奥数-圆-第五讲圆教师版
第五讲 圆
一.基础知识
1.圆的有关概念,如圆,弦,弧,圆心角,圆周角等.
2.垂径定理及其推论.
3.在同圆或等圆中圆心角,弧,弦,弦心距四组量之间的关系.
4.圆周角定理及其概念.
5.圆内接四边形的性质及四点共圆的判定.
6.直线和圆的三种位置关系,即相离,相切,相交的判定方法和相应的性质.
7.圆切线的判定与性质.
8.相交弦定理,切割线定理,割线定理.
9.托勒密定理:圆内接四边形的两组对边乘积之和等于对角线乘积.
10.托勒密定理的逆定理:一个凸四边形内接于圆的充要条件是它的两组对边乘积的和等于其对角线的乘积.
11.两圆位置关系有两圆相交,两圆相切(内切或外切),两圆相离,两圆内含.设两个圆为12,O O ,半径分别
为12,,R R 且12R R ≥,1O 与2O 间距离为d ,那么有
12d R R >+?两圆相离;12d R R =+?两圆相外切;12d R R =-?两圆相内切; 1212R R d R R -<<+?两圆相交;12d R R <-?两圆内含(这里12R R ≠).
12.相交两圆的连心线垂直平分公共弦. 13.半径分别为,R r ,圆心距为d 的两圆 外公切线长22()l d R r =--外 内公切线长2()l d R r =
-+内
14.圆的内接正多边形和外切正多边形
如果把圆分成(2)n n >等分,那么顺次连结各个分点所得的多边形是圆的内接正多边形;经过各分点作圆的切线所组成的多边形是圆的外切正多边形.任意一个正多边形都有一个外接圆和内切圆,并且它们是同心圆.
二.例题
1.选择题
1)(2004.北京海淀★★)如图5-1,在
O 中,AB 为弦,OC AB ⊥,垂足为C.若AO=5,OC=3,则弦AB 的长为
( B )
** B.8
** D.4 点拨:在Rt OAC ?中,2
2
2
,AC OA OC =- O
22534,AC ∴=-=248AB ∴=?=. A B 图5-1
2)(2004.武汉★)如果
O 的周长为10cm π,那么它的半径为 ( A )
A.5cm
B.10cm
C.10cm
D.5cm π 点拨:依题可知210,5()R R cm ππ=∴=.
3)(2005.资阳★★)若
O 所在平面内一点P 到
O 上的点的最大距离为a ,最小距离为,()a b a b ->,则此
圆的半径为 ( C )
A.2a b +
B.2a b -
C.2a b +或2
a b
- D.a b +或a b - 点拨:分点D 在圆内和圆外两种情况,在圆外半径为2a b -,在圆内为2
a b
+.
4)(2005.北京★★)如图5-2,PA,PB 是O 的两条切线,切点分别是A,B.如果OP=4,23PA =,那么AOB
∠等
于
( D )
A.90?
B.100? A
C.110?
D.120? O P 点拨:由题意可知,Rt AOP Rt BOP ???, B 图5-2
233
sin 42
AP AOP OP ∠=
==
60,2120AOP AOB AOP ??∴∠=∴∠=∠=.
5)(2005.温州★★★)如图5-3,PT 切O 于点T,经过圆心O 的割线PAB 交O 于点A,B.已知PT=4,PA=2,
则O 的直径AB 等于 T ( C )
** B.4
** D.8 点拨:切割线定理,2
,PT PA PB =? P A O B
242(2), 6.AB AB ∴=?+∴= 图5-3
6)(2004.重庆★★★)如图5-4,ABC ?是等腰直角三角形,AC BC a ==以斜边AB 上的点O 为圆心的圆分别与AC,BC 相切于点E,F,与AB 分别相交于点G ,H,且EH 的延长线与CB 的延长线交于点D.则CD 的长为
( B ) A.
2212a - B.2212a + C.2a D.1
(2)4
a - 点拨:连结OE,OC,OF,
E,F 为切点, A
ABC ?为等腰直角三角形,2,AB a =后 E O 图5-4
21
,,22
OA OB OC a OF BF CF OH a ===
==== C F B D ,,OE AC DC AC ⊥⊥//,,OE CD D OEH OHE BHD ∴∴∠=∠=∠=∠BD BH ∴=,而
2121
,222BH OB OH a a a -=-=
-=2121
21
,222
BD a CD BC BD a a a --+=∴=+=+=.
7)(2005.武汉★★)如图5-5,外切于P 点的1O 和2O 都是半径为3cm 的等圆,两圆的连心线交1O 于点
A,交
2O 于点B,AC 与2O 相切于点C,连结PC,则PC 的长为 ( A )
A.23cm
B.32cm C
C.3cm
D.4.5cm H
点拨:连结HP,2CO ,
AC 与
2O 相切, A 1O 2O B
∴2CO AC ⊥,又AP 是1O 的直径,,HP AC ∴⊥ 图5-5
222
//,,HP AP
HP CO CO AO ∴∴
=222,42HP AH AP HP ∴=∴=-=.在2Rt ACO ?中, 22
2262,22,AC AO CO HC =-=∴=222 3.PC HC HP ∴=-=
8)(2004.杭州★★★)如图5-6,三个半径为3的圆两两外切,且ABC ?的每一边都与其中两个圆相切,那么
ABC ?的周长是 ( B )
A.1263+
B.1863+ A
C.18123+ D .12123+ 1o D 点拨:设三个圆的圆心分别为23,,O O O , 3o 2o E 依题意作如图所示的辅助线.
ABC ?为等边三角形, B C
30,223,DAO AO OD ?∴∠=∴==3AD ∴=, 图5-6
同理CE=3.623,AC AD DE CE ∴=++=+ABC ∴?的周长为1863+. 9)(2004.陕西★)如图5-7,
1O 和2O 内切,它们的半径分别为3和1,过点1O 作2O 的切线,切点为A,则
1O A 的长为 ( C )
** B.4
C.3
D.5 图5-7 点拨:连结122,O O O A ,
A 为切点,12312,O O =-=221213O A ∴=-=
10)(2004.北京★★)1996年版人民币一角硬币正面图案中有一个正九边形,如果这个正九形的外接圆的半径是R,那么这个正九边形的边长是 ( C )
A.sin 20R ?
B.sin 40R ?
C. 2sin 20R ?
D. 2sin 40R ?
点拨:360409?
?
=,过中心作一边的垂线,设边长为x ,1402sin ,2sin 202x x R R
?
?∴=∴=.
11).(1999.全国竞赛★★★)如图5-8,已知四边形ABCD 内接于直径为3的O,对角线AC 是直径,对角线
AC 和BD 的交点是P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD 的周长. 解:设圆心为O,连结BO 并延长交AD 于H,因AB=BD,
O 是圆心,所以BH AD ⊥,又因为90ADC ?
∠=,所以//BH CD .
从而,,CD CP OPB CPD BO
PO ??=即0.6
1.5 1.50.6
CD =
-,故CD=1. 于是2
2
9122,AD AC CD =-=-=.又11
22OH CD ==,于是
22246,AB AH BH =+=+=22963,BC AC AB =-=-= 图5-8
P O C
A B
D
H
所以四边形ABCD 的周长为1223 6.+++
12).(1996.全国联赛★★★★)设凸四边形ABCD 的对角形AC, BD 的交点为M,过点M 作AD 的平行线分别交AB,CD 于点 E,F,交BC 的延长线于点O,P 是以O 为圆心OM 为半径的圆 上一点,如图5-9.求证:OPF OEP ∠=∠.
证明,如图,延长AD 与BC 相交于K.//OM AK .
OF CO OM DK CK AK ∴==.故OM AK
OF DK =
①//OE AK . OE BO OM AK BK DK ∴==故OE AK OM DK =②,由①,②得OM OE
OF OM
= P,M 在O 上,OP OM ∴=,得OP OE
OF OP
=
,又,POF EOP ∠=∠ 图5-9 .POF EOP ∴??故 .OPF OEP ∠=∠
13).(2001.全国数学竞赛★★★)已知点P 是O 外一点,PS,PT 是O 的两条切线,过点P 作O 的割线PAB,
交O 于A,B 两点,与ST 交于点C,求证:
211
PC PA PB
=+
.
证明:如图5-10,取AB 中点E,连OE,OP,OS,则,OE PB OP ST ⊥⊥于H,得O,E,C,H 四点共圆.
,PC PE PH PO ∴?=?易知2,PA PB PE +=,得.2
PA PB
PC PH PO +?=?
.PT,PS 是
O 的切线.2
2
,,.OS PS PS PA PB PS PH PO ∴⊥=?=?
.2PA PB PA PB PC +∴?=
?即211
PC PA PB
=+? 图5-10
14).(2003.辽宁★★★)(1)如图5-11(a),已知直线AB 过圆心O,交O 于A,B,直线AF 交O 于F(不与B 重
合),直线l 交
O 于C,D,交AB 于E,且与AF 垂直,垂足为G ,连结AC,AD,求证:
①;BAD CAG ∠=∠②.AC AD AE AF ?=?
(2)在问题(1)中,当直线l 向上平行移动,与O 相切时,其他条件不变. ①请你在图5-11(b)中画出变化后的图形,并对照图(a),标记字母;
②问题(1)中的两个结论是否成立?如成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.
F
M A D
B
C
K
O E
P
T
A
C H O A B S
E
j F
B
C D
O
A
l
E
O
C(D)
B
G
F A
G E
(a) 图5-11 (b) 证明: (1)①连结BD.AB 是
O 的直径,90.90.
ADB AGC ADB ??
∴∠=∴∠=∠= 又
ACDB 是
O 内接四边形,ACG B ∴∠=∠..BAD CAG ∴∠=∠
②连结CF.
,BAD CAG ∠=∠,EAG FAB ∠=∠.DAE FAC ∴∠=∠
又
ADC F ∠=∠,.ADE AFC ∴??.AD AE
AF AC
∴
=.AC AD AE AF ∴?=? (2)①如图(b)
②两个结论都成立,证明如下: ① 连结BC,
AB 是直径,90ACB ?∴∠=.90.
ACB AGC ?
∴∠=∠=GC 切O 于C,
,GCA ABC ∠=∠BAC CAG ∴∠=∠(即BAD CAG ∠=∠).
②连CF,
,CAG BAC ∠=∠,GCF GAC ∠=∠,GCF CAE ∴∠=∠
,ACF ACG GFC ∠=∠-∠.E ACG CAE ∠=∠-∠.ACF E ∴∠=∠
.ACF
AEC ∴??.AC AF
AE AC
∴
=2AC AE AF ∴=?(即AC AD AE AF ?=?).
15).(1994.俄罗斯★★★★)如图5-12,
1O 和2O 相外切于点F,直线l 分别切1O 和2O 于点A,B,与
2O 相切于点C 且平行于l 的直线交1O 于两点.证明:A,F 和C 共线.
证明:连结FA,FB,FC,BC. 两平行线分别切2O 于点B,C,∴BC 是2O 的直径.
∴90BFC ?∠=设过F 的两圆公切线交l 于H 点,则HA=HB=HF, 图5-12
∴,.HAF HFA HBF HFB ∠=∠∠=∠∴ 90AFB AFH HFB HAF HBF ?∠=∠+∠=∠+∠=.
∴180,AFB BFC ?∠+∠=故A,F,C 三点共线.
D
O F O
A C
B
16).(第20届.IMO ★★★★)如图5-13,在ABC ?中,AB AC =,有圆内切于ABC ?的外接圆于点D ,且与
AB 和AC 分别相切于点,P Q ,求证:P 和Q 的连线中点是ABC ?内切圆的圆心.
证明:方法一图(a)根据等腰三角形的对称性可知:其顶角的顶点A , 外接圆圆心O ,相切两圆的切点D ,ABC ?内切圆圆心四点共线,
即均在线段AD 上,记AD 与PQ 交点为K ,与ABC ?外接圆相
切于点D 的圆圆心为I ,AD 与BC 交点为M ,连,,CD QI CK ,
作KN AC ⊥于N ,则////KN IQ DC ,且IQ ID =. (a)
从而
KN IQ ID QC KM
AK AI AI AQ AK
====,得KN KM =.又KN BC ⊥, (b)
从而K 在ACB ∠的平分线上,∴K 是ABC ?的内心,且K 是PQ 中点. 证法二:如图(b),同证法一可知,,,A K I D ,四点共线,连,,BD BK PD , 则,AD PQ AD BC ⊥⊥,在小圆中,因PD QD =,故KPD BPD ∠=∠, 于是Rt KPD BPD ???,有PB PK =,从而PBK PKB PBD ∠=∠=∠ 即BK 平分ABC ∠.K ∴是ABC ?的内心. 图5-13
17).(1999.全国数学竞赛★★★★)在正五边形ABCDE 所在的平面内能找到点P,使得PCD ?与BCD
?的面积相等,并且ABP ?为等腰三角形,试确定这样的不同点P 的个数. 解:如图(5-14)由PCD ?与BCD ?面积相等且它们共CD 边知: 点P 只能在直线l 1(即直线BE)和直线l 2上,其中l 2与直线CD 3P 1P 4P 5()E P
的距离等于l 1与直线CD 的距离.在等腰ABD ?中,按其底边可
分如下三种情形: (1)当AB 为底边时,AB 的垂直平分线与2,l l 1 2P 分别交于12,P P ,则12,P P 是符合条件的点;(2)当PA 为底边是,以 图5-14 B 为圆心,BA 为半径作圆,与l 1交于34,P P 两点,则34,P P 符合条件; (3)当PB 为底边时,则E 即为符合条件的
5P
点.综上所述,共有12,,P P 34,P P ,5P (即E)五个点符合题设全部条件.
M K
M K A
A D
B
C I
P
Q N
D B C I P
Q B D
C
A
l P
A
D
F
C
三.练习题
1.(2004.北京东城★★★★)如图5-15,已知ABC ?内接于O ,D 是O 上一点,连结BD 、CD,AC 、BD 交于点E. A (1)请找出图中的相似三角形,并加以证明; F (2)若45D ?∠=,BC=2,求O 的面积. O E D
解: (1)结论:ABE
DCE ??.证明:在ABE ?和DCE ?中, B C
,A D ∠=∠AEB DEC ∠=∠,ABE
DCE ∴??. 图5-15
(2)如图作O 的直径BF,连结CF.45,F D ?∴∠=∠=90BCF ?∠=,BCF ∴?是等腰直角三角
形.2,2 2.BC CF BF ==∴=2OB ∴=.O ∴的面积22.S r ππ==
2.(2005.绵阳★★★)如图5-16,已知BC 是
O 的直径,AH BC ⊥,垂足为D,点A 为BF 的中点,BF 交AD
于点E,且32,6BE EF AD ?==. A F (1)求证:AE=BE E (2)求DE 的长; B O C (3)求BD 的长. D 解: (1)连结AF,A 为BF 的中点,
ABE AFB ∴∠=∠,又,AFB ACB ∠=∠ABE ACB ∴∠=∠. H 图5-16
BC 为直径,90BAC ?∴∠=,又AH BC ⊥,BAE ACB ∴∠=∠,,ABE BAE ∴∠=∠AE BE ∴=. (2)设(0),DE x x =>由AD=6,32,,BE EF AE EH BE EF ?=?=?有(6)(6)32x x -+=, 由此解得2x =,即DE 的长为2.
(3)由(1),(2)得:BE=AE=6-2=4,在Rt BDE ?中,22224223BD BE DE =-=-=.
3.(200
4.山西★★★)如图5-17,
1O 与2O 相交于点A,B,且点1O 在2O 上,过点A 的直线CD 分别与
1O ,2O 交于点C,D,过点B 的直线EF 分别与1O ,2O 交于点E,F,2O 的弦1O D 交AB 于点P.
求证:(1)CE//DF; (2)2
111O A O P O D =?.
证明: (1)四边形ABEC 是
1O 的内接四边形,
180ABE C ?
∴∠+∠=.又四边形ABFD 是2O 的 1O 2O
内接四边形,ABE ADF ∴∠=∠.180C ADF ?
∠+∠=.
C
B O A
E C
D M H //C
E D
F ∴(2)连结1O B ,则11O A O B =.11O AB O BA ∴∠=∠.又 图5-17
11O BA O DA ∠=∠,11O AB O DA ∴∠=∠.又11,AO P DO A ∠=∠11AO P DO A ∴??.
1111,O A O P
O D O A
∴
=即2111O A O D O P =?.
4.(200
5.海安★★★★)如图5-18,已知O 为正方形ABCD 对角线上一点,以O 为圆心,OA 的长为半径的O
与BC 相切于点M,与AB,AD 分别相交于点E,F. (1)求证:CD 与O 相切; (2)若正方形ABCD 的边长为1,求O 的半径; (3)对于以点M,E,A,F 以及CD 与O 的切点为 顶点的五边形的五条边,从相等的关系考虑,你可
以得出什么结论?请你给出证明.
证明: (1)如图5-18,连结OM,作//ON CD 于N. O 与BC 相切.OM BC ∴⊥.四边形ABCD 是正方形, O ∴AC 平分BCD ∠.OM ON ∴=,∴CD 与O 相切. 图5-18
(2)
四边形ABCD 是正方形,∴AD=CD=1,90,45,D ACD ?
?
∠=∠=2,AC ∴=
45,NOC ACD ?∠==∠∴NC=ON=OA,2222OC ON NC ON OA ∴=+==. 2,AC AO OC =+=22AO AO ∴+=,22OA ∴=-.
(3)ME=FN,AE=AF.如图5-18,作,.
OG AD OH AB ⊥⊥AC 平分BAD ∠,OG OH ∴=,
AE AF ∴=.AD AB =,.DF BE ∴=,CD CB 与O 相切,CM CN ∴=,BC DC =,
.BM DN ∴=又90,B D ?∠=∠=,.EBM FDN EM FN ∴???∴=
5.(2005.温州★★★★)如图5-19,已知四边形ABCD
内接于O ,A 是优弧BDC 的中点,AE AC ⊥于点A,
与
O 及CB 的延长线分别交于点F,E 且BF AD =,
EM 切O 于点M.
(1)求证:ADC EBA ??;
(2)求证:212
AC BC CE =?; (3)如果AB=2,EM=3,求cot CAD ∠的值. 图5-19
证明: (1)
四边形ABCD 内接于
O ,CDA ABE ∴∠=∠.,AD BF =DCA BAE ∴∠=∠.
CAD AEB ∴??.
F E O D C B N M
A H G
(2)过A 作AH EC ⊥于点H(如答图J11-2)
A 是BDC 的中点,1
2
HC HB BC ∴==
. 90CAE ?∠=,21
.2
AC CH CE BC CE ∴=?=
? (3)
A 是BDC 的中点,AB=2,∴AC=AB=2.EM 是
O 的切线,EM=3,29EB EC EM ∴?==.①
21
,82
AC BC CE BC CE =
?∴?=.② ①+②得()17,EC EB BC +=217EC ∴= 222EC AC AE =+,217213AE ∴=-=.CAD AEB ??,,CAD AEC ∴∠=∠
13
cot cot .2
AE CAD AEC AC ∴∠=∠=
=
张超月补充例题：
1、共点圆问题
例1 设四条直线相交于A ，B ，C ，D ，E ，F 六点，求证：△BCE ，△DCF ，△ADE ，△ABF 的外接圆共点(图3—60)．
证 因为圆BEC 和圆CDF 已有一个交点C ，必有另一交点O ，且O 与C 不重合(否则圆EBC 和圆CDF 相切于C(O)，则AE ∥AF ，与假设矛盾)．连OC ，OD ，OE ，OF ，则有
∠A+∠DOE=∠A+∠EOC+∠COD =∠A+∠ABF+∠AFB=180°，
所以A ，D ，O ，E 四点共圆，圆AED 过O 点．同理，圆ABF 也过O 点． 所以△BCE ，△DCF ，△ADE ，△ABF 的外接圆共点．
说明 证明诸圆共点，可先证其中两圆相交(或相切)于某一点，再证此点在其他圆上．也可证诸圆通过某一特殊点．
例2 设I 为△ABC 之内心，过B 作圆切CI 于I ，过C 作圆切BI 于I ．求证：此
证因为所作之二圆已有一个交点I，必有另一交点O，并且O与I不重合(否则BI，CI是过I之两圆公切线，则B，I，C必共线，此与I为△ABC内心相矛盾)．连BO，OC，OI，则
∠CIO=∠IBO，
∠BIO=∠ICO，
=180°．
所以A，B，O，C四点共圆，所以所证之三圆共点．
2、圆中比例线段问题
例3 如图3－73，△ABC内接于圆O，∠BAC的平分线交⊙O于D点，交⊙O的切线BE于F，连结BD，CD．求证：
(1)BD平分∠CBE；
(2)AB·BF=AF·DC．
分析 (1)可根据同弧所对的圆周角及弦切角的关系推出．
(2)由条件及(1)的结论，可知BD=CD，因此欲求AB·BF=AF·DC，
证 (1)因为∠CAD=∠BAD=∠FBD，∠CAD=∠CBD，所以
∠CBD=∠FBD，
所以BD平分∠CBE．
(2)在△DBF与△BAF中，因为
∠FBD=∠FAB，∠F=∠F，
AB·BF=BD·AF．
又因为BD=CD，所以
AB·BF=CD·AF．
例4 如图3－74，四边形ABCD内接于圆，延长AB和CD相交于E，延长AD和BC 相交于F，EP和FQ分别切圆O于P，Q．求证：EP2+FQ2=EF2．
分析本例有两条切线，因此，可由切割线定理着手思考．证过B，C，E作圆O1，设⊙O1交EF于G，连结CG．因为
∠FDC=∠ABC=∠CGE，
所以F，D，C，G四点共圆，所以
EG·EF=EC·ED，①
FG·EF=FC·BF．②
①+②得
EF2=EC·ED+FC·BF．
又因为EP，FQ为⊙O的切线，所以
EC·ED=EB·EA=EP2，
FC·FB=FD·FA=FQ2，
所以EF2=EP2+FQ2．