2.4.2抛物线的几何性质

2.4.2抛物线的几何性质

【教学目标】掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；培养学生分析问题、解决问题的能力．

【教学重点】能根据条件熟练地求出抛物线的标准方程．

【教学难点】抛物线的性质及简单应用．

【教学过程】

一、引入：

1．抛物线定义：平面内到一个定点F 和一条定直线l （F ∉l ）的距离 的点的轨迹叫做抛物线；点

F 叫做抛物线的 ，直线l 叫做抛物线的 ．

2．标准方程、焦点、准线、图形（其中0>p ，表示焦点F 到准线l 的距离）

标准方程 抛物线的图形 焦点坐标 准线方程 开口方向 焦半径 )0(22>=p px y

)0(22>-=p px y

)0(22>=p py x

)0(22>-=p py x

3．抛物线的几何性质：以)0(2>=p px y 为例： （1）范围： ． （2）对称性： ．

（3）顶点： ． （4）开口方向： ．

二、新授内容：

例1．根据下列条件求抛物线的标准方程．

（1）焦点在y 轴上，通径的长等于4； （2）过点P (2，－4)；

（3）抛物线的焦点在x 轴上，直线y ＝－3与抛物线交于点A ，AF ＝5．

例2．已知双曲线)0,0(122

22>>=-b a b

y a x 的两条渐近线与抛物线)0(22>=p px y 的准

x y F

y 2=2px O 线分别交于B A ,两点，O 为坐标原点，若双曲线的离心率为2，AOB ∆的面积为3，

则=p ．

【变式拓展】抛物线)0(22>=p py x 的焦点为F ，其准线与双曲线

13

32

2=-y x 相交于B A ,两点，若ABF ∆为等边三角形，则=p ．

例3．如图所示，已知抛物线)0(22

>=p px y 的焦点恰好是椭圆122

22=+b y a x 的右焦点F ， 且两条曲线的交点连线也过焦点F ，求该椭圆的离心率．

【变式拓展】（1）已知抛物线y 2=2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，

又有点A （3，2），求PA +PF 的最小值，并求出取最小值时P 点的坐标．

（2）已知抛物线y 2＝－x 与直线y ＝k (x ＋1)相交于A 、B 两点．

①求证：OA ⊥OB ； ②当△OAB 的面积等于10时，求k 的值．

三、课堂反馈：

1．若抛物线px y 22

=的焦点坐标为)0,1(，则=p ；准线方程为 ．

2．已知圆22670x y x +--=与抛物线2

2(0)y px p =>的准线相切，则______p =．

3．抛物线顶点是双曲线22169144x y -=的中心，焦点是双曲线的左顶点，则抛物线的方程 ．

4．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF ＋BF ＝3，则线段AB 的中点到y 轴的

距离为________．

5．经过抛物线的焦点F 作一条直线与抛物线相交于1P ，2P 两点，

求证：以线段12P P 为直径的圆与抛物线的准线相切．

四、课后作业：

1．求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）顶点在原点，焦点为(0,5)-； （2）顶点在原点，准线方程为3x =．

2．对称轴为x 轴，焦点到准线的距离是4的抛物线的标准方程为 ．

3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，若其准线经过椭圆4x 2＋9y 2＝36的右焦点，

则该抛物线方程为________．

4．抛物线y ＝2ax 的准线方程是y －2＝0，则a 的值是 ．

5．点M (5,3)到抛物线y ＝ax 2的准线的距离为6，那么抛物线的方程是 ． 6．若椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点 F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．

7．一个抛物线型拱桥，当水面离拱顶m 2时，水面宽m 4，若水面下降m 1，求水面宽度．

8．若动圆与圆(x+3)2＋y2＝1外切，又与直线x＝2相切，求动圆圆心的轨迹方程．

9．已知点A(－2,1)，y2＝－4x的焦点是F，P是y2＝－4x上的点，为使PA＋PF取得最小值，求P点的坐标．

M m 到焦点的距离为5，求m的值、10．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点(,3)

以及抛物线方程和准线方程．