人教版高考数学一轮复习函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用(专题拔高特训-通用版)PPT课件
【答案】
(1)A
(2)C
对 y＝Asin(ω x＋φ)进行图象变换时应注意以下两点： (1)平移变换时，x变为x± a(a＞ 0)，变换后的函数解析式 为 y＝ Asin[ω(x± a)＋φ]； x (2)伸缩变换时，x变为 (横坐标变为原来的k倍)，变换 k 后的函数解析式为y＝ Asin(
ω
k
1 【解析】 ∵y＝cos(2x＋1)＝cos 2(x＋ )， 2 1 ∴只要将函数 y＝cos 2x的图象向左平移 个单位. 2
【答案】
C
π 4．已知函数 y＝ Asin(ωx＋φ)(ω＞ 0， |φ|＜ )的部分图 2 象如图 3－ 4－ 1所示，则 ( )
π A．ω ＝ 1，φ＝ 6 π C．ω ＝ 2，φ＝ 6
【答案】
(1)D
(2)D
•
已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x.
•(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； •(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在 [0，π]上的图象．
•【思路点拨】 (1)运用二倍角公式及两角和与差的 余弦公式化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； •(2)在表中列出[0，π]上的特殊点及两个区间端点， 根据变化趋势画出图象．
φ 【提示】 前者平移|φ|个单位，后者平移| |个单位， ω
原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x而言的，因此 在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后 顺序，否则会出现错误．
π 1．(人教A版教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin( 3 π x＋φ)(|φ|＜ )的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小 2 正周期T和初相φ分别为( π A．T＝6，φ＝ 6 π C．T＝6π，φ＝ 6 ) π B．T＝6，φ＝ 3 π D．T＝6π，φ＝ 3
•3.由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中先伸缩后平移
•1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪 些数据？
π 3π 【提示】 先使ωx＋φ等于0， ，π， ，2π，然 2 2 后求出x的值．
•2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸 缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数 为什么不一样？
1 【解析】 由题意知f(0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝ ， 2 π π 又|φ|＜ ，∴φ＝ ，又T＝6，故选A. 2 6
【答案】
A
1 2．把 y＝ sin x的图象上点的横坐标变为原来的 2倍得 2 到 y＝ sin ω x的图象，则 ω的值为 ( ) 1 A． 1 B． 4 C. D． 2 4
π B． ω＝ 1， φ＝－ 6 π D．ω ＝ 2，φ＝－ 6
【解析】 ＝ 2，
π 7 由图象知A＝ 1，T＝4( π－ )＝π，∴ω 12 3
π π 再由 2× ＋ φ＝ ， 3 2 π 得 φ＝－ . 6
【答案】
D
• (1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上 所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然 后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度， 得到的图象是( )
π (2)设 ω＞ 0，函数 y＝ sin(ωx＋ )＋ 2的图象向右平移 3 4π 个单位后与原图象重合，则 ω的最小值是( 3 )
2 A. 3
4 B. 3
3 C. 2
D．3
【思路点拨】 (1)写出变换后的函数解析式，再根据 图象变换找图象； (2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍．
x＋ φ)．
π (1)(2013· 惠州调研)要得到函数y＝ sin(2x－ )的图象， 3 只需将函数y＝ sin 2x的图象( ) π π A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 12 12 π π C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 6 6
(2)已知函数 y＝f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变， 将横坐标伸长到原来的2倍，然后将整个图象沿x轴向左平 π 1 移 个单位，得到的图象与 y＝ sin x的图象相同，则y＝ f(x) 2 2 的函数表达式为 ( ) π π 1 1 1 A． y＝ sin( x－ ) B． y＝ sin 2(x＋ ) 2 2 2 2 2 π π 1 1 1 C． y＝ sin( x＋ ) D． y＝ sin(2x－ ) 2 2 2 2 2
【尝试解答】
(1)y＝ cos 2x＋1
y＝ cos x y
＋1 y＝cos(x＋ 1)＋ 1 ＝ cos(x＋ 1)． 结合选项可知应选 A.
4 (2)设函数的周期为 T，由题意知 kT＝ π， k∈ Z，∴ T＝ 3 4π ， 3k 3 ∴ω＝ k， k∈ Z，且 ω＞ 0. 2 3 ∴ k＝ 1时， ω有最小值 . 2
第四节
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用
•1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
振幅 y＝Asin(ωx＋φ)(A ＞0，ω＞0，x≥0) 表示一个振动量时 A 周期 频率 相位 初相 φ
2π ω ωx＋ 1 T＝___ ω f＝ ＝___ T 2π φ
•2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 •用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时， 要找五个关键点，如下表所示
1 【解析】 横坐标变为原来的 2倍，则 x变为 x，故得 2 1 到的函数解析式为 y＝sin x . 4
【答案】
C
3．(2012· 安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象， 只要将函数y＝cos 2x的图象( ) A．向左平移1个单位 B．向右平移1个单位 1 1 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 2 2
π π 【解析】 (1)∵ y＝ sin(2x－ )＝ sin 2(x－ )， 3 6 π ∴只需将函数 y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位． 6 π 1 (2)将函数 y＝ sin x的图象向右平移 个单位后，得到 2 2 π 1 的图象解析式为 y＝ sin(x－ )，再把得到的图象横坐标缩 2 2 π 1 1 短到原来的 后得到的图象解析式为y＝ sin(2x－ )． 2 2 2
人教版数学必修第一册综合复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件
，
2
4
2
B．0， ， ，
3
4
6
3
2
，π
D．0， ， ， ，
2
3
2．用五点法作函数y＝sin(x－ )在一个周期内的图象时，
6
7
2
,0
,1
,
0
6
主要确定的五个点是________，________，________，
3
6
,
0
,
−1
________，________.
2
，π)上
[－2,1)
有实数根，则m的取值范围是_______________．
方法点拨：方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
考向3
三角函数模型的应用
[例8] 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的
最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点
M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，则点P到
长度，得到函数y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)图象的一个
5
对称中心为点(
12
，0)，求θ的最小值．
(3)作出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的图象．
方法总结
五点法作图，即用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的
简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，
2
，π，
2
，2π来求出相应的x. 通过列表，计算得出
φ对函数图象变化的影响．
问题，体会三角函数是描述周期变
化现象的重要函数模型．
核心
高考一轮复习理数课件第四章第四节函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
(2)由题图可知 A＝ 2，
法一：T4＝71π2－π3＝π4，所以 T＝π，故 ω＝2，因此 f(x)＝
2sin(2x＋φ)，又π3，0对应五点法作图中的第三个点，因此
2×π3＋φ＝π，所以 φ＝π3，故 f(x)＝ 2sin2x＋π3.
法二：以π3，0为第二个“零点”，71π2，－
2为最小值点，
根据 tan A＝tan π6＝ 33＝CADD＝M3 ，得 M＝ 3，
∴f(x)＝
3sin
π 6x.
(2)将函数 f(x)＝
3sin
π 6x
的图象向左平移
1
个单位，纵坐标不
变，可得 y＝ 3sinπ6x＋1＝ 3sinπ6x＋π6的图象；再把横坐标伸长
为原来的π3倍，得到函数 g(x)＝ 3sinπ3·π6x＋π6＝ 3sin12x＋π6的图象．
(3)把 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移π6个单位长度， 得到 y＝sinx－π6的图象，再把 y＝sinx－π6的图象上的点的 横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin2x－π6的 图象，最后把 y＝sin2x－π6上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横坐标不变)，即可得到 y＝5sin2x－π6的图象．
4.[考点二、三](2017·银川二模)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞ 0，ω＞0,0＜φ＜π)的图象与 x 轴的一个交点－1π2，0到其相邻 的一条对称轴的距离为π4，若 f1π2＝32，则函数 f(x)在0，π2上的 最小值为________．
解析：由题意得，函数 f(x)的最小正周期 T＝4×π4＝π＝2ωπ，解得 ω
[方法技巧]
三角函数图象变换的两个要点
主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意
高考数学一轮复习课件函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用
•从近两年的高考试题来看，函数y＝Asin(ωx ＋φ)图象的平移和伸缩变换以及根据图象确 定A、ω、φ的问题是高考的热点，题型多样， 难度中低档．主要考查识图、用图能力；同 时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能 力，以及函数与方程、数形结合等数学思想 ．
•规范解答之四 三角函数与平面向量的交汇 问题
•以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该 商品在商店的销售价格时发现：该商品的出 厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动 的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出 厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价 格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的， 并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销 售价最低为6元，假设某商店每月购进这种商 品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最
【答案】 (1)A (2)C
【答案】 (1)D (2)D
• 已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－ sin2x.
•(1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式； •(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数 f(x)在[0，π]上的图象．
•【思路点拨】 (1)运用二倍角公式及两角和 与差的余弦公式化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；
【答案】 C
• 如图3－4－6为一个缆车示意图， •该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与 •地面距离为0.8 m，60秒转动一圈， •图中OA与地面垂直，以OA为始边， •逆时针转动θ角到OB，设B点与地 •面间的距离为h. •(1)求h与θ间关系的函数解析式；
•(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求 h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高 点时用的最少时间是多少？
•(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平 移
2025届高中数学一轮复习课件《函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用》ppt
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第24页
解：(1)若 f(x1)＝2，f(x2)＝0，即 x1 是 f(x)的最大值点，x2 是 f(x)的零点，且|x1－x2|的最 小值为π4，设 f(x)的最小正周期为 T，则T4＝π4，即 T＝2ωπ＝π，解得 ω＝2.
由 f(0)＝1，得 f(0)＝2sin φ＝1，即有 sin φ＝12，所以 φ＝π6＋2kπ(k∈Z)或 φ＝56π＋2kπ(k ∈Z)，又|φ|≤π2，所以 φ＝π6.综上所述，f(x)＝2sin2x＋π6，令－2π＋2kπ≤2x＋π6≤2π＋2kπ(k ∈Z)，解得－π3＋kπ≤x≤6π＋kπ(k∈Z)，所以 f(x)的单调递增区间为－π3＋kπ，π6＋kπ(k∈Z)．
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第1页
第五章 三角函数
第5讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
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第2页
复习要点 1.了解 y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数 ω，φ，A 的意义， 了解参数的变化对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利 用三角函数构建刻画事物周期变化的3页
解析：设函数 f(x)的最小正周期为 T，由图可知T4＝π6－－3π＝π2，所以 T＝2π，又 ω>0， 所以2ωπ＝2π，所以 ω＝1，则 f(x)＝2sin(x＋φ)，因为 f－3π＝2，所以－π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈ Z，即 φ
代入最值点，解三角方程求 φ 的值． ＝56π＋2kπ，k∈Z，又 0<φ<π，所以 φ＝56π， 则 f(x)＝2sinx＋56π. 题眼 因为 f－116π＝2sin(－π)＝0，所以－116π，0是函数 f(x)＝2sinx＋56π图象的一个对称 中心．故选 D．
人教a版高考数学(理)一轮课件：4.4函数y=asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ x= 是函数 y=f(x)图象的对称轴, ∴ sin 2 × + φ =± 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
π 0
ωx+φ y=Asin(ωx+φ)
ω 3������ 2
ω
2π 0
A
-A
3.由函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤:
4.解三角函数应用题的一般步骤: (1)阅读理解材料:将文字语言转化为符号语言; (2)建立变量关系:抽象成数学问题,建立变量关系; (3)讨论变量性质:根据函数性质讨论变量性质; (4)作出结论.
π 6 π 6
的图象,则 φ 等于( B.
5π 6
) C.
7π 6
D.
11π 6
【答案】D 【解析】 将函数 y=sin x 的图象向左平移 φ(0≤φ≤2π)个单位长度得到函数 y=sin(x+φ)的图象,在 A,B,C,D 四个选项中,只有 φ=
11π 6 11π 时有 6
y=sin ������ +
5π 8
1
7π 8
0
π
2 2
y
-
-
人教版数学必修第一册期末复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用课件
常见误区
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：
!
“左加右减，上加下减”．
(2)由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：
向左平移 个单位长度而非φ个单位长度．
典例剖析
考点 1 五点法作图及图象变换
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
6
f(x)＝2sin [2(x+ ) + ]
2． (变问法) 在本例条件下，函数y＝2cos 2x的图象向右平移
________个单位得到y＝f(x)的图象．
6
6
由[例1]知f(x)＝2sin (2x+ ) ，
4
向右平移 个单位长度
y＝2cos 2x
y＝2sin(2x＋ )
6
y＝2sin 2x
2
3
11
12
π
6
2
π
3
2
2π
13
6
1
2
0
－2
0
1
[例1] 已知函数f(x)＝ 3 sin 2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.
(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．
画图如下．
变式探究
1．(变问法)若将本例中函数f(x)的图象向左平移 个单位长度，把
3
所有点的横坐标伸长到原来的二倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)
2
1
点的横坐标缩短到原来的 倍，然后向左平移 个单位长度，得到y＝g(x)的图
2
6
象．则以下结论正确的是(
高考数学一轮总复习三角函数解三角形第6节 函数y=sin(ωx+φ)的图象与性质及三角函数模型的应用
解析:由题图可知 T=
所以
||
- = (T 为 f(x)的最小正周期),即 T=π,
=π,即ω=±2,又ω>0,故 f(x)=2cos(2x+ ).
点( ,0)可看作“五点法”中的第二个点,故 2× + = ,得 =- ,
则 f(x)=2cos(2x-),所以 f()=2cos(2×-)=- .
t=+2kπ或 t= +2kπ,k∈Z,
由题图可知,ωx2+ -(ωx1+ )= -= ,
即ω(x2-x1)= ,所以ω=4.
因为 f( )=sin( + )=0,所以 + =2kπ,k∈Z,即 =- +2kπ,
[课程标准要求]
1.了解函数y=Asin(ωx+ )的物理意义,能画出y=Asin(ωx+ )
的图象,了解参数A,ω, 对函数图象变化的影响.2.会用三角函
数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的
重要函数模型.
积累·必备知识
回顾教材,夯实四基
1.y=Asin(ωx+ )的有关概念
√
D.0,,,,
解析:令x 依次等于 0,,π, ,2π,得 x 依次为 0,π,2π,3π,4π.
故选 C.
3.(必修第一册 P239 练习 T2 改编)为了得到函数 y=sin(x-)的图象,只要把
新人教A版版高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形函数y=Asinω+φ的图象及应用教案理解析版
基础知识整合１．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念２．用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示．３．函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象的步骤函数y＝Asin（ωx＋φ）＋k（A>0，ω>0）中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；φ的变化引起左右平移变换；k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．１．为了得到函数y＝sin错误!的图象，只需把函数y＝sin２x的图象上的所有点（）Ａ．向左平行移动错误!个单位长度Ｂ．向右平行移动错误!个单位长度Ｃ．向左平行移动错误!个单位长度Ｄ．向右平行移动错误!个单位长度答案D解析∵y＝sin错误!＝sin２错误!，∴只需将函数y＝sin２x图象上的所有点向右平移错误!个单位长度即可得到函数y＝sin错误!的图象．故选Ｄ．２．函数f（x）＝２sin（ωx＋φ）错误!的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）Ａ．２，—错误!Ｂ．２，—错误!Ｃ．４，—错误!Ｄ．４，错误!答案A解析由图可知，错误!T＝错误!＋错误!＝错误!，T＝π，ω＝错误!＝２．因为点错误!在图象上，所以２×错误!＋φ＝错误!＋２kπ，φ＝—错误!＋２kπ，k∈Z.又—错误!<φ<错误!，所以φ＝—错误!.故选Ａ．３．（２0１8·西安模拟）已知函数f（x）＝cos错误!（ω>0）的最小正周期为π，则该函数的图象（）Ａ．关于点错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于直线x＝错误!对称答案D解析错误!＝π得ω＝２，函数f（x）的对称轴满足２x＋错误!＝kπ（k∈Z），解得x＝错误!—错误!（k ∈Z），当k＝１时，x＝错误!.选Ｄ．４．（２0１9·河北五校联盟摸底）把函数y＝sin错误!的图象向左平移错误!个单位后，所得函数图象的一条对称轴为（）Ａ．x＝0 Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝错误!Ｄ．x＝—错误!答案C解析５．（２0１8·天津高考）将函数y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数（）Ａ．在区间错误!上单调递增Ｂ．在区间错误!上单调递减Ｃ．在区间错误!上单调递增Ｄ．在区间错误!上单调递减答案A解析将y＝sin错误!的图象向右平移错误!个单位长度，所得图象对应的函数为y＝sin错误!＝sin２x，当２kπ—错误!≤２x≤２kπ＋错误!（k∈Z），即kπ—错误!≤x≤kπ＋错误!（k∈Z）时，y＝sin２x单调递增，令k＝0，则x∈错误!，所以y＝sin２x在错误!上单调递增，故选Ａ．核心考向突破考向一三角函数的图象变换例１将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（）Ａ．y＝sin错误!Ｂ．y＝sin错误!Ｃ．y＝sin错误!Ｄ．y＝sin错误!答案C解析将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平移错误!个单位长度后，所得图象的函数解析式为y＝sin 错误!；再把所得各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是y＝sin错误!.故选Ｃ．触类旁通两种图象变换的区别由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是错误!（ω>0）个单位长度．即时训练１．将函数y＝cos错误!的图象上各点的横坐标伸长到原来的２倍（纵坐标不变），再向左平移错误!个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）Ａ．x＝错误!Ｂ．x＝错误!Ｃ．x＝πＤ．x＝错误!答案D解析y＝cos错误!错误!y＝cos错误!y＝cos错误!，即y＝cos错误!.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当x＝错误!时，y＝cos错误!＝１．故选Ｄ．考向二求函数y＝Asin（ωx＋φ）的解析式例２已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω>0，—π≤φ<π）的图象如图所示，则φ＝________.答案错误!解析由图象可知ω＝错误!，当x＝２π时，y＝１，∴错误!×２π＋φ＝错误!＋２kπ，k∈Z.∵—π≤φ<π，∴φ＝错误!.触类旁通确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A>0，ω>0）的解析式的步骤（１）求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝错误!，b＝错误!.错误!３求φ，常用方法有：１代入法：把图象上的一个已知点代入此时A，ω，b已知或代入图象与直线y＝b的交点求解此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上.２五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.即时训练２．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ）错误!，y＝f（x）的部分图象如图所示，则f错误!＝________.答案错误!解析由图象可知，错误!＝错误!—错误!，即错误!＝错误!，所以ω＝２，再结合图象，可得２×错误!＋φ＝kπ＋错误!，k∈Z，即|φ|＝错误!<错误!，所以—错误!<k<错误!，只有k＝0，所以φ＝错误!，又图象过点（0,１），代入得Atan错误!＝１，所以A＝１，函数的解析式为f（x）＝tan错误!，则f错误!＝tan错误!＝错误!.考向三函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质角度错误!函数图象与性质的综合应用例３（２0１9·山西模拟）函数f（x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（）Ａ．错误!，k∈ZＢ．错误!，k∈ZＣ．错误!，k∈ZＤ．错误!，k∈Z答案D解析由图象可知错误!＋φ＝错误!＋２mπ，错误!＋φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以ω＝π，φ＝错误!＋２mπ，m∈Z，所以函数f（x）＝cos错误!＝cos错误!的单调递减区间为２kπ<πx＋错误!<２kπ＋π，k ∈Z，即２k—错误!<x<２k＋错误!，k∈Z.故选Ｄ．角度错误!图象变换与性质的综合应用例４（２0１8·太原模拟）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）错误!的最小正周期是π，若将f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）Ａ．关于直线x＝错误!对称Ｂ．关于直线x＝错误!对称Ｃ．关于点错误!对称Ｄ．关于点错误!对称答案B解析∵f（x）的最小正周期为π，∴错误!＝π，ω＝２，∴f（x）的图象向右平移错误!个单位后得到g（x）＝sin错误!＝sin错误!的图象，又g（x）的图象关于原点对称，∴—错误!＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝错误!＋kπ，k∈Z，又|φ|＜错误!，∴φ＝—错误!，∴f（x）＝sin错误!.当x＝错误!时，２x—错误!＝—错误!，∴A，C错误；当x＝错误!时，２x—错误!＝错误!，∴B正确，D错误．角度错误!三角函数模型的简单应用例５某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）＝１0—错误!cos错误!t—sin错误!t，t∈[0,２４）．（１）求实验室这一天的最大温差；（２）若要求实验室温度不高于１１℃，则在哪段时间实验室需要降温？解（１）f（t）＝１0—２错误!＝１0—２sin错误!，因为0≤t<２４，所以错误!≤错误!t＋错误!<错误!，—１≤sin错误!≤１．当t＝２时，sin错误!＝１；当t＝１４时，sin错误!＝—１．于是f（t）在[0,２４）上取得最大值１２，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为１２℃，最低温度为8 ℃，最大温差为４℃.（２）依题意，当f（t）>１１时实验室需要降温．由（１）得f（t）＝１0—２sin错误!，故有１0—２sin错误!>１１，即sin错误!<—错误!.又0≤t<２４，因此错误!<错误!t＋错误!<错误!，即１0<t<１8．在１0时至１8时实验室需要降温．触类旁通１解三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f x＝Asinωx＋φ＋k中的待定系数.２研究y＝Asinωx＋φ的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题。
高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
又 T=6,故选 A.
答案 A
高考总复习·数学（理科）
2.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=(
A.5 B.4
C.3 D.2
).
高考总复习·数学（理科）
解析
答案
由函数图象可知=(x0+)-x0=,所以 T=,所以ω=4.
B
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正确“列表、描点、连线”;(3)按照图象变换规律进行即可.
解析
(1)y=2sin(2x+)的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ=.
(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
高考总复习·数学（理科）
列表如下:
x
-
X
0
y=sin X
0
高考总复习·数学（理科）
(1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ≤ )的图象
上的相邻的最高点和最低点的距离为 2
析式 f(x)=
.
,且过点(2,-),则函数解
高考总复习·数学（理科）
(2)函数
f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, <
φ<)的部分图象如图所示,则ω和φ的值分
坐标不变),即可得到
y=2sin(2x+ )的图象.
高考总复习·数学（理科）
(1)(2016 全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- cos x 的图象可由函
高考数学一轮总复习第4章三角函数第4节函数y=Asinωx+φ的图象及简单应用教师用书
第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及简单应用考试要求：1．结合具体实例，了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的实际意义．2．能借助图象理解参数A ，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．一、教材概念·结论·性质重现1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ≥0)振幅周期频率相位初相A T ＝f ＝＝ωx ＋ φ φ2．用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，x ∈R )在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：ωx ＋φ0π2πxy ＝A sin(ωx＋φ)0A 0－A 01．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径：由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移个单位长度，而不是|φ|个单位长度．二、基本技能·思想·活动经验1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．(1)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．( × )(2)函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A．( × )(3)若函数y＝A sin(ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)．( √ )(4)函数y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为．( √ ) 2．(2021·常州一模)已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin的图象，只需( )A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移个单位长度B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向右平移个单位长度C．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的D．先将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍B 解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数f(x)＝2sin．3．函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是( )A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)B 解析：由题意知ω＝＝2，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝cos＝sin 2x的图象，由2kπ＋≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为(k∈Z)．4．(2021·东城区一模)已知函数f(x)＝A sin(2x＋φ)，其中x和f(x)部分对应值如表所示：x－0f(x)－2－2－222那么A＝________．4 解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－2，f＝－A cos φ＝－2，所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4．5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝ ．3 解析：观察函数图象可得周期T＝，故T＝＝，所以ω＝3．考点1 由图象确定y＝A sin ωx＋φ 的解析式——基础性1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则此函数的解析式可以是( )A．y＝sinB．y＝sinC．y＝sinD．y＝sinC 解析：由函数y＝sin(ωx＋φ)的图象知，T＝2×＝π，ω＝＝2，由五点法画图知，是函数图象的第三个关键点，即2×＋φ＝π，解得φ＝，所以此函数的解析式是y＝sin．2．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝( )A． B．－C． D．－D 解析：因为函数f(x)＝sin(ωx＋φ)满足f＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝对称，结合图象，－＝×，所以ω＝2．结合五点法作图可得，2×＋φ＝，所以φ＝－．3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f ＝________．－ 解析：由题意可得T＝－＝，所以T＝π，ω＝＝2，当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－π(k∈Z)，令k＝1可得φ＝－，据此有f(x)＝2cos，f ＝2cos＝2cos＝－．4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin(ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．y＝10sin＋20，x∈[6,14] 解析：从题图中可以看出，6～14时是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋b的半个周期，所以A＝×(30－10)＝10，b＝×(30＋10)＝20．又×＝14－6，所以ω＝．又×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝，所以y＝10sin＋20，x∈[6,14]．1．由图象求解析式问题，求①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z．考点2 函数y＝A sin ωx＋φ 的图象变换——综合性(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝( )A．sin B．sinC．sin D．sinB 解析：由已知的函数y＝sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin．(2)(2021·山西二模)将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y ＝cos 2x的图象，则φ的值可能为( )A． B．C． D．A 解析：将函数y＝sin的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，得到y＝sin＝sin＝cos＝cos＝cos．若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－＝2kπ，即φ＝－kπ－，k∈Z．因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝．本例(1)若改为：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝________．sin 解析：函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin，向右平移个单位长度得到函数f(x)＝sin＝sin．1．由函数y移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C上所有点的( )A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变D 解析：函数f(x)＝4sin的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin的图象，只要把C 上所有点横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，即可．2．已知函数f(x)＝cos是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象( )A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度C 解析：因为函数f(x)＝cos是偶函数，所以φ－＝kπ(k∈Z)．因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝cos 2x，要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度．考点3 三角函数模型及其应用——应用性(2021·上海模拟)如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A．风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为( )A．5米B．(4＋)米C．(4＋)米D．(4＋)米D 解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t)．又T＝12，所以θ＝t，所以f(t)＝3－2cos t，t≥0；风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋，P(，1)，所以点P的高度为3－2×＝4(米)．因为A(0，－3)，所以AP＝＝，所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋)米．三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数模型，再利用三角函数的有关知1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M 从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是( )A．H＝4sin＋2B．H＝4sin＋2C．H＝4sin＋2D．H＝4sin＋2A 解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，因为∠xOP0＝30°＝，所以OM在 t(s) 内转过的角度为t＝t，所以以x轴为始边，以OM为终边的角为t－，则点M的纵坐标为4sin，所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin＋2．2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．6 000 解析：作出函数简图如图：三角函数模型为y＝A sin(ωx＋φ)＋B，由题意知A＝(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝＝．将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有×3＋φ＝，所以φ＝0，故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．所以f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．考点4 三角函数图象与性质的综合问题——综合性(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是( )A．函数g(x)的图象关于直线x＝对称B．函数g(x)的图象关于点对称C．函数g(x)在上单调递减D．函数g(x)在[0,2π]上恰有4个极值点AD 解析：函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin的图象，对于A：当x＝时，g＝2，故A正确．对于B：当x＝时，g＝2sin＝，故B错误．对于C：当x∈时，2x－∈，故函数在该区间上单调递增，故C错误．对于D：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)，当k＝0,1,2,3时，x＝，，，，正好有4个极值点，故D正确．(2)已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是( )A． B．(－2,2)C．(－2，－) D．(－2，－1)D 解析：方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈．设2x＋＝t，则t∈，题目条件可转化为＝sin t，t∈，有两个不同的实数根．所以y＝和y＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，的范围为，故m的取值范围是(－2，－1)．已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是________．1≤m＜2 解析：2sin2x－sin 2x＋m－1＝－cos 2x－sin 2x＋m＝－2sin＋m．因为x∈，所以2x＋∈．要使方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在x∈上有两个不同的实数根，则2x＋∈且2x ＋≠，此时2sin∈[1,2)，所以1≤m＜2．1．研究y＝1．(2021·运城模拟)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是( )A．f(x)＝2sinB．若把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数C．若把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称B 解析：由图象可得T＝－2π＝，所以T＝6π，所以ω＝＝．因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin＝2，即sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)．因为|φ|＜π，所以φ＝－．所以f(x)＝2sin，故A正确．把f(x)的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin．因为x∈[－π，π]，所以－≤x－≤，所以y＝2sin在[－π，π]上不单调递增，故B错误．把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的函数为y＝2sin＝2sin x，是奇函数，故C正确．f(－4π)＝2sin＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．2．若将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．2 B．C．1 D．A 解析：将函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，得到的y＝2sin的图象关于y轴对称，所以φ＝，函数f(x)＝2sin．因为x∈，所以2x＋∈，则当2x＋＝时，函数f(x)在上的最大值为2．将函数y＝cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．[四字程序]思路参考：构造正弦型函数的解析式．B 解析：y ＝cos x ＋sin x ＝2sin ，函数的图象向左平移m (m >0)个单位长度，得y ＝2sin 的图象．由x ＋m ＋＝k π＋(k ∈Z )，得函数y ＝2sin 的图象的对称轴为x ＝－m ＋k π(k ∈Z )．因为所得的图象关于y 轴对称，所以－m ＋k π＝0(k ∈Z )，即m ＝k π＋(k ∈Z )，则m 的最小值为．思路参考：构造余弦型函数的解析式．B 解析：函数y ＝cos x ＋sin x ＝2cos 的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到y ＝2cos 的图象．因为此函数图象关于y 轴对称，所以y ＝2cos 为偶函数，易知m 的最小值为．思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．B 解析：由解法1，得y ＝2sin ．因为所得的图象关于y 轴对称，可得当x ＝0时，y ＝±2，进而sin ＝±1，易知m 的最小值为．思路参考：利用函数图象．B 解析：y＝cos x＋sin x＝2sin，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝和x＝－．由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为．1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在上的最大值为( )A．0 B．C． D．1D 解析：将函数f(x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度后，可得函数g(x)＝sin的图象．根据所得图象关于原点对称，可得＋φ＝kπ．因为|φ|<，所以φ＝，f(x)＝sin．在上，2x＋∈，故当2x＋＝时，f(x)取得最大值为1．。