2019年天津市河东区高考数学一模试卷(文科)解析版
2019年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1. 已知i 是虚数单位，x ∈R ，复数z =（x +i ）（2+i ）为纯虚数，则2x -i 的模等于（ ）A. 1B. √2C. √3D. 2 2. 已知x ，y 满足不等式组{x −y ≥0x +y −3≥0x ≤3，则z =x +3y 的最小值等于（ ）A. 3B. 6C. 9D. 123. 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6 4. 设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x -2|＜1”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知偶函数f （x ）在[0，2]上递减，试比a =f （1），b =f （log 1214），c =f （log 2√22）大小（ ）A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. c >a >b6. 为了得到函数y =3cos2x 图象，只需把函数y =3sin(2x +π6)图象上所有点（ ）A. 向右平行移动π12个单位长度 B. 向右平行移动π6个单位长度 C. 向左平行移动π12个单位长度D. 向左平行移动π6个单位长度7. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a2-y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,√2) B. (√3,+∞) C. (√3,2) D. (2,+∞) 8. 定义域为R 的函数f （x ）满足f （x +2）=2f （x ），当x ∈[0，2）时，f （x ）={x 2−x ，x ∈[0，1)−(12)|x−32|，x∈[1，2)，若当x ∈[-4，-2）时，不等式f （x ）≥t 24−t +12恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A. [2,3]B. [1,3]C. [1,4]D. [2,4]二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9. 集合A ={0，1，2，3}，B ={x |x 2-2x ≤0}，则A ∩B =______．10. 已知函数f （x ）的导函数，满足f （x ）=2xf '（1）+x 3，则f '（1）等于______．11. 如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为12√3，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______．12. 已知直线y =mx 与圆C ：（x -m ）2+（y -1）2=m 2-1交于A ，B 两点，∠ACB =60°，则圆的面积为______．13. 如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB =8，AD =5，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______．14. 若实数x ，y 满足2cos 2（x +y -1）=(x+1)2+(y−1)2−2xyx−y+1，则xy 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f （x ）=2sin （x -A ）cos x +sin （B +C ）（x ∈R ），函数f （x ）的图象关于点（π6，0）对称． （Ⅰ）当x ∈（0，π2）时，求f （x ）的值域； （Ⅱ）若a =7且sin B +sin C =13√314，求△ABC 的面积．16. 某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图． （1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生， ①列出所有可能的结果；②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，CC1⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．18.在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：a n=b13+1+b232+1+b333+1+⋯+b n3n+1，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令c n=a n b n4（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为√3．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．20.已知f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=exe x，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对∀x1，x2∈[3，4](x1≠x2)，|f(x2)−f(x1)|＜|ex2g(x2)−ex1g(x1)|恒成立；（3）设a=2，若对∀给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g （x0）成立，求m的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵z=（x+i）（2+i）=（2x-1）+（x+2）i为纯虚数，∴，即x=．∴2x-i=1-i，则2x-i的模等于．故选：B．利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部为0且虚部不为0求得x，代入2x-i ，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】A【解析】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由z=x+3y得：y=-x+，显然直线过（3，0）时，z最小，z的最小值是3，故选：A．画出满足条件的平面区域，将直线变形为y=-x+，通过图象读出即可．本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道基础题．3.【答案】C【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值，∵P=1+3+…+（2n-1）=×n=n2＞20，∴n≥5，故输出的n=5．故选：C．算法的功能是求满足P=1+3+…+（2n-1）＞20的最小n值，利用等差数列的前n项和公式求得P，根据P＞20，确定最小的n值．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．4.【答案】A【解析】解：∵|x-2|＜1，∴1＜x＜3，∵“1＜x＜2”∴根据充分必要条件的定义可得出：“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的充分不必要条件．故选：A ．求解：|x-2|＜1，得出“1＜x＜2”，根据充分必要条件的定义判断即可．本题考查了简单的不等式的求解，充分必要条件的定义，属于容易题．5.【答案】D【解析】解：∵，∴∵f（x ）在[0，2]上递减，∴f （）＞f（1）＞f（2）又∵f（x）是偶函数，f（）=f（-）=∴＞f（1）＞，即c＞a＞b故选：D．由对数的定义，可得b=f（2），c=f（-）=f（）．再结合函数函数f（x）在[0，2]上递减，即可得到a、b、c的大小关系．本题给出偶函数在[0，2]上递减，要求我们比较三个函数值的大小，考查了函数奇偶性与单调性和对数的运算性质等知识，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：把函数图象上所有点向左平行移动个单位长度，可得函数y=3cos2x=3sin（2x+）图象，故选：D．由题意利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，统一这两个三角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：双曲线-=1的渐近线方程为y=±x，不妨设过点F2与双曲线的一条渐过线平行的直线方程为y=（x-c），与y=-x联立，可得交点M（，-），∵点M 在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞|OF2|，即有＞c2，∴b2＞3a2，∴c2-a2＞3a2，即c＞2a．则e=＞2．∴双曲线离心率的取值范围是（2，+∞）．故选：D．根据斜率与平行的关系即可得出过焦点F2的直线，与另一条渐近线联立即可得到交点M的坐标，再利用点M在以线段F1F2为直径的圆外和离心率的计算公式即可得出．本题考查的知识点是双曲线的简单性质，熟练掌握双曲线的渐近线、离心率的计算公式、点与圆的位置关系是解题的关键．8.【答案】B【解析】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2-x∈[-，0]，当x∈[1，2）时，f（x）=-（0.5）|x-1.5|∈[-1，]，∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为-1，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[-2，0）时，f（x）的最小值为-，当x∈[-4，-2）时，f（x）的最小值为-，若x∈[-4，-2]时，f（x）≥-t+恒成立，∴≥-t+恒成立．即t2-4t+3≤0，即（t-3）（t-1）≤0，即1≤t≤3，即t∈[1，3]，故选：B．根据条件，只要求出函数f（x）在x∈[-4，-2）上的最小值即可得到结论．本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，一元二次不等式的解法，难度较大．9.【答案】{0，1，2}【解析】解：∵集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}={x|0≤x≤2}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．先分别求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】-3【解析】解：∵f（x ）=2xf′（1）+x3，∴f′（x）=2f′（1）+3x2，令x=1，则f′（1）=2f′（1）+3×12=2f′（1）+3，即f′（1）=-3．故答案为：-3求函数的导数，让x=1，建立关于f′（1）的方程，即可求解．本题主要考查导数的计算和求值，利用f′（1）为常数，建立关于f′（1）的方程是解决本题的关键，比较基础．11.【答案】16π【解析】解：设圆柱的底面半径为r，则其高为2r．三棱柱的底面是正三角形，内接于圆，如图：连接OA，OB，过O作OD垂直于AB，垂足为D，因为三角形ABC为等边三角形，所以∠OAB=30°，在直角三角形中，AD=OA×cos30°=，∴AB=r，∴三棱柱的体积为=12．解得r=2，所以圆柱的侧面积为：2πr×2r=2π×2×4=16π．故填：16π．根据已知条件求出底面半径，同时得到圆柱的母线长，进而得到圆柱的侧面积．本题考察圆柱侧面积的简单计算，属于基础题．12.【答案】6π【解析】解：根据题意，圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1，则其圆心为（m，1），半径为，直线y=mx与圆C交于A，B两点，且∠ACB=60°，则△ABC为等边三角形，则圆心到直线y=mx的距离d=r，即=×，解可得：m2=7，则圆的半径r==，则圆的面积S=πr2=6π；故答案为：6π．根据题意，分析圆C的圆心与半径，结合直线与圆的位置关系可得圆心到直线y=mx的距离d= r，进而可得=×，解可得m的值，由圆的面积公式计算可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，注意分析弦长与圆心到直线的距离，半径的关系，属于基础题．13.【答案】22【解析】解：∵=3，∴=+，=-，又∵AB=8，AD=5，∴•=（+）•（-）=||2-•-||2=25-•-12=2，故•=22，故答案为：22．由=3，可得=+，=-，进而由AB=8，AD=5，=3，•=2，构造方程，进而可得答案．本题考查的知识点是向量在几何中的应用，平面向量数量积的运算，其中根据已知得到= +，=-，是解答的关键．14.【答案】14【解析】解：∵，∴2cos2（x+y-1）=∴2cos2（x+y-1）=，故2cos2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x-y+1）+≥2，或（x-y+1）+≤-2，∴2cos 2（x+y-1）≥2，由三角函数的有界性可得2cos 2（x+y-1）=2， 故cos 2（x+y-1）=1，即cos （x+y-1）=±1，此时x-y+1=1，即x=y∴x+y-1=kπ，k ∈Z ，故x+y=2x=kπ+1，解得x=，故xy=x•x=，当k=0时，xy 的最小值，故答案为：配方可得2cos 2（x+y-1）==（x-y+1）+，由基本不等式可得（x+y+1）+≤2，或（x-y+1）+≤-2，进而可得cos （x+y-1）=±1，x=y=，由此可得xy 的表达式，取k=0可得最值．本题考查基本不等式在最值问题中的应用，余弦函数的单调性，得出cos （x+y-1）=±1是解决问题的关键，属中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）f （x ）=2sin （x -A ）cos x +sin （B +C ）=2（sin x cos A -cos x sin A ）cos x +sin A=2sin x cosxcos A -2cos 2x sin A +sin A=sin2x cos A -cos2x sin A =sin （2x -A ），由于函数f （x ）的图象关于点（π6，0）对称，则f （π6）=0， 即有sin （π3-A ）=0，由0＜A ＜π，则A =π3， 则f （x ）=sin （2x -π3），由于x ∈（0，π2），则2x -π3∈（-π3，2π3），即有-√32＜sin （2x -π3）≤1．则值域为（-√32，1]；（Ⅱ）由正弦定理可得a sinA =b sinB =c sinC =√3，则sin B =√314b ，sin C =√314c ，sin B +sin C =√314（b +c ）=13√314，即b +c =13，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ， 即49=b 2+c 2-bc =（b +c ）2-3bc ， 即有bc =40，则△ABC 的面积为S =12bc sin A =12×40×√32=10√3． 【解析】（Ⅰ）运用两角差的正弦公式和诱导公式，结合二倍角公式，化简f （x ），再由对称性，计算可得A ，再由x 的范围，结合正弦函数的图象和性质，即可得到值域；（Ⅱ）运用正弦定理和余弦定理，可得bc=40，再由面积公式即可计算得到．本题重点考查正弦定理和余弦定理以及面积公式的运用，考查两角和差的正弦公式和二倍角公式的运用，考查正弦函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题． 16.【答案】解：（1）由频率分布直方图得：（0.010+0.015+0.015+a +0.025+0.005）×10=1， 解得a =0.03．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为： 1-（0.010+0.015）×10=0.75，∴估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数为： 0.75×640=480．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为：0.010×10×40=4人， 设为A ，B ，C ，D ，数学成绩在[90，100]的学生人数为：0.005×10×40=2人，设为a ，b ， 数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生， 所有可能的结果有15种，分别为：（A ，B ），（A ，C ），（A ，D ），（A ，a ），（A ，b ），（B ，C ），（B ，D ），（B ，a ），（B ，b ），（C ，D ），（C ，a ），（C ，b ），（D ，a ），（D ，b ），（a ，b ）．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，分别为： AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，ab∴这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率p =715． 【解析】（1）由频率分布直方图能求出a ．（2）由频率分布直方图得不低于60分的学生的频率为0.75，由此能估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数．（3）①数学成绩在[40，50）的学生人数为4人，设为A ，B ，C ，D ，数学成绩在[90，100]的学生人数为2人，设为a ，b ，数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，利用列举法能求出所有可能的结果．②这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10包含的基本事件有7种，这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．本题考查实数值、频数、概率的求法，考查频率分布直方图、概率、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17.【答案】证明：（1）∵四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 为正方形，∴AC ⊥BD ，∵CC 1⊥平面ABCD ，∴CC 1⊥BD ， ∵AC ∩CC 1=C ，∴BD ⊥平面ACC 1A 1．解：（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，设AB =BC =1，AA 1=t ，则D （0，0，0），B （1，1，0），C 1（0，1，t ），C （0，1，0）， DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0），DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，t ），DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，1，0），设平面DBC 1的法向量n⃗ =（x ，y ，z ）， 则{n ⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅DC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +tz =0，取x =1，得n⃗ =（1，-1，1t ）， 平面BDC 的法向量m⃗⃗⃗ =（0，0，1）， ∵二面角C 1-BD -C 的大小为60°， ∴cos60°=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|1t |1×√2+1t2，解得t =√62，∴B （1，1，0），C 1（0，1，√62），A （1，0，0），C （0，1，0），BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，0，√62），AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1，1，0），设异面直线BC 1与AC 所成角为θ， 则cosθ=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√104⋅√2=√55．∴异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为√55．【解析】（1）推导出AC ⊥BD ，CC 1⊥BD ，由此能证明BD ⊥平面ACC 1A 1．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）等差数列{a n }的公差d =2，a 2是a 1与a 4的等比中项，可得a 22=a 1a 4，即（a 1+2）2=a 1（a 1+6），解得a 1=2，则a n =a 1+（n -1）d =2+2（n -1）=2n ；（Ⅱ）数列{b n }满足：a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+⋯+bn 3n +1， 可得a 1=b14，即b 1=8； n ≥2时，a n -1=b 13+1+b 232+1+…+b n−13n−1+1，与a n =b13+1+b232+1+b333+1+⋯+bn 3n +1， 相减可得2=bn3n +1，即有b n =2（3n +1），上式对n =1也成立，可得b n =2（3n +1），n ∈N *； （Ⅲ）c n =a nb n 4=n （3n +1），则前n 项和T n =（1•3+2•32+…+n •3n ）+（1+2+…+n ）， 设S n =1•3+2•32+…+n •3n ，3S n =1•32+2•33+…+n •3n +1， 相减可得-2S n =3+32+…+3n -n •3n +1=3(1−3n )1−3-n •3n +1，化简可得S n =3+(2n−1)⋅3n+14，则T n =3+(2n−1)⋅3n+14+12n （n +1）．【解析】（Ⅰ）运用等差数列{a n }的通项公式和等比数列中项性质，解方程可得首项，可得所求通项公式； （Ⅱ）令n=1可得数列b 1，n≥2时，将n 换为n-1，作差可得所求通项公式； （Ⅲ）求得=n （3n +1），运用数列的分组求和和错位相减法，结合等差数列和等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和和错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 19.【答案】20．（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆C ：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为√3，∴依题意{a 2=b 2+c 2a ：b ：c =2：√3：1bc =√3，解得a =2，b =√3，c =1，∴椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．…（5分）（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x =ty +1与椭圆交于A ，B 两点， 则{3x 2+4y 2=12x=ty+1，整理，得：（3t 2+4）y 2+6ty -9=0，由韦达定理，得：y 1+y 2=−6t 3t 2+4，y 1y 2=−93t 2+4， ∴|y 1-y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√144t 2+1443t 2+4=12√t2+13t 2+4，∴S △OAB =S △OF 1A +S △OF 1B =12×|OF|×|y 1−y 2|=6√t 2+13t 2+4，椭圆C 的内接平行四边形面积为S =4S △OAB =24√t 2+13t 2+4，令m =√1+t 2≥1，则S =f （m ）=24m3m 2+1=243m+1m，注意到S =f （m ）在[1，+∞）上单调递减，∴S max =f （1）=6，当且仅当m =1，即t =0时等号成立．故这个平行四边形面积的最大值为6．…（12分） 【解析】（1）由椭圆的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为，列出方程组，求出a ，b ，由此能求出椭圆C 的方程．（2）设过椭圆右焦点F 2的直线l ：x=ty+1与椭圆交于A ，B 两点，由，得：（3t 2+4）y 2+6ty-9=0，由此利用韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性，能求出平行四边形面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查平行四边形的面积的最大值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式、平行四边形面积、函数单调性的合理运用． 20.【答案】解：（1）∵g(x)=exe x ，∴g ′(x)=−e(x−1)e x，∴（-∞，1）↑，（1，+∞）↓，∴g （x ）极大值g （1）=1，无极小值；…（4分）（2）∵m =1，a =0，∴f （x ）=x -1，在[3，4]上 是增函数∴exg(x)=e x，在[3，4]上是增函数 设3≤x 1＜x 2≤4，则原不等式转化为f(x 2)−f(x 1)＜ex 2g(x 2)−ex 1g(x 1)即f(x 2)−ex 2g(x 2)＜f(x 1)−ex 1g(x 1)…（6分）令ℎ(x)=f(x)−exg(x)=x −e x−1，即证∀x 1＜x 2，h （x 2）＜h （x 1），即h （x ）在[3，4]↓ ∵h ′（x ）=1-e x ＜0在[3，4]恒成立即h （x ）在[3，4]↓， 即所证不等式成立．…（9分）（3）由（1）得g （x ）在（0，1）↑（1，e ）↓，g （x ）max =g （1）=1 所以，g （x ）∈（0，1]又f ′(x)=m −2x ，当m ≤0时，f ′(x)＜0，f(x)在(0，e)↓不符合题意 当m ＞0时，要∃t 1，t 2使得f （t 1）=f （t 2），那么由题意知f （x ）的极值点必在区间（0，e ）内，即0＜2m ＜e 得m ＞2e ，且函数f （x ）在(0，2m )↓，(2m ，e)↑由题意得g （x ）在（0，e ）上的值域包含于f （x ）在(0，2m )和(2m ，e)上的值域， ∴(2m ，e)内，{f(2m)≤0f(e)≥1⇒m ≥3e−1， 下面证t ∈(0，2m ]时，f （t ）≥1，取t =e -m ，先证e −m ＜2m ，即证2e m −m ＞0．令w （x ）=2e x -x ，∴w ′(x)=2e x −1＞0，在[3e−1，+∞)内恒成立，∴w （x ）↑，∴w(x)≥w(3e−1)＞0，∴2e m -m ＞0，再证f （e -m ）≥1，∵f(e −m )=me −m +m ＞m ≥3e−1＞1， ∴m ≥3e−1．…（14分） 【解析】（1）求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，然后求解极值．（2）通过m=1，a=0，化简f （x ）=x-1，利用函数的单调性，转化原不等式转化，构造函数，利用新函数的导数的单调性，证不等式成立．（3）由（1）得g （x ）的最大值，求出函数f （x ）的导数，判断m≤0，不满足题意；当m ＞0时，要∃t 1，t 2使得f （t 1）=f （t 2），f （x ）的极值点必在区间（0，e ）内，求出m 的范围，当，利用g （x ）在（0，e ）上的值域包含于f （x ）在上的值域，推出关系式，通过构造函数w （x ）=2e x -x ，通过导数求解函数的最值，然后推出．本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及函数的单调性的判断与应用，新函数以及构造法的应用，考查综合分析问题解决问题的能力．。
天津市河东区2019届高三高考一模考试数学(文)试题(解析版)
2019年天津市河东区高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.已知i是虚数单位，x∈R，复数z=（x+i）（2+i）为纯虚数，则2x-i的模等于（）A. 1B.C.D. 22.已知x，y满足不等式组，则z=x+3y的最小值等于（）A. 3B. 6C. 9D. 123.若某程序框图如图所示，则输出的n的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 64.设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x-2|＜1”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知偶函数f（x）在[0，2]上递减，试比a=f（1），b=f（），c=f（log2）大小（）A. B. C. D.6.为了得到函数y=3cos2x图象，只需把函数图象上所有点（）A. 向右平行移动个单位长度B. 向右平行移动个单位长度C. 向左平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度7.已知F1、F2分别是双曲线-=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A. B. C. D.8.定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，∈，，∈，，若当x∈[-4，-2）时，不等式f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）9.集合A={0，1，2，3}，B={x|x2-2x≤0}，则A∩B=______．10.已知函数f（x）的导函数，满足f（x）=2xf'（1）+x3，则f'（1）等于______．11.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面是正三角形．如果三棱柱的体积为，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为______．12.已知直线y=mx与圆C：（x-m）2+（y-1）2=m2-1交于A，B两点，∠ACB=60°，则圆的面积为______．13.如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，=3，=2，则的值是______．14.若实数x，y满足2cos2（x+y-1）=，则xy的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f（x）=2sin（x-A）cos x+sin（B+C）（x∈R），函数f（x）的图象关于点（，0）对称．（Ⅰ）当x∈（0，）时，求f（x）的值域；（Ⅱ）若a=7且sin B+sin C=，求△ABC的面积．16.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如图的频率分布直方图．（1）求图中实数a的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数；（3）若从数学成绩在[40，50）与[90，100]两个分数段内的学生中随机选取两名学生，①列出所有可能的结果；②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．17.如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，CC1⊥平面ABCD．（1）求证：BD⊥平面ACC1A1；（2）若二面角C1-BD-C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成角的余弦值．18.在等差数列{a n}中，已知公差d=2，a2是a1与a4的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足：，求数列{b n}的通项公式；（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{c n}的前n项和T n．19.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴的一个顶点与两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）设F1，F2是椭圆C的左右焦点，若椭圆C的一个内接平行四边形的一组对边过点F1和F2，求这个平行四边形的面积最大值．20.已知f（x）=mx-a ln x-m，g（x）=，其中m，a均为实数，（1）求g（x）的极值；（2）设m=1，a=0，求证对，∈，，＜|恒成立；（3）设a=2，若对给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在t1，t2（t1≠t2）使得f（t1）=f（t2）=g （x0）成立，求m的取值范围．。
2019年高考文科数学天津卷(附参考答案及详解)
绝密★启用前 6月7日15:00-17:002019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类）总分：150分考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{1,1,2,3,5}A=-，{2,3,4}B=，{|13}C x x=∈≤<R，则()A C B=I U（）A.{2}B.{2,3}C.{1,2,3}- D.{1,2,3,4}2.设变量x y⋅满足约束条件20,20,1,1,x yx yxy+-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥-⎪⎪≥-⎩则目标函数4z x y=-+的最大值为（）A.2B.3C.5D.63.设x∈R，则“05x<<”是“|1|1x-<”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A.5B.8C.24D.295.已知2log 7a =，3log 8b =，0.20.3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A.c b a <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b << 6.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ．若l 与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =∣∣∣∣（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）C.27.已知函数()()()sin 0,0,πf x A x A ωϕωϕ=+>><∣∣是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x．若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A.2-B.D.28.已知函数()011,1x f x x x⎧≤<⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()()14f x x a a =-+∈R 恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为（ ）A.59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C.{}59,144⎛⎤ ⎥⎝⎦UD.{}59,144⎡⎤⎢⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本题共6小题，每小题5分。
2019届天津市部分区高三联考一模数学(文)试题(解析版)
2019届天津市部分区高三联考一模数学（文）试题一、单选题1．设集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，则A B =（ ）A ．{}1,2B ．{}1,3C ．{}2,3D ．{}1,2,3【答案】A【解析】直接利用交集的定义求解即可. 【详解】集合{}1,2,3A =，{}13B x R x =∈-<<，∴集合A 与集合B 公共元素组成的集合{}1,2A B ⋂=，故选A.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合.2．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由202390x y x y +-=⎧⎪⎨⎪--=⎩可得31x y =⎧⎪⎨⎪=-⎩， 将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选C.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 3．如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．23D ．12-【答案】A【解析】模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可得到输出的a 的值. 【详解】 输入3,1a i ==，第一次循环2,23a i ==； 第二次循环1,32a i =-=；第三次循环3,4,43a i ==>， 退出循环输出3a =，故选A. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．设,m n R ∈，则“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据指数函数的单调性可证明充分性与必要性均成立. 【详解】()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，∴若011,0,122m nm n m n -⎛⎫⎛⎫<-<>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭充分性成立， 若112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭，则01122m n-⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 0,m n m n -<<必要性成立，即“m n <”是“112m n-⎛⎫> ⎪⎝⎭”的充要条件，故选C.【点睛】本题主要考查指数函数的性质以及充分条件与必要条件的定义，属于中档题.判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题的等价性判断；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.5．已知函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()()()0.322,2,log 5a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】00.310.3222,122<<∴<<， 22log 5log 42>=， 0.3222log 5∴<<，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上递减，()()()0.3222log 5f f f ∴>>，即a b c >>，故选B. 【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（本题是看两个区间()()1,2,2,+∞ ；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别是12,F F ，双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，则双曲线的方程为（ ）A ．221169x y -= B ．22134x y -= C ．221916x y -=D ．22143x y -= 【答案】C【解析】根据双曲线的渐近线上点()3,4P 满足12PF PF ⊥，结合222+=a b c ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果. 【详解】()3,4在22221x y a b-=的渐近线上，43b a ∴=，① 又12PF PF ⊥，44133c c∴⋅=--+，② 又222+=a b c ，③由①②③得，229,16a b ==，∴双曲线方程为221916x y -=，故选C.【点睛】本题主要考查双曲线的方程与简单性质，属于中档题. 求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论. 7．函数()()()sin 2f x x ϕϕπ=+<的图象过点,06π⎛⎫⎪⎝⎭（如图所示），若将()f x 的图象上所有点向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x 图象的一条对称轴的方程为（ ）A ．512x π=B ．23x π=C ．4x π=D ．12x π=【答案】D【解析】利用图象求得函数()f x 的解析式，根据平移法则求得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由232x k πππ+=+可得结果.【详解】()sin 2y x ϕ=+过,06π⎛⎫⎪⎝⎭，()3k πϕπϕπ∴+=<，k Z ∈,3ϕπ∴=-或23ϕπ=， 又()200,3f πϕ>∴=， ∴()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位，得()2sin 263g x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 即()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令232x k πππ+=+，212k x ππ=+，k Z ∈, 0k =时，12x π=为()y g x =的一条对称轴的方程，故选D.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与掌握，能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题，反映学生对所学知识理解的深度.8．已知函数()216,42,4x x x x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩若存在实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，其中c b a >>，则()()a b f c +的取值范围是（ ）A ．24,36（）B ．48,54（）C ．24,27（）D ．()48,+∞【答案】B【解析】由二次函数的性质可得()()()6a b f c f c +=，数形结合求出c 的取值范围，可得()f c 的取值范围，从而可得结果. 【详解】画出()216,42,4x x x x x x -⎧-+<=⎨≥⎩ 图象，如图， a b c <<，∴由二次函数的性质可得6a b +=，由图可知，24log 91c <<+，()()()24log 91f f c f ∴<<+， ()()()2log 911248,log 9129f f +-=+==，()89f c ∴<<， ()48654f c <<，即()()a b f c +的取值范围是()48,54，故选B. 【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质，考查了二次函数指数函数的性质以及数形结果思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．二、填空题9．i 是虚数单位，复数132ii-=+_____________. 【答案】1755z i =-- 【解析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数132i i-+即可. 【详解】()()()()13i 2i 13i 2i 2i 2i ---=++- 17i 17i 555--==--，故答案为17i 55z =--. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.10．已知函数()log (0a f x x a =>且1)a ≠，()'f x 为()f x 的导函数，且满足()'11f =，则a =____________.【答案】e【解析】利用对数函数的求导公式求出()'f x ,将1x =代入所求导函数，从而可得结果. 【详解】()log a f x x =，()()11','11ln ln f x f x a a∴===， a e ∴=，故答案为e .【点睛】本题主要考查初等函数的求导公式，意在考查对基本公式的掌握与应用，属于基础题.11．圆柱的体积为34π，底面半径为2，若该圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的体积为____________. 【答案】43π 【解析】利用柱体的体积公式求出圆柱的高，由勾股定理求出球的半径，根据球的体积公式可得结果. 【详解】设圆柱的高为h ，圆柱体积为34π，底面半径为2， 234h ππ∴⨯⨯=⎝⎭，1h =，设球半径为R ，则()22221R =+，244R =，可得1R =，∴球的体积为34433R ππ=，故答案为43π.【点睛】本题主要考查圆柱与球体的性质，以及柱体与球体的体积公式，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，考查了空间想象能力，属于中档题.12．已知圆心在直线10x y --=上的圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，则该圆的方程为_____________. 【答案】()()222113x y -+-=【解析】求出()()0,4,0,2-的垂直平分线方程，与直线10x y --=联立，可得圆心坐标，从而求得圆的半径，进而可得结果. 【详解】圆与y 轴的两个交点坐标分别为()()0,4,0,2-，∴圆心在()()0,4,0,2-的垂直平分线上1y =，又圆心在10x y --=上，∴由110y x y =⎧⎨--=⎩得圆心坐标为()2,1，=∴圆的方程为()()222113x y -+-=，故答案为()()222113x y -+-=. 【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，属于中档题. 求圆的方程常见思路与方法有:①直接设出动点坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的方程即可；②根据几何意义直接找到圆心坐标和半径，写出方程；③待定系数法，可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程，再根据所给条件求出参数即可.13．已知0,0,0a b c >>>，若点(),P a b 在直线2x y c ++=上，则4a ba b c+++的最小值为___________.【答案】2+【解析】由(),P a b 在直线2x y c ++=上，可得20a b c +=->，设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，原式化为4212m n m n +⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可得结果. 【详解】(),P a b 在2x y c ++=上，2a b c ∴++=，20a b c +=->，4422a b c a b c c c +-+=++-4212c c=+--， 设2c mc n-=⎧⎨=⎩，则2m n +=，42424222m n c c m n m n +⎛⎫+=+=⨯+ ⎪-⎝⎭2333n m m n =++≥+=+当222m n =，即2c =时，“=”成立，4213122c c ∴+-≥+=+-即4a b a b c+++的最小值为2+，故答案为2+. 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.14．在ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥，若10AB =，则AC BC ⋅=___________. 【答案】200【解析】由已知，求得15,2102OD AB OC OD ====，且0OA OB ⋅=，则()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅-，利用平面向量数量积的运算法则求解即可.【详解】ABC ∆中，D 为AB 的中点，点O 满足2CO OD =，OA OB ⊥， 10AB =， 15,2102OD AB OC OD ∴====，且0OA OB ⋅=， ()()AC BC OC OA OC OB ⋅=-⋅- ()2OC OC OA OB OA OB =-⋅++⋅22OC OC OD =-⋅22100100200OC OC =+=+=，故答案为200.【点睛】本题主要考查平面向量的运算以及平面向量数量积的运算，属于中档题. 平面向量数量积的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式．利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．三、解答题15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2b A B A π===+. （1）求a 的值；（2）求cos 2C 的值. 【答案】（1）3；（2）79. 【解析】（1）由同角三角函数的关系可得sin A 的值，由诱导公式可得sin B 的值，利用正弦定理可得结果；（2）由2B A π=+，可得cos sin 3B A =-=-，利用诱导公式以及两角和的正弦公式可得sin C 的值，再利用二倍角的余弦公式可得结果. 【详解】（1）cos A =，sin 3A ∴===2B A π=+，sin sin cos 23B A A π⎛⎫∴=+== ⎪⎝⎭.由正弦定理，得sin 3sin b Aa B=== .（2）2B A π=+，cos sin 3B A ∴=-=-. ()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B ⎛∴=+=+== ⎝⎭227cos212sin 199C C ∴=-=-=. 【点睛】本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角公式以及正弦定理的应用，属于中档题. 正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 16．“微信运动”已经成为当下最热门的健身方式，小李的微信朋友圈内也有大量的好友参加了“微信运动”.他随机的选取了其中30人，记录了他们某一天走路的步数，将数据整理如下：（1）若采用样本估计总体的方式，试估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率；（2）已知某人一天的走路步数若超过8000步则他被系统评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”，将这30人按照“积极型”、“懈怠型”分成两层，进行分层抽样，从中抽取5人，将这5人中属于“积极型”的人依次记为()1,2,3i A i =，属于“懈怠型”的人依次记为()1,2,3i B i =，现再从这5人中随机抽取2人接受问卷调查.设M 为事件“抽取的2人来自不同的类型”，求事件M 发生的概率. 【答案】（1）56；（2）35. 【解析】（1）根据30人中一天走路步数超过5000步的有25人，由古典概型概率公式可得结果；（2）根据分层抽样方法可得，5人中“积极型”有2人， “懈怠型”有3人，利用列举法可得，在这5人中任选2人，共10种不同的等可能结果：抽取的2人来自不同的类型”有6种不同的等可能结果，由古典概型概率公式可得结果. 【详解】（1）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56， ∴估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. （2）5人中“积极型”有125230⨯=人，这两人分别记为12,A A 5人中“懈怠型”有185330⨯=人，这三人分别记为123,,B B B . 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}12111213212223121323,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B .事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6种不同的等可能结果：{}{}{}{}{}{}111213212223,,,,,,,,,.,A B A B A B A B A B A B .易得，其概率为63105=. ∴事件M 发生的概率35.【点睛】本题主要考查分层抽样与古典概型概率公式的应用，属于中档题. 利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生.17．如图，四棱锥P ABCD -中，PA CD ⊥，//AD BC ，90ADC PAD ∠=∠=︒，112BC CD AD ===，PA =，M 为PD 的中点.（1）求证：PA AB ⊥； （2）求证：//CM 平面PAB ； （3）求直线CM 与平面PAD 所成的角.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）6π. 【解析】（1）由90PAD ∠=︒，可得PA AD ⊥. 结合,PA CD ⊥利用线面垂直的判定定理可得PA ⊥平面ABCD ，进而可得结果；（2）由三角形中位线定理可得//MN AD ，可证明四边形MNBC . 是平行四边形，可得//CM BN ，由线面平行的判定定理可得结果；(3)以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，先证明CD 是平面PAD 的法向量，求出()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，利用空间向量夹角公式可得结果. 【详解】（1）90PAD ∠=︒，PA AD ∴⊥.又,PA CD CD AD D ⊥⋂=，PA ABCD ∴⊥平面.又AB ABCD ⊂平面，PA AB ∴⊥.（2）取PA 中点N ，连接,MN BN .,M N 分别是,PA PD 的中点，//MN AD ∴且12MN AD =， 又//BC AD 且12BC AD =，//MN BC ∴且MN BC =，∴四边形MNBC 是平行四边形，//CM BN ∴，又CM PAB BN PAB ⊄⊂平面，平面，//CM PAB ∴平面.（3）以A 为原点，以BA 的延长线，,AB AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立坐标系，则(()()(,0,2,0,1,0,0,P D C M -，()()1,1,2,1,0,0CM CD ==，,,CD PA CD AD PA AD A ⊥⊥⋂=，CD \^ 平面PAD . ∴CD 是面PAD 的法向量，1cos ,2CD CM CD CM CD CM⋅===⋅, 设直线CM 与平面PAD 所成的角为θ， 则1sin ,26πθθ==， ∴直线CM 与平面PAD 所成的角为6π.【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、线面平行的判定定理以及线面角的向量法，属于中档题. 证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.18．已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且11a =，3412a a +=，12b a =，25b a =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设()()*1nn n n c a b n N=-∈，求数列{}nc 的前n 项和nS.【答案】（1）21n a n =-，3n n b =；（2）()1341388n n n S +-=-⋅-. 【解析】（1）由11a =，3412a a +=求出{}n a 的公差，可得{}n a 的通项公式，由1225,b a b a ==求出等比数列的首项与公比，从而可得{}n b 的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnn n n n c a b n n =-⋅=--⋅=-⋅-，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果. 【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，1341,12a a a =+=，12512a d ∴+=，2d ∴=，21n a n ∴=-.设等比数列{}n b 的公比为q ，1225,b a b a ==，1223,9b a b ∴===，3q ∴=，∴3n n b =.（2）由题意，得()()()11213nnn n n n c a b n =-⋅⋅=-⋅-⋅()()213nn =-⋅- ,()()()()()23133353213nn S n ∴=⋅-+⋅-+⋅-++-⋅- ,()()()()()()23131333233213nn n S n n +∴-=⋅-+⋅-++-⋅-+-⋅- ,上述两式相减，得()()()()()23143232323213n n n S n +=-+⋅-+⋅-++⋅---⋅-()()()()2112313321313n n n -+⎡⎤⋅---⎣⎦=-+--⋅-+()1341322n n +-=-⋅-. ()1341388n n n S +-∴=-⋅-.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2，短轴长为（1）求C 的方程；（2）如图，经过椭圆左顶点A 且斜率为()0k k ≠的直线l 与C 交于,A B 两点，交y 轴于点E ，点P 为线段AB 的中点，若点E 关于x 轴的对称点为H ，过点E 作OP （O 为坐标原点）垂直的直线交直线AH 于点M ，且APM ∆面积为3，求k 的值. 【答案】（1）22142x y +=；（2）2±. 【解析】（1，短轴长为222a b c =+ ，列出关于a 、b 、c 的方程组，求出a 、b 即可得结果；（2）设直线l 的方程为()2y k x =+，与椭圆方程联立，结合韦达定理求得直线EM 的斜率，可得直线EM 方程，与直线AH 的方程联立求得点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据点到直线的距离公式、弦长公式以及三角形面积公式可得2413221APMkS AP d k ∆=⋅==+. 【详解】（1）由题意，知22222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩.解得2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）易知，椭圆的左顶点()2,0A -，设直线l 的方程为()2y k x =+，则()()0,2,0,2E k H k -.由()222142y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得()2222218840k x k x k +++-=.设()()()112200,,,,,A x y B x y P x y ，()()422644218416k k k ∴∆=-+-=. 2122821k x x k +=-+，21228421k x x k -⋅=+. ()2012214221k x x x k ∴=+=-+，()2002242222121k k y k x k k k ⎛⎫=+=-+= ⎪++⎝⎭， 0012OP y k x k ∴==-，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =-=. ∴直线EM 方程为22y kx k =+，直线AH 的方程为()2y k x =-+.∴点42,33M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.∴点M 到直线:20l kx y k -+=的距离为d ==12221AB x k ∴=-==+.21221AP AB k ==+. 224113222121APMkS AP d k k ∆∴=⋅=⨯=++. 3AOMS ∆=，243213k k ∴=+，解得2k =±. 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于,,a b c 的方程组，解出,,a b ，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 20．已知函数()322f x x ax b x =+-，其中,a b ∈R .（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线30y -=平行，求a 与b 满足的关系；（2）当0b =时，讨论()f x 的单调性；（3）当0,1a b ==时，对任意的()0,x ∈+∞，总有()()xf x x e k <+成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2320a b +-=；（2）①当0a =时，()f x 在R 上单调递增；②当0a >时，()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减；当0a <时，函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减；（3）[)2,-+∞.【解析】（1）求出()'f x ，由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =，从而可得结果；（2）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，分别令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间，()'0f x <求得x 的范围，可得函数()f x 的减区间；（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，()()x f x x e k <+对任意的()0,x ∈+∞恒成立等价于21x k x e >--在()0,x ∈+∞恒成立. 设()()21,0x g x x e x =-->，两次求导，可得()()02g x g <=-，从而可得结果.【详解】（1）由题意，得()22'32f x x ax b =+-.由函数()f x 在点()()1,1f 处的切线与30y -=平行，得()'10f =. 即2320a b +-=.（2）当0b =时，()2'32f x x ax =+，由()'0f x =知240a ∆=≥.①当0a =时，0∆=，()'0f x ≥在R 恒成立，∴函数()f x 在R 上单调递增.②当0a >时，由()'0f x >，解得0x >或23x a <-； 由()'0f x <，解得203a x -<<. 函数()f x 在2,3a ⎛⎫-∞-⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增；在2,03a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减. ③当0a <时，()'0f x >，解得23x a >-或0x <； 由()'0f x <，解得203x a <<-. 函数()f x 在(),0-∞和2,3a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；在20,3a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减.（3）当0,1a b ==时，()3f x x x =-，由()()xf x x e k <+，得()3xx x x e k -<+对任意的()0,x ∈+∞恒成立.0x >，21x x e k ∴-<+，21x k x e ∴>--在()0,x ∈+∞恒成立.设()()21,0xg x x e x =-->，则()'2xg x x e =-，令()2xh x x e =-，则()'2xh x e =-，由()'0h x =，解得ln2x =. 由()'0h x >，解得0ln2x <<； 由()'0h x <，解得ln2x >.∴导函数()'g x 在区间()0,ln2单增；在区间()ln2,∞+单减，()()''ln22ln220g x g ∴≤=-<，∴()g x 在()0,∞+上单调递减， ()()02g x g ∴<=-，2k ∴≥-.故所求实数k 的取值范围[)2,-+∞. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及利用导数求函数的单调性、最值，考查了不等式恒成第 21 页 共 21 页 立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
【精品高考数学试卷】2019年天津市高考数学一模试卷(文科)+答案
2019年天津市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．（5分）已知集合A ＝{x |x 2﹣1＜0}，集合B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝（ ） A ．{﹣2}B ．{0}C ．{﹣2，﹣1，1}D ．{﹣1，0，1}2．（5分）设x ∈R ，则“2x ＜18”是“2x＜1”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（5分）阅读下边的程序框图，若输入N 的值为26，则输出N 的值为（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．24．（5分）设变量x ，y 满足约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0，则目标函数z ＝3x +5y 的最大值为（ ）A ．5B ．17C ．﹣3D ．95．（5分）已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），且函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，若a =f(2cos 23π)，b =f(log 124.1)，c =f(20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜c ＜b B ．c ＜b ＜a C ．b ＜c ＜a D ．c ＜a ＜b6．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且△OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．x 23−y 212=1 B ．x 236−y 232=1C ．x 23−y 2=1D ．x 2−y 23=17．（5分）将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），得到函数y ＝f （x ）的图象，若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[311，35) B ．(53，113] C ．（1，2] D ．(35，53)8．（5分）已知函数f(x)={x 2+4x ，−3≤x ≤02x −3，x ＞0，若方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[−23，3−2√2) B ．[−23，3+2√2)C ．(−∞，−23]D ．[−23，16]二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．（5分）设a ∈R ，若a 1+i+1+i 是实数，则a ＝ ．10．（5分）已知函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ，f '（x ）是函数f （x ）的导函数，若f '（1）＝﹣2，则a 的值为 ．11．（5分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，已知四棱锥的表面积是12，则它的体积为 ．12．（5分）已知圆C 的圆心在第四象限，直线y ＝﹣2x 过圆心，且点（2，1）在圆C 上，直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，若△ABC 为等腰直角三角形，则圆C 的方程为 ．13．（5分）已知a ＞2b （a ，b ∈R ），函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞），则a 2+4b 2a−2b的最小值为 ．14．（5分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ＝2，∠BAD =π3，若BA →⋅BD →=2，CE →=ED →，点F 为边BC 上的动点，则FE →⋅FA →的取值范围为 ．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）某高中高一，高二，高三的模联社团的人数分别为35，28，21，现采用分层抽样的方法从中抽取部分学生参加模联会议，已知在高二年级和高三年级中共抽取7名同学．（Ⅰ）应从高一年级选出参加会议的学生多少名？（Ⅱ）设高二，高三年级抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担文件翻译工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的两名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．16．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且b2−2√33bcsinA+c2=a2．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若b＝2，c＝3，求a和sin（2B﹣A）的值．17．（13分）如图，在多面体ABCDE中，△AEB为等边三角形，AD∥BC，BC⊥AB，CE=2√2，AB＝BC＝2AD＝2，点F为边EB的中点．（Ⅰ）求证：AF∥平面DEC；（Ⅱ）求证：平面DEC⊥平面EBC；（Ⅲ）求直线AB与平面DEC所成角的正弦值．18．（13分）设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{b n}的前n项和T n．19．（14分）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（Ⅰ）a＝6时，直线y＝﹣6x+m与f（x）相切，求m的值；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）内有且只有一个零点，求此时函数（x）的单调区间；（Ⅲ）当a＞0时，若函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值的和为1，求实数a的值．20．（14分）已知椭圆x2a +y2b=1（a＞b＞0）的左顶点为A（﹣2，0），离心率为√32，过点A且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆交于点D，与y轴交于点E．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点P为AD的中点（i）若x轴上存在点Q，对于任意的k（k≠0），都有OP⊥EQ（O为原点），求出点Q 的坐标；（ii）射线PO（O为原点）与椭圆C交于点M，满足√1+4k2tan∠AMD=6MA→⋅MD→，求正数k的值．2019年天津市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．【解答】解：根据题意，A ＝{x |x 2﹣1＜0}＝{x |﹣1＜x ＜1}， 则∁R A ＝{x |x ≤﹣1或x ≥1}，又由B ＝{﹣2，﹣1，0，1}，则（∁R A ）∩B ＝{﹣2，﹣1，1}； 故选：C ．2．【解答】解：由2x ＜18=2﹣3，得x ＜﹣3，由2x＜1得x ＜0或x ＞2，则“2x ＜18”是“2x＜1”的充分不必要条件，故选：A ．3．【解答】解：若输入N 的值为26， 则N 是偶数，N ＝13，N ≤2不成立， N ＝13不是偶数，N =13−12=6，N ≤2不成立， N ＝6是偶数，N ＝3，N ≤2不成立 N ＝3不是偶数，N =3−12=1，N ≤2成立， 输出N ＝1， 故选：C ．4．【解答】解：画出约束条件{5x +3y ≤15y ≤x +1x −5y ≤3x ≥0表示的平面区域，如图所示；根据图形知，由{5x +3y =15y =x +1，解得A （32，52）．当目标函数z ＝3x +5y 经过A 时，直线的截距最大，z 取得最大值． 将坐标代入求得z 的最大值为3×32+5×52=17． 故选：B ．5．【解答】解：根据题意，函数f （x ）满足f （﹣x ）＝f （x ），则函数f （x ）为偶函数， a ＝f （2cos2π3）＝f （2cos π3）＝f （1），b ＝f （log 124.1）＝f （log 24.1）c ＝f （20.8），又由函数f （x ）在（﹣∞，0）上是减函数，则f （x ）在（0，+∞）上为增函数， 且1＜20.8＜2＜log 24.1， 则a ＜c ＜b ； 故选：A ．6．【解答】解：抛物线y 2＝8x 的焦点F 为（2，0）， 可得双曲线的焦点分别为）﹣2，0），（2，0）， 抛物线的准线为x ＝﹣2，由△OAB 的面积为6，可得12•2|AB |＝6，即|AB |＝6，可设A （2，3），可得A 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为 |√(2+2)2+32−3|＝2， 即2a ＝2，可得a ＝1，由b =√c 2−a 2=√4−1=√3， 可得双曲线的方程为x 2−y 23=1． 故选：D ．7．【解答】解：将函数y ＝sin x 的图象向左平移π6个单位长度，可得y ＝sin （x +π6）的图象；再将图象上每个点的横坐标变为原来的1ω（ω＞0）倍（纵坐标不变），可得f （x ）＝sin（ωx +π6）的图象．在区间（0，π2）上，ωx +π6∈（π6，ωπ2+π6），若函数y ＝f （x ）在区间（0，π2）上有且仅有一个零点， 则ωπ2+π6∈（π，2π]，ω∈（53，113]，故选：B ．8．【解答】解：设h （x ）＝f （x ）+|x ﹣2|={x 2+3x +2，(−3≤x ≤0)x −1，(0＜x ≤2)3x −5，(x ＞2)，方程f （x ）+|x ﹣2|﹣kx ＝0有且只有三个不相等的实数解等价于y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象有三个交点，又y ＝h （x ）的图象与y ＝kx 的图象如图所示， 求得k 1=−23，k 2=3−2√2，即实数k 的取值范围是−23≤k ＜3−2√2， 故选：A ．二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9．【解答】解：∵a 1+i+1+i =a(1−i)(1+i)(1−i)+1+i =a+22+2−a 2i 是实数，∴2﹣a ＝0，即a ＝2． 故答案为：2．10．【解答】解：∵函数f （x ）＝（x 2﹣a ）lnx ， ∴f '（x ）＝2xlnx +x 2−ax， ∴f '（1）＝2ln 1+1−a1=1﹣a ＝﹣2， ∴a ＝3， 故答案为：311．【解答】解：设正四棱锥的斜高为h ′，则2×2+4×12×2ℎ′=12，解得h ′＝2， 则正四棱锥的高PO =2−12=√3． ∴正四棱锥的体积V =13×4×√3=4√33． 故答案为：4√33．12．【解答】解：根据题意，圆C 的圆心在直线y ＝﹣2x 上，设圆心的坐标为（a ，﹣2a ），（a ＞0）；又由直线x ﹣2y ＝0与圆C 交于A ，B 两点，且点（2，1）在圆C 上且在直线x ﹣2y ＝0上，则点A 或点B 的坐标为（2，1），又由直线y ＝﹣2x 与直线x ﹣2y ＝0垂直，则A 、B 关于原点对称，则A 、B 的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1），又由△ABC 为等腰直角三角形，则|CO |＝|AO |=√5，即a 2+（﹣2a ）2＝5， 解可得：a ＝1，即圆心C 的坐标为（1，﹣2），半径r ＝|AC |=√10， 则圆C 的方程为（x ﹣1）2+（y +2）2＝10， 故答案为：（x ﹣1）2+（y +2）2＝10．13．【解答】解：根据题意，函数f （x ）＝ax 2+x +2b 的值域为[0，+∞）， 则有a ＞0且1＝4a ×（2b ）＝8ab ，即8ab ＝1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=（a ﹣2b ）+12(a−2b)，又由a ﹣2b ＞0，则（a ﹣2b ）+12(a−2b)≥2√(a −2b)×12(a−2b)=√2，即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为：√2．14．【解答】解∵CE →=ED →，∴E 为CD 的中点， 过D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，则BA →⋅BD →=AB •BD •cos ∠ABD ＝2BD cos ∠ABD ＝2， ∴BD cos ∠ABD ＝1，即BM ＝1， ∴M 为AB 的中点．又BM ∥CD ，BM ＝CD ＝1，DM ⊥AB ， ∴四边形MBCD 是矩形．∵∠BAD =π3，AM =12AB ＝1，∴DM =√3，以D 为原点，以DC ，DM 为坐标轴建立平面直角坐标系， 则E （12，0），A （﹣1，√3），设F （1，m ），则0≤m ≤√3，∴FE →=（−12，﹣m ），FA →=（﹣2，√3−m ），∴FE →⋅FA →=m 2−√3m +1＝（m −√32）2+14， ∴当m =√32时，FE →⋅FA →取得最小值14，当m ＝0或m =√3时，FE →⋅FA →取得最大值1． 故答案为：[14，1]．三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．【解答】解：（ I ）设高一参加会议的同学x 名，由已知得：728+21=x35，解得x ＝5∴高一参加会议的同学5名，（II ）（ i ）由已知，高二抽取28×17=4人，高三抽取21×17=3人， 设高二的4人分别表示为A ，B ，C ，D ，高三的3人分别表示为E ，F ，G则从7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }{E ，F }，{E ，G }{F ，G }共21种． （ ii ）抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{B ，C }，{B ，D }，{C ，D }{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }共9种 所以事件M 发生的概率为P(M)=37， 16．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知，得：b 2−2√33bcsinA +c 2=a 2， 由余弦定理，得：b 2+c 2−a 22bc=√33sinA ，………………（1分） cosA =√33sinA ，………………（2分） 即tanA =√3， 又A ∈（0，π），所以A =π3．………………（4分） （Ⅱ）a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ， ∴a 2=4+9−2×2×3×12=7， ∴a =√7，………………（6分） 又a sinA =b sinB ，∴√7√32=2sinB，∴sinB =√217，………………（7分） ∵b ＜a ， ∴B ∈(0，π3)，∴cosB =√1−sin 2B =2√7，………………（9分）∴sin2B =2sinBcosB =47√3，cos2B =17，………………（11分） ∴sin （2B ﹣A ）＝sin2B cos A ﹣cos2B sin A =47√3×12−17×√32=3√314．…………（13分）17．【解答】（本小题满分13分）（I ）证明：取EC 中点M ，连结FM ，∵AD ∥BC ∥FM ，AD =12BC =MF ∴AF ∥DM ；………………（2分）∵AF ⊄平面DEC ，DM ⊂平面DEC ，∴AF ∥平面DEC ．………………（4分）（II ）证明：∵EB 2+CB 2＝EC 2∴CB ⊥BE ………………（5分）又∵CB ⊥AB ，AB ∩BE ＝B ，∴CB ⊥平面ABE ，∵AF ⊂平面ABE ，∴AF ⊥CB ………………（6分）又∵ABE 为等边三角形，F 为边EB 的中点，∴AF ⊥BE ，∵CB ∩BE ＝B ，∴AF ⊥平面EBC ，由（ I ）可知，AF ∥DM ，∴AF ∥平面DEC ………………（7分）∵AF ⊂平面DEC ，∴平面DEC ⊥平面EBC ………………（8分）（ III ）解：取BC 的中点H ，∴直线AB 与平面DEC 所成角即为直线DH 与平面DEC 所成角，过N 作NH ⊥EC ，垂足为H ，连接DH ．∵平面DEC ∩平面EBC ＝EC ，NH ⊂平面EBC ，NH ⊥EC ，∴NH ⊥平面DEC ．DN 为DH 在平面CDE 的射影，∴∠HDN 为直线DN 与平面DEC 所成角…………（11分）在Rt △DNH 中，HN =√22，DN =2，∴sin ∠HDN =HN DN =√24，∴直线AB 与平面DEC 所成角的正弦值为√24⋯⋯⋯⋯⋯⋯（13分）18．【解答】解：（Ⅰ）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1＝2，且4S2，3S3，2S5成等差数列．则：6S3＝4S2+2S5，整理得：4（S3﹣S2＝2（S5﹣S3），即：2a3＝a4+a5，整理得：2＝q+q2，解得：q＝1或﹣2，①当q＝1时，a n＝a1＝2．②当q＝﹣2时，a n=2⋅(−2)n−1．（Ⅱ）由于数列{a n2⋅b n}是首项为1，公差为2的等差数列，故：a n2⋅b n=2n−1，整理得：b n=2n−1 a n2，①当a n＝2时，b n=2n−14，故：T n =14+34+⋯+2n−14=n 24②当a n =2⋅(−2)n−1时，b n =(2n −1)⋅(14)n ，所以：T n =1⋅14+3⋅(14)2+⋯+(2n −1)⋅(14)n ，①，则：14T n =(14)2+3⋅(14)3+⋯+(2n −1)⋅(14)n+1②， ①﹣②得：34T n =14+2⋅116(1−(14)n−1)1−14−(2n −1)⋅14，解得：T n =59−6n+59⋅4n． 19．【解答】解：（Ⅰ）f ′（x ）＝6x 2﹣12x ，………………（1分）则6x 2﹣12x ＝﹣6，所以，x ＝1，当x ＝1，y ＝﹣3，所以﹣3＝﹣6×1+m ，解得m ＝3．………………（3分）（Ⅱ）∵f （x ）＝2x 3﹣ax 2+1（a ∈R ，x ∈（0，+∞））∴由f ′（x ）＝6x 2﹣2ax ＝2x （3x ﹣a ）＝0，得到x 1＝0，x 2=a 3，………………（4分） 当a ≤0时，f ′（x ）＝2x （3x ﹣a ）＞0在区间（0，+∞）上恒成立，即函数f （x ）在区间（0，+∞）上单调递增，又因为函数f （x ）的图象过点（0，1），即f （0）＝1＞0，………………（5分） 所以函数f （x ）在（0，+∞）内没有零点，不合题意，………………（6分） 当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得x ＞a 3，即函数f （x ）在区间（a 3，+∞）上单调递增， 由f ′（x ）＜0得0＜x ＜a 3，即函数f （x ）在区间在（0，a 3）上单调递减，………………（7分）且过点（0，1），要使函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则须f （a 3）＝0， 即2a 327−a 39+1＝0，解得a ＝3，………………（8分）综上可得函数f （x ）在（0，+∞）内有且只有一个零点时a ＝3，此时函数f （x ）的单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）………………（9分）（Ⅲ）当a ＞0时，函数f （x ）在（﹣∞，0），（a 3，+∞）上单调递增，在（0，a 3）上单调递减，此时函数f （x ）有两个极值点，极大值为f （0）＝1，极小值为f （a 3）＝1−a 327， 且f （﹣1）＝﹣a ﹣1，f （1）＝3﹣a ．……………（9分）①当a 3≥1即a ≥3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，f （x ）max ＝f （0）＝1，又f （﹣1）＝﹣1﹣a ，f （1）＝3﹣a ，即f （﹣1）＜f （1），f （x ）min ＝﹣1﹣a所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（11分）②当a 3＜1即0＜a ＜3时，f （x ）在（﹣1，0）上单调递增，在(0，a 3)上单调递减，在(a 3，1)上单调递增f （﹣1）＝﹣1﹣a ＜0，即f(a 3)=1−a 327＞0，所以f （x ）min ＝﹣1﹣a ．………（12分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2≥0，即2≤a ＜3时，f （x ）max ＝f （0）＝1，所以1+（﹣1﹣a ）＝1，解得a ＝﹣1（舍）．……………（13分）若f （0）﹣f （1）＝a ﹣2＜0，即0＜a ＜2时，f （x ）max ＝f （1）＝3﹣a ，所以（3﹣a ）+（﹣1﹣a ）＝1，解得a =12．综上，a =12．……………（14分）20．【解答】解：（Ⅰ）由已知得a ＝2，又∵e =c a =√32， ∴c =√3∴b 2＝a 2﹣c 2＝1∴椭圆方程为：x 24+y 2=1（Ⅱ）：（ i ）假设x 轴上存在着点Q （m ，0）使得OP ⊥EQ ，设AD 所在的直线方程为：y ＝k （x +2），点D （x 1，y 1）由{x 2+4y 2=4y =k(x +2)， 消y 得（4k 2+1）x 2+16k 2x +16k 2﹣4＝0，△＝16＞0，∴−2+x 1=−16k 24k 2+1，∴x p =−2+x 12=−8k 21+4k 2，∴P(−8k 21+4k 2，2k1+4k 2)，∵E （0，2k ），∴k EQ =2k −m ，k op =−14k ， ∵OP ⊥EQ ，∴k EQ •k op ＝﹣1， 解得m =−12，∴x 轴上存在着点 Q(−12，0)使得 OP ⊥EQ 成立． （ ii ）设PO 所在直线方程为y =−14k x ， 则{y =−14k x x 2+4y 2=4⇒x 2=16k 24k 2+1， ∴M(√1+4k √1+4k )，M 到直线l 的距离：d =√2√k +1，∴|AD|=4√1+k24k 2+1，∵√1+4k 2tan∠AMD =6MA →⋅MD →， ∴√1+4k 2sin∠AMD cos∠AMD =6|MA||MB|cos∠AMD ∴12√1+4k 2sin∠AMD|MA||MB|=3， ∴S △AMD =3√1+4k ，∴S △AMD =12√2√k +1⋅4√1+k 24k 2+1=3√1+4k 解得√1+4k 2=4k ， ∵k ＞0，∴k =√36。
2019年天津市河东区高考数学(文)一模考试试题(含答案)
＝ a2( a1－ a3) ＋a4( a3－ a5) ＋…＋ a2n( a － 2n－1 a2 ) n＋1
5 4n 1
n＋ ＋
4
4 333
＝－ ( a2 ＋a4＋…＋ a2n) ＝－ ·
3
3
2
＝－
4 (2
9
n2＋
3n)
．
1
1
(3) 当 n≥２时， bn＝an－ 1an＝ 2 1 2 1
n－ n＋
3 33 3
6
坐标不变
2 倍，纵
1 倍，纵 2
D. 向左平移 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的
6
坐标不变
2 倍，纵
8. 已知 f (x)
a x2 4x( x 0) ，且函数 y f (x) 2 x 恰有 3 个不同 的
f ( x 2)(x 0)
零点，则实数 a 的取值范围是（
）
A． 8,
B ． 4,
1 ，解得 k 2
3 3
② 由（ 1）知 x1 x2
6k 2
2
， x1 x2
3k 1
3k2 5
2
3k 1
所以 MA MB
( x1
7 , y1)( x2
7 , y2)
( x1
7 )( x2
7 )
y1 y2
3
3
3
3
( x1
7 )( x2
7 )
k 2 ( x1
1)( x2
1)
3
3
2
72
49 2
(1 k ) x1 x2 ( k )( x1 x2 )
9n 9
1
又∵ 2n＋ 1＝ 2 1－2n＋ 1 递增，
天津部分区联考2019届高三一模数学(文)试题及答案
天津市部分区2019年高三质量调查试卷（一）数学（文）试题参考答案与评分标准一、选择题：（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C B C D B二、填空题：（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．17i 55z =−− 10．e11．4π3 12．(x −2)2+(y −1)2=13 13．2+2√2 14．200三、解答题：（本大题共6个小题，共80分）15．解：（Ⅰ）∵cos A =63，∴sin A =√1−cos 2A =631=93− ……………2分 ∵B =A +2π，∴sin B =sin (A +2π)=cos A =63 . ………………………4分 由正弦定理，得332sin 33sin 63b A a B ⨯=== ………………………………………6分（Ⅱ）∵B =A +2π，∴cos B =−sinA =33−. ……………………………………8分 ∴sin C =sin (A +B )=sinAcos B +cosAsinB 33661()33333=⨯−+⨯= ………………………11分 ∴cos2C =1−2sin 2C =27199−=. ………………………………………13分 16．解：（Ⅰ）由题意知30人中一天走路步数超过5000步的有25人，频率为56，…2分 所以估计小李所有微信好友中每日走路步数超过5000步的概率为56. ………4分 （Ⅱ）5人中“积极型”有125=230⨯人，这两人分别记为12,A A .……5分5人中“懈怠型”有185=330⨯人，这三人分别记为123,,B B B . ……6分 在这5人中任选2人，共有以下10种不同的等可能结果：12{,},A A 11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B 121323{,},{,},{,}B B B B B B . …10分事件M “抽取的2人来自不同的类型”有以下6中不同的等可能结果：11{,},A B 1213{,},{,}A B A B 212223{,},{,},{,}A B A B A B …………………………12分 易得，其概率为63=105. 所以事件M 发生的概率35. ………………………13分 17．（Ⅰ）证明：∵∠PAD =90°，∴PA ⊥AD . …………1分又∵PA ⊥CD,CD ∩AD =D ， …………………2分∴PA ⊥平面ABCD . …………………………………3分又∵AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB . ………………………………………4分（Ⅱ）证明：取PA 中点N ，连接MN,BN .∵M,N 分别是PA,PD 的中点，∴MN ∥AD 且1=2MN AD ，……………………………………………………5分 又∵BC ∥AD 且1=2BC AD ，∴MN ∥BC 且=MN BC ， …………………6分 ∴四边形MNBC 是平行四边形，∴CM ∥BN ， …………………………7分 又∵CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，∴CM //平面PAB . ……………………………………………………………8分 （Ⅲ）解：∵CD ⊥PA,CD ⊥AD,PA ∩AD =A ，∴ CD ⊥平面PAD . ……………………………………………………………9分 ∴∠CMD 为直线CM 与平面PAD 所成的角. …………………………………10分 在Rt PAD ∆ 中，22PA =Q ,2AD = ,23PD ∴= ,3MD ∴=……11分 所以在Rt CMD ∆中，3tan 3CD CMD MD ∠==. …………………………12分 所以，直线CM 与平面PAD 所成的角为6π．……………………………………13分 18．解：（Ⅰ）∵设等差数列{}n a 的公差为d ，134=112,a a a +=，∴2a 1+10=12，∴d =1，∴a n =2n −1. …………………………………4分 设等比数列{b n }的公比为q ，1225,b a b a ==，∴b 1=a 2=3，b 2=9，∴q =3，所以b n =3n . ……………………………6分 （Ⅱ）由题意，得c n =(−1)n ∙a n ∙b n =(−1)n ∙(2n −1)∙3n=(2n −1)∙(−3)n . ……………………………………………………………8分 ∴T n =1∙(−3)+3∙(−3)2+5∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −1)∙(−3)n ，∴−3T n =1∙(−3)2+3∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+(2n −3)∙(−3)n +(2n −1)∙(−3)n+1. 上述两式相减，得4T n =−3+2∙(−3)2+2∙(−3)3+∙∙∙∙∙∙+2∙(−3)n −(2n −1)∙(−3)n+12112(3)[1(3)]=3(21)(3)13n n n −+⋅−−−−+−−⋅−+ 1341=(3)22n n +−−⋅−. ………………………………………………12分 ∴1341(3)88n n n T +−=−⋅−. ……………………………………………………13分 19．解：(Ⅰ)由题意，知22222222c e a b a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩……………2分 解得222a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22142x y += …………………………………………………5分 （Ⅱ）易知，椭圆的左顶点(2,0)A −，设直线l 的方程为(2)y k x =+,则(0,2)E k (0,2)H k −. 由22(2)142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理，得2222(21)8840k x k x k +++−=. 设11()A x y ,，22()B x y ,，00()P x y ,，∴422644(21)(84)16k k k ∆=−+−=. 2122821k x x k +=−+，21228421k x x k −⋅=+ …………………………………………7分∴2012214()221k x x x k =+=−+,2002242(2)(2)2121k k y k x k k k =+=−+=++， ∴0012OP y k x k ==−，∴直线EM 的斜率为12EM OPk k k =−= . 所以，直线EM 方程为22y kx k =+ .直线AH 的方程为y =−k(x +2). ∴点42(,)33M k −− …………………………………………………………9分 ∴点M 到直线l:kx −y +2k =0的距离为22424|2|||33311k k k k d k k −++==++ . ∴2222121212241||=1||1()421k AB k x x k x x x x k ++−=++−=+. 22121||=||221k AP AB k +=+. ∴222244||||112133||=2221211APM k k k S AP d k k k ∆+=⋅⨯⋅=+++ ……………………12分 ∵23APM S ∆=，∴24||23213k k =+，解得22k =±. ………………………14分 20．解：（Ⅰ）由题意，得f ′(x )=3x 2+2ax −b 2， …………………………1分由函数f(x)在点(1，f(1))处的切线与y −3=0平行，得(1)0f '= …………2分 即3+2a −b 2=0. ……………………………………………………3分 （Ⅱ）当 b =0时, f ′(x )=3x 2+2ax ，由f ′(x )=0知∆=4a 2≥0. ………………………………………………………4分 ①当a =0时，∆=0，f ′(x )≥0在R 恒成立，所以函数f(x)在R 上单调递增. ……………………………………………6分 ②当a >0时，由f ′(x )>0，解得x >0或23x a <−；由f′(x)<0，解得23a −<x <0. 函数f (x )在(−∞,23a −)和(0,+∞)上单调递增；在(23a −，0)上单调递减. 当a <0时，由f ′(x )>0，解得x >23a −或x <0；由f′(x)<0，解得0<x <23a −. 函数f (x )在(−∞,0)和(23a −,+∞)上单调递增；在(0，23a −)上单调递减. 8分（Ⅲ）当a=0,b=1时, f(x)=x3−x，由f(x)<x(e x+k)，得x3−x<x(e x+k)对任意的x∈(0,+∞)恒成立.∵x>0,∴ x2−1<e x+k，∴ k>x2−1−e x在 x∈(0,+∞)恒成立. ……………………………………9分设 g(x)=x2−1−e x,(x>0).则g′(x)=2x−e x,令h(x)=2x−e x,则h′(x)=2−e x,由h′(x)=0，解得x=ln2. …………10分由h′(x)>0，解得0<x<ln2；由h′(x)<0，解得x>ln2.∴导函数g′(x)在区间(0,ln2)单增；在区间(ln2,+∞)单减，………………12分∴g′(x)≤g′(ln2)=2ln2−2<0，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减，∴g(x)<g(0)=−2，∴k≥−2. ……………………………………………13分故所求实数k的取值范围[−2,+∞). ………………………………………14分。
天津河东区2019年高三一模试题文科数学Word版含解析
天津河东区2019年高三一模试题文科数学Word 版含解析数学试卷〔文史类〕本试卷分第I 卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两部分，共150分，考试用时120分钟。
第I 卷L 至2页，第II 卷3至10页、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回，祝各位考生考试顺利！第I 卷〔选择题 共40分〕【一】选择题：此题共8个小题，每题5分，共40分。
每题给出的四个选项只有一个符合题目要求。
A. B. C. D.1、假设集合{}{}|23,|14A x x B x x x =-≤≤<->或，那么集合A B =（ ）A.{}|3x x ≤或x>4 B.{}|13x x -≤≤ C.{}|34x x ≤< D.{}|21x x -≤<-2、假设向量(2,4),(1,3)AB AC ==，那么BC =（ ）A 、（1，1） B.〔－1，－1〕 C 、（3，7） D 、〔－3，－7〕3、假设方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，那么()y f x =的图象可能是（ ）4、假设直线cos sin 10x y θθ+-=与圆221(1)(sin )16x y θ-+-=相切，且θ为锐角，那么这条直线的斜率是（ ）A.3-B.35、阅读图1的程序框图，该程序运行衍输出的K 的值为（ 〕A.5B. 6C. 7D.86，1,1x y >>，且11ln ,,ln 44x y，成等比数列，那么XY （ ）A.有最大值EB.有最小值E D.7、棱长为L 的正方体1111ABCD A BC D -中，E ，F ，M分别是AB 、AD 、1AA 的中点，又P 、Q 分别在线段11A B 11、A D 上，且11A P=A Q=x,0<x<1，设面MEF面MPQ ＝l ，那么以下结论中不成立的是（ ）A.//l 面ABCDB.l ⊥ACC 、面MEF 与面MPQ 不垂直 D.当X 变化时，l 不是定直线8.没函数()f x 的定义域为R ，假设存在常数M 》0，使()f x M x≤对一切实数X均成 立，那么称()f x 为“倍约束函数”，现给出以下函数：①()2f x x =：②2()1f x x =+：③()sin cos f x x x =+；④2()3xf x x x =-+ ⑤()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切12,x x 均有1212()()f x f x x x -≤-，其中是“倍约束函数”的有（ ）A 、1个 B.2个 C..3个 D.4个 第二卷〔非选择题共L 10分〕【二】填空题〔本大题共6个小题，每题5分，共30分、把答案填在题中横线上.〕9.复数1001()1i i +-的值等于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、10、如图，AB 是圆O 的直径，AD ＝DE ，AB ＝8，BD ＝6，那么ADAC =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿11.三棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是正方形，左视图是等腰直角三角形〕如图所永，那么这个三棱柱的全面积等于＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿12、平面向量,a b 中，假设(4,3),1a b =-=，且5a b ⋅=，那么向量b =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿、13.关于X 的不等式18x x a -++≤的解集不是空集，那么A 的最小值是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
天津市河东区2019年一模考试文科数学试卷
2019年河东区一模考试文科数学一、选择题1.已知i 是虚数单位，R x ∈，复数()()i i x z ++=2为纯虚数，则i x -2的模等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.22.已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-3030x y x y x ，则y x z 3+=的最小值等于（ ）A.3B.6C.9D.123. 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A.3B.4C.5D.64.设R x ∈，则“21<<x ”是“12<-x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要5.偶函数()x f 在[]20，上递增，则()⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==22log ,41log ,1221f c f b f a 大小为（ ） A.b a c >> B.b c a >> C.c a b >> D.c b a >>6.为了得到函数x y 2cos 3=图象，只需把函数⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 3πx y 图象上所有点（ ） A.向右平行移动12π个单位长度 B.向右平行移动6π个单位长度 C.向左平行移动12π个单位长度 D.向左平行移动6π个单位长度7.已知21F F ，分别是双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点P ，若点P 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A.()21， B.()∞+，3 C.()21，D.()∞+，28.定义域为R的函数()x f 满足()()x f x f 22=+，当[)20，∈x 时，()[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈-=-2,1211,0232x x xx x f x ，若当[)2,4--∈x 时，不等式()2142+-≥m m x f 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.[]32，B.[]31，C.[]41，D.[]42，二、填空题9.集合{}{}02,3,2,1,02≤-==x x x B A ，则B A =______.10.已知函数()x f 的导函数，满足()()31'2x xf x f +=，则()1'f 等于______.11.如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，且底面时正三角形.如果三棱柱的体积为312，圆柱的底面直径与母线长相等，则圆柱的侧面积为________12.已知直线mx y =与圆()()11222-=-+-m y m x C ：交于B A ,两点， 60=∠ACB ,则圆的面积为_______.13.如图在平行四边形ABCD 中，已知2,3,5,8=⋅===AD AB ，则⋅的值是______14.若实数y x ,满足()()()12111cos 2222+---++=-+y x xyy x y x ，则xy 的最小值为________.三、解答题 15.在ABC∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，()()()()R x C B x A x x f ∈++-=sin cos sin 2，函数()x f 的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛06，π对称（1）当⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx 时，求()x f 的值域； （2）若7=a 且14313sin sin =+C B ，求ABC ∆的面积.16.某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40的整数）分成六段：[)[)[]1009060505040，，，，，， 后得到如图的频率分布直方图（1）求图中实数a 的值；（2）若该校高一年级共有学生640人，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数（3）若从数学成绩在[)5040，与[]100,90两个分数段内的学生中随机选取两名学生， ①列出所有可能的结果；②求这两名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率17.如图，四棱柱1111D C B A ABCD -的底面ABCD 为正方形，⊥1CC 平面ABCD （1）求证：⊥BD 平面11A ACC（2）若二面角C BD C --1的大小为 60，求异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值.18.在等差数列{}n a 中，已知公差2=d ，2a 是1a 与4a 的等比中项． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：3122331313131n n n b b b ba =++++++++…，求数列{}nb 的通项公式； （Ⅲ）令4n nn a b c =（*n N ∈），求数列{}n c 的前n 项和n T ．19.已知椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的短轴的一个顶点和两个焦点构成正三角形，且该三角形的面积为3 （1）求椭圆C 的方程；（2）设21,F F 是椭圆的左右焦点，若椭圆C 的一个内接平行四边形的一组对边过点1F 和2F ，求这个平行四边形面积的最大值.20. 已知函数，()x eex x g =，其中均为实数． （1）求函数的极值；（2）设，，若对任意的、，()()()()112221x g exx g ex x f x f -<-恒成立，求实数的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，，使得成立，求实数的取值范围．()ln f x mx a x m =--,m a ()g x 1m =0a <1x 2x 12[3,4]()x x ∈≠a 2a =0(0,]x e ∈(0,]e 1t 2t 12()t t ≠()120()()f t f t g x ==m。
2019年天津市高考数学试卷(文科)(解析版)
2019年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，B＝{2，3，4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则（A∩C）∪B＝（）A．{2} B．{2，3} C．{﹣1，2，3} D．{1，2，3，4}2.设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝﹣4x+y的最大值为（）A．2 B．3 C．5 D．63.设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为（）A．5 B．8 C．24 D．295.已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b6.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．若l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．7.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，且f（x）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．若g （）＝，则f（）＝（）A．﹣2 B．﹣C．D．28.已知函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为（）A．[，] B．（，] C．（，]∪{1} D．[，]∪{1}二、填空题（共6小题）9.i是虚数单位，则||的值为．10.设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为﹣．11.曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程为﹣．12.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．13.设x＞0，y＞0，x+2y＝4，则的最小值为．14.在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝2，AD＝5，∠A＝30°，点E在线段CB的延长线上，且AE＝BE，则•＝﹣．三、解答题（共6小题）15.2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F．享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．A B C D E F子女教育〇〇×〇×〇继续教育××〇×〇〇大病医疗×××〇××住房贷款利息〇〇××〇〇住房租金××〇×××赡养老人〇〇×××〇（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．16.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c＝2a，3c sin B＝4a sin C．（Ⅰ）求cos B的值；（Ⅱ）求sin（2B+）的值．17.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△PCD为等边三角形，平面P AC⊥平面PCD，P A⊥CD，CD＝2，AD＝3．（Ⅰ）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH∥平面P AD；（Ⅱ）求证：P A⊥平面PCD；（Ⅲ）求直线AD与平面P AC所成角的正弦值．18.设{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2+3．（Ⅰ）求{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{c n}满足c n＝求a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）．19.设椭圆+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，左顶点为A，上顶点为B．已知|OA|＝2|OB|（O为原点）．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P，圆C同时与x轴和直线l相切，圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP．求椭圆的方程．20.设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（i）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．2019年天津市高考数学试卷（文科）（解析版）参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】根据集合的基本运算即可求A∩C，再求（A∩C）∪B；【解答】解：设集合A＝{﹣1，1，2，3，5}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，则A∩C＝{1，2}，∵B＝{2，3，4}，∴（A∩C）∪B＝{1，2}∪{2，3，4}＝{1，2，3，4}；故选：D．【知识点】交、并、补集的混合运算2.【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1），化目标函数z＝﹣4x+y为y＝4x+z，由图可知，当直线y＝4x+z过A时，z有最大值为5．故选：C．【知识点】简单线性规划3.【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要不充分条件故选：B．【知识点】充要条件4.【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：i＝1，s＝0；第一次执行第一个判断语句后，S＝1，i＝2，不满足条件；第二次执行第一个判断语句后，j＝1，S＝5，i＝3，不满足条件；第三次执行第一个判断语句后，S＝8，i＝4，满足退出循环的条件；故输出S值为8，故选：B．【知识点】程序框图5.【分析】本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．【解答】解：由题意，可知：a＝log27＞log24＝2，b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．【知识点】对数值大小的比较6.【分析】推导出F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，|AB|＝，|OF|＝1，从而b＝2a，进而c＝＝，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l．∴F（1，0），准线l的方程为x＝﹣1，∵l与双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|（O为原点），∴|AB|＝，|OF|＝1，∴，∴b＝2a，∴c＝＝，∴双曲线的离心率为e＝．故选：D．【知识点】圆锥曲线的综合7.【分析】根据条件求出φ和ω的值，结合函数变换关系求出g（x）的解析式，结合条件求出A的值，利用代入法进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴φ＝0，∵f（x）的最小正周期为π，∴＝π，得ω＝2，则f（x）＝A sin2x，将y＝f（x）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g（x）．则g（x）＝A sin x，若g（）＝，则g（）＝A sin＝A＝，即A＝2，则f（x）＝A sin2x，则f（）＝2sin（2×＝2sin＝2×＝，故选：C．【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8.【分析】分别作出y＝f（x）和y＝﹣x的图象，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，直线与y＝在x＞1相切，求得a的值，结合图象可得所求范围．【解答】解：作出函数f（x）＝的图象，以及直线y＝﹣x的图象，关于x的方程f（x）＝﹣x+a（a∈R）恰有两个互异的实数解，即为y＝f（x）和y＝﹣x+a的图象有两个交点，平移直线y＝﹣x，考虑直线经过点（1，2）和（1，1）时，有两个交点，可得a＝或a＝，考虑直线与y＝在x＞1相切，可得ax﹣x2＝1，由△＝a2﹣1＝0，解得a＝1（﹣1舍去），综上可得a的范围是[，]∪{1}．故选：D．【知识点】分段函数的应用二、填空题（共6小题）9.【分析】本题可根据复数定义及模的概念及基本运算进行计算．【解答】解：由题意，可知：＝＝＝2﹣3i，∴||＝|2﹣3i|＝＝．故答案为：．【知识点】复数代数形式的乘除运算10.【分析】解一元二次不等式即可．【解答】解：3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x﹣）＜0；由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜；即：{x|﹣1＜x＜}；或（﹣1，）；故答案为：（﹣1，）；【知识点】一元二次不等式11.【分析】本题就是根据对曲线方程求导，然后将x＝0代入导数方程得出在点（0，1）处的斜率，然后根据点斜式直线代入即可得到切线方程．【解答】解：由题意，可知：y′＝﹣sin x﹣，∵y′|x＝0＝﹣sin0﹣＝﹣．曲线y＝cos x﹣在点（0，1）处的切线方程：y﹣1＝﹣x，整理，得：x+2y﹣2＝0．故答案为：x+2y﹣2＝0．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程12.【分析】求出正四棱锥的底面对角线长度和正四棱锥的高度，根据题意得圆柱上底面的直径就在相对中点连线，有线段成比例求圆柱的直径和高，求出答案即可．【解答】解：由题作图可知，四棱锥底面正方形的对角线长为2，且垂直相交平分，由勾股定理得：正四棱锥的高为2，由于圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，有圆柱的上底面直径为底面正方形对角线的一半等于1，即半径等于；由相似比可得圆柱的高为正四棱锥高的一半1，则该圆柱的体积为：v＝sh＝π（）2×1＝；故答案为：【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）13.【分析】利用基本不等式求最值．【解答】解：x＞0，y＞0，x+2y＝4，则＝＝＝2+；x＞0，y＞0，x+2y＝4，由基本不等式有：4＝x+2y≥2，∴0＜xy≤2，≥，故：2+≥2+＝；（当且仅当x＝2y＝2时，即：x＝2，y＝1时，等号成立），故的最小值为；故答案为：．【知识点】基本不等式14.【分析】利用和作为基底表示向量和，然后计算数量积即可．【解答】解：∵AE＝BE，AD∥BC，∠A＝30°，∴在等腰三角形ABE中，∠BEA＝120°，又AB＝2，∴AE＝2，∴，∵，∴又，∴•＝＝＝＝﹣12+×5×2×﹣＝﹣1故答案为：﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律三、解答题（共6小题）15.【分析】（Ⅰ）根据分层抽样各层所抽比例相等可得结果；（Ⅱ）（i）用列举法求出基本事件数；（ii）用列举法求出事件M所含基本事件数以及对应的概率；【解答】解：（Ⅰ）由已知，老、中、青员工人数之比为6：9：10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（Ⅱ）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种；（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种，所以，事件M发生的概率P（M）＝．【知识点】分层抽样方法、列举法计算基本事件数及事件发生的概率16.【分析】（Ⅰ）根据正余弦定理可得；（Ⅱ）根据二倍角的正余弦公式以及和角的正弦公式可得．【解答】解（Ⅰ）在三角形ABC中，由正弦定理＝，得b sin C＝c sin B，又由3c sin B＝4a sin C，得3b sin C＝4a sin C，即3b＝4a．又因为b+c＝2a，得b＝，c＝，由余弦定理可得cos B＝＝＝﹣．（Ⅱ）由（Ⅰ）得sin B＝＝，从而sin2B＝2sin B cos B＝﹣，cos2B＝cos2B﹣sin2B＝﹣，故sin（2B+）＝sin2B cos+cos2B sin＝﹣×﹣×＝﹣．【知识点】三角形中的几何计算17.【分析】（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，由BG＝PG，得GH∥PD，由此能证明GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，推导出DN⊥PC，从而DN⊥平面P AC，进而DN⊥P A，再上P A⊥CD，能证明P A⊥平面PCD．（Ⅲ）连结AN，由DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，由此能求出直线AD与平面P AC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）连结BD，由题意得AC∩BD＝H，BH＝DH，又由BG＝PG，得GH∥PD，∵GH⊄平面P AD，PD⊂平面P AD，∴GH∥平面P AD．（Ⅱ）取棱PC中点N，连结DN，依题意得DN⊥PC，又∵平面P AC⊥平面PCD，平面P AC∩平面PCD＝PC，∴DN⊥平面P AC，又P A⊂平面P AC，∴DN⊥P A，又P A⊥CD，CD∩DN＝D，∴P A⊥平面PCD．解：（Ⅲ）连结AN，由（Ⅱ）中DN⊥平面P AC，知∠DAN是直线AD与平面P AC所成角，∵△PCD是等边三角形，CD＝2，且N为PC中点，∴DN＝，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝＝．∴直线AD与平面P AC所成角的正弦值为．【知识点】直线与平面垂直的判定、直线与平面所成的角18.【分析】（Ⅰ）由等差等比数列通项公式和前n项和的求解{a n}和{b n}的通项公式即可．（Ⅱ）利用分组求和和错位相减法得答案．【解答】解：（Ⅰ）{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，公比大于0．设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，q＞0．由题意可得：3q＝3+2d①；3q2＝15+4d②解得：d＝3，q＝3，故a n＝3+3（n﹣1）＝3n，b＝3×3n﹣1＝3n（Ⅱ）数列{c n}满足c n＝，a1c1+a2c2+…+a2n c2n（n∈N*）＝（a1+a3+a5+…+a2n﹣1）+（a2b1+a4b2+a6b3+…+a2n b n）＝[3n+×6]+（6×3+12×32+18×33+…+6n×3n）＝3n2+6（1×3+2×32+…+n×3n）令T n＝（1×3+2×32+…+n×3n）①，则3T n＝1×32+2×33+…+n3n+1②，②﹣①得：2T n＝﹣3﹣32﹣33…﹣3n+n3n+1＝﹣3×+n3n+1＝；故a1c1+a2c2+…+a2n c2n＝3n2+6T n＝（n∈N*）【知识点】数列递推式、数列的求和19.【分析】（Ⅰ）由题意可得a＝2b，再由离心率公式可得所求值；（Ⅱ）求得a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），联立椭圆方程求得P的坐标，以及直线AP的斜率，由两条直线平行的条件和直线与圆相切的条件，解方程可得c＝2，即可得到所求椭圆方程．【解答】解：（Ⅰ）|OA|＝2|OB|，即为a＝2b，可得e＝＝＝＝；（Ⅱ）b＝a，c＝a，即a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为+＝1，设直线FP的方程为y＝（x+c），代入椭圆方程可得7x2+6cx﹣13c2＝0，解得x＝c或x＝﹣，代入直线PF方程可得y＝或y＝﹣（舍去），可得P（c，），圆心C在直线x＝4上，且OC∥AP，可设C（4，t），可得＝，解得t＝2，即有C（4，2），可得圆的半径为2，由直线FP和圆C相切的条件为d＝r，可得＝2，解得c＝2，可得a＝4，b＝2，可得椭圆方程为+＝1．【知识点】椭圆的简单性质20.【分析】（I）f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，即可得出函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调性．（II）（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：可得g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．可得x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，可得x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＜0．f（x0）＞f（1）＝0．可得函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．即可证明结论．（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），可得＝，由x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，可得＜＝，取对数即可证明．【解答】（I）解：f′（x）＝﹣[ae x+a（x﹣1）e x]＝，x∈（0，+∞）．a≤0时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增．（II）证明：（i）由（I）可知：f′（x）＝，x∈（0，+∞）．令g（x）＝1﹣ax2e x，∵0＜a＜，可知：g（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，又g（1）＝1﹣ae＞0．且g（ln）＝1﹣a＝1﹣＜0，∴g（x）存在唯一解x0∈（1，ln）．即函数f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）单调递减．∴x0是函数f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），h′（x）＝，可得h（x）≤h（1）＝0，∴x＞1时，lnx＜x﹣1．f（ln）＝ln（ln）﹣a（ln﹣1）＝ln（ln）﹣（ln﹣1）＜0．∵f（x0）＞f（1）＝0．∴函数f（x）在（x0，+∞）上存在唯一零点．又函数f（x）在（0，x0）上有唯一零点1．因此函数f（x）恰有两个零点；（ii）由题意可得：f′（x0）＝0，f（x1）＝0，即a＝1，lnx1＝a（x1﹣1），∴lnx1＝，即＝，∵x＞1，可得lnx＜x﹣1．又x1＞x0＞1，故＜＝，取对数可得：x1﹣x0＜2lnx0＜2（x0﹣1），化为：3x0﹣x1＞2．【知识点】利用导数研究函数的极值。
河东高三数学(文)一模(2019)
A
F1 O C
F2 x B
20. 已知 f（x）=mx﹣alnx﹣m，g（x）= ，其中 m，a 均为实数，
（1）求 g（x）的极值； （2）设 m=1，a=0，
求证对 |
恒成立； （3）设 a=2，若对∀给定的 x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在 t1，t2（t1≠t2）使得 f（t1）
x 的值域；
（2）若 a 7 且 sin B sin C 13 3 ，求△ABC 的面积. 14
高三数学（文）试卷 第 3 页（共 6 页）
16．某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生， 将他们的期中考试数学成绩（满分 100 分，成
绩均为不低于 40 分的整数）分成六段：40,50 ，
D．6
4. 设 x R ，则“1 x 2 ”是“| x 2 | 1”的（ ）
A 充分不必要条件 C．充分必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
高三数学（文）试卷 第 1 页（共 6 在0, 2 上递增，则 a
f
1
,
b
f
log1 2
1
4
,
c
f
log2
17.如图，四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形， CC1⊥平面 ABCD，.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面 ACC1A1; （Ⅱ）若二面角 C1—BD—C 的大小为 60o,求异面直线 BC1 与 AC
所成角的余弦值.
D1 A1
C1 B1
D A
C B
高三数学（文）试卷 第 4 页（共 6 页）
7.已知 F1、F2 分别是双曲线 ﹣ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点 F2 与双曲线的一