对于 C 项， a = 2, b = 2 ，错误；对于 D 项， a b = 1⨯ 0 +1⨯ 2 = 2 ，错误. 故选 B.15 337、A 解析：抽样比为 k = = 50 10 ，则应抽取的男生人数为 20 ⨯ =6(人) ，应抽取的女生人数10为(50 - 20) ⨯ 310= 9(人) ，故选 A.8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2，高为 1，则体积为V = 2 ⨯ 2 ⨯1 = 4 ，故选 C.9、D解析：（快速验证法）交点为(0,1),(0, 0), (-1 1, ) ，则 z = x - 2 y 分别为 -2, 0, - 2 2，所以 2( 3)2 + 22 - ( 13)22 ⨯3 ⨯ 2 3 3 -x 11 -x 1x 2 时等号 21 z 的最小值为 -2 ，故选 D.10、D 解析：对于 A 项， DA - DC = CA ，错误；对于 B 项， DA + DC = 2DO ，错误；对于 C 项， OA - OB + AD = BA + AD = BD ，错误；对于 D 项， AO + OB + BC = AB + BC = AC ，正确. 故选 D.a 2 +b 2 -c 211、A解析：由余弦定理，得cos C == = - ，又2ab20 < C < 5，故选 A.62 12、A解析： f (x ) = 2 s in 2x ∴ f (x )max = 2 ，最小正周期为T = = ，故选 A.213、B解析： F 1F 2 = 4= 2c ⇒ c = 2 3 ∴ a 2 = c 2 + b 2 = (2 3)2 + 4 = 16 ⇒ a = 4∴ PF 1 + P F 2 = 2a = 2 ⨯ 4 = 8 ，故选 B.14、D 解析：对于 A 项， f (x ) 为 R 上的奇函数 ∴ f (0) = 0 ，正确； 对于 B 项， f (x ) 为 R 上的减函数 ∴ x 1 < 0 ⇒ f (x 1 ) > f (0) = 0 ，正确；对于 C 项， x 2 > 0 ∴ x 2 + 1 ≥ 2 2= 2 当且仅当，即= 1 x 成=立1) x 2∴ f (x 2 + 1) ≤ f (2) ，正确；x 2对 于 D 项 ， x 1< 0 ∴ x 1 1 + = -(-x 1 + x 1 1 -x ) ≤ -2 = -2x 1 2 x 2 ∴C =1- ( 2)2 34 - 2 - 4 12 +122 n n n n n n -1⎩ ⎩∴ f (x 1 + 1 ) ≥ x 1f (-2) = - f (2) ，错误. 故选 D.15、C解析：当 n ≥ 2 时， a = S - S = 2n +1 - 2 - (2n - 2) = 2 ⨯ 2n - 2n = 2n ；当 n = 1 时， a 1= S 1 = 22 - 2 = 2 适合上式. ∴ a = 2n (n ∈ N * ) ⇒ a 2 = (2n )2 = 4n ∴{a 2}是首项为 4 ，公比为2224(1- 4n ) 4(4n -1)4 的等比数列 ∴ a 1 + a 2 + + a n = 1- 4 =，故选 C. 3二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分 16 分.516、3解析：由已知，得 a 2 = 9 ⇒ a = 3, b 2 = 16 ⇒ b = 4∴c 2 = a 2 + b 2 = 9 +16 = 25 ⇒ c = 5∴双曲线的离心率为e = c = 5.a 317、解析： sin(2-) = cos=，且 0 <<223∴sin= 1- c os 2= = 5 3∴tan=sin= 5 ⨯ 3 = .cos 3 2 24 2 ⨯ 2 418、 解析： P = = .9 3⨯ 3 922⎧x + y - 2 = 0 ⎧x = 4 19、 (x - 4) + ( y + 2) = 2 解析：联立 ⎨-x + 3y +10 = 0 得 ⎨ y = -2 ⇒圆心为(4, -2)则圆心(4, -2) 到直线 x + y - 4 = 0 的距离为 d == ，故圆的半径为∴圆的标准方程为(x - 4)2 + ( y + 2)2 = 2 .5 5 23、解答题：本大题共 2 小题. 每小题 12 分，满分 24 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{a n }的公差为 d .∴ ⎨⎧a 1 + a 3 =8 ⇒ ⎧⎨a 1 + a 1 + 2d = 8 ⇒ ⎨⎧a 1 = 2 a + a = 36 a + 5d + a +11d = 36 d = 2 ⎩ 612⎩ 11⎩∴ a n = 2 + (n -1) ⨯ 2 = 2n ∴数列{a n }的通项公式为 a n = 2n .（2）由（1）知， a n = 2n ∴b n +1 = a n +1 - 2a n = 2(n +1) - 2 ⨯ 2n = -2n + 2∴b n = -2(n -1) + 2 = -2n + 4 又 b 1 = 2 适合上式 ∴b n = -2n + 4(n ∈ N * )∴b n +1 - b n = -2n + 2 - (-2n + 4) = -2 ∴数列{b n }是首项为 2 ，公差为 -2 的等差数列.∴ S n = 2n +n (n -1)⨯(-2) = 2n - n 2 + n = -n 2 + 3n 221、解：（1）证明： DE 垂直平分 PC ∴ E 为 PC 的中点又 F 为 BC 的中点 ∴ EF 为 BCP 的中位线∴ EF / / BP又 EF ⊄ 平面AB 面P , BP ⊂ABP ∴ EF / /平面ABP（2）证明：连接 BEPB = BC ， E 为 PC 的中点 ∴ PC ⊥ BEDE 垂直平分 PC ∴ PC ⊥ DE又 BE DE = E ， BE , DE ⊂ 平面BDE∴ PC ⊥ 平面BDE又 BD ⊂ 平面BDE ∴ PC ⊥ BDPA ⊥平面AB面C, BD ⊂ABC ∴PA ⊥BD又 PC PA =P ，PC, PA ⊂平面PAC ∴BD ⊥平面PAC 又 AC ⊂平面PAC ∴BD ⊥AC“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。
2017-2018学年广东省广州市高中数学学业水平测试模拟题(附答案)
2017-2018学年广东省广州市高中数学学业水平测试模拟题（附答案）数学（必修）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ）A ．56110x y +-=B ．5610x y -+=C ．65110x y --=D ．6510x y --= 4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ） A ．-3 B ．13- C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ） A ．()|1|f x x =- B ．1()f x x =C. 1()1()2x f x =- D ．()sin 2f x x = 8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p << 12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1n a -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数()f x =的定义域是__________.14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，则这个四棱锥的内切球的表面积为__________.16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈ ，，，设()f x a b =•.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若()(0,)42f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论；（3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，AE =，求证：EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标.22.（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式； （2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π15. 43π 16.三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+•)x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，())4f x x π=+.因为()4f πθ+=，所以())444f πππθθ+=++………………5分)2πθθ=+==………………6分 所以1cos 3θ=.………………7分因为(0,)2πθ∈，所以sin θ==.………………8分所以())444f πππθθθ-=-+=………………9分43==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件， 则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，，{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分 所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分 由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分 所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133na n nb +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q -=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =， 所以四边形ABGH 是平行四边形， 所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分 （3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ， 又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分 在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=，EF AEAE MA== 所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠= ，所以90EFA MEF ∠+∠= ，所以AF EM ⊥.………………10分 又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分 21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==，………………1分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>， 则220018x y +=.………………4分 因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y.所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分 因为00x >，00y >,所以00119x y ≥， 所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分 所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分 当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分 当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-. 令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=， 解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=. 因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分 当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x =.………………7分 当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分 当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=. 因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分 当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分 综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4； 当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3； 当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2； 当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分。