5.1 认识分式(2)
北师大版数学八下5.1《认识分式》ppt课件2
“thanks ”
5.1认识分式
一、引入
1 面积为2平方米的长方形，一边长3米，另一边长
米
2 面积为S平方米的长方形，一边长a米，另一边长
米
3 一箱苹果售价P元，总重m千克，箱重n千克，则每千 克苹果的售价是 元？
二、新知探究
1、同学们观察我们所列出的式子，有什么新发现？
s
p
a
mn 、
都是以分数的形式出现，这样的代数式
判断下列各式，哪些是整式？哪些是分式？
（1）5-7
（4） 4
5b c
（7） x2 -xyy2
2x-1
（2） 2
（3） 32 -1
（5） b - 3
（6） - 3
2a 1
y
（8） m（n p）
7
1、思考何时分式的值为零？
2、类比分数有意义，思考要使分式有意义，需 要什么条件？
与整式有很大的不同，它们是不同于整式的一个很大的家族，我们
把它们叫做分式
p108 做一做
（1）2010年上海世博会吸引了成千上万的参观者，某一时段内 的统计结果显示，前 a 天日均参观人数 35 万人，后 b 天日均 参观人数 45 万人，这（a + b）天日均参观人数为多少万人？ （2）文林书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 a 元 ，现每册降价 x 元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销 售额为 b 元．降价销售开始时，文林书店这种图书的库存量是 多少？
当x为什么值时，下列分式有意义？
8
① -1
1
② 2 -9
③
2
2 -9
分析： 当分母为零时，
分式无意义，除此 以外，分式都有意 义
5.1+认识分式++课件+ +2023—2024学年北师大版数学八年级下册
, ,
+
A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个
2.(2022 凉山)分式
B.x≠-3
C.x≠3
D.x≠0
,-3x ,
.其中是分式的有( B )
有意义的条件是( B )
+
A.x=-3
,
2
-
3.(2023 凉山)分式
-
的值为 0,则 x 的值是( A )
A.0 B.-1
(1)看形式:是否是 的形式(A,B 为整式);
(2)看分母:分母B中是否含有字母,其中π是常数,不是字母.
新知应用
1.下列式子是分式的是( C )
A.
B. +y
C.
D.
+
2.上等米每千克售价为 x 元,次等米每千克售价为 y 元,取上等米 a kg
和次等米 b kg,混合后的大米每千克售价为( C )
-
中的 x,y 的值都扩大为原来的 8 倍,则分
式的值( B )
A.不变
B.为原分式值的
C.为原分式值的 8 倍
D.为原分式值的
5.若
=
,则 M=
x+1
;
,则 N=
x+y
.
- -
(-)
若
-
=
-
-
.-. +
当 m=1,n=3 时,原式=
=- .
-×
(2)
2020八年级数学下册 第5章 分式与分式方程 第1节 认识分式(2)教案 (新版)北师大版
5.1认识分式课题 5.1认识分式（2）课型教学目标（一）教学知识点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质对分式进行“等值”变形.3.了解分式约分的步骤和依据，掌握分式约分的方法.4.使学生了解最简分式的意义，能将分式化为最简分式.（二）能力训练要求1.能类比分数的基本性质，推测出分式的基本性质.2.培养学生加强事物之间的联系，提高数学运算能力.（三）情感与价值观要求通过类比分数的基本性质及分数的约分，推测出分式的基本性质和约分，在学生已有数学经验的基础上，提高学生学数学的乐趣.重点1.分式的基本性质.2.利用分式的基本性质约分.3.将一个分式化简为最简分式.难点分子、分母是多项式的约分.教学用具二次备课课程讲授Ⅰ.复习分数的基本性质，推想分式的基本性质.Ⅱ.新课讲解1.分式的基本性质出示投影片（§5.1.2 A）（1）63=21的依据是什么？（2）你认为分式aa2与21相等吗？mnn2与mn呢？与同伴交流.［生］（1）将63的分子、分母同时除以它们的最大公约数3得到.即63=3633÷÷=21.依据是分数的基本性质：分数的分子与分母同乘以（或除以）同一个不等于零的数，分数的值不变.（2）分式a a2与21相等，在分式a a 2中，a ≠0，所以a a 2=a a a a ÷÷2=21;分式mn n 2与m n 也是相等的.在分式mn n 2中，n ≠0，所以mn n 2=n mn n n ÷÷2=m n.［师］由此，你能推想出分式的基本性质吗？［生］分式是一般化了的分数，类比分数的基本性质，我们可推想出分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变.下面我们就来看一个例题（出示投影片§5.1.2 B ）［例2］下列等式的右边是怎样从左边得到的？（1）x b2=xy by2（y ≠0）；（2）bx ax =b a.2.分式的约分.［师］利用分数的基本性质可以对分数进行化简.利用分式的基本性质也可以对分式化简.我们不妨先来回忆如何对分数化简.［生］化简一个分数，首先找到分子、分母的最大公约数，然后利用分数的基本性质就可将分数化简.例如123，3和12的最大公约数是3，所以123=31233÷÷=41.［师］我们不妨仿照分数的化简，来推想对分式化简.（出示投影片§5.1.2C ）［例3］化简下列各式：（1）ab bc a 2;（2）12122+--x x x .ab bc a 2=)()(2ab ab ab bc a ÷÷=)()()(ab ab ab ab ac ÷÷⋅=ac .解：（2）12122+--x x x =2)1()1)(1(-+-x x x =11-+x x .下面我们亲自动手，再来化简几个分式.（出示投影片§5.1.2 D ）做一做化简下列分式：（1）y x xy 2205;（2）)()(b a b b aa ++.［生］解：（1）y x xy2205=)5()4(5xy x xy⋅=x 41;（2）)()(b a b b a a ++=b a.［师］在刚才化简第（1）题中的分式时，一位同学这样做的（出示投影片§3.1.2 E ）议一议在化简y x xy2205时，小颖是这样做的：y x xy 2205=2205x x你对上述做法有何看法？与同伴交流.［生］我认为小颖的做法中，2205x x中还有公因式5x ，没有化简完，也就是说没有化成最简结果.［师］很好！y x xy2205如果化简成x 41，说明化简的结果中已没有公因式，这种分式称为最简分式.因此，我们通常使结果成为最简分式或者整式.Ⅲ.巩固、提高出示投影片（§5.1.2 F ）1.填空：（1）y x x-2=))(()(y x y x +-;（2）)(1422=-+y y2.化简下列分式：（1）2332912y x y x ;。
北师大版八年级数学下册第五章分式与分式方程5.1认识分式第2课时分式的基本性质及约分(教案)
难点举例：对于分式$\frac{4x^2 + 4x}{2x^2 + 2x}$，学生应先分解为$\frac{4x(x + 1)}{2x(x + 1)}$，然后约去公因式$(x + 1)$和$2$，得到最简分式$\frac{2}{1}$。
2.教学难点
（1）分式基本性质的深度理解：学生需要理解为什么分式的分子、分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。这个性质背后的数学原理需要通过实例和图形进行直观演示，帮助学生深入理解。
难点举例：解释当分式$\frac{2x}{3y}$的分子分母同时乘以不同的整式（如2x和3y）时，分式的值仍然保持不变的原因。
（2）识别并约去复杂的公因式：在分式的约分过程中，学生可能会遇到难以识别的复杂公因式，尤其是当分子分母包含多项式时。教师需要指导学生如何分解多项式，找出公因式。
难点举例：面对分式$\frac{3x^3 - 6x^2}{9x^2 - 6x}$，学生需要学会先将分子和分母分解为$3x^2(x - 2)$和$3x(3x - 2)$，再约去公因式$3x$。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的基本性质、约分的技巧及其在实际中的应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
（二）新课讲授（用时10分钟）
《5.1认识分式--分式的基本性质》教案
一、教学内容
《5.1认识分式-分式的基本性质》教案，本节课将围绕以下内容展开：
1.分式的定义：根据教材，引导学生理解分式的概念，明确分子和分母的关系。
2.分式的性质：
（1）分式中的分子与分母同乘（或除以源自一个不等于0的整式，分式的值不变。
（2）分式的分子与分母互换，分式的值不变。
（3）分式的乘方与开方：对于分式的乘方和开方运算，学生可能会忽略分子分母分别进行运算。
-举例：分式(2/3)^3，学生可能会直接将2^3和3^3相除，得到8/27，而实际上应为8/27×(1/9)。
（4）分式在实际问题中的应用：学生可能难以将实际问题转化为分式问题，无法正确运用所学知识解决问题。
-举例：在速度、比例等问题中，学生可能不理解如何将问题转化为分式形式进行解答。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式的基本概念。分式是由两个整式构成的数学表达式，其中上面的整式称为分子，下面的整式称为分母。分式是表达比例关系的重要工具，它在数学和现实生活中有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设我们有3个苹果要平均分给4个小朋友，我们可以用分式3/4来表示每个小朋友能得到的苹果数量。这个案例展示了分式在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式的定义、基本性质以及它在实际中的应用。通过实践活动和小组讨论，我们加深了对分式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活和学习中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
5.1认识分式2
第五章分式方程1认识分式第2课时分式的化简A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 3．分式的基本性质是：分式的分子与分母都________，分式的值不变． 4．化简下列各式：(1)12x 2y 39x 3y 2； (2)x －y 3x 2－3y 2. 5．化简分式，再求值：x 2－162x －8，其中x ＝2.【课堂总结】学生活动：这节课大家是通过自己的努力和小组的合作完成的，相信每个同学都有所收获．整理一下本节课的所学，写下来．我掌握的概念：____________________________； 我学会了：_________________________；我还知道了：__________________________.教学说明：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学内容进行梳理、分类，融入自己的知识系统；养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．作业：1．教材P 112随堂练习．2．教材P 113习题5.2中1，2，3，4. 巩固、梳理新知，对学生进行鼓励和思想教育. 【知识网络】框架图式总结，更容易形成知识网络.【教学反思】 ①[授课流程反思]通过分数的约分复习分数的基本性质，类比学习分式的基本性质．可以使教学内容自然过渡，学生便于接受和对比学习，提高课堂效率． ②[讲授效果反思]新课学习以学生自主探究为主，教师引导与点拨为辅的方式进行，让全体学生通过查看、探究、展示、交换、小结等活动，一步一步地从化简分式(最简分式)的具体过程中抽象出约分的概念．学生也在约分的探究学习中相互交换了自己的想法和做法．通过合作交换增进了学生对约分方法的理解和控制． ③师生互动反思反思，更进一步提升.。
八年级数学下 第5章 分式与分式方程5.1 认识分式第2课时分式的基本性质习题北师大
12．当 x 为何值时，分式xx2＋－24有意义？ 【点拨】求解使分式有无意义的字母的取值范围时，不能先约去
分子与分母的公因式，以免出现如下错解：xx2＋－24＝ （x＋2）x＋（2x－2）＝x－1 2，从而误认为只要当 x≠2 时，分式 xx2＋－24就有意义．
解：由 x2－4＝(x＋2)(x－2)≠0，得 x≠－2 且 x≠2.所以当 x≠－2 且 x≠2 时，分式xx2＋－24有意义．
9．【2020·孝感】已知 x＝ 5－1，y＝ 5＋1，那么代数式x（x3－ x－xyy2） 的值是( D ) A．2 B. 5 C．4 D．2 5
10．【中考·滨州】下列分式中，最简分式是( ) x2－1 x＋1 x2－2xy＋y2 x2－36
A.x2＋1 B.x2－1 C. x2－xy D.2x＋12
【点拨】选项 A 为最简分式；选项 B，xx2＋－11＝（x＋1x）＋（1x－1） ＝ x－1 1；选项 C，x2－x22－xyx＋y y2＝x（（xx－－yy））2＝x－x y；选项 D， 2xx2－＋3162＝（x＋2（6）x＋（6x）－6）＝x－2 6，故选 A.
【答பைடு நூலகம்】A
*11.下列计算中，错误的是( ) A.00..27aa＋ －bb＝27aa＋ －bb B.2xx2＝2x C.ab－ －ba＝－1 D.ab＝abcc(c≠0)
(2)求－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2的值． 解：∵m＋n＝mn， ∴－2（（m2＋m＋n）2n2＋）32m2n2＝ －2（（m2nm）n2）＋23m2n2＝4mm22nn22＝14.
探究培优 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月27日星期日2022/3/272022/3/272022/3/27
初中数学八年级下册《5.1.认识分式》PPT课件 (2)
2
a2 2b2
ab
2a 2b
填空（要注意分析题目中的隐
1含、 条件a噢！ ）
2ab
1
2b
2、 3a 3ac
4b
4bc
3、 a a2
b 2
b2
a －b a b
4、 a 2 b 2 a b
a b
1
例2 、不改变分式的值，把下列各式的
分子与分母中各项的系数都化为整数．
3s 3t
km/h；
如果3th行n驶s 3 skm，那么汽车的速度为 如果nth行n驶t nskm，那么汽车
km/h；
分式的分子与分母 都乘（或除以）同 一个不等于零的整 式，分式的值不
A
B＝
A ＝
A×M
B×M A÷M
B B÷M
（M是不等于0的整式）
变．
为什么所乘（或除）的
整式不能为0呢？
分式的基本性质与分数的基本性质 分最数大的区基别本是性质什中么的？分子分母都是数．
分式基本性质式子中的A，B，M表示 的是整式 ，且M≠0 ．但M是一个含有 字母的代数式，由于字母的取值可以
是任意的，所以就有等于零的可能性 ．
例 1、 填空(要注意隐含条件)
(1)
b a
ab
a 2
(2)
1 a2 b2
n
n
还记得有理数的除法法则么？
“同号得正，异号得负”
分式符号变换有依据么？是什么呢？
两个整式相除所得的分式的符号法则与有理 数除法的符号法则相类似，也遵循“同号得 正，异号得负” ．
例4 、不改变分式的值，使下列分 式的分子与分母的最高次项的系 数是正数．
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;
(2)
a(a b) b(a b)
.
在化简(1) 时小颖和小明出现了分歧.
5xy 20x2y
5x 20x2
5xy 20x2y
5xy 4x 5xy
1 4x
你对他们两人的做法有何看法?
在小明的化简中,分子和分母已没有公因式,
这样的分式称为最简分式.
化简分式时, 通常要使结果成为最简分式或者整式.
新知归纳
3
3x2 y2 3x2 y2
4y 3x
x y (x y)3
4y 3x
;
以默认是不 等于0的， 否则原分式 无意义。这 就不再交代 ab不等于0。
x y (2) (x y)3
(x
x y y)(x
y)2
1 (x y)2
合作交流
a(a b)
ⅱ、你会化简
吗？
b(a b)
分子、分母同时除以(a+b)
a(a b) a b(a b) b
你会化简
a2 ab ab b2
吗？
你有什么想法?
范例讲解 例3、化简分式
x2 1 x2 2x 1
。
解：
x2
x2 1 2x 1
(x
1)( x 1) (x 1)2
x 1 x 1
4、化简下列分式：
同除以的 (x-1)在原分 式中充当了 分母的因式， 所以默认是 不等于0的， 否则原分式 无意义。这 就不再交代 (x-1)不等于 0。
x2 8x 16 (1) x2 16 ，其中 x 5 ；
(2) x2 2x ，其中 x 1， y 2。 2 y xy
不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的
各项系数化为整数.
（1）00..0083xx
0.2y 0.5y
;
（2）52mm132nn .
解:（1）00..0083xx
0.2y 0.5y
新知探究
Ⅰ、填空，并回答下列问题：
(1)
3 6
33 63
1; 2
(2) a a a 1 a会等于0吗？为什么？
2a 2a a 2
a≠0
类比分数基本性质，你有什么发现？
新知探究
Ⅱ、填空，并回答下列问题：
(1)
0.3 0.5
0.310 0.510
3. 5
(2)
a b
a x b x
ax bx
b(a2 1) a2 1
的值是多少？你是
怎样做的？你认为分式与分数有类似的性质吗？
考考你(可与同伴交流)
(1) 3 = 1 的依据是什么?
62
解:依据是分数的基本性质,分数的分子与分母都 乘以或除以同一个不为零的数,分数的值不变.
(2)你认为分式 a 与 1相等吗? n2 与呢n ?
2a 2
mn m
同一个整式;
范例讲解
例2、下列等式的右边怎样从左边得到?
(1) b by ( y 0); 2x 2xy
(2) ax a . bx b
解： (1) ∵y≠0
b by 2x 2x y by 2xy
(2) ∵x≠0
ax ax x bx bx x a b
巩固练习
1、下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1) b 1 ; 2b 2
(2) b bx ; x2 y x3y
(3)
ab 4a2b
1 4a
;
(4) y aby (ab 0). 2x 2abx
2、填空：
(1) 2x (2xx y) (x y 0);
x y (x y)(x y)
y2
1
(2)
y2 4 (
. y2 )
3.辨一辨
3x 20y 8x 50y
;
（2）
m
1 3
n
2 5
m
2n
15m 5n 6m 30n
.
例4 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各
项系数都化为整数.
0.01x 5
⑴
0.3x 0.04
5x1 y
(3)
6 5
x
5 1
y
,
65
0.6a 5 b
⑵
3
0.7a 2 b
5
3.不改变分式的值将下列各式中的系数都化成整数.
(3)
x y
与
x y
；
(4)
x y
与
x y
。
你有什么发现?
新知归纳
分式的符号法则： 分式的分子、分母与分式本身，任意改变其
中两处的符号，分式的值不变。
5、不改变分式的值，使下列分式的分子、分母
都不含“–”：
(1) 2x ; 5y
(2) 3a ; 7b
(3) 10m . n
6、先化简，再求值：
x有什么要求吗？ x≠0
类比分数基本性质，你有什么发现？
新知归纳 分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不 等于零的整式，分式的值不变。
A A M ; A A M . (M 0) B BM B BM
易错点提示: 1、分式的分子与分母没有同时乘以或除以; 2、分式的分子与分母没有同时乘以或除以
分式约分的定义： 把一个分式的分子、分母的公因式约去，这
种变形称为分式的约分。
最简分式的定义： 分子和分母没有公因式，这样的分式称为最
简分式。
（化简分式时，通常要使结果成为 最简分式或者整式）
新知探究 Ⅱ、观察下列各组式子，它们之间有什么关系？
x x (1) y 与 y ；
x x (2) y 与 y ；
北师大版八年级(下)
5.1 认识分式(2)
回顾与复习
1
1、在
1
，
，x2 1 ，3xy ， a+ 1 中，分式
x2 2
m
的个数有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
a 1
2、要使分式
式 2a 4
2a 3 有意义，则a的值应是
的值为零，则a的值应为 .
；要使分
a 1
3、当a=3,b=5时，分式
约分的基本步骤：
（１）若分子﹑分母都是单项式，则约简系数， 并约去相同字母的最低次幂；
（２）若分子﹑分母含有多项式，则先将多项 式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因 式．
注意：约分过程中，有时还需运用分式的符号 法则使最后结果形式简捷；约分的依据是分式 的基本性质.
化简下列分式:
(1)
5xy 20x2y
(1) xБайду номын сангаас y 2 x y x y
(2) (x y)2 x y x y
范例讲解
a2bc
例3、化简分式 。
解：
a2bc
ab
ab ac
ac
同除以的ab 在原分式中 充当了分母
ab ab
的因式，所
3、化简下列分式：
(1)
12 x2 y3 9x3 y2
;
(2)
解：(1)
12x2 y 9x3 y2
x2 x (1) x2 1 ;
x2 9 (2) x2 6x 9 .
新知归纳 说明:在(1)中相当于分子、分母同时约去了整式ab ; 在（２中相当于分子、分母同时约去了整式x-1；
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种 变形称为分式的约分．
分式约分的定义：
把一个分式的分子、分母的公因式约去，这 种变形称为分式的约分。