平方可和算子值函数空间的标准正交基
最佳逼近
若p S是最佳逼近元，则f p S，即
( f - g , 1 ( x)) 0, ( f - g , 2 ( x)) 0,..., ( f - g , m ( x))
称为法方程或者正规方程。
( f ( x ) - p( x )) ( x ) [ y (c ( x ) ... c
函数的最佳逼近
主讲 孟纯军
插值法是用多项式近似的表示函数,并要 求在他们的某些点处的值相拟合. 最佳逼近（或者曲线拟和）也是用简单 函数逼近复杂函数（或未知函数），但 是，逼近的原则和插值的原则不一样。
离散情形
最小二乘拟合直线 最小二乘拟合多项式 非线性拟合
Hilbert空间中的投影定理
1的基为1, x, 则g 1是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
(f g ,1)= ( f ( xi ) g ( xi )) 1 ( f ( xi ) (a bxi )) 1 0
i 1 i 1
n
n
(f g ,x)= ( f ( xi ) g ( xi )) xi ( f ( xi ) (a bxi )) xi 0
2 i 1
n
即如下最佳逼近问题：
1.子空间为 m，即次数不超过n的多项式， 取它的基函数为 1， x,...x ;
m
2. 在 m中找一个元素p( x)，使它与给定函数 f ( x)最靠近,即 ( p( xi） f ( xi )) 2 min 。
i 1 n
p m是f ( x)在最佳逼近元的充要条件为
b=0.9068
最小二乘拟合直线为y= 0.0147 +0.9068x
一组标准正交基 则阿尔法
一组标准正交基则阿尔法
标准正交基也叫规范正交基。
实际上，只要这些基向量互相垂直，就叫正交基，而且每个基向量的长度等于单位1的话，则阿尔法就叫做标准正交基。
高等数学的一个概念。
若向量空间的基是正交向量组，则称其为向量空间的正交基，若正交向量组的每个向量都是单位向量，则称其为向量空间的标准正交基。
无论在有限维还是无限维空间中，正交基的概念都是很重要的。
在无限维希尔伯特空间中，正交基不再是哈默尔基，也即是说不是每个元素都可以写成有限个基中元素的线性组合。
因此在无限维空间中，正交基应该被更严格地定义为由线性无关而且两两正交的元素组成、张成的空间是原空间的一个稠密子空间（而不是整个空间）的集合。
有前面的定义可以知道，在无穷维空间的情况下，正交基不再是一般线性代数的定义下的基。
为了区分，把一般线性代数的定义下的基称为哈默尔基。
在内积空间的实际应用中，标准正交基甚少出现，因此提到“基”的概念时，一般指的是正交基。
运用佐恩引理和格拉姆-施密特正交化方法，可以证明每个希尔
伯特空间都有基，并且有正交基。
同一个空间的正交基的基数必然是相同的。
当一个希尔有数间有可数个元素组成的正交基，就说这个空间是可分的。
称基中的元素为基向量。
假若，一个正交基的基向量的模长都是单位长度1，则称这正交基为标准正交基。
注意，在没有定义内积的空间中，“正交基”一词是没有意义的。
因此，一个巴拿赫空间有正交基，当且仅当它是一个希尔伯特空间。
高等代数课件 第八章
( ,) (x1 y1)2 (xn yn )2 （6）
2．标准正交基的性质
设 {1,2} 是 V2 的一个基，但不一定是
正交基。从这个基出发，只要能得出 V2 的一个
正交基 {1, 2}, 问题就解决了,因为将 1和2
再分别除以它们的长度，就得到一个规范正交
注意：（7）和（8）在欧氏空间的不等式（6） 里被统一起来. 因此通常把(6)式称为柯西-施瓦兹不 等式.
三、向量的正交
定义4 欧氏空间的两个向量ξ与η说是正交的,
如果 , 0
定理8.1.2 在一个欧氏空间里，如果向量ξ
与1,2,,r 中每一个正交，那么ξ与 1,2,,r
的任意一个线性组合也正交.
2 a1 2 a1 0,
因而 2 0,
这就得到 V2 的一个正交基 {1, 2}.
3．标准正交基的存在性
定理8.2.2（正交化方法) 设 {1,2 ,,n}
是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由 1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
由于1,2,,k 线性无关，得 k 0,
又因为假定了 1, 2 ,, k1 两两正交，所以
k ,i
k ,i
k ,i i , i
i , i 0, i 1,2,, k 1
这样，1, 2,, k 也满足定理的要求。
定理8.2.3 任意n(n >0)维欧氏空间一定有正交
基，因而有标准正交基.
例4 在欧氏空间 R3中对基
4) 当 0 时, , 0 这里 ,, 是V的任意向量，a是任意实数，那么
, 叫做向量ξ与η的内积，而V叫做对于 这个内积来说的一个欧氏空间（简称欧氏空间）.
希尔伯特空间中的规范正交系
施密特正交化方法
01
施密特正交化方法是一种将一组线性无关的向量转化为正交向 量组的方法。
02
该方法通过构造一个正交矩阵，使得该矩阵的列向量与给定的
向量组正交。
施密特正交化方法的步骤包括构造一个正交矩阵、单位化以及
03
标准化。
格拉姆-施密特正交化方法
格拉姆-施密特正交化方法是另一种将一组线性 无关的向量转化为正交向量组的方法。
希尔伯特空间中的规范正交系
目录
• 希尔伯特空间简介 • 规范正交系的基本概念 • 规范正交系的构造方法 • 规范正交系的应用 • 规范正交系的扩展与推广
01 希尔伯特空间简介
定义与性质
定义
希尔伯特空间是无穷维的线性空间， 具有完备的内积。
性质
希尔伯特空间具有完备性、可分性、 自反性等性质，是数学和物理中重要 的概念。
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内积空间
在希尔伯特空间中，任意两个向量之间的内积是一个标量，满足 正定性、对称性和线性性质。
规范正交
在希尔伯特空间中，如果一组向量是线性无关的，并且它们的内积 为零，则这组向量被称为规范正交系。
完备性
一个规范正交系在希尔伯特空间中是完备的，意味着它可以展开空 间中的任意向量。
无限维希尔伯特空间中的规范正交系
系数是唯一的。
应用
03
在量子力学中，波函数通常被表示为一组规范正交基的线性组
合，这组基底通常是动量空间或位置空间的基底函数。
03 规范正交系的构造方法
正交化过程
选取一组线性无关的向量，作 为初始向量组。
通过正交化过程，将初始向 量组转化为正交向量组。
正交化过程包括将向量两两垂 直，即它们的点积为0。
第二章 函数正交变换与离散傅里叶变换
M可以是有限值也可以是无穷大
2.1函数的正交展开
•1：如何确定各系数 数fm •2：确定出的各系数能否保证级数确实收敛为函数f（t）
f (t ) f11 (t ) f 2 2 (t ) ....... f m m (t )
M
n (t )内 •解决方案：取和 决 内积
伸缩单位为实数
，伸缩单位
2.2离散系统和连续系统的等效性
实际问题：如何用数字机对连续系统仿真，即用离散系统代替连续系统？ 连续系统空间 离散系统空间 L2（R） l2（Z）
即能在空间找到一个同构映射u,使上述两个空间的元有一一对应的关系 连续到离散系统 离散到连续系统
y (n) { y (t )} y (t ) 1{ y (n)}
）空间中完备， 其正交性为
0 nm c ( t ) c ( t ) dt n m 1/T n m
c /T
即是正交逼近基
10
2013/3/22
2.2离散系统和连续系统的等效性
给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合定常映射条件 即连续系统离散化时，通常利用的方法是采样（也是正交展开的一种）， 还可以利用其他符合定常映射条件的展开方法。 例1：带限函数对偏移采样函数序列展开
.e
j
2 tl T
T 2
T 2
fT (t )
k l k l
2 2 j kt kt j 1 1 ck fT (t ), e T fT (t )e T dt T T
T 2
e
2 j t ( k l ) T
T 0
k
ce
k
函数正交变换与离散傅里叶变换_图文_图文
满足定常映射条件
2.2离散系统和连续系统的等效性
给出几个正交展开的实例，并且判断是否符合定常映射条件 即连续系统离散化时，通常利用的方法是采样（也是正交展开的一种）， 还可以利用符合定常映射条件的展开方法。 例2：时限函数对复指数函数序列的展开
DFT变换长度选择的原则
(1)若已知信号的最高频率 ；
，为防止混叠，选采样频率
(2)根据频率分辩率 ，确定所需DFT的长度
(3) 和N确定以后，即可确定相应所需要的模拟信号的时间
长度，。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT变换长度选择的原则
在变换时尽量截取信号的完整周期，否则会引入新的频率 成分。并不是截取的信号越长越好
1、 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2、 相当于频谱
在
范围内实施了等间隔采
样，采样间隔为
离散傅立叶反变换(IDFT)
2.3离散傅里叶变换及性质
据DFT和IDFT的定义知：
∴有限长序列的DFT是 的周期序列，周期为N； IDFT所求得的 也变成了一个周期为N的周期序列， 即通过IDFT将原 进行了周期延拓。
若对傅立叶变换频域0～2π取样，点数N> 信号长度L，信号才能恢复
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的定义
在
上从0开始等间隔的取N个点，相应的
（k=0,…,N-1),则上式变为：
定义 式
其中 为序列 在离散频率点
上的频谱值。
2.3离散傅里叶变换及性质
DFT的意义
有限长序列 的离散傅立叶变换（简称DFT）的意义：
f(t)对规范正交逼近基底的正交展开收敛于原f(t)
正交性定理
正交性定理正交性定理是线性代数中极为重要的一个定理，它在许多领域，特别是在信号处理、图像处理和物理学等方面都有广泛的应用。
在本文中，我将介绍正交性定理的概念、证明过程以及它的几个重要应用。
正交性定理是指两个向量的内积为0时，它们是正交的。
换句话说，如果两个向量的内积等于0，那么它们垂直于彼此。
内积是一种度量两个向量之间相似性的方法，它是两个向量的点积。
对于两个向量u和v，它们的内积可以表示为u·v。
如果u·v=0，则u和v是正交的。
接下来，我们将证明正交性定理。
假设有两个向量u=(u₁,u₂,...,uₙ)和v=(v₁,v₂,...,vₙ)。
它们的内积可以表示为：u·v= u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ我们假设u·v=0，即：u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ = 0我们可以将这个方程写成矩阵形式，即：[u₁ u₂ ... uₙ] · [v₁ v₂ ... vₙ]ᵀ = 0这个矩阵乘法等于0的条件是，矩阵的每一行与每一列的乘积之和等于0。
也就是说，u和v的每一个分量乘积之和等于0。
根据这个条件，我们可以得出结论，如果u·v=0，那么u和v是正交的。
正交性定理在很多应用中都有重要的作用。
首先，它在信号处理中被广泛用于傅里叶变换。
傅里叶变换将一个信号分解成一组正交基函数，每个基函数都代表了不同的频率。
这个定理的应用使得我们可以对信号进行频率分析，从而更好地理解和处理信号。
其次，正交性定理在图像处理中也扮演着重要的角色。
在图像处理中，我们经常会用到卷积操作。
卷积操作可以将一个图像与一个卷积核进行卷积，得到一个新的图像。
正交性定理告诉我们，如果一个卷积核是正交的，那么它可以保持图像的一些特性，比如边缘和纹理。
这个定理的应用使得我们可以通过设计适当的卷积核来改善图像质量。
另外，正交性定理在物理学中也是非常重要的。
在量子力学中，波函数的正交性是量子理论的基础之一。
希尔伯特空间与正交性
希尔伯特空间与正交性希尔伯特空间是数学中一种重要的函数空间，它在函数分析、量子力学等领域中具有广泛的应用。
而正交性则是希尔伯特空间中一个关键的概念，它在描述函数之间的关系和性质时起到了重要作用。
一、希尔伯特空间的定义及性质希尔伯特空间是一个完备的内积空间，也就是满足空间中的任意Cauchy序列都有极限元素存在。
它的内积在满足线性性、对称性和正定性的基础上，还满足了帕塞瓦尔不等式和柯西-施瓦茨不等式。
在希尔伯特空间中，我们可以定义向量的长度，也就是向量的范数。
常见的范数有L2范数和L∞范数，它们分别对应了希尔伯特空间中的平方可积性和有界性。
此外，希尔伯特空间中还有一些重要的子空间，如离散和连续空间等。
二、正交性的概念与性质在希尔伯特空间中，正交性是指两个向量之间的相互垂直关系。
具体而言，如果向量u和v在希尔伯特空间中的内积为0，则称它们是正交的。
正交性是希尔伯特空间中一个非常重要的性质，它帮助我们研究函数的性质、展开定理、最优逼近等问题。
正交性的一个重要应用是正交基的构造。
在希尔伯特空间中，如果一组向量v1，v2，...，vn两两正交，并且每个向量的范数为1，则它们构成了一组正交归一基。
正交归一基在求解线性方程组、信号处理、图像压缩等问题中具有重要的应用。
正交投影是希尔伯特空间中另一个重要的概念。
它指的是将一个向量分解到一个子空间上，并使得分解的投影向量与子空间中的向量正交。
正交投影在信号处理、图像重建等领域中有着广泛的应用。
三、希尔伯特空间与正交性的应用希尔伯特空间和正交性在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在数学中，希尔伯特空间是函数分析的重要工具，可以用来研究广义函数空间、调和分析等问题。
在物理学中，希尔伯特空间被广泛应用于量子力学中的波函数描述、量子力学算符的性质等方面。
正交性在信号处理中也具有重要的应用。
例如，正交频分复用技术能够将多个频率上的信号通过正交的方式叠加在一起，从而提高信号传输的效率和容量。
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第３２卷第４期
２０１１年８月
华北求和ｊ水电学院学报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｒｔｈ Ｃｈｉｎａ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｗａｔｅｒ Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ ａｎｄ Ｈｙｄｒｏｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｐｏｗｅｒ
Ｖｏ１．３２ Ｎｏ ４
Ａｕｇ。２０１１
文章编号：１００２—５６３４｛２垂ｔ１）ｏ４一 ５９一啦
平方可和算子值函数空间的标准正交基
张海模
（黄淮学院数学科学系，海南驻马店４６３０００）
摘要：给出了平方可和算子值函数空间的标准正交基，同时指出解析函数空间 为其特殊情形。
关键谲：平方可和算子值函数空闯；Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｓｃｈｍｉｄｔ算子；Ｈｉｌｂｅｒｔ空阅
１ 预备知识
文献［Ｉ］在平方可和算子值函数空间中给出了 平方可和算子值函数空阅Ａ（ ）的概念．并证明了 Ａ（ ）是Ｈｉｌｂｅｒｔ空间．笔者在文献［１］的基础上给出 了平方可和算子值函数空间的标准正交基，同时还 指出解析函数空间 为其特殊情形。并对这类函数 的特点及性质进行了讨论． 用髫表示给定的复可分Ｈｉｌｂｅｒｔ空间， （ｔ－ｔ）， 露 （胃）分别表示 上的有界线算子和Ｈｉｌｂｅｒｔ— Ｓｃｈｍｉｄｔ算子的全体，Ｄ：｛ｚ，｝＝ｆ＜１）表示复平面 内开单位圆盘，ｆｆ．１ｌ：表示Ｈｉｌｂｅｒｔ—Ｓｃｈｍｉｄｔ的范数， ＜・，・＞：表示艿２（ ）中的内积弘 。 既然Ａ（ｚ）为一Ｈｉｌｂｅｒｔ空间，为了能够进一步 讨论平方可和算子值函数空间的结构，下面给出 Ａ（ ）的标准正交基． ２ Ａ（名）函数的标准正交基 定理设｛妒 ） 。，｛ ）田－。为 的任意２组标 准正交基，则｛ ④≯ ） ，（ｚ∈Ｄ）为Ａ（ ）的一 组标准正交基。 弓ｌ理Ｂ：（日）ｃＢ。（ ），且 ：（ ）中的任一算 子 为形如 矗＝∑Ａ 妒 ０ ， 』 …… ‘ ∑ 。＜∞ 的全连续算子全体，并且有 《Ａ ８：：∑ ｌ ， 证明 １）设｛ｚ ｃｐ ０ ， 为矗（ｚ）的一组
标准正交列，显然有
⑧ ∈Ａ（ｚ），后，ｉ＝０，１，２，…，
。 ０ ｝｛：｝｝妒 ＠ ； ：：｝； ｝｝ＩＩ ８：１，
＜ｚ ⑧ ｉ，ｚ ｉ④ ￡＞＾＝
ｆ ０，ｋ≠￡，
《
【＜ ＠妒 ， ＠ ＞２，
式中：＜９ ０砂 ，竹。 ＞ ＝
＜ ｉ， ＞＜ ｉ， ＞：
｛ ： ：
这表明＜＝ 妒；０妒 ） 为Ａ（：）的一组标准正
交列．
２）若 ｚ）∈Ａ（ｚ），且
ｚ）上｛ｚ ｉ＠ ） ：。，
则，（ｚ）＝０．
解析函数 ｚ）可写成
ｚ）＝∑Ａ ｚ
形式，由弓ｌ理可知每个Ａ 均可写成
Ａ ＝∑Ａ ’ ｏ ，ｉ＝０，１，２，…，
０：＜，（ｚ），ｚ 妒 ＠ ＞ ：＜矗 ，妒ｆ ０ ｊ＞２：
＜∑Ａ 壮 ④ ， ０ ＞２：Ａ 。
ｉ＝０
收稿日期：２０１ｉ一０６—１０
作者简介：张海模（ｉ９６５一），男 河南新蔡人，副教授，硕士，主要从事微积分、线性代数、概率统计等方面的研究
１６０ 华北水利水 电学院学报 ２０１１年８月
这样Ｖ ｋ，Ａ ：０，从而有 ：）＝０．
由１），２）可知｛ｚ ｏ ｝≯ 为Ａ（ｚ）的一组
标准正交基，证毕．
３ Ａ（ｚ）函数的特点和性质
设厂（ ） Ａｎｚ （ Ａｉ 。 ）ｚ
∈Ａ（ｚ），由于｛ ｏ ） 为Ａ（ ）的一组标准
正交基，因此可以假设：
厂（＝）＝∑Ｏｋｉ（ ｏ ）ｚ ，
∑ ｌ ＜∞．
由于 Ａ ＝∑ａ ＠ ，
可令Ｅ。： ｏ ， Ｅ＝（Ｅ０，Ｅ１，…，Ｅ ，…），
则 （＝ ） ＝（１， ， ，…），
其中Ｔ表示矩阵的共轭转置．用（ａ ） 表示复数
矩阵，
ａ００ ａ１０
ａｏｌ ａｆ１
ａｏ ０ｌ
则 厂（ｚ）＝（Ｅ ）（ ）（ ‘），
特别当日为一维空间时，
，（ｚ）＝（ａ０，０。，ａ２，…）
此时Ａ（ｚ）恰为解析函数空间 ．
参 考 文 献
［１］朱石焕，郑颖慧．平方可和算子值函数空间［Ｊ］，安阳师
范学院学报，２００９（Ｏ２）：１４一ｌ５
［２］李国平，蹇明．算子函数论［Ｍ］．武汉：武汉大学出版
社，１９９６．
［３］Ｂｒａｎｇｅｓ Ｌ Ｄ，Ｒｏｖｎｙａｋ Ｊ．Ｓｑｕａｒｅ ｓｕｍｍａｂｌｅ ｐｏｗｅｒ ｓｅｒｉｅｓ
［Ｍ］．Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｈｏｌｔ Ｒｉｎｅｂａ￣ａｎｄ ｗｉｎｓｔｏｎ，１９６６．
Ｏｒｔｈｏｎｏｒｍａｌ Ｂａｓｉｓ ｏｆ Ｓｑｕａｒｅ ａｎｄ ｔｈｅ Ｏｐｅｒａｔｏｒ Ｖａｌｕｅｄ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ Ｓｐａｃｅ
ＺＨＡＮＧ Ｈａｉ．ｍｏ
（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｈｕａｎｇｈｕａｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｕｍａｄｉａｎ ４６３０００，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉ ｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ－ｓｑｕａｒｅ ｓｕｍｍａｂｌｅ ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ’ｓｐａｃｅ Ａ（ｚ）ｉｓ ｔｈｅ ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ ｉｔｓ ｂａｓｅ ａｎｄ ｉｔ ｐｏｉｎｔｓ
ｏｕｔ ｔｈａｔ ｔｈｅ ｓｐａｃｅ ｏｆ ａｎａｌｙｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ ｉｓ ａ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｓｅ ｏｆ Ａ（ｚ）．
Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｐａｃｅ ｏｆ ｓｑｕａｒｅ；ｏｐｅｒａｔｏｒ－ｖａｌｕｅｄ ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；Ｈｉｌｂｅｒｔ－Ｓｃｈｍｉｄｔ
（责任编辑：蔡洪涛ｌ
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曲
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