因数和倍数(例2、3)
因数和倍数的应用专项训练题(完整版)
因数和倍数的应用专项训练题（完整版）例1：缝纫店有一块长40分米，宽25分米的布料，现在顾客要求把它裁成正方形小布块（不能有剩余），块数又要求最少，那么裁成的正方形布块面积有多大？随堂练习：1.有一块长方形纸板，长24厘米，宽15厘米，将这块纸板裁成同样大小的正方形，不能有剩余，每块小正方形的边长是最长是多少？可以裁成多少块？2.一张长方形纸，长96厘米，宽60厘米，如果把它裁成同样大小且边长为整厘米的最大正方形，且保持纸张没有剩余，每个正方形的边长是几厘米？每个正方形的面积是多少？可以裁多少个这样的正方形？例2：张林、李强都爱在图书馆看书，张林每4天去一次，李强每6天去一次，有一次他们两人在图书馆相遇，至少再过多少天他们又可以在图书馆相遇？随堂练习：1.有一包奶糖，无论分给6个小朋友，8个小朋友，还是10个小朋友，都正好分完，这包糖至少有多少块？2.某公共汽车站有三条不同线路，1路车每隔6分钟发一辆，2路车每隔10分钟发一辆，3路车每隔12分钟发一辆，三路车在早上8点同时发车后，至少再到什么时候又可以同时发车？例3：甲、乙两个数的最大公因数是6，最小公倍数是90。
如果甲数是18，则乙数是多少？随堂练习：甲数是36，甲、乙两数的最小公倍数是288，最大公因数是4，则乙数是多少?例4：用一个数去除52，余4，再用这个数去除40，也余4，这个数最大是多少？随堂练习：1.把19支钢笔和23个软面抄平均奖给几个三好学生，结果钢笔多出了3支，软面抄也多出了3个，得奖的学生最多有几人？2.一个自然数，去除22少2,去除34也少2,这个自然数最大是几？例题5：有一批作业本，无论是平均分给10个人，还是12个人，都剩余4本，这批作业本至少有多少本？随堂练习：1.有一箱卡通书，把它平均分给6个小朋友，多出1本；平均分给8个小朋友，也多出1本；平均分给9个小朋友，还是多1本，这箱卡通书最少有多少本？2.五年级同学参加社区服务活动，人数在40和50之间，如果分成3人一组，4人一组或6人一组都正好缺一人，五年级参加活动的一共有多少人？随堂练习：1.有两根钢管，一根长25米，一根长20米，把它们锯成同样长的小段，使每根不许有剩余，每段最长几米？一共要锯几次？2.一盒铅笔，可以平均分给4,5,6个小朋友，都没有剩余，这盒铅笔最少有多少只？3.某学校暑假期间安排王老师生4天值一次班，李老师每6天值一次班，张老师每8天值一次班，如果7月1日他们三人同一天值班，下一次他们三人同一天值班是几月几日？4.从运动场的一端到另一端全长120米，从一端起到另一端每隔4米插一面小红旗，现在要改成每隔6米插一面小红旗，最多有多少面小红旗不必移动？1、有 25 个桃子， 75 个橘子，分给若干名小朋友，要求每人分得的桃子，橘子数相等，那么最多可分给多少个小朋友？每个小朋友分得桃子多少个？橘子多少个？2、兰兰的父母在外地工作，她住在奶奶家。
新苏教版五年级数学下册第三单元因数和倍数
2.判断。 （1）相邻的两个自然数，一定是一个奇数和一个偶数。 （ ） （2）偶数加1一定得到奇数。 （ ） （3）3的倍数的个数比2的倍数的个数少。 （ ） （4）一个数的个位上是0，这个数一定不是3的倍数。 （ ） （5）两个奇数的和一定是偶数。 ( ) (6)一个数是6的倍数，这个数一定是2和3的倍数。 （ ）
О知识达标
1.在横线上填上合适的数。
14 23 39 35 48 2 20 34 43 1
（1）奇数有_____________________；
（2）偶数有______________________；
（3）质数有______________________； （4）合数有______________________。
2.填空。
（1）在1~20中，既是奇数又是质数的有（ ）， 既是奇数又是合数的有（ ），既是偶数又是质数 的是（ ），既是偶数又是合数的有（ ），既不是质 数也不是合数的是（ ）。 （2）自然数中，最小的质数是（ ），最小的合数是 （ ），它们之间相差（ ）。
3.判断。
（1）1是奇数，也是质数。 （ ）
分析 求符合要求的最小三位数，百位上的数最小应是1；个位上的数 较容易判断，可通过5,2的倍数的特征来确定，这个三位数个位上的数 应是0；3的倍数需要这个三位数各位上数的和是3的倍数，所有十位 上的数可由此特征确定，要满足这个三位数最小的条件，十位上的数 应是2.
解答 这个三位数最小是120。
提示 同时考虑5,2和3的倍数的特征和“最小三位数” 是解决此题的关键。
2、1既不是质数，也不是合数。
【知识点二】 判断一个数是质数还是合数的方法
判断一个数是质数还是合数，只需要看这个数除了1和它本 身两个因数外，是否还有其他因数。如果没有，这个数就是 质数；如果有，这个数就是合数。
因数与倍数
➢例：32、586、8888…都是２的倍數。 ➢５的倍數：若一個整數的個位數字是０或５，則
這個整數是５的倍數。 ➢例：4325、98000…都是5的倍數。
倍數的判別法(2)
➢３的倍數：若一個整數的各個數字和是３的倍數， 則這個整數是３的倍數。
❖ 最小公倍數：公倍數中最小的數，稱為 這幾個整數的最小公倍數。
❖ 例：4與6的公倍數有12、24、36、48… 而12是4與6的最小公倍數。
互質
❖ 定義：如果兩個整數的最大公因數是1， 稱作這兩個整數互質 。
❖ 例：5和8互質，7和9互質，21和29互質 。 ❖ 兩個相異質數必互質，但互質的兩個數
不一定都是質數。 ❖ 奇數與偶數未必互質，奇數與奇數也未
必互質 。
➢例：7521的數字和為7+5+2+1=15，15是3的倍數， 則這個整數是3的倍數。
➢１１的倍數：若一個整數奇數位的數字和，與偶 數位的數字和之間的差是１１的倍數（含０）， 則這個整數是１１的倍數。
➢例：5364931的奇數位數字和=5+6+9+1=21，偶數 位數字和=3+4+3=10，21-10=11，11是11的倍數， 所以5364931是11的倍數。
質因數與標準分解式
❖ 質數：一個大於１的整數，如果除了１和它自 己之外再也沒有其他的因數，這個整數就叫作 質數。
❖ 例：2、3、5、7、11、13 、17、19、23、 29…都是質數。
❖ 質因數：如果一個整數的因數是一個質數，則 這個因數是這個整數的質因數。
❖ 標準分解式：把一個大於１的整數分解成質因 數相乘的式子，稱為這個整數的標準分解式。
第二单元 因数与倍数
第二单元《因数与倍数》单元备单位：鲍山教办小学姓名：教学内容及分析本单元包括三部分内容：因数与倍数的概念；被2、5、3整除的数的特征；质数和合数。
本单元相对来说概念特别多，不容易让学生掌握，特别是质数与合数的知识，学生初次学习，难以理解，因此应充分做好对学困生的辅导。
教学目标1. 使学生掌握因数、倍数、质数、合数等概念，知道有关概念之间的联系和区别。
2. 使学生通过自主探索，掌握2、5、3的倍数的特征。
3. 逐步培养学生的数学抽象能力。
教学重点理解因数、倍数、质数、合数等概念的含义。
难点从本质上理解这些概念之间的联系和区别;掌握3的倍数的特征.学情分析通过四年多的数学学习，学生已经掌握了大量的整数知识（包括整数的认识、整数四则运算），本单元让学生在前面所学的整数知识基础上，进一步探索整数的性质。
学生在前面已经具备了大量的区分整除与有余数除法的知识基础，对整除的含义已经有了比较清楚的认识，不出现整除的定义并不会对学生理解其他概念产生任何影响。
因此，本套教材中删去了“整除”的数学化定义，而是借助整除的模式na＝b直接引出因数和倍数的概念。
在本册教材中，由于允许学生采用多样的方法求最大公因数和最小公倍数，分解质因数也失去了其不可或缺的作用，同时，也是为了减少这一单元的理论概念，教材不再把它作为正式教学内容，而是作为一个补充知识，安排在“你知道吗？”中进行介绍。
由于这部分内容较为抽象，很难结合生活实例或具体情境来进行教学，学生理解起来有一定的难度。
在过去的教学中，一些教师往往忽视概念的本质，而是让学生死记硬背相关概念或结论，学生无法理清各概念间的前后承接关系，达不到融会贯通的程度。
再加上有些教师在考核时使用一些偏题、难题，导致学生在学习这部分知识时觉得枯燥乏味，体会不到初等数论的抽象性、严密性和逻辑性，感受不到数学的魅力。
所以在教学中应注意以下两点: （1）加强对概念间相互关系的梳理，引导学生从本质上理解概念，避免死记硬背。
因数与倍数教案-数学-年级下第二章因数与倍数第1节人教版
第二章因数与倍数第1节—因数和倍数1 教学内容人教版小学数学教材五年级下册第5页例1，“做一做”，第6页例2，例3.练习二第2题，第5题。
2 教学目标2.1 知识与技能：使学生理解因数和倍数的意义，会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
2.2过程与方法：通过实验，猜测，验证，总结等活动，掌握因数和倍数的概念，发现因数和倍数的关系，总结出求一个数的因数和倍数的方法。
2.3 情感态度与价值观：培养学生抽象、概括的能力，渗透事物之间相互联系、相互依存的辩证唯物主义的观点。
以及学生的合作意识、探索意识，以及热爱数学学习的情感。
3教学重点/难点/考点3.1 教学重点：通过实验，猜测，验证，掌握因数和倍数的概念，发现因数和倍数的关系，总结出求一个数的因数和倍数的方法。
3.2 教学难点：发现并且总结出因数和倍数的关系，以及求一个数的因数和倍数的方法。
3.3 考点分析：辨别分析一个数是不是另一个数的因数和倍数，以及如何求一个数的因数和倍数的方法。
4教学目标依据4.1 课程标准的要求：1．本章节内容要求学生掌握因数和倍数的概念，发现因数和倍数之间的关系。
2．理解并掌握求一个数的因数和倍数的方法，并且会判断一个数是不是另一个数的因数或倍数。
3.通过所学因数和倍数之间的关系，灵活的加以运用。
4.2 教材分析：这一教学内容是小学阶段“数与代数”部分最重要的知识之一。
《因数和倍数》的学习，是在初步认识自然数的基础上，探究其性质，其中涉及到的内容属于初等数论的基本内容，相当抽象。
在地位上，这节课是因数、倍数的概念引入，为本单元后面的内容、以及第四单元的公因数、最大公因数、公倍数，最小公倍数提供了必需且重要铺垫。
4.3 学情分析：五年级学生的思维水平总体上还处在具体运算操作的发展阶段，形象思维是他们的优势。
由于在前段的学习中，学生已积累了探索数字规律的基本方法与策略，使学生学会灵活地、有序地思考，及时引导学生用自己的语言总结找一个数因数的方法。
因数与倍数的典型题
因数与倍数的典型题因数和倍数是数学中常见的概念，在求解整数问题和分析数学关系时起到重要作用。
本文将深入探讨因数和倍数的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、因数与倍数的定义1. 因数：对于一个整数n，如果存在整数m，使得m能够整除n（即n能够被m整除），那么m就是n的因数，n就是m的倍数。
对于整数12，2、3、4、6都是它的因数，而12是它们的倍数。
2. 倍数：对于一个整数n，如果存在整数m，使得n能够整除m，那么m就是n的倍数，n就是m的因数。
对于整数6，12、18、24都是它的倍数，而6是它们的因数。
二、因数与倍数的性质1. 因数的性质：（1）一个整数的因数必定小于或等于它本身。
（2）一个数的最大因数是它本身。
（3）一个数的因数总是成对出现，即如果m是n的因数，那么n/m 也是n的因数。
（4）1是任何整数的因数，而整数本身是它自己的因数。
2. 倍数的性质：（1）一个整数的倍数必定大于或等于它本身。
（2）一个数的最小倍数是它本身。
（3）一个数的倍数总是成对出现，即如果m是n的倍数，那么n/m 也是n的倍数。
（4）任何整数都是1的倍数，而整数本身是它自己的倍数。
三、因数与倍数的应用因数与倍数在解题中经常被用到，特别是在求解最大公因数、最小公倍数以及分解质因数等问题时。
1. 最大公因数（GCD）：对于两个整数a和b，它们的最大公因数是能够同时整除a和b的最大整数。
求最大公因数的常见方法是通过分解质因数，找出两个数的公共质因数，并将其乘积作为最大公因数。
对于整数24和36，它们的最大公因数是12（2 × 2 × 3）。
2. 最小公倍数（LCM）：对于两个整数a和b，它们的最小公倍数是能够同时被a和b整除的最小整数。
求最小公倍数的常见方法是通过分解质因数，找出两个数的公共质因数和非公共质因数，并将它们的乘积作为最小公倍数。
对于整数8和12，它们的最小公倍数是24（2 × 2 × 2 × 3）。
新人教版数学五年级下册第二单元《因数和倍数》教材解读
但是，考虑到以后研究最大公因数和最小公倍数时，如果不排 除0，很多问题无从讨论。例如，如果把0考虑在内，任意两个自然 数的最小公倍数就是0，这样的研究缺乏实际价值。因此，为了避免 不必要的麻烦，教材指出本单元所说的数指的是自然数(一般不包括 0)。有了这一规定，教学时就不必处处强调“大于0”。在学习负数 之前，学生说“整数”或“自然数”都是可以的。
例1让学生运用质数的概念找出100 以内的所 有质数。教材通过学生的对话介绍了两种操作 方法。其中依次划去每个质数本身之外的所有 倍数的方法，叫作“筛法”，它是数论中有广 泛应用的一个初等方法。
请输入标题
教学建议 教学建议
请输入文本请输入文本 请输入文本请输入文本
1.重视概念的形成过 程。
2.让学生自主选择方 法，制作质数表。
在本单元中，2、5、3的倍数特征及判断方法，100以 内的质数表，以及两数之和的奇偶性等，都是比较典型的 适合小学生开展探究学习的课题。教学时，应放手让学生 尝试，让他们经历从举例考察到分析综合，从猜想到验证 ，最后归纳总结的过程，从中积累数学活动的经验。
5
04 处理好概念教学的阶段性与连续性的关系
申明：只可使用，不可出售， 或者出租、出借、转让。
人教版数学 五年级下册
因数和倍数
教材解读
主讲人：XX 2024.XX.XX
1
2
目录
3
4
5
PART 01
内容分析
1
数与代数 图形与几何 统计与概率 综合与实践
因数与倍数 概念整理
因数与倍数概念整理一、因数1.定义：整数a 除以整数b (b≠0) 的商正好是整数而没有余数，我们就说b 是a 的因数。
例如，12÷3 = 4，3 就是12 的因数。
2.性质：一个数的因数的个数是有限的。
最小的因数是1，最大的因数是它本身。
二、倍数1.定义：一个整数能够被另一个整数整除，这个整数就是另一整数的倍数。
例如，15 能被3 整除，15 就是3 的倍数。
2.性质：一个数的倍数的个数是无限的。
最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
三、两者关系1.因数和倍数是相互依存的。
不能单独说一个数是因数或倍数，必须说谁是谁的因数，谁是谁的倍数。
例如，12 是3 和4 的倍数，3 和4 是12 的因数。
2.一个数的倍数一定是这个数的因数的倍数。
例如，12 是 3 的倍数，3 是 12 的因数，12 也是 1、2、4、6 等因数的倍数。
四、应用案例1.求解最大公因数和最小公倍数在分数的化简中，需要求出分子和分母的最大公因数，然后分子分母同时除以这个最大公因数，将分数化为最简形式。
例如，化简分数3624，先求出 24 和 36 的最大公因数是 12，分子分母同时除以 12，得到32。
在通分的时候，要找出各个分母的最小公倍数作为通分后的分母。
比如计算4131 ，3 和 4 的最小公倍数是 12，将31化为124，41化为123，然后进行相加得到127。
2.质数和合数的判断一个数如果只有两个因数（1 和它本身），那么这个数就是质数。
例如，7 的因数只有 1 和 7，所以 7 是质数。
一个数如果除了 1 和它本身还有其他因数，那么这个数就是合数。
例如，8 的因数有 1、2、4、8，所以 8 是合数。
五、实际生活中的应用案例1.安排活动分组在学校组织活动时，需要将学生分成若干小组，每组人数相等。
这就需要考虑学生总数的因数来确定每组的人数。
比如有 60 名学生参加活动，可以每组5 人分成12 组，也可以每组6 人分成10 组等，5 和6 都是60 的因数。
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也可以表示成：
5的倍数
5,10,15, 20,25,…
2的倍数有：2，4，6，…
怎样找一个数的倍数？
3的倍数有：3，6，9，12，15,…
5的倍数有：5，10，15，20，25,…
可以想哪些整数除以这个数 商是整数，那这些整数就是 这个数的倍数。
还可以用这个数分别乘1、 2、3、4、5……，所得的 积就是这个数的倍数。
2的倍数有：2，4，6，… 3的倍数有：3，6,9,12,15,… 5的倍数有：5,10,15,20,25,…
在找倍数的过程中 你发现了什么？
一个数的最小倍数是它本 身，没有最大的倍数。
一个数的倍数的个数是无限的。
下面的说法正确吗？正确的请在括号里画“√”，错误的画“×”。
（1）1是1,2,3,…的因数。
（√ ）
（2）8的倍数只有16,24,32,40,48。（ × ）
（3）36÷9＝4，所以36是9的倍数。（ √ ）
（4）5.7是3的倍数。
（× ）
同学们再见！
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自可然以数想是哪无些限整的数，除2的以2 倍商数还也是是整无数限。的。
2÷2＝1 4÷2＝2 6÷2＝3 8÷2＝4
也可以用2分别乘1、 2、3……，所得的积 都是2的倍数。
10÷2＝5 ……
2×1＝2 2×2＝4 2×3＝6 2×4＝8
2的倍数有：2，4，6，8，10，…
2×5＝10 ……
2的倍数有哪些？
30的因数
也可以表示成： 1, 2, 3, 5, 6,10,15,30
36的因数有：1，2，3， 4，6，9，12，18，36
36的因数
也可以表示成： 1, 2, 3, 4, 6, 9,12,18,36
18的因数有：1，2，3，6，9，18。 怎样找一个数的因数？ 30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。 36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
因数和倍数例2、3
口算下面各题，说说谁是谁的倍数？谁是谁的因数？
34÷2＝17
2÷4＝ 0.5
18÷6＝3
34÷2＝17，商是整数没有 2÷4＝0.5，商是小数不是 余数，所以34是2和17的倍 整数，没有因数和倍数的 数，2和17是34的因数。 关系。
18÷6＝3，商是整数没有 余数，所以18是6和3的倍 数，6和3是18的因数。
我用2分别乘1、2、 3……求出2的倍数。
2×1＝2 2×2＝4 2×3＝6 2×4＝8 2×5＝10 2×6＝12 ……
用图表示2的倍数时， 也可也以要请你像写你是这省把怎样略它样用号填想图。完的表整？示。。
2的倍数 2，4，＿6＿， ＿8＿，＿10＿，＿12＿，
…
3的倍数有哪些？5呢？
3×1＝3 3×2＝6 3×3＝9 3×4＝12 3×5＝15 ……
用这个数除以从1开始的哪些整 数的结果仍是整数而且没有余数， 除数和商都是这个数的因数。
也可以从1开始，看看哪两个整数 的乘积是这个数，那么这两个整 数就都是这个数的因数。
18的因数有：1，2，3，6，9，18。
观察我们找到的这些因 数，你发现了什么？
30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。
3的倍数有：3,6 ,9,12,15,…
5×1＝5 5×2＝10 5×3＝15 5×4＝20 5×5＝25 ……
5的倍数有：5,10,15,20,25,…
三、找一个数的倍数
3的倍数有： 3，6，9，12，15，18，21，…
3的倍数
也可以表示成：
3,6,9,12, 15,18,21,…
5的倍数有：5，10， 15， 20， 25，…
36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36。
一个数的最小因数是 （ 1 ），最大因数 是（ 它本身 ）。
1是所有非0自然数的 因数。
一个数的因数的个数是
( 有限 )的。
因数是成对出现的，所以一般 都是双数个，但是像4，9， 16，…这样的数除外。
2的倍数有哪些？
既然无法一2你一的是列倍怎举数么出有想来多的，少？写个出？ 几个后就可以用省略号表示。
一对地找，就能把因数找
132××1698＝＝1188，，所所以以1188全。 的的因因数数有有132和和1698。。
18的因数
1，2，＿3＿， ＿6＿，＿9＿，＿18＿
30的因数有哪些？36呢？
像36÷6＝6这样除数和 商都是6，只写一个。
30÷1＝30 30÷2＝15 30÷3＝10
30÷5＝6 30的因数有：1，2，3，5，6，
18的因数有哪几个？
怎样做才我能们不怎重么复想不呢遗？漏？
18除以哪些整数的 结果是整数？
18的因数
18÷1＝18
18÷2＝9
18÷3＝6
1，2，3，6，9，18
18的因数有：1，2，3，6，9，18。
找一个数的因数时，要有顺序地一对一对 地找，是用乘法想还是用除 法想，只还要可有以顺怎序样地想一？对
10，15，30。
36÷1＝36 36÷2＝18 36÷3＝12 36÷4＝9 36÷6＝6 36的因数有：1，2，3，4，6，9，
12，18，36。
二、找找一一个个数的数因的数因时，数要有
顺序地一对一对地找。
想一想： 怎样找才能不遗漏、不重复地 找出一个数的所有因数？
30的因数有：1，2，3， 5， 6，10，15， 30