概率与统计大题练习(含参考答案)

概率与统计大题练习

一、解答题

1.为响应党中央“扶贫攻坚”的号召,某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高,根据以往的经验,随着温度的升高,其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数:

经计算:1266i i x x ===∑1,336i i y y ===∑, 1()()557i i i x x y y =--=∑, 2

1()84i i x x =-=∑ ,

6

2

1

()3930i

i y

y =-=∑,6

21

()23.6?64i i y y

=-=∑ ,8.0605e 3167≈其中,i i x y 分别为试验数据中的温度和死亡株数, 1,2,3,4,5,6i =

1.若用线性回归模型,求y 关于x 的回归方程???y bx a =+ (结果精确到0.1);

2.若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为0.23030.06?x y

e =,且相关指数为20.9522R =. (i)试与1中的回归模型相比,用2R 说明哪种模型的拟合效果更好;

(ii)用拟合效果好的模型预测温度为35C ?时该批紫甘薯死亡株数(结果取整数). 附:对于一组数据1122(,),(,),

,(,)n n u v u v u v c,其回归直线???v u α

β=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为:1

2

1

()()

,()

???n

i

i i n

i

i u

u v v a

v u u

u β

β==--==--∑∑;相关指数为: 2

21

2

1

(?()1)

n

i

i

i n

i

i

i v v

R v v ==-=--∑∑

2.交通安全法有规定:机动车行经人行横道时,应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行.机动车行经没有交通信号的道路时,遇行人横过马路,应当避让:我们将符合这条规定的称为"礼让斑马线",不符合这条规定的称为"不礼让斑马线".下表是大庆市某十字路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员"不礼让斑马线"行为的统计数据:

, (2)求"不礼让斑马线"的驾驶员人数y 关于月份x 之间的线性回归方程

(3)若从4,5月份"不礼让斑马线"的驾驶员中分别选取4人和2人,再从所选取的6人中任意抽取2人进行交规调查,求抽取的2人分别来自两个月份的概率;

参考公式:线性回归方程:???y

bx a =+,其中()()

()

1

1

2

2

2

1

1

???,n

n

i

i i i

i i n

n

i i

i i x

x y y x y

nxy b a

y bx x x x

nx ====---==

=---∑∑∑∑, 相关系数()()

n

i

i x

x y y r --=

∑.

3.经观测,某昆虫的产卵数y 与温度x 有关,现将收集到的温度i x 和产卵数()1,2,,10i y i =?的10

表中11

ln ,10i i i z y z z ===∑,

1.根据散点图判断, y a bx =+,y a =+21c x y c e = 哪一个适宜作为y 与x 之间的回归方程

模型?(给出判断即可,不必说明理由) 2.根据1的判断结果及表中数据. ①试求y 关于x 回归方程;

②已知用人工培养该昆虫的成本()h x 与温度x 和产卵数y 的关系为 2.4170h x x lny =-+（）（）,当温度x (x 取整数)为何值时,培养成本的预报值最小?

附:对于一组数据()()()1122,,,,,n n u v u v u v ?,其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘

估计分别为()()

()

1

2

1

,n

i

i i n

i

i u

u v v

v u

u

u

βαβ==--=

=--∑∑

4.某市调研考试后,某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析,规定:大于或等于120分为优秀,120分以下为非优秀.统计成绩后,得到如下的列联表,且已知在甲、乙两个文科班全部110

人中随机抽取1人为优秀的概率为3

.

2.根据列联表的数据,若按99.9%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”;

3.若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人;把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数之和为被抽取人的序号.试求抽到9号或10号的概率.

参考公式与临界值表:

2

2

()

n ad bc

K

-

=.

5. 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国 2.5PM 标准采用世卫组织设定的最宽限值,即 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75~微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标,某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的 2.5PM 监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)

1.从这15天的

2.5PM 日均监测数据中,随机抽出三天,求恰有一天空气质量达到一级的概率; 2.从这15天的数据中任取三天数据,记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标天数,求ξ的分布列;

3.以这15天的 2.5PM 日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级

6.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将其期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：[40,50),[50,60),[60,70),,[90,100]后得到如下频率分布直方图.

1.根据频率分布直方图，估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分、众数、中位数；（小数点后保留一位有效数字）

2.用分层抽样的方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则[70,80),分数段抽取的人数是多少？

7.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位: cm ).根据长期生产经验,可以认为这条生产线状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

()2,N μσ.

(1)假设生产正态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件数,求()1P X ≥及X 的数学期望.

(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; ②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:

0.212=,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸, 1,2,,16i =?.用样本平均数x 作为μ的估计值?μ

,用样本标准差s 作为σ的估计值?σ

,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除()3,???3?μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ (精确到0.01). 附:若随机变量Z 服从正态分布()

2,N μσ,则

()16330.9974,0.99740.09

p Z μσμσ-<<+=≈≈

8、甲、乙二人用 张扑克牌(分别是红桃 、红桃 、红桃 、方片 )玩游戏,他们将扑克牌洗匀后,背面朝上放在桌面上,甲先抽,乙后抽,抽出的牌不放回,各抽一张.

1.设 表示甲、乙抽到的牌的数字组成的数组,写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况;

2.若甲抽到红桃 ,则乙抽到的牌的数字比 大的概率是多少?

3.甲、乙约定:若甲抽到的牌的数字比乙大,则甲胜,反之,则乙胜.你认为此游戏是否公平,说明你的理由.

9.在6(13)x -的展开式中，

（1）求展开式中各项的二项式系数和；

（2）求第4项的二项式系数和第4项的系数．

（3）设6234560123456(13)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，求123456a a a a a a +++++的值．

10.已知()*22n n N x ?∈??的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1.

(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含3

2x 的项；

(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．

11.有3名男生.4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. ①选其中5人排成一排；

②排成前后两排，前排3人，后排4人； ③全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； ④全体排成一排，女生必须站在一起； ⑤全体排成一排，男生互不相邻；

⑥全体排成一排，甲.乙两人中间恰好有3人； ⑦全体排成一排，甲必须排在乙前面；

⑧全部排成一排，甲不排在左端，乙不排在右端.

12.用()

*3,N n n n ≥∈种不同的颜色给如图所示的,,,A B C D 四个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.

1.当6n =时,图①、图②各有多少种不同的涂色方案?

2.若图③有180种不同的涂色方案,求n 的值.

参考答案

1.答案：1.解:由题意得, ()()

()

1

2

1

557

6.638?4

n

i

i

i n i i x x y

y b

x x ==--==

≈-∑∑ ∴33 6.63263.?194a

=-?=- ∴y 关于x 的线性回归方程为: 6.6394?1.y

x =- 2.(i)线性回归方程 6.6386?1.y

x =-对应的相关系数为: ()

()

6

2

2

1

6

2

1236.64

1110.06020.93983930

i

i i i

i

i y y R y

y ==-=-

=-

≈-=-∑∑, 因为0.93980.9522<比线性回归方程 6.6386?1.y

x =-拟合效果更好. (ii)由(i)知,当温度35x =?时, 0.2303358.06050.06e 0.06e 0.0631769?10y ?==≈?≈,即当温度为35C 时该批紫甘薯死亡株数为190

2.答案：(1)依题意5

1

3,100,1420i i i x y x y ====∑,()()5

5

2

1

1

55,80i

i i i i x x x y y ===--=-∑∑,

()()

5

5

2

2

1

1

7500i i i i x x y y ==--=∑∑,计算()()

0.921n

i

i x

x y y r --=

=

≈-∑

具有很强的线性相关关系.

(2)1

22

1

142053100?85559

n

i i

i n

i

i x y

nxy

b

x

nx ==--??===--?-∑∑,?100(8)3124a y bx

=-=--?=, 所以y 关于月份x 之间的线性回归方程为8124y x =-+.

(3) 从4月份选取的4人分别记为1234,,,a a a a 从5月份选取的2人分别记为12,B B 从这6人中任意抽取2人进行交规调查包含的基本事件有

{}{}{}{}{}{}121314111223,,,,,,,,,,,a a a a a a a B a B a a ,

{}{}{}{}{}{}{}{}{}242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a B a B a a a B a B a B a B B B

共15个, 其中"抽取的2人分别来自两个月份"包含的基本事件为

{}{}{}{}{}{}111221223132,,,,,,,,,,,a B a B a B a B a B a B ,{}{}4142,,,a B a B 共8个,

设抽取的2人分别来自两个月份为事件A ,则8()15

P A =

.

3.答案：1.根据散点图判断,看出样本点分布在一条指数函数的周围,所以21c x

y c e

=适宜作为y 与

x 之间的回归方程模型

2.①令ln z y =,则21ln z c x c =+, ()()

()

10

1

210

2

1

301

1505

i

i

i i

i x x z

z

c x x ==--=

=

=-∑∑, 12ln 3.33c z c x =-=-,

1

3.3375

z x ∴=-

1

3.335

x z

y e e

-∴==

②()()211ln 2.4170 3.33 2.4170 5.7317055h x x y x x x x ??

=-+=--+=-+

???

5.73

14125

x ∴=

≈?时,培养成本的预报值最小

2.根据列联表中的数据,得到2

2

110(10302050)7.48710.82860503080

K ??-?=

≈

3.设“抽到9或10号”为事件A ,先后两次抛掷一枚均匀的骰子,出现的点数为(),,x y

所有的基本事件有()()()():1,1,1,2,1,3,,6,6,?共36个.

事件A 包含的基本事件有()()()()()()():3,6,4,5,5,4,6,3,5,5,4,6,6,4,共7个.

∴7()36P A =

,即抽到9号或10号的概率为736

. 5.答案：1.记“从15天的 2.5PM 日均监测数据中,随机抽出三天,恰有一天空气质量达到一级”

为事件A ,125103

1545

()91

C C P A C ?==. 2.依据条件, ξ服从超几何分布:其中15,5,3N M n ===,ξ的可能值为0,1,2,3,其分布列为:

()()3510

3

0,1,2,3k k

C C P k k C ξ-===

3. 依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为102153

P ==, 一年中空气质量达到一级或二级的天数为η,则2(360,)3

n

B

2

3602403

E η∴=?

=,一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级 6.答案：1.由图可知众数为75，当分数70.3x <时对应的频率为0.5，

所以中位数为70.3，平均数为

450.1550.15650.15750.3850.25950.0571?+?+?+?+?+?=

2.6

7.答案：(1)抽取的一个零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之内的概率为0.9974, 从而零件的尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率为0.0026, 故()16,0.0026X B ~,

因此()()16

11010.99740.0408P X P X ≥=-==-≈,

X 的数学期望为160.00260.0416EX =?=.

(2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在()3,3μσμσ-+之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在()3,3μσμσ-+之外的零件的概韦只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检査,可见上述监控生产过程的方法是合理的.

②由9.97,0.212x s =≈,得μ的估计值为?9.97μ

=,σ的估计值为0.212σ∧

=,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在()3,???3?μ

σμσ-+之外,因此需对当天的生产过程进行检査. 剔除()3,???3?μ

σμσ-+之外的数据9.22,剩下数据的平均数为()1

169.979.2210.0215

?-= 因此μ的估计值为10.02.

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑

剔除

16

2221

160.212169.971591.134i

i x

==?+?≈∑之外的数据9.22.

剩下数据的样本方差为

()221

159.1349.221510.020.00815

--?≈. 因此σ

0.09≈. 8. 答案：（1）共12种不同的情况。 （2）2/3。

（3）5/12<7/12，此游戏不公平。

9.答案：（1）展开式中各项二项式系数的和为：0126

66666264C C C C +++???+==

（2）展开式的第四项是：333461(3)T C x =??-，第四项的二项式系数为3620C =，第四项的系数

为：336(3)540C ?-=-

（3）因为6234560123456(13)x a a x a x a x a x a x a x -=++++++，所以令上式中0x =则01a =令

1x =，则60123456(13)64a a a a a a a ++++++=-=

12345664163a a a a a a +++++=-=∴

10.答案：由题意知，第五项系数为()442n C -，第三项的系数为()2

22n C -，则有()()

44

2

2210

1

2n n C C -=

-，化简得25240n n --=，解得8n =或3n =- (舍去)． (1)令1x =得各项系数的和为()8

121-=. (2)

通项公式882218

822k

k

k

k k

k

k T C C x x ---+??=?-=? ???

， 令

83

222

k k --=，则1k =，故展开式中含32x 的项为32216T x =-.

(3)设展开式中的第k 项，第k ＋1项，第k ＋2项的系数绝对值分别为

1182k k C --?，82k k C ?，1182k k C ++?，

若第1k +项的系数绝对值最大，则1188118822

22

k k k k

k k k k C C C C --++??≤????≤???解得56k ≤≤.

又6T 的系数为负，∴系数最大的项为1171792T x -=. 由8n =知第5项二项式系数最大，此时651120T x -=. 解析：

11.答案：①从7个人中选5个人来排，是排列.

有5

7A 765432520

=????= （种）. ②分两步完成，先选3人排在前排，有37A 种方法，余下4人排在后排，有44

A 种方法，故共有3474A A 5040

?= （种）.事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件. ③（优先法）方法一：甲为特殊元素，先排甲，有五种方法；其余6人有66A 种方法，故共有665A 3600

?=种.

方法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有26A 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有55A 种方法，共有2565A A 3600

?=种 ④（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有44

A 种方法，再将4名女生进行全排列，也有44A 种方法，故共有4444A A 576

?=种. ⑤（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有44A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有35

A 种方法， 故共有4345A A 1440

?=种. ⑥（捆绑法）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲乙两人，有2

2A 种方法；第二步从余下5人中选3人排在甲乙中间，有35A 种；第三步把这个整体与余下2人进行全排列，有33

A 种方法.故共有233253A A A 720??=种. ⑦（消序法） 7

7A 25202

=. ⑧（间接法） 7

65765A 2A A 3720

-+=. 12.答案：1.图①:第一步,涂A 有6种不同的涂法; 第二步,涂B 与A 的颜色不相同,有5种不同的涂法;

第三步,涂C,与A,B 的颜色都不相同,有4种不同的涂法; 第四步,涂D,只需与C 的颜色不相同.有5种不同的涂法. 所以共有6×5×4×5=600种不同的涂色方案. 图②:第一步,涂A 有6种不同的涂法;

第二步,涂B 与A 的颜色不相同,有5种不同的涂法;

第三步,涂D,与A,B 的颜色都不相同,有4种不同的涂法; 第四步,涂C,与,B D 的颜色都不相同,有4种不同的涂法. 所以共有6×5×4×4=480种不同的涂色方案.

2.前三步与图①的涂色方法类似.分别有()(),1,2n n n --种不同的涂法, 第四步.涂D,与C,A 的颜色都不相同.有()2n -种不同的涂法, 共有()()()122n n n n ---种不同的涂色方案, 所以()()2

*12180,N n n n n --=∈,所以5n =.