周期函数的判定与非周期函数的判定

定理1
若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X)分别是集M和集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

[1]
证：
∵T*是f(X)的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X)，∴K f(X)+C=K
f(X+T*)+C，
∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。

假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（0＜T’＜T*）是K f(X)+C的周期，则对，
有K f(X+T’)+C=K f(X) +C K[f(X+T’)- f(X)]=0，∵K≠0，∴f(X+T’)- f(X)=0，
∴f(X+T’)= f(X)，
∴T’是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，∴T*也是K f(X)+C
的最小正周期。

同理可证1/ f(X)是集｛X/ f(X) ≠0，X ｝上的以T*为最小正周期的周期函数。

定理2
若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集｛X/aX+ n ｝上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。

证：
先证是f(ax+b)的周期
∵T*是f(X)的周期，∴，有X±T*∈M，∴a（X ）+b=ax+b ±T*∈M，且f[a（X+ T ）+b]=f（ax+b±T*）=f（ax+b）∴是f（ax+b）的周期。

再证是f（ax+b）的最小正周期
假设存在T’（0＜T’＜）是f（ax+b）的周期，
则f（a（x+T’）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT’）=f（ax+b），
因当X取遍｛X/X∈M,ax+b∈M｝的各数时,ax+b就取遍M所有的各数，∴aT’是f(X)的周期，但＜=T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。

定理3
设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当X∈M1时，g(x)∈M，则复合函数f(g(x))是M1上的周期函数。

证：
设T是u=g(x)的周期，则1有（x±T）∈M1且g（x+T）=g(x)
∴f(g(x+T))=f(g(x))
∴=f(g(x))是M1上的周期函数。

例1
设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x))=cos2x是R上的周期函数。

同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx＞0)也都是周期函数。

例2
f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0)是非周期函数，f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。

例3
f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

证：假设cos 是周期函数，则存在T＞0使cos （k∈Z）与定义中T 是与X无关的常数矛盾，
∴cos 不是周期函数。

由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x))可能是，也可能不是周期函数。

定理4
设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2∈Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍数为它们的周期。

证：
设（(p·q)=1）设T=T1q=T2p则有：有（x±T）=（x±T1q）=（x±T2p）∈M，且f1(x+T) ±f2（x+T）= f1(x+T1q) ±f2（x+T2p）= f1(X)±f2(X) ∴f1(X) ±f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。

同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。

定理4推论
设f1(X) 、f2(X)……fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2……Tn分别是它们的周期，若，… （或T1，T2……Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。

例4
f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2π、π、π/2的最小公倍数2π为周期的周期函数。

例5
讨论f(X)= 的周期性
解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。

5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。

tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。

又都是有理数
∴f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。

同理可证：
（1）f(X)=cos ;
(2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。

是周期函数。

定理5
设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2∈Q。

证
先证充分性：
若a1/a2∈Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又∈Q
由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。

再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。

（1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T＞0，
使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。

令x= 得2cos（a1x+ ），则（K∈Z）。

(2)
或C∈Z（3）
又在（1）中令2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0
由(4)
由sin （5）
由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。

由（3）、（5得）（6）
∴无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。

（2）设sinaxcosa2x为周期函数，则是周期函数。

编辑本段非周期函数的判定
[1]（1）若f(X)的定义域有界
例：f(X)=cosx（≤10）不是周期函数。

（2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出
与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。

例：f(X)=cos 是非周期函数。

（3）一般用反证法证明。

（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。

例：证f(X)=ax+b(a≠0)是非周期函数。

证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（≠0），使对，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a≠0，∴T=0与T≠0矛盾，∴f(X)是非周期函数。

例：证f(X)= 是非周期函数。

证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（≠0）对，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T≠0, ∴f(x+T)=1，∴f(x+T) ≠f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，∴f(X)
是非周期函数。

例：证f(X)=sinx2是非周期函数
证：若f(X)= sinx2是周期函数，则存在T（＞0），使对，有sin(x+T)2=sinx2，取x=0有sinT2=sin0=0，∴T2=Kπ（K∈Z），又取X= T有sin( T+T)2=sin（T）2=sin2kπ=0，∴( +1)2
T2=Lπ(L∈Z+)，∴
与3+2 是无理数矛盾，∴f(X)=sinx2是非周期函数。