高中数学第3章第7节课时分层训练

分层训练(二十一)正弦定理、余弦定理应用举例A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．如图3-7-9所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()图3-7-9A．a km B.3a kmC.2a km D．2a kmB[在△ABC中，AC＝BC＝a，∠ACB＝120°，∴AB2＝a2＋a2－2a2cos 120°＝3a2，AB＝3a.]2．如图3-7-10，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()导学号：51062127图3-7-10A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东80°D ．南偏西80° D [由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.]3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( )A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里A [如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．]4．如图3-7-11，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝0.6 km ，一艘客船从码头A 出发匀速驶往河对岸的码头B .已知AB ＝1 km ，水的流速为2 km/h ，若客船从码头A 驶到码头B 所用的最短时间为 6 min ，则客船在静水中的速度为( )图3-7-11A ．8 km/hB ．6 2 km/hC ．234 km/hD ．10 km/hB [设AB 与河岸线所成的角为θ，客船在静水中的速度为v km/h ，由题意知，sin θ＝0.61＝35，从而cos θ＝45，所以由余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫110v 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110×22＋12－2×110×2×1×45，解得v ＝6 2.]5．如图3-7-12，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m 、50m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 ()图3-7-12A．30°B．45°C．60°D．75°B[依题意可得AD＝2010(m)，AC＝305(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD<180°，所以∠CAD＝45°，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.]二、填空题6．在地上画一个∠BDA＝60°，某人从角的顶点D出发，沿角的一边DA 行走10米后，拐弯往另一方向行走14米正好到达∠BDA的另一边BD上的一点，我们将该点记为点B，则B与D之间的距离为________米. 导学号：5106212816[如图所示，设BD＝x m，则142＝102＋x2－2×10×x×cos 60°，整理得x2－10x－96＝0，x＝－6(舍去)，x＝16，∴x＝16(米)．]7．如图3-7-13，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10米到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________米. 导学号：51062129图3-7-13 106 [在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°sin 30°＝10 2.在Rt △ABC 中，tan 60°＝AB BC ，AB ＝BC tan 60°＝106(米)．] 8．如图3-7-14所示，一艘海轮从A 处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15°方向，与海轮相距20海里的B 处，海轮按北偏西60°的方向航行了30分钟后到达C 处，又测得灯塔在海轮的北偏东75°的方向，则海轮的速度为________海里/分钟．图3-7-1463 [由已知得∠ACB ＝45°，∠B ＝60°， 由正弦定理得AC sin B ＝AB sin ∠ACB ， 所以AC ＝AB ·sin B sin ∠ACB＝20×sin 60°sin 45°＝106， 所以海轮航行的速度为10630＝63(海里/分钟)．]三、解答题9．某航模兴趣小组的同学，为了测定在湖面上航模航行的速度，采用如下办法：在岸边设置两个观察点A，B，且AB长为80米，当航模在C处时，测得∠ABC＝105°和∠BAC＝30°，经过20秒后，航模直线航行到D处，测得∠BAD＝90°和∠ABD＝45°.请你根据以上条件求出航模的速度．(答案可保留根号)图3-7-15[解]在△ABD中，∵∠BAD＝90°，∠ABD＝45°，∴∠ADB＝45°，∴AD＝AB＝80，∴BD＝80 2.4分在△ABC中，BCsin 30°＝ABsin 45°，∴BC＝AB sin 30°sin 45°＝80×1222＝40 2.8分在△DBC中，DC2＝DB2＋BC2－2DB·BC cos 60°＝(802)2＋(402)2－2×802×402×12＝9 600.∴DC＝406，航模的速度v＝40620＝26米/秒. 14分10．如图3-7-16，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．图3-7-16(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值. 导学号：51062130[解] (1)依题意知，∠BAC ＝120°，AB ＝12，AC ＝10×2＝20，∠BCA ＝α.4分在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC＝1＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28.所以渔船甲的速度为BC 2＝14海里/小时.8分(2)在△ABC 中，因为AB ＝12，∠BAC ＝120°，BC ＝28，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，10分即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314.14分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是 ( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 mA [设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m ．]2．如图3-7-17，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°以及∠MAC ＝75°；从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图3-7-17150 [根据图示，AC ＝100 2 m.在△MAC 中，∠CMA ＝180°－75°－60°＝45°.由正弦定理得AC sin 45°＝AM sin 60°⇒AM ＝100 3 m.在△AMN 中，MN AM ＝sin 60°，∴MN ＝1003×32＝150(m)．]3．如图3-7-18已知在东西方向上有M ，N 两座小山，山顶各有一个发射塔A ，B ，塔顶A ，B 的海拔高度分别为AM ＝100米和BN ＝200米，一测量车在小山M 的正南方向的点P 处测得发射塔顶A 的仰角为30°，该测量车向北偏西60°方向行驶了1003米后到达点Q ，在点Q 处测得发射塔顶B 处的仰角为θ，且∠BQA ＝θ，经测量tan θ＝2，求两发射塔顶A ，B 之间的距离．图3-7-18[解] 在Rt △AMP 中，∠APM ＝30°，AM ＝100，∴PM ＝1003，连接QM (图略)，在△PQM 中，∠QPM ＝60°，4分又PQ ＝1003，∴△PQM为等边三角形，∴QM＝100 3.8分在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2＋QM2，得AQ＝200.在Rt△BNQ中，tan θ＝2，BN＝200，∴BQ＝1005，cos θ＝55.12分在△BQA中，BA2＝BQ2＋AQ2－2BQ·AQ cos θ＝(1005)2，∴BA＝100 5.即两发射塔顶A，B之间的距离是1005米.14分。