总第41课时——6 二元一次方程与一次函数
6二元一次方程与一次函数演示文稿赛讲
第五章二元一次方程组6．二元一次方程与一次函数刘彦军教学目标:知识与技能1. 初步理解二元一次方程和一次函数的关系；2. 掌握二元一次方程组和对应的两条直线之间的关系；3. 掌握二元一次方程组的图象解法．过程与方法:1. 教材以“问题串”的形式，揭示方程与函数间的相互转化，使学生在自主探索中学会不同数学知识间可以互相转化的数学思想和方法；2. 进一步发展学生数形结合的意识和能力．情感与态度:1. 在探究二元一次方程和一次函数的对应关系中，在体会近似解与准确解中，培养学生勤于思考、精益求精的精神．2. 在经历同一数学知识可用不同的数学方法解决的过程中，培养学生的创新意识和变式能力．教学重点:1. 二元一次方程和一次函数的关系；2. 二元一次方程组和对应的两条直线的关系．教学难点:数形结合和数学转化的思想意识．教法学法:启发引导与自主探索相结合. 教具：多媒体课件教学过程： 一、设置问题情境，导入新课1. _________________________________ 一次函数yX 5,当X 3时，y 二 ；当x 2时，y 二 _________________________2•将下列方程写成用含有X 的代数式表示y 的形式.x y 5可以写成y= ____________ ；2xy1可以写成y= ___________ ；二、探究我出招 探究活动一:x 0 x 51. 方程x+y=5的解有多少个？ y 5 ； y 0 ；2. 在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点(0, 5), (5, 0), (2, 3),它们都在 一次函数y = x 5的图象上吗？3. 在一次函数y 二x 5的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？4.以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y= x 5的图象相同吗?二元一次方程和一次函数图象的关系：(多媒体展示) 以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上; 一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程. 般地，以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函1 y4 3 2 1-5 -4 -3 -2 -1-1 -2 -3 -4’ -5.0 1 2 34 5 ；x 2y 3是这个方程的解吗?数的图象相同，是一条直线.目的：通过设置问题情景，让学生感受方程x+y=5和一次函数y= x 5相互转化，启发引导学生总结二元一次方程与一次函数的对应关系.前面研究了一个二元一次方程和相应的一个一次函数的关系，现在来研究 两个二元一次方程组成的方程组和相应的两个一次函数的关系.顺其自然 进入下一环节. 二、探究活动二探究方程与函数的相互转化x y 51. 解方程组2x y 12. 上述方程移项变形转化为两个一次 函数y=x 5和y 2xj 在同一直角 坐标系内分别作出这两个函数的图象 (教材123页图5-1).根据图象得：一次函数y x 5与一次函数y 2x 1的交点坐标是 ____________________3. 方程组的解和这两个函数的图象的交点坐标有什么关系？二元一次方程的解和相应的两条直线的关系：(多媒体展示)(1) 求二元一次方程组的解可以转化为求两条直线的交点的横纵坐标.(2) 求两条直线的交点坐标可以转化为求这两条直线对应的函数表达式联 立的二元一次方程组的解.总结：一般地，从图形的角度看，解一个二元一次方程组就相当于确 定相应两xyx 5xy 2x 1条直线交点的坐标.利用一次函数图象可以粗略估计两直线交点坐标也可以找到二元一次方程组的近似解.要得到准确解，一般还是用代入消元法和加减消元法解方程组.目的：通过自主探索，使学生初步体会“数”(二元一次方程)与“形” (两条直线)之间的对应关系，为求两条直线的交点坐标打下基础.(1)观察发现直线平行无交点；(2)从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立；归纳小结：两平行直线的k相等；方程组中两方程未知数的系数对应成比例方程组无解。
5.6 二元一次方程与一次函数 课件 2024-2025学年数学北师版八年级上册
(答案图)
观察图象,可得直线y=-x-2与直线
y=2x+4的交点坐标为(-2,0),
+ = −2,
∴方程组ቊ
的解为
−2 + = 4
= −2,
ቊ
= 0.
(答案图)
1.如图,已知函数y=ax+b和y=kx的图象交于点P,则根据
= + ,
图象可得,关于x,y的二元一次方程组ቊ
(1)将两个二元一次方程化图象,确定交点坐标;
(3)交点的横、纵坐标就是二元一次方程组的解.
利用一次函数图象解二元一次方程组
利用图象确定方程组
+ = −2,
ቊ
的解.
−2 + = 4
解:如答案图所示,画出一
次函数y=-x-2与一次函数
y=2x+4的图象.
则B(0,-1),
1
∴△ABC的面积= ×(5+1)×2=6.
2
(3)在直线BC上能否找到点P,使得S△ABP=9?若能,请求出
点P的坐标;若不能,请说明理由.
(3)能找到点P使S△ABP=9.理由如下:
1
设P(t,-t-1),则S△ABP= ×(5+1)× =9,
2
解得t=3或t=-3,
∴点P的坐标为(3,-4)或(-3,2).
综上,△AOD的面积为6.
= 1 + 1 ,
注意:方程组ቊ
(k1,k2≠0) 的 解 与 函 数
= 2 + 2
y=k1x+b1和y=k2x+b2图象的关系如下:
方程组有唯一解⇔一个交点⇔k1≠k2;
方程组无解⇔平行⇔k1=k2且b1≠b2;
二元一次方程与一次函数ppt课件
1、一次函数y=5-x与y=2x-1图象的交点为(2,3),
则方程组
x y 5 2x y 1
x 2
的解为
y
3
.
2、若二元一次方程组 ,
x 2 2x
y y
2 2
的解为
x 2
y
2
则函数
y
1 2
x
1
与
y 2x 2 的图象的交点
坐标为 （2，2） .
3．根据下列图象，你能说出是哪些方程组的解?这些 解是什么?
Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为 坐标的点,它们都在函数Y=5-X上吗? (0,5) 、(5,0) 、(1,4) .都在函数Y=5-X的图 象上.
(3)在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点, 它的坐标适合方程X+Y=5吗?
师生互动
在一次函数Y=5-X的图象上任取一个点 (0,5),它的坐标适合方程X+Y=5. (4)以方程X+Y=5的解为坐标的所有的点所组 成的图象与一次函数Y=5-X的图象相同吗 ?
y=-2 y=0
进而作出Y=2X-2的图象
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1
x
y 1 x 1 2
-2 -3
-4
-5
x=2 所以方程组的解为:
《二元一次方程与一次函数》 讲义
《二元一次方程与一次函数》讲义一、引入同学们，在数学的世界里，二元一次方程和一次函数就像是一对亲密的伙伴，它们之间有着千丝万缕的联系。
今天，咱们就一起来深入探究一下它们之间的奇妙关系。
二、二元一次方程的基础知识首先，咱们来回顾一下二元一次方程。
什么是二元一次方程呢？形如 ax ＋ by ＝ c（其中 a、b 不为零）的方程，就叫做二元一次方程。
比如 2x ＋ 3y ＝ 10 ， 5x 2y ＝ 7 等等，都是二元一次方程。
二元一次方程的解有无数个。
比如对于方程 2x ＋ 3y ＝ 10 ，当 x＝ 1 时，y ＝ 8 ／ 3 ；当 x ＝ 2 时，y ＝ 2 。
那怎么求解二元一次方程呢？通常有代入消元法和加减消元法。
代入消元法，就是把一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解。
加减消元法呢，就是当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求解。
三、一次函数的基础知识接下来，咱们再看看一次函数。
一次函数的表达式是 y ＝ kx ＋ b （其中 k、b 为常数，k 不为零）。
比如说 y ＝ 3x ＋ 1 ，y ＝－2x ＋ 5 等等，都是一次函数。
其中，k 叫做斜率，表示函数图像的倾斜程度；b 叫做截距，表示函数图像与 y 轴的交点。
一次函数的图像是一条直线。
当 k ＞ 0 时，函数图像从左到右上升；当 k ＜ 0 时，函数图像从左到右下降。
四、二元一次方程与一次函数的关系那么，二元一次方程和一次函数到底有什么关系呢？其实，二元一次方程可以变形为一次函数的形式。
比如，对于二元一次方程 2x ＋ 3y ＝ 10 ，我们可以变形为 y ＝－2 ／ 3 x ＋ 10 ／ 3 ，这就是一个一次函数。
反过来，一次函数也可以转化为二元一次方程。
比如一次函数 y ＝ 3x ＋ 2 ，可以写成 3x y ＋ 2 ＝ 0 ，这就是一个二元一次方程。
二元一次方程与一次函数PPT
因式分解法：将方程组中的方程进行因式分 解，然后求解
换元法：引入新的未知数，将原方程组转化 为新的方程组，然后求解
实际应用
01
02
03
04
求解线性方程组： 通过解二元一次 方程，可以求解 线性方程组。
求解最优化问题： 二元一次方程可 以用于求解最优 化问题，如线性 规划、二次规划 等。
求解几何问题： 二元一次方程可 以求解几何问题， 如直线与直线、 直线与圆、圆与 圆的位置关系等。
方程与函数的关 系：方程的解就 是函数的零点， 函数图像与x轴 的交点就是方程 的解
方程与函数的转化
二元一次方程与一次函 数的关系：二元一次方 程可以转化为一次函数，
反之亦然。
转化方法：通过代入法、 消元法等方法，可以将 二元一次方程转化为一
次函数。
转化意义：方程与函数 的转化可以帮助我们更 好地理解和解决实际问
题。
实际应用：在解决实际 问题时，我们可以根据 需要选择使用方程或函
数进行表达和求解。
实际应用案例
01
线性规划：求解线性方程组，确定最 优解
02
工程问题：求解工程问题中的二元一 次方程，如桥梁设计、建筑结构等
03
经济问题：求解经济问题中的二元一 次方程，如生产成本、利润最大化等
04
数学建模：利用二元一次方程和一次 函数建立数学模型，解决实际问题
c=0
应用：求解实际问题中 04
的二元一次方程，如行 程问题、利润问题等
求解方法
01
代入消元法：将方程组中的一个方程的未知 数用另一个方程的未知数表示，然后代入另 一个方程求解
03
02
加减消元法：将方程组中的两个方程相加或 相减，消去一个未知数，然后解另一个未知 数
《二元一次方程与一次函数》二元一次方程组PPT课件2
这节课你有什么收获？
利用二元一次方程组求一次函数 表达式的一般步骤：
1. 用含字母的系数设出一次函数的表达 y kx b(k 0) ； 式： 2. 将已知条件代入上述表达式中得k，b 的二元一次方程组； 3. 解这个二元一次方程组得k，b，进而 得到一次函数的表达式.
1. 右图中的两直线l1 ，l2 的交点坐标可以看作 x y 4 方程组 2 x y 1 的解
s/千米
图象表示
可以分别作出两人 s 与t 之间的关系图 小明 象，找 出交点的横坐 标就行了！ 你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做!
40 20
(A)0
1
2
2.8
3
4 t/时
用方程 解 行程问题
A，B两地相距100千米， 1 时后乙距A地 甲、乙两人骑自行车分别从A， 80千米,即乙的 B两地同时相向而行．假设他 小彬 速度是 20千米/时, 们都保持匀速行驶，则他们各 2 时后甲距A 地 30千米, 自到A地的距离s(千米)都是骑 故甲的速度是 15千米/时, 车时间t(时)的一次函数. 由此可求出甲、乙两人的 1 时后乙距A地80千米, 速度和 …… 2 时后甲距A地 30千米. 问 经过多长时间两人相遇 ? 你明白他的想法吗？ 用他的方法做一做! 设同时出发后 t 时相遇, 则
小彬
小明
小颖
例2 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携 带一定质量的行李，但超过该质量则需购买 行李票，且行李费y（元）是行李质量x（千 克）的一次函数．现知李明带了60千克的行 李，交了行李费5元；张华带了90千克的行李， 交了行李费10元． （1）写出y与x之间的函数表达式； （2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？
y
二元一次方程与一次函数ppt
定义与特点
03
斜率性质
对于任意的x1和x2，都有f(x1) - f(x2) = k(x1 - x2)，其中k是直线的斜率。
一次函数的重要性质
01
函数的增减性
当k＞0时，函数在各个区间内单调递增；当k＜0时，函数在各个区间内单调递减。
02
截距性质
对于任意的x，都有kx + b = y，其中b是函数在y轴上的截距。
在经济学中，价格、成本、利润等经济量的求解中也常常会用到二元一次方程。
在工程学中，工作量、时间、效率等求解中也常常会用到二元一次方程。
02
二元一次方程求解方法
代数法是通过将方程转化为求解一元一次方程，进而求解二元一次方程的一种方法。
将方程中出现的未知数用另一个未知数表示出来，然后代入原方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，再求解这个一元一次方程即可。
不同之处
二元一次方程是等式，而一次函数是函数关系式。
二元一次方程与一次函数的关系
二元一次方程与一次函数的应用
二元一次方程和一次函数可以联合用来解决方程组的问题。例如，对于方程组 `x + y = 10` 和 `y = -x + 10`，可以将其转化为一次函数的形式并绘制图象求解。
方程组
二元一次方程和一次函数在很多实际应用中都有重要应用，如物理学、工程学、经济学等。例如，在物理学中，牛顿第二定律的公式 `F = ma` 可以用二元一次方程来表示；在经济学中，需求和供给的平衡可以用二元一次方程来表示，而价格和数量的关系则可以用一次函数来表示。
xx年xx月xx日
二元一次方程与一次函数
二元一次方程概述二元一次方程求解方法一次函数概述一次函数表达式二元一次方程与一次函数的联系
《二元一次方程与一次函数》优秀课件-公开课课件【可编辑全文】
以方程2x-y=1的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=2x-1的图象相同，都是一条直线。
小林：一次函数的图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程。
小颖：我知道可以怎样做了!!
方法三：图象法
１、变形：将两个方程都变形成为y=kx+b； ２、作图：把方程对应的两条直线画出来； ３、找交点：确定其x、y的对应值； ４、得解：
二元一次方程，除了代入法、加减法，还可以这样解：
解方程： 你会怎样解呢？
１、变形：将两个方程都变形成为y=kx+b； ２、作图：把方程对应的两条直线画出来； ３、找交点：确定其x、y的对应值； ４、得解：
x+y=5 ……① 2x-y=1 ……②
解：1) 由①变形得：y=5-x 由②变形得：y=2x-1
2) 在同一个坐标系中画出y=5-x和y=2x-1的图象。
3) 找到交点
4) 所以原方程组的解为：
x=２ y=３
(2, 3)
在同一直角坐标系内， 一次函数y = x + 1 和y = x - 2 的象有怎样的位置关系？
方程组 解的情况如何？你发现了什么？
x-y=-1 x-y=2
人生犹如一本书，愚蠢者草草翻过，聪明人细细阅读。为何如此. 因为他们只能读它一次。
教学目标
１、体会二元一次方程与一次函数的关系。 ２、能从“形”的角度理解二元一次方程和二元一次方程组，发展几何直观。
1、方程x+ y = 5的解有多少个?下列是这个方程的解吗？
x=2 y=3
x=－1 y= 6
x=1 y=4
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41课时——6 二元一次方程与一次函数
1．如图41-4，已知函数y ＝ax ＋b 和y ＝kx 的图象交于点P ，则
根据图象可得，关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋b ，
y ＝kx
的解是
( )
图41-4
A.⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝4.5，
y ＝3 B ．⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－3，
y ＝1
C.⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－3 D ．⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝3
2．已知二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－5，x ＋2y ＝－2的解为⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－4，
y ＝1，
则在
同一平面直角坐标系中，直线l 1：y ＝x ＋5与直线l 2：y ＝－1
2x －1的
交点的坐标为
3．在平面直角坐标系中，函数y ＝－x ＋4的图象如图41-5. (1)在同一坐标系中，作出一次函数y ＝2x －5的图象；
(2)用作图的方法解方程组⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y ＝4，
2x －y ＝5；
(3)求直线y ＝－x ＋4与一次函数y ＝2x －5的图象与x 轴围成的三角形面积．
图41-5
4．[2017·台州]如图41-6，直线l 1：y ＝2x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋4相交于点P (1，b ) .
(1)求b ，m 的值；
(2)垂直于x 轴的直线x ＝a 与直线l 1，l 2分别交于点C ，D ，若线段CD 的长为2，求a 的值．
图41-6
5．已知一次函数y ＝32x ＋m 和y ＝－1
2x ＋n 的图象都经过点A (－
2,0)，且与y 轴分别交于B ，C 两点，那么△ABC 的面积是多少？
6．[2018·河北改编]如图41-7，直角坐标系xOy 中，一次函数l 1：y ＝－1
2x ＋5的图象分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数l 2的
图象与l 1交于点C (m,4)．
图41-7
(1)求m 的值及l 2的解析式； (2)求S △AOC －S △BOC 的值．
参考答案
1．B 2.(－4,1)
3．(1)图略 (2)⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝1
(3)3
4
4．(1)b＝3，m＝－1；(2)a＝5
3或
1
3.
5．S△ABC＝4
6．(1)m＝2，l2的解析式为y＝2x；
(2)S△AOC－S△BOC＝15.
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