分数阶Fourier变换理论及应用

2
= 1 s( )e j d S()
2
F 4[s(t)] F{F 3[s(t)]} 1 S()e jtd
2
= 1 S()e jtd s(t)
2
Fourier变换多次复合后有如下规律
F1[s(t)] F[s(t)] S()
s(u)
(2n 1)

其中： = p 2
注意： 当p=1时，即为傅立 叶变换； P=0，即为函数本身
核函数具有以下性质:
1.互换性
K p (t,u) K p (u,t)
2.p共轭对称性
K

p
(t,
u)

K
* p
(t,
u)
3.
K p (t,u) K p (t,u)
4.积分相加性（完备性）
F 4[S()] F 1[s(t)] 1 s(t)e jtdt S()
2
当n为负整数是 F n也有了定义。
旋转具备如下性质： (1)零度旋转对应于信号自身：F0=I (2)逆时针旋转π/2对应于Fourier变换：F
顺时针旋转π/2对应逆Fourier变换：F-1 (3)旋转具有连续可加性: FmFn = Fm+n
1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了 分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分 数幂形式。
1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频 面上的坐标轴旋转。
一、分数阶傅立叶变换“旋转”思想
Fourier变换的对称形式
S() F[s(t)] 1 s(t)e jtdt
2
s(t) F 1[S()] 1 S()e jtd
2
Fourier变换的多次复合运算
F 2[s(t)] F{F[s(t)]} 1 S()e jtd
2
= 1 S()e j(t)d s(t)
2
F 3[s(t)] F{F 2[s(t)]} 1 s(t)e jtdt
在旋转的同时变化信号的表示形式。
当n为非负整数时 F n均有了定义。
同理可引入“顺时针”旋转
F 1[S()] 1 S()e jtd s(t)
2
F 2[S()] F 1[s(t)] 1 s(t)e jtdt S()
2
F 3[S()] F 2[s(t)] F 1[S()] s(t)
注：变量u的尺度改变，函数幅值改变，旋转角改变。
(4)标准Fourier变换
F1[x(t)] F 5[x(t)] X ()
(5)时移性质
F
p [ x(t
)]

X
p (u

cos a) exp(
2
j 2
sin
a cos a

ju
sin
a)
(6)频移性质
F
p[x(t)e jvt ]

X
p (u
v sin
a) exp(
j
v2 2
这是一个非常有用的性质, 用它实现滤波具有更好的效果。
(2)算子可加性
F pF q F pq
特别
F P1[x(t)] F{F P[x(t)]}
F P1[x(t)] F 1{F P[x(t)]}
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(3)恒等变换
F 0[x(t)] F 4[x(t)] x(t)

K p (t, z)K q (z, u)dz K pq (t, u)
5.正交性

K
p
(t , u) K
* p
(t , u' )dt


(u

u')
分数阶傅立叶变换变换对
X p (u) {F p[x(t)]}(u)

K p (t,u)x(t)dt

x(t) X p (u)K p (t, u)du
F 3[s(t)] S()
F 2[s(t)] s(t) F 4[s(t)] s(t)
规定： F 0[s(t)] s(t)
恒等算子 F 0 I
S ( )
当n为非负整数时有：
s(t)
s(t)
F n4 F n
S()
“ 旋转”思想的引入 每次的Fourier变换都可看作是坐标轴的π/2旋转，
下面给出几个常见信号的不同p下的傅立叶变换仿真图
北邮现代信号处理第六章演示图
3
2
1
0
-1 2
1
10
0
8 6
-1
4
2
-2 0
方波脉冲各分数阶下的傅立叶变换演示图
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(1)线性性质 F p[c1 f (t) c2 g(t)] c1F p[ f (t)] c2F p[g(t)]
,
(t u),

若 n
若 2n 若 (2n 1)
其中： p 2
X p (u)=

＝
1 j cot s(t) exp( j t2 u2 cot j tu )dt
2
2
sin
s(u)
n 2n

分数阶Fourier变换理论及应用
小组成员：杜光龙、程海全、刘学锋、郭军伟
分数阶傅立叶变换概述
处理平稳信号
Fourier变换
全局谱
为了分析和处理非平稳信号，人们提出了一系列新 的信号分析理论：
分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分 布、Gabor变换、小波变换等
1929～1980 早期未被人们重视的研究。
sin
a cos a

juv
sin
a)
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(7)尺度性质
F p[x(ct)]
1 j cot a
u2

cos2
sin
c2 j cot a exp( j 2 cot a[1 cos2 ])Xq (u csin a)
式中
arctan(c2 tan a) q 2
二、分数阶傅立叶变换定义
设p为任意实数，定义广义Fourier变换:
X p (u) {F p[x(t)]}(u)

K p (t,u)x(t)dt
其中
K
p
(t
,
u)


1 (t
j cot 2 u),

e
j
(
1 2
u2
cot
ut
csc

1 2
t
2
cot
)