高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

高中数学-椭圆常考题型汇总及练习

第一部分：复习运用的知识

（一）椭圆几何性质

椭圆第一定义:平面内与两定点21F F 、距离和等于常数

()a 2(大于2

1F F ）的点的轨迹叫做椭圆.

两个定点叫做椭圆的焦点；两焦点间的距离叫做椭圆的焦距

()c 2. 椭圆的几何性质:以

()012

2

22>>=+b a b y a x 为例 1. 范围: 由标准方程可知，椭圆上点的坐标()y x ,都适合不等式1,122

22≤≤b

y a x ，即

b y a x ≤≤,说明椭圆位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形里（封闭曲线）.该性质主要用

于求最值、轨迹检验等问题.

2. 对称性:关于原点、x 轴、y 轴对称，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。

3. 顶点（椭圆和它的对称轴的交点） 有四个：()()()().,0B ,0B 0,0,2121b b a A a A 、、、--

4. 长轴、短轴：

21A A 叫椭圆的长轴，a a A A ,221=是长半轴长； 21B B 叫椭圆的短轴，b b B B ,221=是短半轴长.

5. 离心率

（1）椭圆焦距与长轴的比a

c

e =，()10,0<<∴>>e c a Θ （2）22F OB Rt ?,

2

22

22

22OF OB F B +=，即222c b a +=.这是椭圆的特征三角形，并且

22cos B OF ∠的值是椭圆的离心率.

（3）椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定，与焦点所在的坐标轴无关.当e 接近于1时，c 越接近于a ，从而22c a b -=

越小，

椭圆越扁；当e 接近于0时，c 越接近于0，从而2

2c a b -=越大，椭圆越接近圆。

6.通径（过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦），a

b 2

2.

7.设21F F 、为椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，当21F F P 、、三点不在同一直线上时，

21F F P 、、构成了一个三角形——焦点三角形. 依椭圆的定义知：

c F F a PF PF 2,22121==+.

（二）运用的知识点及公式

1、两条直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-；两条直线垂直，则直线所在

的向量120v v =r r

g

2、韦达定理：若一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠有两个不同的根12,x x ，则

1212,b c x x x x a a

+=-=。

3、中点坐标公式：1212

,y 22

x x y y x ++==，其中,x y 是点1122(,)(,)A x y B x y ，的中点坐标。 4、弦长公式：若点1122(,)(,)A x y B x y ，在直线(0)y kx b k =+≠上，

则1122y kx b y kx b =+=+，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，

AB =

或者

AB =

（三）转方向：

方向一：向斜率转化，变为函数最值及最优解问题，或者变为不等式问题 方向二：向距离转化

第二部分：椭圆常考题型解题方法典例 一、椭圆定义相关题目

例1、已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由??

?

??-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

，且4≠k ．

说明：本题易出现如下错解：由?

??<-<-,03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆． 例2、已知1cos sin 2

2

=-ααy x )0(πα≤≤表示焦点在

y 轴上的椭圆，求α的取值范围．

解：方程可化为1cos 1sin 12

2=+α

αy x ． 因为焦点在

y 轴上，所以0sin 1

cos 1>>-

α

α． 因此0sin >α且1tan -<α从而)4

3

,2(ππα∈．

说明：(1)由椭圆的标准方程知

0sin 1>α，0cos 1

>-α，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在y 轴上，知αcos 12-=a ，α

sin 12

=b ．

(3)求α的取值范围时，应注意题目中的条件πα<≤0．

例3、 以椭圆

13

122

2=+y x 的焦点为焦点，过直线09=+-y x l ：上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须用点直线对称就可解决．

解：如图所示，焦点为()031，-F ，()032，F ．F 的坐标为（－9，6），直线2FF 的方程为

032=-+y x ．

解方程组?

?

?=+-=-+090

32y x y x 得交点M 的坐标为（－5，4）．

所求椭圆的长轴：562221==+=

FF MF MF a ，

∴53=a ，又3=c ， ∴()

3635322

222

=-=-=c a b

．

因此，所求椭圆的方程为

136

452

2=+y x ． 二、椭圆与直线的位置关系及弦长相关题目 例4、 已知椭圆142

2

=+y x 及直线

m x y +=．

（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为

5

10

2，求直线的方程． 解：（1）把直线方程

m x y +=代入椭圆方程1422=+y x 得

()142

2=++m x x ，

即01252

2

=-++m mx x ．

()()

020*********

≥+-=-??-=?m m m ，解得2

5

25≤

≤-

m ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为1x ，2x ，

由（1）得5

221m

x x -=+，51221-=m x x ．

根据弦长公式得 ：5102514521122

2

=-?

-??

?

??-?+m m ． 解得0=m ．方程为x y =．

说明：对比直线与椭圆和直线与圆的位置关系问题及有关弦长问题的解题方法？．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 例5、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3

π

的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

13

48]4))[(1(1212212212=

-++=-+=x x x x k x x k AB ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为

19

362

2=+y x ， 设

m AF =1，n BF =1，则m AF -=122，n BF -=122．

在21F AF ?中，3

cos

22112

212

12

2π

F F AF F F AF AF -+=，

即2

1

362336)

12(22

???-?+=-m m m ；

所以3

46

-=

m ．

同理在21F BF ?中， 用余弦定理得3

46

+=

n ，

所以13

48=

+=n m AB ． (法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程0836372132

=?++x x 求出方程的两根1x ，2x ，它们分别是

A ，

B 的横坐标．

再根据焦半径11ex a AF +=，21ex a BF +=，

从而求出

11BF AF AB +=．

三、轨迹方程相关题目

例6、 已知动圆P 过定点()03，-A ，且在定圆()64322=+-y x B ：的内部与其相内切，求动

圆圆心P 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点，

即定点()03，

-

A和定圆圆心()03，

B距离之和恰好等于定圆半径，

即8

=

=

+

=

+BM

PB

PM

PB

PA．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为7

3

42

2=

-

=

b的椭圆的方程：1

7

16

2

2

=

+

y

x

．

例7、已知椭圆1

2

2

2

=

+y

x

，

（1）求过点?

?

?

?

?

2

1

2

1

，

P且被P平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过()12，

A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足

2

1

-

=

?

OQ

OP

k

k，求线段PQ中点M的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为()1

1

y

x

M，，()2

2

y

x

N，，线段MN的中点()y

x

R，，则

（1）将21=

x ，21=y 代入⑤，得2

12121-=--x x y y ， （2）故所求直线方程为： 0342=-+y x ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程222

2

=+y x 得04

1

662

=-

-y y

， 04

1

6436>?

?-=?符合题意，0342=-+y x 为所求． （2）将

22

12

1=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为：04=+y x ．

（椭圆内部分） （3）将

2

1

2121--=

--x y x x y y 代入⑤ 得所求轨迹方程为： 02222

2

=--+y x y x ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得：

()

22

2

2212

221=+++y y x x ， ⑦， 将③④平方并整理得

2122

22124x x x x x -=+， ⑧， 212222124y y y y y -=+， ⑨

将⑧⑨代入⑦得：

()

2244

242122

12=-+-y y y x x x ， ⑩ 再将

21212

1

x x y y -=代入⑩式得：

221242212

212

=??

?

??-

-+-x x y x x x ，

即 12

12

2

=+y x ． 例8、 知圆122=+y x ，从这个圆上任意一点P 向y 轴作垂线段，求线段中点M 的轨迹． 解：1422=+y x ．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，具体做法：首先设动点的坐标为),(y x ， 设已知轨迹上的点的坐标为),(00y x ，然后根据题目要求，使x ，y 与0x ，0y 建立等式关系，

从而由这些等式关系求出0x 和

0y 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于x ，y 的方程，

化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例9、 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆

19

362

2=+y x 所截得的线段的中点，求直线l 的方程． 分析：“设而不求”法

解：方法一：设所求直线方程为)4(2-=-x k y ．代入椭圆方程， 整理 036)24(4)24(8)14(2

2

2

=--+--+k x k k x k ①

设直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，则1x 、2x 是①的两根， ∴1

4)

24(822

1+-=

+k k k x x

∵)2,4(P 为AB 中点， ∴1

4)24(4242

21+-=+=

k k k x x ，21-=k ． ∴所求直线方程为082=-+y x ．

方法二：（点差法）设直线与椭圆交点),(11y x A ，),(22y x B ． ∵)2,4(P 为AB 中点，∴821=+x x ，421=+y y ． 又∵A ，B 在椭圆上，∴364212

1

=+y x ，3642

222=+y x 两式相减得

0)(4)(2

22

12

22

1=-+-y y x x ，

即0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ．

∴

2

1

)(4)(21212121-=++-=--y y x x x x y y ．

∴直线方程为082=-+y x ．

方法三：（数形结合）设所求直线与椭圆的一个交点为),(y x A ，另一个交点)4,8(y x B --． ∵A 、B 在椭圆上，∴3642

2

=+y x ①。

36)4(4)8(2

2

=-+-y x ②

从而A ，B 在方程①－②的图形082=-+y x 上，而过A 、B 的直线只有一条，∴直线方程为082=-+y x ．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 四、探索问题及其他

例10、 已知椭圆13

42

2=+

y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上A ，B 两点关于直线l 对称，则已知条件等价于：(1)直线l AB ⊥；(2)弦AB 的中点M 在l 上．

利用上述条件建立m 的不等式即可求得m 的取值范围．

解：(法1)设椭圆上),(11y x A ，),(22y x B 两点关于直线l 对称， 直线AB 与l 交于),(00y x M 点． ∵l 的斜率4=l k ， ∴设直线AB 的方程为

n x y +-=4

1

．

由方程组???????=++-=,134

,412

2y x n x y 消去y 得 0481681322=-+-n nx x ①。

∴13

82

1n

x x =

+．

于是1342210

n x x x =

+=

，13

124100n

n x y =+-=， 即点M 的坐标为)13

12,134(n

n ．

∵点M 在直线m x y +=4上，

∴m n

n +?

=1344． 解得m n 4

13

-=． ②

将式②代入式①得048169261322

=-++m mx x

③

∵A ，B 是椭圆上的两点，

∴0)48169(134)26(2

2

>-?-=?m m ．

解得13

13

213132<

<-

m ． (法2)同解法1得出m n 413-

=，∴m m x -=-=)4

13

(1340， m m m m x y 34

13

)(414134100-=--?-=--=，即M 点坐标为)3,(m m --．

∵A ，B 为椭圆上的两点， ∴M 点在椭圆的内部，

∴

13

)3(4)(22<-+-m m ． 解得13

13

213132<

<-

m ． (法3)设),(11y x A ，),(22y x B 是椭圆上关于l 对称的两点，直线AB 与l 的交点M 的坐标为

),(00y x ．

∵A ，B 在椭圆上，∴1342121=+y x ，13

42

222=+y

x ．两式相减得

0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x ，

即0)(24)(23210210=-?+-?y y y x x x ．

∴)

(

4

3

2

1

2

1

2

1x

x

y

x

x

x

y

y

≠

-

=

-

-

．

又∵直线l

AB⊥，∴1-

=

?

l

AB

k

k，

∴1

4

4

3

0-

=

?

-

y

x

，即

3x

y=①。

又M点在直线l上，

∴m

x

y+

=

4②。

由①，②得M点的坐标为)

3

,

(m

m-

-．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点A，B关于直线l恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线AB与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式0

>

?，建立参数方程．

(2)利用弦AB的中点)

,

(

y

x

M在椭圆内部，满足1

2

2

0<

+

b

y

a

x

，将

x，

y利用参数表示，建立参数不等式．

例11 在面积为1的PMN

?中，

2

1

tan=

M，2

tan-

=

N，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P点的椭圆方程．

解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系，设)

,

(y

x

P．

则

?

?

?

?

?

?

?

?

?

=

=

+

-

=

-

.1

,

2

1

,2

cy

c

x

y

c

x

y

∴

?

?

?

??

?

?

=

=

=

2

3

3

4

3

5

c

c

y

c

x

且

即)

3

2

,

3

2

5

(P

∴???

????=-=+,

43,134********b a b a 得?????==.3,

41522b a

∴所求椭圆方程为13

15422=+y x 例12、

ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，求此三角形重心G 的

轨迹和顶点A 的轨迹． 分析：（1）由已知可得

20=+GB GC ，再用椭圆定义求解．由G 的轨迹方程G 、A 坐标的

关系，利用代入法求A 的轨迹方程．

解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系． 设G 点坐标为()y x ，，由

20=+GB GC ，

知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点． 因10=a ，8=c ，有6=b ，

故其方程为

()0136

10022≠=+y y x ． （2）设()y x A ，，()y x G ''，，则

()0136

1002

2≠'='+'y y x ． ① 由题意有??????

?

='='33y y x

x ，代入①，

得A 的轨迹方程为()01324

9002

2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

第三部分：椭圆常考题型解题方法针对性习题

1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2

y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。

2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为3

2

，且在x 轴上的顶点分别为

A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程；

（II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

椭圆常考题型解题方法针对性习题答案

1、解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。 设直线:(1)l y k x =+，0k

≠，11(,)A x y ，22(,)B x y 。

由2

(1)y k x y x

=+??

=?消y 整理，得2222

(21)0k x k x k +-+= ① 由直线和抛物线交于两点，得

2242(21)4410k k k ?=--=-+> 即2

1

04

k <<

② 由韦达定理，得：212221

,k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22

211

(,)22k k k

--。 线段的垂直平分线方程为：2

2

1112()22k y x k k k --=-- 令y=0,得0

21122x k =

-，则211

(,0)22

E k - ABE ?Q 为正三角形，

∴211

(

,0)22

E k -到直线AB 的距离d 为32AB 。

AB =

Q 2

k =

d =

2

22k k

=g

解得k = 此时053x =。 2、解：（I ）由已知椭圆C

的离心率2

c e a =

=2a =,

则得1c b =。 从而椭圆的方程为2

214

x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+，

由122

(2)44

y k x x y =+??

+=?消y 整理得222

121(14)161640k x k x k +++-= 12x -Q 和是方程的两个根，

21121164214k x k -∴-=+ 则2

11

2

12814k x k -=+，1121414k y k =+， 即点M 的坐标为211

22

11

284(,)1414k k k k -++， 同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为222

22

22

824(,)1414k k k k --++ 12(2),(2)p p y k t y k t =+=-Q 12122k k k k t

-∴

=-+，

Q 直线MN 的方程为：

121

121

y y y y x x x x --=--， ∴令y=0，得211212x y x y x y y -=

-，将点M 、N 的坐标代入，化简后得：4

x t

=

又2t

>Q ，∴4

02t

<

< Q

椭圆的焦点为

4

t

∴=

3t =

故当3t =时，MN 过椭圆的焦点。