第三章第四节 解析函数与调和函数
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调和函数、解析函数与调和函数的关系
2
y 2
=
0，
则称 (x, y) 为区域������内的调和函数.
定理1：区域������内的解析函数的实部与虚部，都是������内的调和函数.
证明：设 w = f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 是区域������内的解析函数，
那么在区域������内满足柯西-黎曼方程：u = v , u = − v x y y x
由 f (0) = i ，得 C = 1，从而 f (z) = x3 − 3xy2 + i(3x2 y − y3 +1).
另外，还可以通过不定积分的方法，由已知调和函数直接求 得解析函数. 解析函数 f (z) = u(x, y) + iv(x, y) 的导数仍为解析函数，
f ' (z) = ux + ivx = ux − iuy = vy + ivx
=
6x；u y
=
−6xy，2u y2
=
−6x
从而
2u x2
+
2u y 2
= 0，所以：u(x, y) =
x3
− 3xy2 是调和函数.
( ) 由 v = u = 3x2 − 3y2 ，得 v(x, y) = 3x2 − 3y2 dy = 3x2 y − y3 + c(x) y x
定义2：设 u(x, y) 为区域������内的调和函数，称满足柯西-黎曼方程
u = v , u = − v x y y x
的调和函数 v(x, y) 为 u(x, y) 的共轭调和函数.
说明：（1）区域������内的解析函数的实部与虚部为共轭调和函数；
（2）如果已知一个调和函数u(x, y)，则可利用柯西-黎曼方 程求得它的共轭调和函数 v(x, y)，从而构成一个解析函数
复变函数论第3章第4节
2φ x 2
2φ y2
0,
那末称φ( x, y) 为区域 D内的 调和函数 .
调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问
题中有很重要的应用.
定义3.6 在区域 D内满足 C R 方程
u v , u v , x y y x 的两个调和函数 u、v 中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
从而 g( x) 3x2dx x3 C ,
故得 u( x, y) 的共轭调和函数 :
v 3xy2 g( x)
v( x, y) x3 3xy2 C, 由 u( x, y) 及 v( x, y) 可构成解析函数
f (z) y3 3x2 y i( x3 3xy2 C).
2、解析函数与调和函数的关系
定理 3.18 在区域 D 内解析的函数 f (z) u( x, y) iv( x, y), 其虚部 v( x, y) 必为实部 u( x, y) 的共轭调和函数 .
由调和函数的定义可知 ,任取 D 内的两个调和函 数 u、v , 则 u iv 在 D内不一定构成解析函数 .
0
,
同理可得
2v x 2
2v y2
0.
即 u 及 v 在 D 内满足拉普拉斯 (Laplace) 方程 ：
u 0 ,
v 0 .
这里Δ
2 x 2
2 y2
是一种微分算子，
称为 拉普拉斯算子 .
定义3.5 如果二元实函数 φ( x, y) 在区域 D内具有
二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程
e x (cos y i sin y) ( x iy)e x[cos y i sin y] 1 i
高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
解析调和与级数
§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。
若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。
定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。
证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。
同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。
反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。
例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。
y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。
2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。
二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。
证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。
3.4 解析函数与调和函数的关系
注：如果u, v是区域D内的任意两个 调和函数，则u + iv在D内未必解析。
y 例2 证明u ( x, y ) = x − y , v( x, y ) = 2 x + y2
2 2
都是调和函数，但f ( z ) = u + iv不是解析函数。
注：如果u, v是区域D内的两个调和函数， 且v是u的共轭调和函数，即满足C − R方程， 则u + iv在D内解析。
(3.22)
所确定的函数v( x, y ), 使u + iv = f ( z )是D内的
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
公式(3.22)不必强记 可以如下推得 不必强记,可以如下推得 注: 公式 不必强记
3 2
的解析函数, 并求以u ( x, y )为实部的解析函数 f ( z ), 使得f (0) = i.
y 例3.16 验证v( x, y ) = arctan ( x > 0)在 x 右半z平面内是调和函数, 并求以此为虚部 的解析函数.
定理 3.18 定理 3.19
⇔ 在区域D内v( x, y )是u ( x, y )的共轭调和函数.
∂u ∂u v ( x, y ) = ∫ (− dx + dy ) + C ( x0 , y 0 ) ∂y ∂x
( x, y )
(3.22)
例3.15 验证u ( x, y ) = x − 3 xy 是z3; iv y dy = − u y dx + u x dy 然后两端积分.类似的可以由v( x, y )求u ( x, y ).
复变函数3.4解析函数与调和函数的关系
z
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
15
例3.18 求 k 值, 使 u x 2 ky2 为调和函数. 再求v , 使
f ( z ) u iv 为解析函数, 并求 f ( i ) 1 的 f ( z ).
(3x2 3 y 2 )dy C 3x 2 y y 3 C
故： f ( z ) u iv x3 3xy 2 i 3x 2 y y 3 C
x iy iC z 3 iC
3
再由 f(0)=i,得出 C＝1，故 f(z)=z3+i 方法二：两次积分法：首先由C-R条件得： vy=ux=3x2-3y2
( x iy )e
x iy
1 i
e z ze z 1 i ,
f ( z ) V ( z )dz (e z ze z 1 i )dz
ze z (1 i )z c. (c 为任意实常数)
20
例3.22 已知 u v ( x y )( x 2 4 xy y 2 ) 2( x y ),
第四节 解析函数与调和函数 的关系
3.4.1 调和函数的定义 3.4.2 解析函数与调和函数的关系 3.4.3由调和函数构造解析函数
3.4.4 小结与思考
3.4.1 调和函数的概念
定义3.5 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数,且满足拉普拉斯方程:即：
2 H 2 H 2 0 2 x y
10
若已知 v,可用类似的方法求 u
v v u( x , y ) dx dy C ( x0 , y0 ) y x 例3.16 验证v(x,y)=arctan(y/x)(x>0)再由半平面内 是调和函数,并求以此为虚部的解析函数f(z)
解析函数与调和函数的关系
已知实部u，求虚部v(或者已知v，求u)，使 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)解析.
例：已知 u x y ,可以求得 v 2 xy C
2 2
f ( z) x y i(2xy C) z C'
2 2 2
(1)
则称 H ( x, y)为区域D 内的调和函数(harmonic function).
2 2 注：运算符号 ,称为拉普拉斯算子. 2 2 x y
2 2 H H 方程 0 ,记作 H 0 称为拉普拉斯方程. 2 2 x y
2.解析函数与调和函数的关系
定理2.2 若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 是区域D
内的解析函数,则 u(x,y)和v(x,y) 均为区域D 内的
调和函数. 思考 如果 u, v 是任意选取的在区域D 内的两个
调和函数,那么 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 在D 内一定解
析吗？
定义2.5 在区域D 内,满足C-R方程
满足C-R方程
v 为u 在区域D内的共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系 解析函数
f(z)=u(x,y)+iv(x,y) f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
调和函数
u(x,y),v(x,y) 为调和函数 v为u的共轭调和函数
注：研究复变量的问题转化为研究实变量的问题.
验证：解析函数的实、虚部的任意阶偏导数 也是调和函数. 应用 构造解析函数
§2.2
解析函数与调和函数的关系
引言
解析函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) u,v满足C-R方程 解析函数具有无穷可微性 u,v为调和函数
第四讲 解析函数和调和函数讲诉
例1、验证u(x,y)=x3-3xy2是二维平面上的调和函数，并求以它 为实部的解析函数。
解：
2u x2
6x
2u y2 6x
显然：2u 2u 0 ， u(x,y)为调和函数。
x2 y2
若以u(x,y)为实部，则函数解析必须满足C-R条件，所以：
v x
u y
6xy,
(1)
v
u
3x2
3y2,
第二节 解析函数和调和函数
1、共轭调和函数
由复变函数的可微的充要条件，函数可微必须满足C-R条 件，即：u v , u v 。而由C-R条件有：
x y y x
2u x2
2v xy
,
2u y 2
2v yx
显然有：2u
x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
0
定义1(调和函数)：如果实函数u(x,y)在区域D中有二阶连续偏
y0 )
v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) v(x0 , y0 ) 0
y
x
x
y
很显然，两个共轭调和函数的等值曲线在交点处正交。
例2，在复平面上的解析函数f (z) az2 b 解： f (z) az2 b a(x iy)2 b
a x2 y2 b i2axy 所以：u(x, y) a x2 y2 b
定理2：在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部 和虚部为该区域上的共轭调和函数。
2、共轭调和函数的几何意义
在区域D中解析的复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若f’(z)0，并分 别取u(x,y),v(x,y)的等值线：
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1 u( z0 Re )d , v( z0 ) 2
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
设 w f ( z) u iv在区域 D 内解析,
u v u v 那末 , . x y y x 2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,从而
2v 2v , yx xy
2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u u 故 2 0, 2 x y
2 2
1. Laplace算子与共轭调和函数
① Laplace算子
2 H 2 H 偏微分方程 H 2 2 0 称为Laplace方程 x y
1 于是 u ln( x 2 y 2 ) c, 2 故所求的解析函数为 1 y 2 2 f ( z ) u iv ln( x y ) c i arg tan 2 x
ln z c,
定理9.1 如果函数u ( z )在圆 z - z0 R内是一个调和
3 ①平均值公式
v v u ( x, y ) dx dy c ( x0 , y0 ) y x
( x, y )
若D非单连通, 则积分(3.22)可能为多值函数.
2. 解析函数的等价刻划
①定理3.19
设u( x, y)是在单连通区域D内的调
( x, y )
和函数, 则存在由(3.22)式
u u v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x 所确定的函数v( x, y), 使f ( z) u iv是D内的解析函数.
因此v( x, y) 3x 2 y y 3 c, 故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 ) z 3 ic,
如法一可求c 1, 故f ( z) z3 i.
y 例4 已知v( x, y ) arctan ( x 0), 求右半平面 x 的解析函数f ( z ) u iv. 解 在右半z平面上
例1 证明 xy 不能作为解析函数的实部. 2 2u u 证明 设u( x, y) xy , 由于 y 2 , 0,
2
2 2 2 x u 2 xy, u 2 x, u u 2 x, y y 2 x 2 y 2
x 2
故当x 0, u( x, y)不是调和函数,
D内的调和函数 ③ 共轭调和函数 定义3.6 在区域D内满足C - R方程
u v u v , x y y x
的两个调和函数u, v中, v称为u在区域D内的 共轭调和函数. 注2 由于C-R. 方程 ux vy ,uy -vx中，u与v
不能交换顺序， v称为u的共轭调和函数”中的 “ u, v不能交换. 定理3.18 若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在区域 D 内解
找 ( x).
(2) 已知v( x, y)是D内的调和函数, 找u ( x, y), 使u iv在D内解析.
u u C R方程 v v 类似有 du ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
故
注6
若(0,0) D, 则定点( x0 , y0 )可取(0,0),
v( x, y ) u x dy ( x) (3x 2 3 y 2 )dy ( x)
3x y y ( x)
2 3
再由C R方程中另一个vx uy得 vx 6 xy ( x) 6 xy, 故 ( x) 0, 即 ( x) c,
从而在C {0}上u与v不满足C - -R方程,
故v不是u的共轭调和函数.
即f ( z) u( x, y) v( x, y)不是解析函数.
例3
验证u( x, y) x 3xy 是z平面上的调和函数,
3 2
并求以u( x, y)为实部的解析函数f ( z), 使f (0) i.
1 y 2 y x v v x x 2 , , 2 2 2 2 2 x y y x y y y x 1 2 1 2 x x
2 2 2v 2 xy 2v 2 xy v v 2 , 2 2 2 0, 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) y (x y ) x y
则由定理3.12（复变函数的平均值定理）得
u( z0 ) iv( z0 ) f ( z0 )
1 2
2
0
f ( z0 R1 ei )d
1 2
2
0
1 u ( z0 R1 e )d i 2
i
2
0
v( z0 R1 ei )d
比较两端的实部和虚部，且令R1 R, 则
函数, 在闭圆 z - z0 R上连续,则
1 2π u ( z0 ) u ( z0 R ei )d. 2π 0 即u(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.
证明 由定理3.19，存在u( z)的共轭调和函数v( z)使得
u( z) iv( z) f ( z)在圆 z - z0 R内解析，设0 R1 R ，
2u u u u 2 2 6 x, 6 xy, 6 x, 3x 3 y , 2 2 y y x x 2 2
2
解法一
因为在z平面上,
u u 于是 2 0, 2 x y
故u( x, y)为z平面上的调和函数. v v u u 由dv( x, y) dx dy dx dy, x y y x
析, 则在D内v( x, y)必为u( x, y)的共轭调和函数.
注3 如果没有条件“共轭”定理3.18的逆未必成立。 也就是说即使u, v均是D内的调和函数,u iv在区域 D 内也不一定解析。
④ 解析函数的构造 假设D是单连通区域 (1) 已知u ( x, y)是D内的调和函数, 找v( x, y),
方法二: 应用不定积分
u v u 由C - - R方程 , 有 v( x, y ) dy ( x), x y x
v u 再由C - - R方程另一条件 x y
有
u v( x, y ) u dy ( x) , y x x x
再由C - -R方程中的另一个
u v 得 y x
1 u ( x, y ) ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2
1 2y u v y ( y ) 2 2 2 2 2x y y x x y
从而 ( y) 0, 故 ( y) c,
u 2u u 2u 证明 由于 2 x, 2, 2 y, 2, 2 2 x x y y v 2 xy v x2 y 2 2 , 2 , 2 2 2 2 x ( x y ) y ( x y )
2v 6 x2 y 2 y3 2 , 2 2 3 x (x y )
故在右半z平面上, v( x, y) 为调和函数.
由C - -R方程中的一个u v 得 x y u v x 2 , 2 x y x y
故
v u u ( x, y ) dx ( y ) dx ( y ) y x x 2 dx ( y ) 1 ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2 x y 2
由数学分析中格林公式的等价命题知,
u u dx dy Pdx Qdy y x
令
是全微分,
u u dx dy dv( x, y ), (3.21) y x
u u 则 v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x
(3x 3 y )dy c 0
y
o
x
X
3x 2 y y 3 c
故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 c) z 3 ic,
②刻划解析函数又一等价条件
f ( z) u iv在区域D内解析
定理3.18
定理 3.19
在区域D内,v是u 的共轭调和函数.
注7 由于任一二元调和函数都可作解析函数的实 部(或虚部),由解析函数的任意阶导数仍解析知,任 一二元调和函数的任意阶偏导数也是调和函数.
虽然在直线x 0上满足Laplace方程, 但直线不是区域,
即在z平面的任一区域, xy 2不能作为解析函数的实部.
y 例2 证明 : u( x, y) x y , v( x, y) 2 都是 2 x y
2 2
调和函数, 但f ( z ) u( x, y) iv( x, y)不是解析函数.
使u iv在D内解析.
u u 2 0, 方法一: 应用曲线积分 由于 2 x y u u 即 - 与 在D内具有连续的一阶偏导数, y x
2 2
u u u u 且 , 记 P , Q , 则Py Qx , y y x x y x
( x, y )
注4
对(3.22)分别对x, y求偏导数, 得
u v u v , x y y x
由定理3.15知, u iv在D内解析.
注5 (3.21)可由下式简便记忆
v v dv( x, y ) dx dy x y
C R方程
u u dx dy y x
第三章 复变函数的积分
第十二讲
第四节 解析函数与调和函数
1. Laplace算子与共轭调和函数 2. 解析函数的等价刻画 3. 调和函数的平均值定理与极值原理
设 w f ( z) u iv在区域 D 内解析,
u v u v 那末 , . x y y x 2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
根据解析函数高阶导数定理, u 与 v 具有任意阶的连续偏导数,从而
2v 2v , yx xy
2v 2v 同理 2 0, 2 x y
u u 故 2 0, 2 x y
2 2
1. Laplace算子与共轭调和函数
① Laplace算子
2 H 2 H 偏微分方程 H 2 2 0 称为Laplace方程 x y
1 于是 u ln( x 2 y 2 ) c, 2 故所求的解析函数为 1 y 2 2 f ( z ) u iv ln( x y ) c i arg tan 2 x
ln z c,
定理9.1 如果函数u ( z )在圆 z - z0 R内是一个调和
3 ①平均值公式
v v u ( x, y ) dx dy c ( x0 , y0 ) y x
( x, y )
若D非单连通, 则积分(3.22)可能为多值函数.
2. 解析函数的等价刻划
①定理3.19
设u( x, y)是在单连通区域D内的调
( x, y )
和函数, 则存在由(3.22)式
u u v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x 所确定的函数v( x, y), 使f ( z) u iv是D内的解析函数.
因此v( x, y) 3x 2 y y 3 c, 故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 ) z 3 ic,
如法一可求c 1, 故f ( z) z3 i.
y 例4 已知v( x, y ) arctan ( x 0), 求右半平面 x 的解析函数f ( z ) u iv. 解 在右半z平面上
例1 证明 xy 不能作为解析函数的实部. 2 2u u 证明 设u( x, y) xy , 由于 y 2 , 0,
2
2 2 2 x u 2 xy, u 2 x, u u 2 x, y y 2 x 2 y 2
x 2
故当x 0, u( x, y)不是调和函数,
D内的调和函数 ③ 共轭调和函数 定义3.6 在区域D内满足C - R方程
u v u v , x y y x
的两个调和函数u, v中, v称为u在区域D内的 共轭调和函数. 注2 由于C-R. 方程 ux vy ,uy -vx中，u与v
不能交换顺序， v称为u的共轭调和函数”中的 “ u, v不能交换. 定理3.18 若f ( z ) u( x, y) iv( x, y)在区域 D 内解
找 ( x).
(2) 已知v( x, y)是D内的调和函数, 找u ( x, y), 使u iv在D内解析.
u u C R方程 v v 类似有 du ( x, y ) dx dy dx dy x y y x
故
注6
若(0,0) D, 则定点( x0 , y0 )可取(0,0),
v( x, y ) u x dy ( x) (3x 2 3 y 2 )dy ( x)
3x y y ( x)
2 3
再由C R方程中另一个vx uy得 vx 6 xy ( x) 6 xy, 故 ( x) 0, 即 ( x) c,
从而在C {0}上u与v不满足C - -R方程,
故v不是u的共轭调和函数.
即f ( z) u( x, y) v( x, y)不是解析函数.
例3
验证u( x, y) x 3xy 是z平面上的调和函数,
3 2
并求以u( x, y)为实部的解析函数f ( z), 使f (0) i.
1 y 2 y x v v x x 2 , , 2 2 2 2 2 x y y x y y y x 1 2 1 2 x x
2 2 2v 2 xy 2v 2 xy v v 2 , 2 2 2 0, 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) y (x y ) x y
则由定理3.12（复变函数的平均值定理）得
u( z0 ) iv( z0 ) f ( z0 )
1 2
2
0
f ( z0 R1 ei )d
1 2
2
0
1 u ( z0 R1 e )d i 2
i
2
0
v( z0 R1 ei )d
比较两端的实部和虚部，且令R1 R, 则
函数, 在闭圆 z - z0 R上连续,则
1 2π u ( z0 ) u ( z0 R ei )d. 2π 0 即u(z) 在圆心处的值等于它在圆周上值的算术平均值.
证明 由定理3.19，存在u( z)的共轭调和函数v( z)使得
u( z) iv( z) f ( z)在圆 z - z0 R内解析，设0 R1 R ，
2u u u u 2 2 6 x, 6 xy, 6 x, 3x 3 y , 2 2 y y x x 2 2
2
解法一
因为在z平面上,
u u 于是 2 0, 2 x y
故u( x, y)为z平面上的调和函数. v v u u 由dv( x, y) dx dy dx dy, x y y x
析, 则在D内v( x, y)必为u( x, y)的共轭调和函数.
注3 如果没有条件“共轭”定理3.18的逆未必成立。 也就是说即使u, v均是D内的调和函数,u iv在区域 D 内也不一定解析。
④ 解析函数的构造 假设D是单连通区域 (1) 已知u ( x, y)是D内的调和函数, 找v( x, y),
方法二: 应用不定积分
u v u 由C - - R方程 , 有 v( x, y ) dy ( x), x y x
v u 再由C - - R方程另一条件 x y
有
u v( x, y ) u dy ( x) , y x x x
再由C - -R方程中的另一个
u v 得 y x
1 u ( x, y ) ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2
1 2y u v y ( y ) 2 2 2 2 2x y y x x y
从而 ( y) 0, 故 ( y) c,
u 2u u 2u 证明 由于 2 x, 2, 2 y, 2, 2 2 x x y y v 2 xy v x2 y 2 2 , 2 , 2 2 2 2 x ( x y ) y ( x y )
2v 6 x2 y 2 y3 2 , 2 2 3 x (x y )
故在右半z平面上, v( x, y) 为调和函数.
由C - -R方程中的一个u v 得 x y u v x 2 , 2 x y x y
故
v u u ( x, y ) dx ( y ) dx ( y ) y x x 2 dx ( y ) 1 ln( x 2 y 2 ) ( y ) 2 x y 2
由数学分析中格林公式的等价命题知,
u u dx dy Pdx Qdy y x
令
是全微分,
u u dx dy dv( x, y ), (3.21) y x
u u 则 v ( x, y ) dx dy c, (3.22) ( x0 , y0 ) y x
(3x 3 y )dy c 0
y
o
x
X
3x 2 y y 3 c
故w f ( z) u iv ( x3 3xy 2 ) i(3x2 y y3 c) z 3 ic,