第64讲 三类特殊数列的解决方法

a 解： （1） 由题意得 a2 ，a4 ，a6 ，a8 ， 且公比 q 8 …成等比数列， a2

1 3
1 ，a2 n a2 q n 1 1 2 2

n4
．
（2）证明：由{ an }是“ J 4 型”数列，得
a1 ， a5 ， a9 ， a13 ， a17 ， a21 ，…成等比数列，设公比为 t .
1 (10 16n 6)n 8n 2 2n 2
探究 3：若数列 {an } 满足 a1 =a 且 an 1 ( 1) an 2n 1 （其中 a 为常数） ， Sn 是数列 {an }
n
的前 n 项和，数列 {bn } 满足 bn =a2n . （1）求 a1 a3 的值； （2）试判断 {bn } 是否为等差数列，并说明理由； （3）求 Sn （用 a 表示）. 解： （1）由题意，得
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an 2 an 2n 1 (1) n (2n 1) ， an 3 an 1 2n 3 (1) n 1 (2n 1) an an 1 an 2 an 3 4n 4 2(1) n ， a4 n 3 a4 n 2 a4 n 1 a4 n 16n 6 ， S4 n
探究 4： 数列 an 的各项均为正数.若对任意的 n N ， 存在 k N ， 使得 an k an an 2 k
* *
2
成立，则称数列 an 为“ J k 型”数列. （1）若数列 an 是“ J 2 型”数列，且 a2 8, a8 1 ，求 a2 n ； （2）若数列 an 既是“ J 3 型”数列，又是“ J 4 型”数列，证明：数列 an 是等比数列.

3
n 1
，故{ an }为等比数列．
由题设知，当 n≥8 时， an－6，an－3，an，an＋3，an＋6 成等比数列； an－6，an－2，an＋2，an＋6 也成等比数列． 从而当 n≥8 时，an2＝an－3an＋3＝an－6an＋6． 且 an－6an＋6＝an－2an＋2． 所以当 n≥8 时，an2＝an－2an＋2，即 （*）
当 2≤m≤9 时，m＋6≥8，从而由（*）式知 am＋62＝amam＋12， 故 am＋72＝am＋1am＋13， 从而
am 7 2 am 1am 13 ， am am 12 am 6 2 am 1 q 2 q． am q
5
于是
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（3） an 1 ( 1) an 2n 1 ， an 2 ( 1)
n n 1
an 1 2n 1 ，
(1) n an 1 (1) 2 n an (1) n (2n 1) ，即 (1) n an 1 an (1) n (2n 1) ，
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1 解得，d＝2，a1＝－ ． 2 （2）由 an+1+ an＝4n－3，得 an+2 + an+1＝4n + 1(n∈N*)． 两式相减，得 an+2－an＝4． 所以数列{a2n-1}是首项为 a1，公差为 4 的等差数列 ，
探究 2： （1）数列 {a n } 满足 an 1 ( 1) an 2n 1 ，则 {a n } 的前 60 项和为__________；
n
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2
S 4 n ____
an 1 (1) n an 2n 1 ， an 2 (1) n 1 an 1 2n 1 ，
因此
an 1 q 对任意 n≥2 都成立． an a2 a4 a3 a2 a4 a7 a7 a6 a5 q3 ， a1 a3 a2 a1 a1 a4 a6 a5 a4
an 2 a n ． an an 2
于是当 n≥9 时，an－3，an－1，an＋1，an＋3 成等比数列， 从而 an－3an＋3＝an－1an＋1，故由（*）式知 an2＝an－1an＋1， 即
an 1 a n ． an an 1 an ． an 1
当 n≥9 时，设 q
问题 2：已知正项数列 a n 满足 a n a n 1 2 充要条件是 a1 2 .
2 n 1
(n N * ) ，求证：数列 {a n } 为等比数列的
二、思考探究 探究 1： 已知数列{an}满足，an+1+ an＝4n－3(n∈N*) ． （1）若数列{an}是等差数列，求 a1 的值； （2）当 a1＝2 时，求数列{an}的前 n 项和 Sn； （3）若对任意 n∈N*，都有 an 2 an 12 ≥20n－15 成立，求 a1 的取值范围． （1）若数列{an}是等差数列，则 an ＝a1+ (n－1)d，an+1 ＝a1 + nd． 由 an+1+ an＝4n－3，得(a1+nd) + [ a1+(n－1)d] ＝4n－3，即 2d＝4，2a1－d＝4－3，
[
数列{a2n}是首项为 a2，公差为 4 的等差数列， 由 a2 + a1＝1，a1＝2，得 a2＝－1． 所以 an＝ ①当 n 为奇数时，则 an＝2n，an+1＝2n－3． 所以 Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an-2+an-1)+an ＝1+9+…+(4n－11)+2n＝ ②当 n 为偶数时， Sn＝a1+a2+…+an＝(a1+a2)+(a3+a4)+ …+(an-1+an) 2n2－3n+5 ． 2 2n， n 为奇数， － ， 2n 5 n 为偶数．
三类特殊数列的解决方法
讲座主要内容介绍：
一、隔项成等差、等比 二、等差数列与方程 三、周期数列
一、隔项成等差、等比
一、问题提出 问题 1：已知数列 a n 满足 a n a n 1 2n 1( n N ) ，求证：数列 {a n } 为等差数列的充
*
要条件是 a1 1 .
由{ an }是“ J 3 型”数列，得
a1 ， a4 ， a7 ， a10 ， a13 ，…成等比数列，设公比为 1 ；
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a2 ， a5 ， a8 ， a11 ， a14 ，…成等比数列，设公比为 2 ； a3 ， a6 ， a9 ， a12 ， a15 ，…成等比数列，设公比为 3 ；
则
a13 a a 14 t 3 ， 17 2 4 t 3 ， 21 34 t 3 ． a1 a5 a9
4
所以 1 2 3 ，不妨记 1 2 3 ，且 t 3 ． 于是 a3k 2 a1 k 1 a1
a2 a1 1 ， a1 a3 2 . a3 a2 3 a2 n 1 a2 n 4n 1 ， a2 n 2 a2 n 1 4n 1
（2） an 1 ( 1) an 2n 1 ，
n
a2 n a2 n 2 8n ，即 bn bn 1 8n ， bn 1 bn 8n 8 ， bn 1 bn 1 8 ，于是当且仅当 b1 ， b2 ， b3 为等差数列，数列 {bn } 为等差数列，又
Байду номын сангаас
2n 2 3n 5 ，n为奇数， 2n －3n ＝1+9+…+(4n－7)＝ ．所以 Sn＝ 2 2 2 2n 3n ， n为偶数． 2
2
（3）由（2）知，an＝
2n－2+ a1，n 为奇数， 2n－3－a1，n 为偶数．
①当 n 为奇数时，an＝2n－2+a1，an+1＝2n－1－a1． 由 an 2 an 12 ≥20n－15，得 a12－a1≥－4n2+ 16n－10． 因为－4n2+ 16n－10＝－4(n－2)2+6≤2， 当 n＝1 或 3 时，[－4(n－2)2+6]max＝2．所以 a12－a1≥2．解得 a1≥2 或 a1≤－1． ②当 n 为偶数时，an＝2n－a1－3，an＝2n+a1． 由由 an 2 an 12 ≥20n－15，得 a12 + 3a1≥－4 n2+16n－12． －4 n2+ 16n－12＝－4(n－2)2+4≤4．当 n＝2 时，[－4(n－2)2 + 4]max＝4． 所以 a12 + 3a1≥4，解得 a1≥1，a1≤－4． 综合①②上，a1 的取值范围是(－∞，－4]∪[2，+∞)．

3
(3 k 2) 1
，
a3k 1 a5 k 2 a1t k 2 a1 a3k a9 k 3 a1t 2 k 3 a1
k2 3
a1 a1

3 3
(3 k 1) 1
，
k 1 3

3 k 1
，
所以 an a1 第 20 题（2）另一解法：
(1) n an 1 (1) 2 n an (1) n (2n 1) ，即 (1) n an 1 an (1) n (2n 1) ， an 2 an 2n 1 (1) n (2n 1) ， an 3 an 1 2n 3 (1) n 1 (2n 1) an an 1 an 2 an 3 4n 4 2(1) n ， a4 n 3 a4 n 2 a4 n 1 a4 n 16n 6 ， S4 n