16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
概率分布函数和密度函数
概率分布函数和密度函数概率分布函数和密度函数是概率论中非常重要的概念，用于描述随机变量的概率分布情况。
本文将对概率分布函数和密度函数进行详细讲解，并介绍它们的性质和应用。
概率分布函数（Probability Distribution Function, PDF）是描述随机变量概率分布情况的函数。
对于离散型随机变量，概率分布函数定义为随机变量取某个值的概率；对于连续型随机变量，概率分布函数定义为随机变量小于等于某个值的概率。
概率分布函数通常用大写字母F 表示，即F(x) = P(X ≤ x)，其中X为随机变量。
概率分布函数具有以下性质：1. 对于任意x，0 ≤ F(x) ≤ 1；2. F(x)是一个非递减函数，即对于任意x1 < x2，有F(x1) ≤ F(x2)；3. 当x趋近于负无穷时，概率分布函数趋近于0；当x趋近于正无穷时，概率分布函数趋近于1。
密度函数（Probability Density Function, PDF）是连续型随机变量概率分布情况的描述函数。
密度函数通常用小写字母f表示，即f(x)表示随机变量X在某一点x处的密度值。
密度函数具有以下性质：1. 对于任意x，f(x) ≥ 0；2. 随机变量在不同区间上的概率可以通过密度函数的积分来计算，即P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a, b]f(x)dx。
概率分布函数和密度函数的关系是通过导数来建立的。
对于连续型随机变量X，概率分布函数F(x)的导数就是密度函数f(x)，即f(x) = dF(x)/dx。
反之，对于密度函数f(x)，可以通过函数的积分得到概率分布函数F(x)，即F(x) = ∫[-∞, x]f(t)dt。
概率分布函数和密度函数在实际问题中有着广泛的应用。
以正态分布为例，其概率分布函数和密度函数分别为：概率分布函数：F(x) = Φ((x-μ)/σ)，其中Φ表示标准正态分布的概率分布函数，μ为均值，σ为标准差。
密度函数：f(x) = (1/(σ√(2π))) * exp(-((x-μ)/σ)^2/2)，其中exp表示自然对数的底数e。
概率分布函数与概率密度函数
概率分布函数与概率密度函数概率分布函数和概率密度函数是统计学中常见的两个重要概念，它们在描述随机变量分布特征时起着至关重要的作用。
下面我们将分别介绍概率分布函数和概率密度函数的概念、特点和应用。
一、概率分布函数概率分布函数又称为累积分布函数，是描述随机变量取值的概率分布规律的函数。
对于任意一个实数t，概率分布函数F(t)定义为随机变量X的取值小于等于t的概率，即F(t)=P(X≤t)。
概率分布函数的性质有以下几个特点：1. F(t)是一个单调非减的函数，即对于任意s和t（s≤t），有F(s)≤F(t)。
2. F(t)在整个实数轴上取值范围为[0,1]。
3. 当t趋近于负无穷时，F(t)趋近于0；当t趋近于正无穷时，F(t)趋近于1。
4. 概率分布函数是一种分步函数，具有不连续点。
在不连续点上，概率分布函数的值对应着概率的跳跃。
概率分布函数在统计学中有着广泛的应用，可以帮助研究者了解随机变量的分布情况，进而进行参数估计、假设检验、置信区间估计等统计分析工作。
二、概率密度函数概率密度函数是描述随机变量取值的密度分布的函数，通常用f(t)表示。
对于连续型随机变量X，如果存在一个函数f(t)，对于任意实数区间[a,b]，有P(a≤X≤b)= ∫[a,b] f(t)dt。
概率密度函数的性质如下：1. 概率密度函数在整个定义域上非负，即f(t)≥0。
2. 概率密度函数的积分在整个定义域上等于1，即∫(-∞,+∞) f(t)dt=1。
3. 概率密度函数f(t)与概率分布函数F(t)之间存在积分关系，即F(t)=∫(-∞,t) f(u)du。
4. 概率密度函数的图形代表了随机变量在不同取值上的密度大小，可以直观地表示随机变量的分布情况。
概率密度函数在连续型随机变量的分布描述中占据重要地位，例如正态分布、指数分布、均匀分布等常见的概率分布都可以通过概率密度函数来描述其分布规律。
综上所述，概率分布函数和概率密度函数是统计学中两个重要的概念，它们分别适用于离散型随机变量和连续型随机变量的分布描述。
16种常见概率分布概率密度函数、意义及其应用
目录1. 均匀分布 (1)2. 正态分布（高斯分布） (2)3. 指数分布 (2)4. Beta分布（：分布） (2)5. Gamm 分布 (3)6. 倒Gamm分布 (4)7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5)8. Pareto 分布 (6)9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)210. 分布（卡方分布） (7)8 11. t分布................................................9 12. F分布 ...............................................10 13. 二项分布............................................10 14. 泊松分布（Poisson 分布）.............................11 15. 对数正态分布........................................1. 均匀分布均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作X~N （」f 2）。
正态分布为方差已知的正态分布N （*2）的参数」的共轭先验分布。
1 空f （x ）： —— e 2-J2 兀 o'E(X)， Var(X) _ c 23. 指数分布指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其 中，.0为尺度参数。
指数分布的无记忆性：Plx s t|X = P{X t}。
f （X ）二 y oiE(X) 一4. Beta 分布（一：分布）f （X ）二 E(X)Var(X)=(b-a)2 12Var(X)二1~2Beta 分布记为X 〜Be(a,b)，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数 可凸也可凹。
《概率密度函数》课件
期望和方差
总结词
概率密度函数的期望值和方差描述了随机变量的中心趋势和离散程度。
详细描述
期望值是概率密度函数在定义域上的积分，表示随机变量的平均值或中心趋势。方差则描述了随机变 量取值离散程度的大小，即各个取值与期望值的偏离程度。期望值和方差是概率密度函数的重要特征 ，用于描述随机变量的统计特性。
二项分布
01
二项分布适用于描述伯努利试 验中成功的次数，例如抛硬币 的结果、遗传学中的基因型等 。
02
二项分布的概率密度函数是 f(k)=C(n, k)p^k(1-p)^(n-k) ，其中n是试验次数，k是成功 的次数，p是每次试验成功的 概率。
03
二项分布在统计学、生物学和 经济学等领域有广泛应用，例 如在可靠性工程、市场调查等 领域。
02
常见概率密度函数
正态分布
正态分布是一种常见的概率密 度函数，其概率密度曲线呈钟 形，对称轴为均值所在直线。
正态分布具有两个参数，即 均值和标准差，它们决定了
分布的形状和范围。
在自然界和社会现象中，许多 随机变量的概率分布都服从正 态分布，例如人类的身高、考
试分数等。
指数分布
01
指数分布适用于描述独立随机事件的时间间隔，例如电子元件 的寿命、排队等待时间等。
概率密度函数是微积分中连续函数概念在概率论中的推广。在微积分中，连续函 数可以用其导数描述其变化率；而在概率论中，概率密度函数描述了随机变量取 值在某个区间的概率与该区间长度的关系。
概率密度函数的积分（即概率质量函数）与微积分中的定积分有相似的性质和计 算方法。
各种概率分布及应用场合(建模对象)
1、高斯分布高斯分布是最常见的分布，我现在觉得高斯分布中最难的就是，如何说服别人，你假设某个分布是高斯，是有依据的，而不是一个所谓的“经验假设”。
高斯分布的概率密度函数为：各种各样的心理学测试分数、各种各样的无力现象、测量误差等都被发现近似地服从正态分布。
尽管这些现象的根本原因经常是未知的，但是理论上可以证明如果把许多小作用加起来看做一个变量，那么这个变量服从正态分布。
由正态分布还可以到处一些常见的分布：2、伯努利分布（又称：两点分布，0-1分布）均值为p，方差为p(1-p).这是为纪念瑞士科学家伯努利而命名的，猜测应该与伯努利本人没有太大关系吧，哈哈。
3、二项分布进行独立的n次伯努利实验得到。
均值为np，方差为np(1-p)。
与高斯分布的关系：当n足够大时，且p不接近于0或1，则二项分布近似为高斯分布，且n越大越近似。
4、多项分布与二项分布对应，每次独立事件会出现3个及3个以上可能值。
二项分布和多项分布的概率值都可以经过计算多项式（x1+x2）^n 和多项式(x1+x2+...+xm)^n的通项得到，对于二项分布，此时的x1=p，x2=1-p。
5、泊松分布参考资料：/wiki/%E6%B3%8A%E6%9D%BE%E5%88%86%E5%B8%83泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。
如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数，电话交换机接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数等等。
概率质量函数为：（区分概率质量函数和概率密度函数，概率质量函数-离散，是概率值；概率密度-连续，不是概率值）泊松分布的期望和方差均为lemta。
与二项分布的关系：当二项分布的p趋近于0，np固定，或np至少趋近固定时，事件在某个事件间隔内发生的次数，就可以用泊松分布近似。
这个关系可以用严格的数学语言证明。
泊松分布的最大似然估计：给定n个样本值k i，希望得到从中推测出总体的泊松分布参数λ的估计。
概率分布函数应用
概率分布函数应用概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是概率论中一个重要的概念，用于描述随机变量的概率分布。
通过概率分布函数，我们可以了解到不同取值的概率以及它们出现的频率。
概率分布函数的应用广泛，包括但不限于统计分析、可靠性工程、金融风险评估等领域。
本文将介绍概率分布函数的基本概念和常见的应用场景。
一、概率分布函数的基本概念概率分布函数是用来描述随机变量的取值和概率之间的关系的函数。
对于离散型随机变量，概率分布函数可以通过列举每个取值的概率来表示；对于连续型随机变量，概率分布函数则通过积分来表示。
1.1 离散型随机变量的概率分布函数假设随机变量X的所有可能取值为x1, x2, ..., xn，对应的概率为p1, p2, ..., pn，那么离散型随机变量X的概率分布函数可以表示为：P(X = xi) = pi (i = 1, 2, ..., n)其中，pi是随机变量X取值为xi的概率。
1.2 连续型随机变量的概率分布函数对于连续型随机变量X，可通过概率密度函数f(x)来描述其概率分布。
概率分布函数F(x)可以通过概率密度函数f(x)的积分得到：F(x) = ∫[a,x] f(t) dt其中，[a,x]表示从a到x的积分区间，f(t)表示随机变量X的概率密度函数。
二、概率分布函数的应用场景概率分布函数在统计学和概率论中有着重要的应用，以下介绍其中几个常见的应用场景。
2.1 正态分布的应用正态分布是自然界中最常见的概率分布之一。
许多自然现象都服从正态分布，比如人的身高、体重等。
正态分布函数可以通过概率密度函数来描述。
正态分布在实际应用中被广泛使用，比如在可靠性工程中用于评估产品的故障概率，在金融风险评估中用于分析股票价格变动的概率等。
2.2 泊松分布的应用泊松分布适用于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。
通常用于统计独立事件在特定时间间隔内发生的次数，比如电话呼叫中心在某一时间段内接到的电话数、交通信号灯在一段时间内发生的红绿灯转换的次数等。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
分布 概率密度
分布概率密度摘要：1.分布与概率密度的基本概念2.常见概率密度函数及其应用3.概率密度在实际问题中的意义和作用4.分布与概率密度在统计学中的重要性正文：一、分布与概率密度的基本概念分布是指在概率论和统计学中，对于一组数据或随机变量，其取值范围、取值规律和概率分布特征的描述。
而概率密度（Probability Density）是一种描述随机变量在某个取值范围内分布情况的函数，常用符号ρ（或f（x））表示。
二、常见概率密度函数及其应用1.均匀分布：在区间[a, b]上均匀分布的随机变量X的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b - a)。
均匀分布的概率密度函数在区间内是恒定的，即各个取值的概率相等。
2.指数分布：指数分布的概率密度函数为：f(x) = λe^(-λx)，其中λ为正常数。
指数分布常用于描述等待时间、故障间隔时间等场景。
3.正态分布：正态分布的概率密度函数为：f(x) = (1 / √(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / 2σ^2)，其中μ为均值，σ为标准差。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学和工程领域。
4.泊松分布：泊松分布的概率密度函数为：f(x) = (λe^(-λ) * x) / λ！，其中λ为正常数。
泊松分布用于描述单位时间内随机事件发生的次数。
三、概率密度在实际问题中的意义和作用概率密度在实际问题中具有很大的意义，它可以帮助我们了解随机变量在某个取值范围内的分布规律，从而对不确定性事件进行预测和分析。
例如，在产品质量检测中，通过概率密度函数可以评估产品不合格的概率；在金融领域，概率密度函数可以用于描述风险收益的分布特征。
四、分布与概率密度在统计学中的重要性分布和概率密度在统计学中具有举足轻重的地位。
统计学研究的中心问题是如何从观测数据中估计未知参数，而分布和概率密度正是这一过程中的重要工具。
通过概率密度函数，我们可以对未知参数进行点估计和区间估计，为决策提供依据。
概率论常见分布及应用
概率论常见分布及应用概率论是数学中的一个分支学科，研究随机现象的规律以及概率的性质和应用。
概率论中有许多常见的分布，它们描述了各种不同的随机现象，并在实际应用中发挥重要作用。
本文将介绍一些常见的概率分布及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的概率分布之一，表示随机变量在一段区间内取值的概率相等。
在实际应用中，均匀分布常被用于模拟随机抽样和产生随机数。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是自然界中非常常见的一种分布模式，也被称为高斯分布。
它具有钟形曲线状的密度函数，均值和方差完全决定了分布的形状。
正态分布在统计学中有广泛应用，常被用于描述连续型变量的分布，例如身高、体重、测试成绩等。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或空间内事件发生次数的概率分布。
它的特点是事件在时间或空间上是随机独立的，并且平均发生率是恒定的。
泊松分布广泛应用于计数模型，例如描述单位时间内电话呼叫数量、人员流量等。
4. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种离散概率分布，它描述的是在n次独立重复试验中成功次数的概率分布。
每次试验有两个可能结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率相同。
二项分布常用于描述二分类问题的概率，例如抛硬币的正反面结果、产品合格率等。
5. 指数分布（Exponential Distribution）指数分布描述了连续型随机变量的等待时间或寿命的概率分布。
它的密度函数呈指数形式下降，适用于描述无记忆性的随机现象，例如设备故障间隔、客户到达间隔等。
6. 卡方分布（Chi-Square Distribution）卡方分布是一种常用的统计分布，它由平方和的形式得到。
卡方分布常用于检验两个分类变量之间的独立性，或者检验样本数据与理论模型之间的拟合度。
7. t分布（t-Distribution）t分布是一种广泛应用于小样本数据的概率分布。
概率论分布函数
概率论分布函数概率论分布函数是概率论中的重要概念，它描述了一个随机变量取值的概率分布情况。
在统计学和概率论中，有许多常见的概率分布函数，如正态分布、均匀分布、泊松分布等。
本文将针对这些常见的概率分布函数进行介绍和解释。
一、正态分布（Normal Distribution）正态分布是自然界中最常见的分布之一。
它以钟形曲线形式展现，其分布函数描述了随机变量在不同取值上的概率密度。
正态分布的特点是对称且呈现出标准差的影响，标准差越大，曲线越平缓。
正态分布广泛应用于自然科学、社会科学等领域，用于描述各种现象的分布情况。
二、均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是最简单的概率分布之一，它描述了随机变量在一定范围内各个取值出现的概率是相等的。
均匀分布的分布函数是一个常数函数，其特点是在一定范围内的取值概率是相等的。
均匀分布常用于模拟随机事件或生成随机数，广泛应用于数值计算和概率统计等领域。
三、泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是用于描述单位时间（或空间）内随机事件发生次数的概率分布。
泊松分布的分布函数可以表示在一段时间或空间内发生某种事件的次数的概率。
泊松分布的特点是具有独立性和稀有性，适用于描述稀有事件的发生情况，如电话交换机接听电话的次数、汽车在某路段通过的次数等。
四、指数分布（Exponential Distribution）指数分布是一种连续概率分布函数，描述了随机事件发生的时间间隔的概率分布。
指数分布的分布函数具有单峰性，随着时间的推移，事件发生的概率逐渐减小。
指数分布常用于描述随机事件的间隔时间，如人们等待公交车的时间、网络传输数据包到达的时间等。
五、二项分布（Binomial Distribution）二项分布是描述在一次试验中成功次数的概率分布函数。
二项分布的分布函数描述了在一定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布情况。
二项分布的特点是具有两个参数，成功概率和试验次数，常用于描述二元随机事件的发生情况，如硬币正反面的次数、投篮命中的次数等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录1.均匀分布 (1)2.正态分布（高斯分布） (2)3.指数分布 (2)4.Beta分布（β分布） (2)5.Gamma分布 (4)6.倒Gamma分布 (5)7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5)8.Pareto分布 (7)9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7)χ分布（卡方分布） (8)10.211.t分布 (9)12.F分布 (9)13.二项分布 (10)14.泊松分布（Poisson分布） (11)15.对数正态分布 (12)1.均匀分布均匀分布~(,)X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。
1()f x b a =- ()2a bE X +=2()()12b a Var X -=2. 正态分布（高斯分布）当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。
正态分布为方差已知的正态分布2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。
22()2()x f x μσ--=()E X μ=2()Var X σ=3. 指数分布指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。
其中0λ>为尺度参数。
指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。
(),0x f x e x λλ-=>1()E X λ=21()Var X λ=4. Beta 分布（β分布）Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。
如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。
10()x t x t e dt ∞--Γ=⎰11()()(1)()()a b a b f x x x a b --Γ+=-ΓΓ ()a E X a b=+ 2()()(1)abVar X a b a b =+++5. Gamma 分布Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的问题是“要等到n 个随机事件都发生，需要经历多久时间”，记为~(,)X Ga a b 。
其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。
Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数λ、Poisson 分布()P λ的参数λ的共轭先验分布。
1(),0()a a bxb f x x e x a --=>Γ()aE X b =2()a Var X b=6. 倒Gamma 分布倒Gamma 分布记为~(,)X IGa a b 。
若随机变量~(,)X Ga a b ，则1~(,)IGa a b X。
其中0a >为形状参数，0b >为尺度参数。
倒Gamma 分布为指数分布()Exp λ的参数1λ、均值已知的正态分布2(,)N μσ的参数2σ的共轭先验分布。
(1)(),0()a a bxb f x x e x a ---=>Γ ()1bE X a =- 22(),2(1)(2)b Var X a a a =>--7. 威布尔分布(Weibull 分布、韦伯分布、韦布尔分布)威布尔分布记为~(,)X W m η。
其中0m >为形状参数，0η>为尺度参数。
当1m =，它是指数分布；2m =时，是Rayleigh distribution （瑞利分布）。
常用于拟合风速分布，并用最小二乘法、平均风速估计法或极大似然法求解其参数。
1(),0mm x m xf x ex ηηη-⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫=> ⎪⎝⎭1()1E X m η⎛⎫=Γ+ ⎪⎝⎭2221()11Var X m m η⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫=Γ+-Γ+⎨⎬ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎪⎪⎩⎭8. Pareto 分布Pareto 分布记为~(,)X Pa a b 。
其中0b >为门限参数，0a >为尺度参数。
Pareto 分布是一种厚尾分布。
Pareto 分布为均匀分布(0,)U θ的参数θ的共轭先验分布。
1(),a a b f x x bb x +⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭(),11abE X a a =>- 22(),2(1)(2)ab Var X a a a =>--9. Cauchy 分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布）Cauchy 分布记为~(,)X Ca a b 。
其中a 为位置参数，0b >为尺度参数。
中位数()Mode X a =，期望、方差都不存在。
如果12,,,n X X X K 是分别符合柯西分布的相互独立同分布随机变量，那么算术平均数()12,,,/n X X X n K 服从同样的柯西分布。
标准柯西分布(0,1)Ca 是t 分布的一个自由度。
这种分布更适合拟合那种比较扁、宽的曲线。
221()()bf x b x a π=+-10. 2χ分布（卡方分布）设12,,,n X X X K 是来自(0,1)N 的样本，则称统计量221ni i X χ==∑服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ。
12221(),022n x n f x xe x n --=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭()E X n =()2Var X n =11. t 分布设~(0,1)X N ，2~()Y n χ，且X ，Y 相互独立，则称随机变量t Y n=服从自由度为n 的t 分布。
记为~()t t n 。
当自由度n →∞时，t 分布将趋于(0,1)N 。
有时样本量很小，不知道总体的标准偏差，则可以依赖 t 统计量（也称为 t 分数）的分布，其值由下式给出：~(1)X t n s nμ--，其中X 是样本均值，μ是总体均值，s 是样本的标准偏差，n 是样本大小。
12212()12n n x f x n n n π+-+⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭=+ ⎪⎛⎫⎝⎭Γ ⎪⎝⎭()0E X =(),22nVar X n n =>-12. F 分布设21~()U n χ，22~()V n χ，且U ，V 相互独立，则称随机变量12U nF V n =服从自由度为12(,)n n 的F 分布，记为12~(,)F F n n 。
设112,,,n X X X K 与212,,,n Y Y Y K 分别是来自正态总体211(,)N μσ和222(,)N μσ的样本，且这两个样本相互独立。
设X ，Y 分别是这两个样本的样本均值；21s ，22s 分别是这两个样本的样本方差，则有2122122122~(1,1)s s F n n σσ--；当22212σσσ==时，121212()~(2)11w X Y t n n s n n -+-+，其中222112212(1)(1)2wn s n s s n n -+-=+-。
11122112122212122(),0122n nn n n n n xn f x x n n n x n -+⎛⎫+⎛⎫Γ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=>⎛⎫⎛⎫⎛⎫ΓΓ+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111(),22n E X n n =>- 2112122112(2)(),4(2)(4)n n n Var X n n n n +-=>--13. 二项分布二项分布十分好理解，给你n 次机会抛硬币，硬币正面向上的概率为p ，问在这n 次机会中有k 次（k ≤n ）硬币朝上的概率为多少。
记为~(,)X B n p 。
当n 足够大，且p 不接近于0也不接近于1时，二项分布(,)B n p 可用正态分布(,(1))N np np p -来近似。
!()(1),[0,1]()!!k n k n P X k p p p n k k -==-∈- ()E X np =()(1)Var X np p =-14. 泊松分布（Poisson 分布）泊松分布解决的是“在特定一段时间里发生n 个事件的概率”，记为~()X P λ。
当二项分布满足np n λ=⎧⎨→∞⎩时，二项分布近似为泊松分布。
泊松分布()P λ当λ足够大时，变成正态分布(,)N λλ。
(),0!k e P X k k λλλ-==>()E X λ=()Var X λ=15. 对数正态分布对数正态分布是对数为正态分布的任意随机变量的概率分布。
如果Y 是正态分布的随机变量，则exp(Y)是对数正态分布；同样，如果X 是对数正态分布，则ln(X)为正态分布，如果一个变量可以看成是许多很小独立因子的乘积，则这个变量可以看作是对数正态分布，如拟合风速分布模型，记为2~(,)X LN μσ。
22(ln )2(),02x f x x μσπσ--=>22()E X eσμ+= 222()(1)Var X e e σμσ+=-16. 瑞利分布当一个随机二维向量的两个分量呈独立的、有着相同的方差的正态分布时，这个向量的模呈瑞利分布。
2222(),0x xf x e x σσ-=>()2E X πσ=24()2Var X πσ-=。