第六章线性离散系统
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线性离散系统
其拉氏变换：
F *(S) f (nT ) enTs n0
令 z eTs 得：
F (z) f (nT ) zn n0
二、 Z变换的求法
1、级数求和法：逐项进行Z变换
F(z) f (0) f (T )z1 • • • f (nT )zn • • •
2、部分分式法：和拉氏变换对应
n
F(s)
0.875 (t 3T ) 0.9375 (t 4T )
2、部分分式法
部分分式法又称查表法，其基本思想是根据已知的 F(z) ,通过查 Z 变换表找出相应的f *(t) ,或者 f (nT)；采 用部分分式法可以求出离散函数的闭合形式，其方法 与求拉普拉斯反变换的部分分式法相似。稍有不同的 是，由于F(z)在分子中通常含有 z，因此先将 F(z) 除以
F(z)
0.5z 1
1 1.5z 1 0.5z 2
按长除法，用分母多项式去除分子多项式，得：
F (z) 0.5z 1 0.75 z 2 0.875 z 3 0.9375 z 4
0 z0 0.5z1 0.75z2 0.875z3 0.9375z4
f *(t) 0 (t) 0.5 (t T ) 0.75 (t 2T )
一、理想的信号恢复
将e*(t)送入理想滤波器中
二、零阶保持器
采用恒值外推规律。
二、零阶保持器
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh
(s)
L[
gh
(t)]
1
eTs s
三、一阶保持器
线性外推 e(nT t) a0 a1t
e(nT t) e(nT ) e(nT ) e[(n 1)T ] t T
f (t) 10 (t T) 30 (t 2T) 70 (t 3T) 150 (t 4T) L
第六章 线性离散系统分析
1.采样过程的数学表示 从物理意义来看，采样过程可以理解 为脉冲调制过程。在这里，采样开关起着 单位脉冲发生器的作用，它好似一个脉冲 调制器，通过它将连续函数f(t)调制成理想 的脉冲序列f *(t)。
T (t )
f(t)
f (t )
-3T -T T 3T -2T 2T T (t ) f(t) f (t ) 脉冲调制器 0 t 0 t
用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)
的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。
F(s)
L-1
部分分式
采样
F(z)
Z
f(t)
f*(t)
a 例 求 F ( s) 的Z变换 s( s a)
解：将F(s)展开成部分分式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
D/A转换过程 D/A转换过程可以用零阶保持器取代。
f (t ) f (t )
f h (t )
零阶 f h (t ) 保持器 2 3 4T T T
0
2 3 T 4T T T
t
0
T
t
T
＝
0 T t 0 t
+
1(t)
0
t
gh(t)
-1(t-T)
即：gh(t)=1(t)-1(t-T) 零阶保持器的传递函数为：
T (t )
f(t)
f (t )
-3T -T T 3T -2T 2T T (t ) f(t) f (t ) 脉冲调制器 0 t 0 t
用部分分式法求Z变换，是已知连续函数f(t)
的拉氏变换F(s),求该连续函数的Z变换F(z)。
F(s)
L-1
部分分式
采样
F(z)
Z
f(t)
f*(t)
a 例 求 F ( s) 的Z变换 s( s a)
解：将F(s)展开成部分分式
a 1 1 F ( s) s( s a) s s a
D/A转换器：把离散的数字信号转换成连续的 模拟信号。
f (t )
f (t)
解码
f h(t)
信号复现
0111 1000 0010 0100 1001 0011 0 T 2T 3T 4T 5T (a) t 0 T 2T 3T 4T 5T (b) t 0 T 2T 3T 4T 5T (c) t
D/A转换过程 D/A转换过程可以用零阶保持器取代。
f (t ) f (t )
f h (t )
零阶 f h (t ) 保持器 2 3 4T T T
0
2 3 T 4T T T
t
0
T
t
T
＝
0 T t 0 t
+
1(t)
0
t
gh(t)
-1(t-T)
即：gh(t)=1(t)-1(t-T) 零阶保持器的传递函数为：
信号与系统第六章习题答案
第六章 离散系统的Ｚ域分析 ６．１学习重点 1、离散信号z 域分析法—ｚ变换，深刻理解其定义、收敛域以及基本性质；会根据ｚ变换的定义以及性质求常用序列的ｚ变换；理解ｚ变换与拉普拉斯变换的关系。
2、熟练应用幂级数展开法、部分分式法及留数法，求z 反变换。
3、离散系统z 域分析法，求解零输入响应、零状态响应以及全响应。
4、z 域系统函数()z H 及其应用。
5、离散系统的稳定性。
6、离散时间系统的z 域模拟图。
7、用MATLAB 进行离散系统的Z 域分析。
６．２ 教材习题同步解析 6.1 求下列序列的z 变换，并说明其收敛域。
（1）n 31，0≥n （2）n−−31，0≥n（3）nn−+ 3121，0≥n （4）4cos πn ，0≥n（5）+42sin ππn ，0≥n 【知识点窍】本题考察z 变换的定义式 【逻辑推理】对于有始序列离散信号[]n f 其z 变换的定义式为()[]∑∞=−=0n nzn f z F解：（1）该序列可看作[]n nε31()[][]∑∑∞=−∞=− == =010313131n n n nn n z z n n Z z F εε对该级数，当1311<−z ，即31>z 时，级数收敛，并有 ()13331111−=−=−z zz z F其收敛域为z 平面上半经31=z 的圆外区域 （2）该序列可看作[]()[]n n nnεε331−=−−()()[][]()[]()∑∑∞=−∞=−−=−=−=010333n nn nnnzzn n Z z F εε对该级数，当131<−−z ，即3>z 时，级数收敛，并有()()33111+=−−=−z zz z F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（3）该序列可看作[][]n n nn n n εε+ = + −3213121()[][]()∑∑∑∞=−∞=−∞=−+ =+ = + =01010*********n nn n n nn n n n z z z n n Z z F εε对该级数，当1211<−z 且131<−z ，即3>z 时，级数收敛，并有 ()3122311211111−+−=−+−=−−z zz z z zz F 其收敛域为z 平面上半经3=z 的圆外区域（4）该序列可看作[]n n επ4cos()[]∑∑∑∑∞=−−∞=−−∞=−∞=−+=+== =0140140440*******cos 4cos n nj n nj nn j j n n z e z e z e e z n n n Z z F πππππεπ对该级数，当114<−ze j π且114<−−zejπ，即1>z 时，级数收敛，并有()122214cos 24cos 21112111212222441414+−−=+−−=−+−=−×+−×=−−−−z z zz z z z z e z z e z z z eze z F j j j j ππππππ其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 （5）该序列可看作[][][]n n n n n n n n εππεππππεππ+=+= +2cos 2sin 222sin 4cos 2cos 4sin 42sin()[]()122212212212cos 22cos 2212cos 22sin 222cos 222sin 222cos 2sin 222222222200++=+++=+−−++−=+=+=∑∑∞=−∞=−z z z z z z z z z z z z z z z n z n n n n Z z F n nn n ππππππεππ 其收敛域为z 平面上半经1=z 的圆外区域 6.2 已知[]1↔n δ，[]a z z n a n −↔ε，[]()21−↔z z n n ε， 试利用z 变换的性质求下列序列的z 变换。
采样系统的典型结构图闭环脉冲传递函数
a)
1 S2
1( a
1 S
1 S
） a
查表得：
Z( GP( s)) S
Tz ( z 1)2
1( a
z
z 1
z
z e aT
)
∴ 有零阶保持器的开环系统脉冲传递 函数为：
G( z) (1 z1 )Z( GP( s)) S
西南民族大学
例二、设离散系统如图所示，其中
1
a
G1( s) S , G2( s) S a
第六章
离散系统
黄勤珍
西南民族大学
※ 6 — 1 线性离散系统
一、信号采样和复现
1、在采样控制系统中，把连续信号转变为 脉冲系列的过程 — 采样过程（采样）
实现采样的装置 — 采样器（开关）T 表示采 样周期(S) ，fs = 1/T （采样频率） (1/S) , 表示采样角频率。
ws
2fs
2
G1( z)
Z( ) S
z1
a
az
G2( z)
Z( S
) a
z
e aT
G(
z)
G1(
z)G2 (
z)
(
z
az 2 1)( z
e aT
)
az 3 C( z) G( z)R( z) ( z 1)2( z eaT )
西南民族大学
系统b：
a G1( s)G2( s) S( S a) G( z) G1G2( z) Z[ a ]
Z 域（朱利稳定判据）且满足：
D(1) > 0 , D(-1)
离散系统的z域分析
k
k
收敛域为整个z 平面。
(2) f2(k)的双边z 变换为 F2(z) = z2 + 2z + 3 + 2z-1 + z-2
f2(k)的单边z 变换为
F2 (z) f2 (k)zk 3 2z1 z2 k 0
收敛域为0<z< ∞ 收敛域为z > 0
对有限序列的z变换的收敛域一般为0<z<∞，有时它在0或/和∞也收敛。
|b|
|a|
o
Re[z]
序列的收敛域大致有一下几种情况：
（1）对有限长序列，其双边z变换的ROC为整个平 面； （2）对因果序列，其z变换的ROC为某个圆外区域， 包括无穷点； （3）对反因果序列，其z变换的ROC为某个圆内区 域，包含0点； （4）对双边序列，其z变换的ROC为环状区域；
注意：对双边z变换必须表明收敛域，否则其对应的原序列将不 唯一。
f (k m)z k f (k m)z k f (k m)z (km) z m
k 0
k 0
k m
上式第二项令k – m=n
m1
m1
f (k m)z k f (n)z n z m f (k m)z k z m F (z)
z
z a
收敛域为|z|>|a|
|a|
o
Re[z]
3) 左边序列
bk ,
例3 求反因果序列
f
f
(k
)
0,
k 0 bk (k 1) 的z变换
k 0
解
Ff
(z)
1
(bz 1 )k
k
(b 1 z ) m
m1
b1z (b1z) N 1
保持器零阶保持器
采样开关
理想滤波器
保持器
信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号 称为信号的复器（线性外推）
零阶保持器的输入输出信号
主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh
(s)
L[1(t)
1)T
]
(t
T
)
nT t (n 1)T
一阶保持器的数学模型
A/D 过程
计算过程
D/A 过程
零阶保持器 (ZOH)
计算过程描述与 D/A 过 程
计算机控制系统的描述方法
理想采样序列
信号采样
T—采样周
期
n—整数决 定采样时间采样过程相当于一个脉冲调制过程
T (t) (t nT ) 采样的输出信号可表示两个信号的乘积
n0
e*(t) e(t) T (t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
第六章 线性系统的校正方法
离散系统与信号采样
离散系统的一般概念 采样及其描述 保持及其分析 差分方程
主要内容
概述
离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码
离散系统类型 采样系统 — 时间离散，数值连续
：
数字系统 — 时间离散，数值量化
计算机控制系统的优缺点
(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。
n0
n0
决定采样信号的幅值
Laplace变换
注意：Laplace变换在离散系
理想滤波器
保持器
信号的复现：把采样信号恢复为原来的连续信号 称为信号的复器（线性外推）
零阶保持器的输入输出信号
主要特点： 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。 2、相位滞后。
gh (t) 1(t) 1(t T )
Gh
(s)
L[1(t)
1)T
]
(t
T
)
nT t (n 1)T
一阶保持器的数学模型
A/D 过程
计算过程
D/A 过程
零阶保持器 (ZOH)
计算过程描述与 D/A 过 程
计算机控制系统的描述方法
理想采样序列
信号采样
T—采样周
期
n—整数决 定采样时间采样过程相当于一个脉冲调制过程
T (t) (t nT ) 采样的输出信号可表示两个信号的乘积
n0
e*(t) e(t) T (t) e(t) (t nT ) e(nT ) (t nT )
第六章 线性系统的校正方法
离散系统与信号采样
离散系统的一般概念 采样及其描述 保持及其分析 差分方程
主要内容
概述
离散系统： 系统中有一处或几处信号是脉冲串或数码
离散系统类型 采样系统 — 时间离散，数值连续
：
数字系统 — 时间离散，数值量化
计算机控制系统的优缺点
(1)控制计算由程序实现，便于修改，容易实现复杂的控制律； (2)抗干扰性强； (3)一机多用，利用率高； (4)便于联网，实现生产过程的自动化和宏观管理。
n0
n0
决定采样信号的幅值
Laplace变换
注意：Laplace变换在离散系
自动控制原理第6章
二、带宽的确定
Mr
( j 0) 0.707Φ( j 0)
( j )
b的选择要兼顾跟 踪输入信号的能力 和抗干扰的能力。 若输入信号的带宽 为 0～ M，扰动信 号带宽为 1～ 2， 则b＝(5~10) M， 且使 1～ 2 置于b 之外。
0
r b
输入信号
R( jw)
结束
6-2 PID控制器及其控制规律
• 注明：讲课顺序调整，本节内容在教材 P246～ P248和P254～P257
比例－积分－微分（PID）控制器 是串联校正 中常用的有源校正装置。 PID （Proportional Integral Derivative）是实 际工业控制过程中应用最广泛、最成功的一种控 制规律。 PID ：对偏差信号e(t)进行比例、积分和微分运 算变换后形成的一种控制规律。
系统的闭环零点改变 系统的闭环极点未改变 增加系统抑制干扰的能力 稳定性未受影响
u0
+
ug
+
△u 电压
+
u1 功率
+
+ ua
R
n
SM 负 载
放大
放大
电压 放大
i
+
un
TG
图1-8 电动机速度复合控制系统
说明：
串联校正和反馈校正都属于主反馈回路之内的校
正。 前馈补偿和扰动补偿则属于主反馈回路之外的校 正。 对系统校正可采取以上几种方式中任何一种，也 可采用某几种方式的组合。
给定 元件
比较 元件
-
串联 校正元件
-
放大 元件
执行 元件
信号与系统PPT 第六章 离散时域分析
…
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
例：求z(n)=x(n)·y(n)
解：
z(0)=x(0)·y(0) z(1)=x(1)·y(1) z(2)=x(2)·y(2)
…
例：当 m =3时
例：
5、序列的差分运算：一个序列与一个移位序列之差。
一阶前向差分： x[n] x[n 1] x[n] 一阶后向差分： x[n] x[n] x[n 1]
[n]
1
0
t
t
u(t) ( )d ------ 积分关系
u[n]
1
...
-2 -1 0 1 2 3 n
-2 -1 0 1 2 3 n
[n] u[n]u[n 1] ------ 差分关系
u[n] [n][n 1][n 2] [n m] ------ 求和关系 m0
（3）矩形序列
x(m)和h(m)如图所示
x(m) 3/2
1 1/2
0123
m
h(m) 1
01 2
m
h(0-m) 1 n=0反褶
-2 -1 0
m
h(-1-m) 1 n=-1左移
-3 -2 -1 0
m
反褶 .以m=0为对称轴， 折叠h(m) 得到h(0-m)
可见， 当n<1时，x(m)与 h(n-m)无交叠，相乘处 处为 零，即y(n)=0，n<1
若有两个序列 x1n和x2 n,定义和式
x1k x2n k
k
为x1n和x2 n的卷积和，记作1n x2 n
（２）计算方法： 离散线性卷积的计算:图解法、解析法，对位相乘法
•图解法
卷积和的图解过程：换元 反褶 平移 相乘 取和
h[-m]、 h[n-m]、x[m] h[n-m]、 x[m]h[n m] m
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采样角频率为 s 2 fs
采样过程可以看作是脉冲调制过程。 理想单位脉冲序列
T (t ) (t kT )
k 0
其中 而且
(t ) 0
t0 t0
(t )dt 1
7
采样开关对模拟信号 e(t ) 进行采样后，
其输出的离散时间信号为
不失真地恢复到原来的连续信号。
16
注释
1
采样定理的物理意义解释：
如果选择这样的采样频率， 使得对连续信号中
所含最高频率的信号来说，能做到在其一个周期内采
样两次以上，则在经采样获得的离散信号中将包含连
续信号的全部信息。
17
2
采样定理只是给出了对有限频谱连续信号
进行采样时选择采样周期 T 或角频率 s 的指导原则。
*
* x 离散信号 (t ) 的频谱为
1 * X ( j ) T
n
X j n
s
以 s 为周期的无穷多个频谱分量之和
11
1 * X ( j ) T
其中
n
X j n
s
1 X j T
主频谱分量（对应 n 0 ）
27
T
当 0 时，零阶保持器的幅频特性为
0
lim H 0 ( j ) lim T
0
数字信号
时间连续，取值也连续的信号。
时间离散，取值也离散的信号。
离散时间信号
的信号。
只在时间的一些离散点上有定义
离散控制系统
含有离散时间信号的控制系统。
简称离散系统
数字控制系统
含有数字信号的控制系统。
3
数字控制系统
计算机控制系统
离散控制系统
4
计算机控制系统与连续系统相比，具有下列 优点：
可以实现复杂的控制规律；
x t 。
14
当 s <2max 时，不同频率分量之间将发生 重叠， 称为频率混叠现象。 参见教材287页的图6.2.2（c）。
15
Shannon定理（也称为采样定理）
如果对一个具有有限频谱（ max max）
的连续信号进行采样，当采样角频率 s >2max
或者说 fs >2f max 时，则由采样得到的离散信号能够
其中
x(t )e
jt
dt
X ( j) 是一个带宽有限的连续频谱。
max
9
连续信号的频谱
X ( j0)
X ( j)
max
0
max
2max
10
离散信号 x (t ) 的频率特性为
1 X * ( j ) X j ns T n
其余称为高频频谱分量（ n 1, 2,
）
12
X * ( j ) 1
X ( j 0) T
1 s 2
max
0
max
2max
1 s 2
s
s >2max 时离散信号的频谱
13
结论
当 s >2max 时， 离散信号的主频谱分量 1 与原连续信号的频谱只是在幅值上相差 倍， T 经过一个 T 倍的放大器就可以得到原连续信号的 频谱 X j ，从而可以不失真地恢复原连续信号
第六章 线性离散系统
6.1 计算机控制系统概述
r (t ) e(t )
e* (t )
A/D 计算机
u* (t )
uh (t )
D/A
-
被控 对象y(t ) Nhomakorabea测量元件
1
r (t )
e(t ) e (t ) 数字
*
u* (t )
T
- T
控制器
保 持 器
uh (t )
被控 对象
y(t )
测量元件
2
模拟信号
零阶保持器（ZOH）的传递函数为 H0 (s) 。
23
xh (t )
零阶保持原理图
0
T
2T 3T 4T 5T 6T
xh (kT ) x(kT )
0 T
t
24
零阶保持器的单位脉冲响应 g h (t )
g h (t )
1
0
1
T
t
gh (t ) 1(t ) 1(t T )
20
2
另外一种经验选择法，
1 T ts 40
ts
单位阶跃响应的调整时间。
21
6.3 D/A转换
D/A转换器将数字信号转换成模拟信号。
D/A转换
解码
保持
22
解码
将数字信号折算成对应的电压或 电流值 x(kT )
保持
解决各相邻采样时刻之间的插值问题。 零阶保持器（ZOH）
最基本的保持器
特点。
在伺服系统中，一般认为开环剪切频率与闭环
截止频率比较接近，即：
c b
19
通常情况下，伺服系统的控制信号的最高
频率分量为 c ， 超过 c 的频率分量在通过系统 时将被大幅度衰减掉。 根据工程实践经验，伺服系统的采样频率 s 可选
为： 采样周期选为
s 10c
2 T s 10c 5c
可以方便的改变控制规律和调节器参数； 一台计算机可以同时控制多个系统； 通过网络可组成多级计算机控制和生产管理系统； 可以提高测量和控制的精度； 具有较强的抗干扰能力。
5
6.2 A/D转换
6.2.1 A/D转换
e(t )
e (t )
*
0
t
采样周期为 T
0
T 2T
kT
t
6
1 采样频率为 f s T
零阶保持器的传递函数
1 e Ts H 0 ( s) s
25
零阶保持器的频率特性
H 0 ( j ) T
零阶保持器的幅频特性
sin
T
j
2 e T 2
T
2
H 0 ( j ) T
sin
T
2 T 2
26
零阶保持器的相频特性
H 0 ( j )
其中
T
2
0 ，当 sin 2 0 时 T ，当 sin 2 0 时
e* (t ) e(t ) (t kT )
e(kT ) (t kT )
k 0
k 0
kT 时刻脉
冲的强度
kT 时刻单位
强度的脉冲
8
6.2.2 离散时间信号的频谱
任何一个时间信号都可以看成由一系列正弦
信号叠加而成。
连续时间信号 x(t ) 的频率特性为
X ( j)
工程实践上总是取
3
s
2max 。
对于实际的非周期连续信号（一些典型输入信号
和随机信号）， 其频谱中的最高频率是无限的。 在工程实践中， 通过使用模拟低通滤波器以后， 也可以近似应用采样定理来选择采样周期。
18
6.2.3 采样周期的选择
采样周期的选择是离散系统设计的关键问题
之一。
控制系统的闭环频率特性通常具有低通滤波的