平面向量的坐标表示与计算
第二节向量基本定理及坐标表示
2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 不共线 向量,那么对于这一 定理:如果e1,e2是同一平面内的两个 平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1、λ2,使 a=λ1e1+λ2e2 .其中, 不共线的向量e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直 的向量,叫做把向量正交分解. (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位 向量i,j作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x、 y,使a=xi+yj.把有序数 (x,y) 对叫做向量a的坐标,记作a= , (x,y) 叫a在x轴上的坐标, y x 其中 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xi+yj,则 向量OA的坐标(x,y) 就是终点A的坐标,即若 (x,y) ,反之亦成立(O是坐标原点). OA=(x,y),则A点坐标为
1 ）b, 3
）=
1 9
,
∴
1 (m+n)=mn,即 3
1 1 m n
=3.
题型二 平面向量的坐标运算
【例2】已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及OP=OA+tAB,试 问: (1)当t为何值时,P在x轴上?P在第二象限? (2)四边形OABP能否构成平行四边形?若能,求出相应的t 值;若不能,请说明理由.
第二节 平面向量的基本定理及坐标表示
基础梳理
1. 两个向量的夹角 (1)定义 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做 已知两个 向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 0°≤θ≤180° ,a与b同向时, 夹角θ= 0° ;a与b反向时,夹角θ= 180° . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 90°,则a与b垂直,记作 a⊥b .
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
平面向量的坐标运算
别业岁月悠长，有暗香盈袖。
冗长了日与夜，空掷了乐与悲。
遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。
谨祝诸位：学业有成，前程似锦。
编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。
写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。
如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。
必修四平面向量的坐标运算(附答案)
平面向量的坐标运算[学习目标] 1。
了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。
答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。
8.2 平面向量的分解及向量的坐标表示
58
因为k a − b 与 a + 3b 平行，所以3(k − 2) + 7 = 0 ，即得 k = − 7 3 a − b = (k − 2, −1) = (− , −1) ， a + 3b = (7,3) ， 此时k 3
1
则 a + 3b
= −3(k a − b)
，即此时向量 a + 3b 与 ka − b 方向相反。
运算类型 几何方法
坐标方法
运算性质
a +b =b +a
(a +b) +c = a +(b +c)
向量的加 1.平行四 边形法则2. a+b=(x +x2, y +y2) 法 1 1 三角形法 则 向量的 减法
a−b =(x1 −x2, y1 −y2)
AB + BC = AC
a − b = a + (−b )
向量与函数的综合
高考总复习·数学 高考总复习 数学
已知向量 u = ( x, y) v = ( y,2 y − x) 的对应关系用 v = f (u) 表示。 与 (1)证明：对于任意向量 a, b 及常数m，n恒有 成立；
f (ma + nb) = mf (a) + nf (b)
(2)设 a = (1,1), b = (1,0) ，求向量 f (a) 及 f (b) 的坐标； （3）求使 f (c) = ( p, q) ，（p，q为常数）的向量 故 f (ma + nb) = (ma2 + nb2 ,2ma2 + 2nb2 − ma1 − nb1 )
e1
2
二．平面向量的坐标表示 在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量 i , j → 作为基底。由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量 a 可 → a a 表示成 → = xi + yj ，由于→与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫 做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y)，其中x叫作在x轴上的坐标，y叫 做在y轴上的坐标。
4-2第二节 平面向量基本定理及其坐标运算(52张PPT)
T 拓思维· 培能力
拓展提伸 提高能力
易混易错系列 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 【典例】 → → → → → 已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，OE＝e，
解析
答案
1 → → → BE＝BC＋CE＝－ a＋b. 2
1 － a＋b 2
Y 研考点· 知规律
探究悟道 点拨技法
题型一
平面向量基本定理的应用
【例 1】 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别为 → → → → DC，BC 的中点，已知AM＝c，AN＝d，试用 c，d 表示AB，AD.
基 础 自 评 → → → 1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝( A．(－2，－4) C．(6,10) B．(2,4) D．(－6，－10) )
解析
→ → → BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．
答案 A
2．若向量 a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，则 c＝( A．3a＋b C．－a＋3b B．3a－b D．a＋3b
(3)设向量 d 坐标为(x， y)， 则 d－c＝(x－4， y－1)， a＋b＝(2,4)．
4x－4－2y－1＝0， 由题意，知 2 2 x－4 ＋y－1 ＝5， x＝3， ∴ y＝－1， x＝5， 或 y＝3.
∴向量 d 的坐标为(3，－1)或(5,3)．
→ → 方法 2：设AB＝a，AD＝b，因为 M，N 分别为 CD，BC 的中 → 1 → 1 点，所以BN＝2b，DM＝2a，于是有 1 c ＝ b ＋ a， 2 d＝a＋1b， 2 2 a ＝ 2d－c， 3 解得 b＝22c－d， 3
→ 2 → 2 即AB＝ (2d－c)，AD＝ (2c－d)． 3 3
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量的坐标表示与计算
平面向量是数学中的重要概念之一，它在几何和物理学中有着广泛
的应用。
本文将详细介绍平面向量的坐标表示方法以及如何进行计算。
一、平面向量的坐标表示方法
平面向量可以用有序数对表示其坐标，也可以用分量表示。
下面将
详细介绍这两种表示方法。
1.有序数对表示法
假设平面向量为AB，A点的坐标为(x₁, y₁)，B点的坐标为(x₂,
y₂)，则向量AB的坐标表示为(x₂-x₁, y₂-y₁)。
其中，x₂-x₁表示横
坐标的变化量，y₂-y₁表示纵坐标的变化量。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的坐标表示为(1-3, 2-4)，即(-2, -2)。
2.分量表示法
平面向量的分量表示法是指将向量表示为一个有序数组，该数组的
元素是向量在各个坐标轴上的分量值。
假设平面向量为v，其分量表示为v = (a, b)，其中a表示向量在x
轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
例如，给定平面向量v = (3, 4)，则向量v在x轴上的投影为3，在
y轴上的投影为4。
二、平面向量的计算
平面向量的计算包括向量的加法、减法、数量乘法以及数量除法。
下面将逐一进行介绍。
1.向量的加法
设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a + b的坐标表示为(a₁+b₁, a₂+b₂)。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a + b的坐标表示为(1+3, 2+4)，即(4, 6)。
2.向量的减法
设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a - b的坐标表示为(a₁-b₁, a₂-b₂)。
例如，给定向量a = (5, 6)和向量b = (2, 3)，则向量a - b的坐标表示为(5-2, 6-3)，即(3, 3)。
3.数量乘法
设向量a = (a₁, a₂)，常数k，则向量ka的坐标表示为(ka₁, ka₂)。
例如，给定向量a = (2, 3)和常数k = 4，则向量ka的坐标表示为(4*2, 4*3)，即(8, 12)。
4.数量除法
设向量a = (a₁, a₂)，常数k ≠ 0，则向量a/k的坐标表示为(a₁/k,
a₂/k)。
例如，给定向量a = (6, 8)和常数k = 2，则向量a/k的坐标表示为(6/2, 8/2)，即(3, 4)。
三、平面向量的应用
平面向量在几何和物理学中有广泛的应用。
下面举例说明两个典型应用。
1.平面向量的模
平面向量的模表示向量的长度，可以通过两点之间的距离来计算，即模的定义为|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
其中，|AB|表示向量AB 的模，(x₁, y₁)和(x₂, y₂)分别是A点和B点的坐标。
例如，给定平面上两点A(3, 4)和B(1, 2)，则向量AB的模为 |AB| = √((1-3)² + (2-4)²) = √((-2)² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8。
2.平面向量的点乘
平面向量的点乘表示两个向量之间的夹角关系，可以通过坐标表示来计算。
设向量a = (a₁, a₂)，向量b = (b₁, b₂)，则向量a与向量b的点乘表示为 a·b = a₁b₁ + a₂b₂。
例如，给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, 4)，则向量a与向量b的点乘为 a·b = (1*3) + (2*4) = 3 + 8 = 11。
综上所述，本文详细介绍了平面向量的坐标表示方法和计算方法。
平面向量在几何和物理学中有广泛的应用，通过学习和理解平面向量的表示和计算，可以更好地解决相关问题。