第 4 章 连续系统的振动(II)汇总
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件
( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2
dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c
(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0
U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin
u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船
第十二次课第四章连续体的振动
第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。
l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
连续系统的振动课件
连续系统振动仿真实例
弦振动仿真
建立弦的有限元模型，通过求解特征值和特征向量，得到弦的自振频率和振型，分析弦的振动特性。
梁弯曲振动仿真
建立梁的有限元模型，考虑剪切变形和转动惯量的影响，计算梁的自振频率和振型，揭示梁的弯曲振动规律。
拓扑优化
通过改变结构拓扑形态来优化振动特性，如减少 质量、提高刚度等。
形状优化
优化结构件的形状以降低振动幅度，例如改变梁 截面形状、板厚度分布等。
参数优化
针对特定连续系统，通过调整参数（如阻尼系数、 刚度分布等）实现振动性能的优化。
06
实验与测量技术
振动测量原理及设备
01
振动测量原理
02
振动测量设备
基于牛顿第二定律与连续系统的振 动特性，推导连续系统的偏微分方 程。
偏微分方程的形式
详细解释偏微分方程中各项的物理 意义，如惯性项、阻尼项和弹性项。
波动方程的推导与解析
01
02
03
波动方程的推导
从偏微分方程出发，通过 引入波动假设，推导连续 系统的波动方程。
波动方程的解析解
利用数学方法求解波动方 程，得到通解，并分析通 解的物理意义。
03
连续系统振动的应用实例
弦的振动与音乐乐器
振动弦上的波传播
当弦受到激励振动时，振动以波 的形式在弦上传播，形成驻波或 行波。这种波传播的现象是音乐
乐器发音的基础。
乐器中的弦振动
许多乐器如吉他、小提琴、钢琴 等都利用弦的振动发声。不同乐 器的音色和音调可以通过调整弦 的张力、长度、直径等参数来实
第四章(第1节) 两自由度系统的振动
(4.1-1)
方程 (4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的 微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。 方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家
是荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695) 。根据 伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642)发现 的钟摆的等时性原理，他于 1656 年把 单摆引入了机械钟，研制成第一个摆 钟。 1665 年 2 月的一天，因为身体不适，他躺在家里休 养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自 己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。
方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程， 它是2的二次方程，其根为 12 1 m1k22 m2 k11 2 m1m2 2 2
2 1 m1k22 m2 k11 k11k22 k12 4 2 m1m2 m1m2 2
(4.1-12)
(4.1-13)
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基 频；2为第二阶固有频率。
连续系统
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
连续系统振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
0x
f
(
x)
0
(
l 2
x)
0 (l x)
0x l
4
l x 3l
4
4
3l x l
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 假设模态法
连续系统的振动/ 一维波动方程
一维波动方程 动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动/ 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动
杆参数: 杆长l ,截面积S 材料密度ρ 弹性模量E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
θ (x,t) 为杆上距离原点x 处的截面在时 刻t 的角位移
截面处的扭矩为T
：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
•固有频率和模态函数
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【例4.9】x=0处固定，x=l处自由的锥形轴,如图4.31，在
外界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为
J
p
x
6 5
I
1
1 2
x l
2
扭转刚度为
GJ
p
x
6 5
GI
1
1 2
x l
2
试瑞雷法估算其固有频率。
图 4.31
2020年10月4日 12
《振动力学》
连续系统的振动
22 《 中国振力动学力学会》学术大会‘2005’
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
2020年10月4日 3
《振动力学》
连续系统的振动
4.4连续系统故有特性的近似解法 前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面杆
动能
n
n
y(x,t) Yi (x)qi (t), y(x,t) Yi (x)qi (t)
i 1
i 1
T 1
2
l 0
A
n i 1
Yi (x)qi (t)
n
Yj (x)q j (t) dx
j 1
1 2
n i 1
n
mijqiq j
j 1
l
其中， mij 0 AYiYjdx
弹性势能
【解】设θ(x,t) =φ(x)sin(ωt+φ) 为轴的角位移，试算函数 为φ(x)=sin(πx/2l)
轴的最大动能
Tmax
2
2
l 0
J
p
x
x
2
dx
2
2
l 0
6 5
I
1
1 2
x l
2
sin 2
x
2l
dx
轴的最大势能
由
U max
1 2
l 0
GJ
p
x
[
d x
dx
]2
dx
Tmax Umax
试算函数
2020年10月4日 6
《振动力学》
连续系统的振动
它必须满足 端点条件，则
y(x,t) Y (x)sin(t )
y(x,t) Y (x) cos(t )
动能
T 1 l Ay2dx 20
势能
U 1
2
l 0
EI
(
2 y x2
)
2
dx
在静平衡位置，系统具有最大动能
2020年10月4日 《振动力学》
等直梁，求该梁 的基频。
【解】设试算函数为
Y x a x4 4lx3 6l2x2
Y x 12a l x2
图 4.30
它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件
2020年10月4日 9
《振动力学》
连续系统的振动
系统最大势能
Umax
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
1 2
k
3al 4
202200年年1100月月44日日 5
《振动力学》
连续系统的振动
4.4.1 瑞雷法 瑞雷法主要用来估算系统的基频。 由机械能守恒定律， Tmax Umax 对任一连续系统，如能近似地给出一阶振型函数（需满足
端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系统 的基频。
以欧拉-伯努利梁横向振动为例。设振型函数为Y(x), 称为
可计算出该阶固有频率ω的精确解。
要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近似
振型函数。
2020年10月4日 8
《振动力学》
连续系统的振动
为使试算函数Y(x)更接近真实一阶振型函数,最好除满足位移
（位移）边界条件外，还需满足力边界条件,才能使估算出的 固有频率有比较好的近似值。
【例4.8】图4.30为一端固定，一端有刚度为k的弹性支撑的
得
《振动力学》
2
3.150
GJ p Il 2
13
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
202200年年1100月月44日日 14
《振动力学》
连续系统的振动
4.4.2 李兹法 瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶固
有频率及振型。 李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，还
能求出高阶固有频率及振型。 李兹法思路：把连续系统离散化为有限自由度系统，由机
械能守恒定律计算。
以欧拉-伯努利梁为例。取n个广义坐标qi(t)，设n个
2020年10月4日 15
《振动力学》
连续系统的振动
振型函数yi(x) 皆满足位移边界条件，则
第4章 连续系统的振动（II)
李映辉
西南交通大学
2015.09
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•02200年年感1100谢月月44日研日 究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
a
2
系统最大动能
Tmax
2
2
l AY 2dx 2 Aa2 l
0
2
0
x4 4lx3 6l 2 x2
2
dx
1 2
2
A
104 45
l9
a
2
由
Tmax Umax
得
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
1 2
A
104 45
l
9
a
2
a
2
162 13l 4
EI
A
1
kl 3 3EI
2020年10月4日
3.53 j2
EI
kl 3
1
A 3EI
10
《振动力学》
连续系统的振动
可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。 式中,k=l3/3EI为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。
2020年10月4日 11
《振动力学》
连续系统的振动
、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。 在工程实际问题中，常会遇到大量质量和刚度不均匀分布
的连续系统。 工程上用近似方法来解决这些问题。 介绍瑞雷法、李兹法、传内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
2
Tmax 2
l AY 2dx
0
7
连续系统的振动
在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能
U max
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
由
Tmax Umax
得
2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
l AY 2dx
0
(4.139)
(4.139)表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，则
U 1 2
l 0
EI
n i 1
d
2dYxi (2x)qi
(t
)
n j 1
d
2Yj dx
(
2
x) q
j
(t
)