2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(06 数列)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全

（06数列）

一、选择题：

1.（2015北京理） 设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ）

A ．若120a a +>，则230a a +>

B ．若130a a +<，则120a a +<

C ．若120a a <<，则213a a a >

D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C

考点：1.等差数列通项公式；2.作差比较法

2．（2015福建理）若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b -

这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ）

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9 【答案】D 【解析】 试题分析：由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，

2-必为等比中项，故4a b q ?==，4

b a

=

．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，8

2a a

=-，解得4a =，1b =，

综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．

考点：等差中项和等比中项．

3、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）

172 （B ）19

2

（C ）10 （D ）12

4. (2015全国新课标Ⅱ卷文)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（ ） A ．5 B ．7 C ．9 D ．11

【答案】A 【解析】

试题解析：13533331a a a a a ++==?=,()

15535552

a a S a +=

==.故选A. 考点：等差数列

5．(2015全国新课标Ⅱ卷理)等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( ) A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 【答案】B

考点：等

比数列通项公式和性质．

6．(2015全国新课标Ⅱ卷文)已知等比数列{}n a 满足11

4

a =

,()35441a a a =-,则2a =（ ）

A.2

B.1

C.

12 1

D.8

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意可得

()235444412

a a a a a ==-?=,所以

341

82a q q a =

=?= ,故211

2a a q == ,选C.

考点：等比数列.

7. (2015浙江理)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比数列，则（ ）

A.140,0a d dS >>

B. 140,0a d dS <<

C. 140,0a d dS ><

D. 140,0a d dS <>

8．(2015重庆理)在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ）

A 、-1

B 、0

C 、1

D 、6

【答案】B

【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.

二、填空题：

1.（2015安徽文）已知数列}{n a 中，11=a ，2

1

1+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .

2.（2015安徽理）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .

3．（2015福建文）若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于________． 【答案】9

考点：等差中项和等比中项．

4．（2015广东理）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a += 【答案】10．

【解析】因为{}n a 是等差数列，所以37462852a a a a a a a +=+=+=，

345675525a a a a a a ++++==即55a =，285210a a a +==，故应填入10．

【考点定位】本题考查等差数列的性质及简单运算，属于容易题．

5. （2015广东文）若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+56c =-则b = ．

【答案】1 【解析】

试题分析：因为三个正数a ，b ，c 成等比数列，所以(2

526

5261b ac ==+-=，因为0b >，

所以1b =，所以答案应填：1． 考点：等比中项．

6. (2015浙江文)已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若2a ，3a ，7a 成等比数列，且1221a a +=，则1a = ，d = ． 【答案】2

,13

- 【解析】

试题分析：由题可得，2

111(2)()(6)a d a d a d +=++，故有1320a d +=，又因为1221a a +=，即

131a d +=，所以121,3

d a =-=

. 考点：1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.

7.(2015湖南理)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若11a =，且13S ，22S ，3S 成等差数列，则

n a = .

【答案】1

3

-n .

【考点定位】等差数列与等比数列的性质.

【名师点睛】本题主要考查等差与等比数列的性质，属于容易题，在解题过程中，需要建立关于等比

数列

基本量q 的方程即可求解，考查学生等价转化的思想与方程思想.

8. (2015江苏)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1

{

n

a 的前10项和为 【答案】

2011

【解析】

试题分析：由题意得：112211(1)

()()()1212

n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=K L 所以

1011112202(),2(1),11111

n n n S S a n n n n =-=-==+++ 考点：数列通项，裂项求和

9、(2015全国新课标Ⅰ卷文)数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则

n = .

10．(2015全国新课标Ⅱ卷理)设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则

n S =________．

【答案】1

n

-

【解析】

试题分析：由已知得

111n n n n n a S S S S +++=-=?，两边同时除以1n n S S +?，得

1111n n

S S +=--，故数列1n S ??????

是以1-为首项，1-为公差的等差数列，则1

1(1)n S n n =---=-，所以1n

S n =-． 考点：等差数列和递推关系．

11. (2015陕西文、理)中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ． 【答案】5 【解析】

试题分析：设数列的首项为1a ，则12015210102020a +=?=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5． 考点：等差中项．

三、解答题：

1. （2015安徽文）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1

1

n n n n a b S S ++=

，求数列{}n b 的前n 项和n T .

2.（2015安徽理） 设*

n N ∈，n x 是曲线22

1n y x

+=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.

（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式； （Ⅱ）记222

1321

n n T x x x -=L ，证明14n T n

≥.

3、（2015北京文）已知等差数列{}n a 满足1210a a +=，432a a -=． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列{}n b 满足23b a =，37b a =，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？ 【答案】（1）42(1)22n a n n =+-=+；（2）6b 与数列{}n a 的第63项相等.

【解析】

试题分析：本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用等差数列的通项公式，将1234,,,a a a a 转化成1a 和d ，解方程得到1a 和d 的值，直接写出等差数列的通项公式即可；第二问，先利用第一问的结论得到2b 和3b 的值，再利用等比数列的通项公式，将2b 和3b 转化为1b 和q ，解出1b 和q 的值，得到6b 的值，再代入到上一问等差数列的通项公式中，解出n 的值，即项数. 试题解析：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d. 因为432a a -=，所以2d =.

又因为1210a a +=，所以1210a d +=，故14a =. 所以42(1)22n a n n =+-=+ (1,2,)n =L . （Ⅱ）设等比数列{}n b 的公比为q . 因为238b a ==，3716b a ==， 所以2q =，14b =.

所以61

642128b -=?=.

由12822n =+，得63n =. 所以6b 与数列{}n a 的第63项相等. 考点：等差数列、等比数列的通项公式.

4. （2015北京理）已知数列{}n a 满足：*1a ∈N ，136a ≤，且121823618n n n n

n a a a a a +?=?->?，≤，

，()12n =，，

…． 记集合{}

*|n M a n =∈N ．

（Ⅰ）若16a =，写出集合M 的所有元素；

（Ⅱ）若集合M 存在一个元素是3的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数； （Ⅲ）求集合M 的元素个数的最大值．

【答案】（1）{6,12,24}M =，（2）证明见解析，（3）8 【解析】 ①试题分析：（Ⅰ）由16a =，可知23412,24,12,a a a ===则{6,12,24}M =；（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，用数学归纳法证明对任意

n k ≥，n a 是3的倍数，当1k =时，则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.第二步集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知

121823618n n n n

n a a a a a +?=?->?，≤，，，用数学归纳法证明对任意n k ≥，n a 是3的倍数；第三步由于M 中

的元素都不超过36，M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必

定为偶数，由n a 的定义可知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，由定义可知，1n a +和2n a 除以9的余数一样，分n a 中有3的倍数和n a 中没有3的倍数两种情况，研究集合M 中的元素个数，最后得出结论集合M 的元素个数的最大值为8.

试题解析：（Ⅰ）由已知121823618n n n n

n a a a a a +?=?->?，≤，

，可知：12346,12,24,12,a a a a ====

{6,12,24}M ∴=

（Ⅱ）因为集合M 存在一个元素是3的倍数，所以不妨设k a 是3的倍数，由已知121823618n n n n

n a a a a a +?=?->?，≤，，，可用用数学归纳法证明对任意n k ≥

，n a 是3的倍数，当1k =时，

则M 中的所有元素都是3的倍数，如果1k >时，因为12k k a a -=或1236k a --，所以12k a -是

3的倍数，于是1k a -是3的倍数，类似可得，21,......k a a -都是3的倍数，从而对任意1n ≥，n a 是3的倍数，因此M 的所有元素都是3的倍数.

（Ⅲ）由于M 中的元素都不超过36，由136a ≤，易得236a ≤，类似可得36n a ≤，其次M 中的元素个数最多除了前面两个数外，都是4的倍数，因为第二个数必定为偶数，由n a 的定义可

知，第三个数及后面的数必定是4的倍数，另外，M 中的数除以9的余数,由定义可知，

1n a +和2n a 除以9的余数一样，

考

点：1.分段函数形数列通项公式求值；2.归纳法证明；3.数列元素分析.

5．（2015福建文） 等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设2

2n a n b n -=+，求12310b b b b +++???+的值．

【答案】（Ⅰ）2n a n =+；（Ⅱ）2101．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用基本量法可求得1,a d ，进而求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列前n 项和，首先

考虑其通项公式，根据通项公式的不同特点，选择相应的求和方法，本题2n

n b n =+，故可采取分组

求和法求其前10项和．

试题解析：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ． 由已知得()()1114

3615

a d a d a d +=???+++=??，

解得131

a d =??

=?．

所以()112n a a n d n =+-=+．

考点：1、等差数列通项公式；2、分组求和法．

6、（2015广东文）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，35

4

a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．

()1求4a 的值； ()2证明：112n n a a +??

-

???

?

为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．

【答案】（1）78；（2）证明见解析；（3）()1

1212n n a n -??

=-? ?

??

．

考点：1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.

7．（2015广东理）数列{}n a 满足1

2122

42-+-=+???++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值；

(2) 求数列{}n a 前n 项和n T ； (3) 令11b a =，()11111223n n n T b a n n n -??

=++++???+≥ ???

，证明：数列{}n b 的前n 项和n S 满足n S n ln 22+<

【答案】（1）14；（2）1

122n -??

- ?

??

；（3）见解析．

（3）依题由1211

112

n n n a a a b a n n -+++??

=

++++ ???L L 知11b a =，1221122a b a ??=++ ???，

【考点定位】本题考查递推数列求项值、通项公式、等比数列前n 项和、不等式放缩等知识，属于中高档题． 8．（2015湖北理）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）当1d >时，记n n n

a

c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

【答案】（Ⅰ）1

21,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),

9

29().9n n n a n b -?=+????=???

；（Ⅱ）12362n n -+-.

2345113579212222222

n n n T -=++++++L . ② ①-②可得2211112123

23222222n n n n n n T --+=++++-=-L ，

故n T 123

62

n n -+=-.

考点：1.等差数列、等比数列通项公式，2.错位相减法求数列的前n 项和. 9. (2015湖北文)设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．

（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；

（Ⅱ）当1d >时，记n n n

a

c b =，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

【答案】（Ⅰ）121,2.n n n a n b -=-???=??或11(279),9

29().9n n n a n b -?=+????=???

；（Ⅱ）1

2362n n n T -+=-.

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和，属中档题.

【名师点睛】这是一道简单综合试题，其解题思路：第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解，第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主，以教材为蓝本，注重计算能力培养的基本方向.

10. (2015湖南文)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，

且13n n a S +=*

13,()n S n N +-+∈，

（I ）证明：23n n a a +=； （II ）求n S 。

【答案】（I ）略；(II) 2

*2*23

(531),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈??

【解析】

试题分析：（I ）当*

,2n N n ∈≥时，由题可得23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈，

113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，两式子相减可得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥，然

后验证当n=1时，命题成立即可； (II)通过求解数列{}n a 的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n 项和的通项公式.

试题解析：（I ）由条件，对任意*n N ∈，有23n n a S +=*13,()n S n N +-+∈， 因而对任意*

,2n N n ∈≥，有113n n a S +-=*3,()n S n N -+∈，

两式相减，得2113n n n n a a a a +++-=-，即23,(2)n n a a n +=≥， 又121,2a a ==，所以3121121333()33a S S a a a a =-+=-++=，

故对一切*

n N ∈，23n n a a +=。

（II ）由（I ）知，0n a ≠，所以

2

3n n

a a +=，于是数列21{}n a -是首项11a =，公比为3的等比数列，数列2{}n a 是首项12a =，公比为3的等比数列，所以11

2123,23n n n n a a ---==?，

于是21221321242()()n n n n S a a a a a a a a a -=+++=+++++++L L L

1

1

1

3(31)

(133)2(133)3(133)2

n n n n ----=+++++=++=L L L

从而1221223(31)3

23(531)22

n n n n n n S S a ----=-=

-?=?-， 综上所述，2

*2*23

(531),(21,)2

3(31),(2,)2

n n n

n k k N S n k k N -??-=+∈??=??-=∈??。

考点：数列递推关系、数列求和

11. (2015江苏)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列 （1）证明：31242,2,2,2a

a

a

a

依次成等比数列；

（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由； （3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得k

n k n k

n n

a a a a 342321,,,+++依次成等比数列，并说明理由.

【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在

（2）

令1a d a +=，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d -，a ，a d +，2a d +（a d >，2a d >-，0d ≠）． 假设存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，4

4a 依次构成等比数列， 则()()3

4

a a d a d =-+，且()()

6

4

2

2a d a

a d +=+．

令d t a =

，则()()3111t t =-+，且()()64

112t t +=+（112t -<<，0t ≠）， 化简得32220t t +-=（*），且21t t =+．将21t t =+代入（*）式，

()()21212313410t t t t t t t t +++-=+=++=+=，则1

4

t =-．

显然1

4

t =-不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，

因此不存在1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，4

4a 依次构成等比数列．

（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k

a +，23

n k

a +，34

n k

a +依次构成等比数列，

则()

()

()

221112n k

n k n

a a d a d +++=+，且()()

()

()

32211132n k

n k

n k a d a d a d +++++=+．

分别在两个等式的两边同除以()

21n k a +及()

221

n k a +，并令1d t a =

（1

3

t >-，0t ≠）， 则()

()

()

22121n k

n k t t +++=+，且()

()()()32211312n k n k

n k

t t t +++++=+．

将上述两个等式两边取对数，得()()()()2ln 122ln 1n k t n k t ++=++， 且()()()()()()ln 13ln 1322ln 12n k t n k t n k t +++++=++．

化简得()()()()2ln 12ln 12ln 1ln 12k t t n t t +-+=+-+????????， 且()()()()3ln 13ln 13ln 1ln 13k t t n t t +-+=+-+????????．

再将这两式相除，化简得()()()()()()ln 13ln 123ln 12ln 14ln 13ln 1t t t t t t +++++=++（**）． 令()()()()()()()4ln 13ln 1ln 13ln 123ln 12ln 1g t t t t t t t =++-++-++，

则()()()()()()()()()()

222

213ln 13312ln 1231ln 111213t t t t t t g t t t t ??

++-+++++?

?'=+++． 令()()()()()()()222

13ln 13312ln 1231ln 1t t t t t t t ?=++-+++++， 则()()()()()()()613ln 13212ln 121ln 1t t t t t t t ?'=++-+++++????．

令()()1t t ??'=，则()()()()163ln 134ln 12ln 1t t t t ?'=+-+++????．

令()()21

t t ??'=，则()()()()

212

011213t t t t ?'=>+++．

由()()()()1200000g ???====，()2

0t ?'>， 知()2t ?，()1t ?，()t ?，()g t 在1

,03??- ???

和()0,+∞上均单调．

故()g t 只有唯一零点0t =，即方程（**）只有唯一解0t =，故假设不成立． 所以不存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n

a ，2

n k

a +，23

n k

a +，34

n k

a +依次构成等比数列．

考点：等差、等比数列的定义及性质，函数与方程

12.(2015全国新课标Ⅰ卷理) n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2243n n n a a S +=+.

（Ⅰ）求{n a }的通项公式： （Ⅱ）设

,求数列

}的前n 项和

【答案】（Ⅰ）21n +（Ⅱ）11

646

n -+

【解析】 试题分析：（Ⅰ）先用数列第n 项与前n 项和的关系求出数列{n a }的递推公式，可以判断数列{n a }

是等差数列，利用等差数列的通项公式即可写出数列{n a }的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）数列{n b }的通项公式，再用拆项消去法求其前n 项和.

试题解析：（Ⅰ）当1n =时，211112434+3a a S a +=+=，因为0n a >，所以1a =3，

当2n ≥时，2211n n n n a a a a --+--=14343n n S S -+--=4n a ，

即111()()2()n n n n n n a a a a a a ---+-=+，因为0n a >，所以1n n a a --=2，

所以数列{n a }是首项为3，公差为2的等差数列， 所以n a =21n +；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，n b =

1111

()(21)(23)22123

n n n n =-++++，

所以数列{n b }前n 项和为12n b b b +++L =1111111

[()()()]235572123

n n -+-++-++L

=11646

n -+. 考点：数列前n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法

13. (2015山东文)已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11n n a a +?

??????

的前n 项和为

21n

n +. （I ）求数列{}n a 的通项公式；

（II ）设()12n a

n n b a =+?，求数列{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）2 1.n a n =- (II) 1

4(31)4.9

n n n T ++-?=

【解析】

试题分析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，

令1,n =得

1211

3a a =，得到 123a a =. 令2,n =得

12231125

a a a a +=，得到 2315a a =. 解得11,2a d ==即得解.

（II ）由（I ）知24

22

4,n n n b n n -=?=?得到 121424......4,n n T n =?+?++? 从而231

41424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+?利用“错位相减法”求和.

试题解析：（I ）设数列{}n a 的公差为d ，

令1,n =得

1211

3a a =，所以123a a =. 令2,n =得

12231125

a a a a +=，所以2315a a =. 解得11,2a d ==，所以2 1.n a n =-

（II ）由（I ）知24

22

4,n n n b n n -=?=?所以121424......4,n n T n =?+?++? 所以231

41424......(1)44,n n n T n n +=?+?++-?+? 两式相减，得121

344......44n n n T n +-=+++-?

114(14)13444,1433

n n n n n ++--=-?=?--

所以1

13144(31)44.999

n n n n n T ++-+-?=?+= 考点：1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.

14.(2015山东理)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知233n

n S =+.

（I ）求{}n a 的通项公式；

（II ）若数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求{}n b 的前n 项和n T .

【答案】（I ）13,1,3,1,

n n n a n -=?=?>?; （II ）1363

1243n n

n T +=+?.

【考点定位】1、数列前n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题.

【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意1n 的情况，错位相减不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.

15. (2015上海文)本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.

已知数列}{n a 与}{n b 满足)(211n n n n b b a a -=-++，*

∈N n .

（1）若53+=n b n ，且11=a ，求数列}{n a 的通项公式；

（2）设}{n a 的第0n 项是最大项，即)N (0*

∈≥n a a n n ，求证：数列}{n b 的第0n 项是最大项；

（3）设130a λ=<，n n b λ=)N (*

∈n ，求λ的取值范围，使得对任意m ，*

∈N n ，0n a ≠，

且

1

(,6)6m n

a a ∈. 【答案】（1）56-=n a n ；（2）详见解析；（3）)0,4

(-

.

（3）因为n n b λ=，所以)(21

1n

n n n a a λλ-=-++，

当2≥n 时，112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-+???+-+-=---

λλλλλλ

λ3)(2(2)(22211

+-+???+-+-=---n n n n

λλ+=n 2，

由指数函数的单调性知，}{n a 的最大值为022

2<+=λλa ，最小值为λ31=a ，

由题意，

n

m

a a 的最大值及最小值分别是12321+=λa a 及31212+=λa a ，

由61312>+λ及6123<+λ，解得04

1<<-λ，

综上所述，λ的取值范围是)0,4

1

(-.

【考点定位】数列的递推公式，等差数列的性质，常数列，数列的最大项，指数函数的单调性.

16、(2015上海理)本题共有3个小题.第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分. 已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *

∈N .

（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；

（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *

∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设10a λ=<，n n b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且

()2,2m

M

∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02??

-

???

因为0n n a a ≥，n *

∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥.

故{}n b 的第0n 项是最大项.

解：（3）因为n

n b λ=，所以()1

12

n n n n a a λ

λ++-=-，

当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+???+-+ ()()()11222

22n

n n n λ

λλλλλλ---=-+-+???+-+

2n

λλ=-. 当1n =时，1a λ=，符合上式.

所以2n

n a λλ=-.

因为0λ>，所以222n

n a λ

λλ=->-，21

212n n a λ

λλ--=-<-.

①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值；

②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而

()3

2,21

?--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值2

22a λλM ==-，最小值1m a λ==，