Sturm-Liouville算子特征值与特征函数的精确解
sturm-liouville问题特征值间的不等式
sturm-liouville问题特征值间的不等式Sturm-Liouville问题是一个常见的线性偏微分方程边值问题。
它的特征值间的不等式是指这些特征值之间存在一些关系或限制。
在本文中，我们将探讨Sturm-Liouville问题特征值间的不等式。
首先，我们回顾一下Sturm-Liouville问题的一般形式：$$\frac{d}{dx}\left(p(x)\frac{dy}{dx}\right) + q(x)y +\lambda \rho(x)y = 0$$其中，$p(x)$、$q(x)$和$\rho(x)$是已知函数，$\lambda$是待确定的常数，我们将其称为特征值。
对于一个给定的Sturm-Liouville问题，我们可以求解其特征值和特征函数。
特征函数满足边界条件和正交归一条件。
考虑两个相邻的特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$，我们将利用正交归一条件来推导它们之间的不等式。
假设$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$分别是特征值$\lambda_n$和$\lambda_{n+1}$对应的特征函数。
由正交归一性可得：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = 0$$其中，$a$和$b$是所考虑的区间的端点。
我们可以将这个积分写成另一种形式：$$\int_a^b \rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx = \int_a^b\rho(x)y_n(x)[c_ny_{n+1}(x) + c_{n+1}y_n(x)]dx$$其中，$c_n$和$c_{n+1}$是未知常数。
再次应用正交归一性条件：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_n\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$$$\int_a^b \rho(x)y_{n+1}^2(x)dx = c_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$将这两个方程代入上一式，我们得到：$$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx = c_nc_{n+1}\int_a^b\rho(x)y_n(x)y_{n+1}(x)dx$$由于特征函数$y_n(x)$和$y_{n+1}(x)$不同时为零，我们可以得到：$$c_nc_{n+1} = \frac{1}{\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx}$$现在我们引入一个新的函数：$$z_n(x) = y_n(x) - \frac{c_{n+1}}{c_n}y_{n+1}(x)$$通过代入上面的表达式并稍作变换，我们可以得到：$$\int_a^b \rho(x)z_n^2(x)dx = \left(1 -\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$$由于$\int_a^b \rho(x)y_n^2(x)dx$是一个正数，我们知道系数$\left(1 - \frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}\right)$也是一个正数。
数理方程33
= X ''+ λ X 0, ( S − L) = = (0) X (l ) 0, X
nπ λ n 1, 2,) = λ = n , (= l
2
0 ≤ x ≤ l.
由 Sturm-Liouville 理论易知此问题的特征值为
nπ X x x, (n 1, 2,) = ( ) sin = 相应的特征函数可以取为 n l 。
2
t （n 为奇数时） 。
Step 4
由上可得原问题的形式解为
∞
n 2 − − A 2 1 ( 1) ( ) Bx anπ l +∑ − u ( x, t ) = 1 cos l nπ l anπ n =1
nπ t sin x l
特解的求法：
T ''(t ) + λT (t ) = f (t )
T *(t ) 1
λ∫
t
0
f (τ ) sin[ λ (t − τ )]dτ
当 f (t ) = f 0 时
T *(t ) = f 0 / λ
(方法 2 )
Bx A l Al 2 ) v ( x, t ) + − 2 x − + 2 则 v 满足 令 u ( x, t = l 2a 2 8a ，
(n = 1, 2,)
2 ( 2n − 1) π lim λn − 0 = ， n →∞ 2 l
这就是全部特征值，相应的特征函数可取为
= X n ( x) sin = λn x, (n 1, 2,)
23 解：Step 1将 u ( x, t ) = X ( x)T (t ) 代入方程及边界条件得Sturm-Liouville 问题
《2024年Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》范文
《Sturm-Liouville问题的谱分析与数值计算》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，它在微分方程、积分方程、谱理论等领域有着广泛的应用。
该问题涉及到在特定边界条件下求解线性微分方程的谱问题，包括特征值和特征函数的计算。
本文旨在分析Sturm-Liouville问题的谱性质，并探讨其数值计算方法。
二、Sturm-Liouville问题的谱分析Sturm-Liouville问题通常描述为在特定边界条件下求解二阶线性微分方程的特征值和特征函数。
对于形如L[y] = λN[y]的微分方程，其中L和N是线性微分算子，λ是特征值，y是特征函数。
谱分析主要关注该问题的可解性、特征值的性质以及特征函数的正交性等。
（一）可解性分析通过适当的选择边界条件，Sturm-Liouville问题通常可以转化为自伴算子的问题，此时谱分析是可行的。
在这种情况下，存在可数的离散特征值以及与之相关的正交归一化特征函数族。
（二）特征值性质特征值λ具有离散性、实数性和可数性等性质。
此外，特征值之间的大小关系可以通过比较相应的特征函数在边界条件下的行为来推断。
（三）特征函数的正交性在满足一定条件下，Sturm-Liouville问题的特征函数族构成一个正交函数系。
这种正交性在许多物理问题中具有重要意义，如量子力学中的波函数等。
三、数值计算方法对于Sturm-Liouville问题的数值计算，常用的方法包括有限差分法、有限元法、谱方法和打靶法等。
这些方法通过将微分方程转化为代数方程组来求解特征值和特征函数。
（一）有限差分法有限差分法通过将微分方程的导数用差商近似，将微分方程转化为代数方程组进行求解。
该方法简单易行，但精度受网格划分的影响较大。
（二）有限元法有限元法通过将求解区域划分为有限个单元，在每个单元上构造插值函数来逼近真实解。
该方法具有较高的精度和灵活性，适用于复杂边界条件的问题。
（三）谱方法谱方法利用正交函数系来逼近真实解，具有高精度和快速收敛的特点。
《2024年具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》范文
《具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》篇一一、引言Sturm-Liouville问题，是微分方程领域中的一个重要问题，它在量子力学、振动理论、谱分析等众多领域有着广泛的应用。
该问题主要研究的是具有特定边界条件的二阶线性微分方程的解及其性质。
其中，当该问题具有周期系数时，其解的性质及特征值的不等式关系尤为重要。
本文将详细探讨具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式。
二、左定Sturm-Liouville问题及周期系数左定Sturm-Liouville问题是指二阶线性微分方程在左端点处具有确定性的边界条件的问题。
当该问题的系数具有周期性时，我们称之为具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题。
这种问题的解在物理上对应着周期性或准周期性的现象，如波动方程的解等。
三、特征值与特征函数对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值和特征函数具有特殊的性质。
特征值是微分方程的解的频率，而特征函数则是与这些解相对应的函数。
在具有周期系数的情况下，特征值和特征函数都表现出周期性或准周期性的特点。
四、特征值不等式对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值之间存在着一定的不等式关系。
这种关系主要由问题的边界条件和微分方程的性质决定。
在左定的情况下，由于微分方程在左端点处具有确定性的边界条件，因此特征值之间会形成一种特定的不等式关系。
这种关系可以通过分析微分方程的解及其性质来得到。
五、特征值不等式的应用特征值不等式在物理、工程、数学等领域有着广泛的应用。
在物理中，它可以用来描述周期性或准周期性现象的频率关系；在工程中，它可以用来分析结构的振动特性；在数学中，它可以用来研究函数的性质和分类等。
对于具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其特征值不等式可以用来分析该类问题的解的性质及其在各种应用中的表现。
《2024年具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》范文
《具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式》篇一一、引言Sturm-Liouville问题作为数学物理领域的重要问题之一，其研究涉及到了特征值和特征函数的求解问题。
当Sturm-Liouville 问题中的系数具有周期性时，问题的求解变得更为复杂。
左定Sturm-Liouville问题（Left-Definite Sturm-Liouville Problem）的解法，特别是当其系数具有周期性时，对于解决许多实际问题具有重要意义。
本文将探讨具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式，并给出其解法。
二、问题描述考虑具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题，其微分方程可以表示为：L[y] = λR[y]，其中L[y]和R[y]分别为具有周期系数的左、右侧项。
为了研究特征值的不等式，我们引入基本解函数以及周期函数的性质，为后续的特征值不等式推导奠定基础。
三、基本解函数与周期性在左定Sturm-Liouville问题中，基本解函数具有特定的性质。
当系数具有周期性时，这些基本解函数也表现出周期性。
这种周期性对于特征值不等式的推导至关重要。
我们将通过分析基本解函数的周期性，为后续的推导提供基础。
四、特征值不等式的推导基于基本解函数的周期性以及Sturm-Liouville问题的特性，我们可以推导出特征值的不等式。
具体来说，我们将分析微分方程在不同区间的解行为，并结合边界条件以及特征函数的正交性等性质，最终推导出特征值的不等式。
五、特征值不等式的性质与应用所推导出的特征值不等式具有一些重要的性质。
首先，它提供了特征值的一个上下界估计，这对于解决实际问题具有重要意义。
其次，该不等式还可以用于确定特征值的排列顺序和特征函数的性质。
此外，通过进一步的分析和推导，该不等式还可以应用于其他相关领域，如量子力学、热传导等。
六、结论本文研究了具有周期系数的左定Sturm-Liouville问题的特征值不等式。
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数
Sturm－Liouville边值问题的特征值与特征函数王帅;杨恩孝【摘要】This paper uses the research methods of a second order tensor and the differential operator eigenval -ue and eigenvector (functions) to study Sturm-Liouville boundary value problem .We can find that differential op-erator of Sturm-Liouville system eigenvalue problem is self-adjoint and its unit-orthogonal characteristic function sys-tem ( base ) constitutes a complete orthogonal system ( base ) .%本文采用二阶张量和常微分算子的特征值与特征向量（函数）的研究方法，研究了Sturm－Liouville边值问题。
通过这些研究得到， Sturm－Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的，并且其单位正交特征函数系（基）构成完备正交系（基）。
【期刊名称】《洛阳师范学院学报》【年(卷),期】2015(000)002【总页数】3页(P25-27)【关键词】Sturm-Liouville方程;特征值问题;完备正交系【作者】王帅;杨恩孝【作者单位】长春光华学院基础教研部，吉林长春130033;长春光华学院基础教研部，吉林长春130033【正文语种】中文【中图分类】O175方程称为Sturm-Liouville方程.其中p(x),ρ(x),q(x)在a≤x≤b上均是x的实函数,且p(x)>0,ρ(x)>0,q(x)≥0,而p′(x),ρ(x),q(x)在a<x<b上连续.对Sturm-Liouville方程提出的齐边界条件主要有：或Sturm-Liouville方程与齐边界条件①-③相结合,求其非零解,这就是Sturm-Liouville系统的特征值问题. Sturm-Liouville方程是用分离变量法解数学物理方程得到的一类方程.它的主要特点:1)方程中有参数λ;2) U(x)的一阶导数与二阶导数可以合起来,表达为形式.对Sturm-Liouville方程的边值问题讨论的主要问题是:参数λ取何值时,方程才有非零解.历史上已有过许多有价值的方程都归类于Sturm-Liouville系统.(1) Euler压杆稳定问题与Fourier一维热传导问题所得到的方程(2) Legengre方程(3) Bessel方程(4) Hermite方程对这些方程结合某些齐边界条件的本征值问题的讨论,得到许多非常有用的正交完备的基函数系.这些基函数系在数学物理方程研究中起到重要作用.我们就边值问题为例,讨论Sturm-Liouville系统的特征值问题.(2)与(1)中的λ相差一负号,我们约定 Sturm-Liouville系统的特征值是指各个Sturm-Liouville方程变成 (2)形式中的λ.(2)式中称为Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子.定义1 若U(x)≠0,U(x)满足边值问题(2),则称U(x)是Sturm-Liouville系统的特征函数,与U(x)对应的λ称为特征值.定义2 若(v,Lu)=(u,Lv),则称Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子L是自伴的，并且(u,Lv)≡x.定理1 Sturm-Liouville系统特征值问题的微分算子是自伴的.证明显然(v,Lu)=(u,Lv)⟺ .计算x.由齐边界条件① u(a)=u(b)=0,v(a)=v(b)=0,有；② u′(a)=u′(b)=0,v′(a)=v′(b)=0,有Δ=0;③ u(a)=u′(b),v(a)=v′(b)=0,有Δ=0.无论①,②,③的哪一种齐边界条件,都有(v,Lu)=(u,Lv).定理2 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征值有无穷多,均是实数,且是分离的,又λn≤0,(n=1,2,…).定义3 任意两个Riemann可积函数u(x),v(x)(a≤x≤b)称为函数u(x),v(x)的内积.积分称为函数u(x)的模(或范数,长度), 若则称两函数正交.定理3 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的特征函数是正交的,即：若特征值λn≠λm(n≠m),对应的特征函数为un(x),um(x),则有证明因为Lun=λnρun, Lum=λmρum， (un,Lum)=(um,Lun)(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),(um,Lun)=(un,λmρum)=λn(um,ρun),于是有因为λn≠λm,(n≠m),必有 .Gram—Schmidt正交化方法.对重特征值,例如λ1=λ2=λ3对应的3个线性无关特征函数u1,u2,u3未必正交,但可由u1,u2,u3构造出与λ1=λ2=λ3对应的正交的3个特征函数v1,v2,v3.取v1=u1，设v2=u2+ku1=u2+kv1,使得,则可算出k,则得到v2,且v1,v2正交.再设v3=u3+k1v1+k2v2,使得 .由此二式又可算出k1,k2,则得到v3,且v3与v1,v2正交.对更高重特征值,如上作法也可构造出与重特征值对应的一组正交的特征函数.这种方法称为Gram—Schmidt正交化方法.如上所述, Sturm-Liouville系统特征值问题(2)有一正交的特征函数系(基){Ui(x)}(n=1,2,…).将其单位化,,则有单位正交特征函数系(基): {Ui(x)}(n=1,2,…).定理4 Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的单位正交特征函数系(基):{Ui(x)}(n=1,2,…)在[a,b]上构成完备正交系(基).所谓“完备系”,即是在[a,b]上不存在不恒为零的连续函数f(x),使得.或者说[a,b]上的具有一阶连续导数或具有二阶分段连续导数的任意函数f(x),只要满足Sturm-Liouville系统特征值问题(2)的边界条件,则可以依单位正交特征函数系{Ui(x)}(n=1,2,…)展成绝对、一致收敛的广义Fourier级数其中(n=1,2,…) .【相关文献】[1] Garvey S D, Prells U,Friswell M I, Zheng Chen.General isospectral flows for linear dynamic systems[J].Linear Algebra and its Applications, 2004，45(3):365-368.[2] Chu M T, Fasma Diele, Ivonne Sgura. Gradient flow methods for matrix completion with prescribed eigenvalues[J]. Linear Algebra and its Applications, 2004，58(2)：35-112.[3] Friswell M I, Prells U, Garvey S D.Low-rank damping modifications and defective systems[J]. Journal of Sound and Vibration,2005，42(5):757-774.[4] Houlston P R, Garvey S D, Popov A A.Modal control of vibration in rotating machines and other generally damped systems[J].Journal of Sound and Vibration, 2007，45(7):104-116.[5] Houlston P R， Garvey S D， Popov A A. Optimal Controller Designs for Rotating Machines - Penalising the Rate of Change of Control Forcing[C].7th IFToMM-Conference on Rotor Dynamics, Vienna, Austria, 2006，32(8)：75-78.[6] Khattak A R, Garvey S D,Popov A A. Repeated resonances in folded-back beam structures[J]. Journal of Sound and Vibration,2006,30(9):309-320.。
sturm-liouville问题特征值间的不等式
sturm-liouville问题特征值间的不等式对于一个Sturm-Liouville问题，存在一组特征值$λ_1, λ_2, λ_3, ···$，它们是一个无限序列，且存在对应的特征函数$\{ϕ_n(x)\}$，它们满足如下的正交归一性质：$$\int_a^b ϕ_i(x)ϕ_j(x)w(x)dx=δ_{ij}$$其中 $w(x)$ 是权函数（或者称为权重函数），$δ_{ij}$ 是克罗内克δ 符号。
根据特征值的定义，我们有：$$Lϕ_n(x)=λ_nw(x)ϕ_n(x)$$将这个框架下的 $L$ 微分算子对 $ϕ_n(x)$ 进行作用，可得：$$L(Lϕ_n(x))=(λ_nw(x))^2ϕ_n(x)$$将前面的 $Lϕ_n(x)$ 带入上式，得：$$L^2ϕ_n(x)=(λ_nw(x))^2ϕ_n(x)$$注意到这里的$L^2$ 意味着重复作用$L$ 两次，那么我们可以进行归纳：$$L^kϕ_n(x)=(λ_nw(x))^kϕ_n(x)$$由于$λ_nw(x)$ 是实数，那么我们可以取 $k$ 为偶数，这样就有了如下的结果：$$L^{2k}ϕ_n(x)=(λ_nw(x))^{2k}ϕ_n(x)$$对比 $L^2$ 和 $L^{2k}$ 的结果，我们可以得到如下不等式：$$(λ_nw(a))^2≤(λ_nw(x))^2≤(λ_nw(b))^2$$也即：$$λ_n^2≤\frac{\displaystyle\int_a^b\left(p(x)\left(\f rac{d^2ϕ_n(x)}{dx^2}\right)^2+q(x)\left(ϕ_n(x)\right)^2\ri ght)dx}{\displaystyle\int_a^bw(x)\left(ϕ_n(x)\right)^2dx}≤λ_{n+1}^2$$其中 $p(x)$ 和 $q(x)$ 是Sturm-Liouville方程式中的函数。
《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》范文
《一类边界条件依赖特征参数多项式的不连续Sturm-Liouville问题特征值的渐近估计》篇一一、引言Sturm-Liouville问题是一类重要的数学物理问题，广泛存在于量子力学、工程力学、控制论等多个领域。
其特征值和特征函数的求解对于理解这些领域的物理现象具有重要意义。
当Sturm-Liouville问题的边界条件依赖于特征参数时，问题的复杂性增加，尤其是当问题中涉及多项式且存在不连续性时，特征值的渐近估计成为研究的关键。
本文将探讨一类具有这种特性的Sturm-Liouville问题的特征值渐近估计方法。
二、问题描述考虑一类具有不连续边界条件的Sturm-Liouville问题，其特征参数以多项式的形式出现在边界条件中。
该问题的微分方程部分在连续区域内具有标准的Sturm-Liouville形式，但在不连续点处，由于边界条件的变化，导致问题的求解变得复杂。
我们的目标是找到这类问题的特征值的渐近估计。
三、特征值的渐近估计方法为了求解此类问题，我们首先需要对方程进行适当的变换，以便利用现有的渐近估计方法。
具体来说，我们将采用匹配渐近法，通过在不同区域建立适当的近似解，并在交界处进行匹配，从而得到特征值的渐近估计。
1. 区域划分与近似解的建立根据问题的特点，我们将整个定义域划分为若干个区域。
在每个区域内，由于边界条件的变化较小，我们可以采用标准的Sturm-Liouville方法求解微分方程，得到该区域的近似解。
这些近似解将作为后续匹配的基础。
2. 匹配渐近法在交界处，我们需要将不同区域的近似解进行匹配。
这通常涉及到求解一系列非线性方程，以确定匹配条件。
通过求解这些方程，我们可以得到特征值的渐近估计。
四、数值实验与结果分析为了验证我们的方法，我们进行了一系列的数值实验。
我们构造了一个具体的不连续Sturm-Liouville问题，其边界条件依赖于特征参数的多项式。
然后，我们使用我们的方法进行特征值的渐近估计，并将结果与精确解进行比较。
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征 值 与特 征 函数 的渐近估 计 式 中的 系数 ， 而得 到更精 确 的渐近 式表 达式 ． 从
关 键词 ： Ｓｕｍ — ｉ ｖＵ 算 子 ； ｔｒ Ｌｏ ｉｅ ｕ 特征 值 ； 特征 函数
中图分类 号 ： ０１５ ３ ７ ． 文 献标 识码 ： Ａ
１ 引言及 预 备 知 识
对 于 Ｓｕｍ —Ｌｏｖｌ 特征 值 问题 （ ｔｒ ｉｕｉｅ ｌ ）＝一
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引理 ２ 记 ｓ＝ ＋ 则存在 ＞０ 使得 ， ， 当 ｌ ＞ ｓ ｌ ０时有 （ Ａ） ＝ ０（ ） （ ， ） ＝ ｓ ， ｅ ， 戈Ａ
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式对 ∈［ ， ］ ０ 仃 一致成立． 定理 １ 自伴边条件下的特征值都是实的
２ 主 要 结 果 及 冥 证 明
定 理 ２ Ｓｕｍ — Ｌｏ ｖｌ ｔｒ ｉｕ ｉｅ算 子 在 ｇ ） Ｅ ｌ （
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２ １ ０２
文 章 编 号 ：Ｏ ８—１ｏ （ｏ ２ Ｏ ｏ ５ ｌＯ ４ ２ ２ １ ） ｌ— １５—０ ３
Ｓｕｍ—Ｌｏｖｌ 子 特征 值 与 特 征 函数 的精 确解① ｔｒ ｉ ｉｅ算 ｕｌ
陈莉敏
（ 常州工程职业技术学院基础部 ． 江苏 常州 ２ ３ ６ １１４）
摘
要 ： 应 用迭代 法计 算势 函数 光 滑 性提 高时 ， 种 边 条件 下 自伴 型 Ｓｕｍ —Ｌｏｖｌ 各 ｔｒ ｉｕｉｅ算子 特 ｌ
）
收稿 日期 ：０ １ １—２ ２ １ —１ ９
作者简介 ： 陈莉敏 （９７一 女 ， １７ ） 江苏扬州人 ， 常州工程职业技术学院讲师 ， 硕士
１６ ５
佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ）
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第３ Ｏ卷 第 １ 期
２１ 年 Ｏ 月 ０２ １
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
Ｊｕ ａ ｏ ａ ｓ Ｕ ｉ ｒ ｔ Ｎ ｔｒｌ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏｒ ｌ ｆ ｉ ｎ Ｊ ｍｕｉ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓ ｉ ｅＥ ｉｏ ） ｅｉ ｕ ｎ ｉ
Ｖｏ ． ０ Ｎｏ． １３ １
４
（ （ ）一ｇ 仃） （ （ ｑ０ （ ）＋ ｇ 仃）一ｇ ０ ） （ ）
表达式 ， 没有文献进行过具体的讨论． 本文就是利 用迭代法求解当ｑ ｘ （ ）∈Ｃ ［ ， ］ ０ ７ 时算子特征值和 ｒ
特征 函数 的渐 近展开 式． 弓 理 １３ 记 Ａ ＝５ ， ０ Ｉ ［ １ 贝
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对 于其他边 条件 ， 同理可证 ． 定 理 ３ Ｓｕｍ — Ｌｏｖｌ ｔｒ ｉｕｉｅ算 子 在 ｑ ） ∈ ｌ （
（ ）＝０若 ｑ ｘ 仃 ， （ ）∈Ｃ ［ ， ， Ｏ 仃］则特征值渐近式
可表 示为 ：
…
ｃ［ ， ］ 特征值的渐近展开式中系数 Ｃ 和Ｃ 为： ２Ｏ仃 时， ｏ 。
鲁 ＋ ＋ ＋ ＋ ． 南 ． ・
（ ） ≠ ∞ ， ≠ ∞ 时 ，。：一１ １ Ｈ Ｃ Ｈ
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当势 函数 光滑性 提 高时 ， 得 到更 精确 的渐近 会 式 的表 达式． 如何得 到 这些估 计 式 中的系数 确切 但