拓扑优化算法及其实现

>Imagesc(-x)
敏度分析
目的：消除棋盘格效应及网格依赖性
方法：1、高阶单元法（计算量大） 2、周长约束法（周长约束的上限值需要依靠经验来确定，因为局部尺寸和周长边
界间没有直接的关系。如果周长约束边界定得太紧，则可能导致没有计算结果，如果定的 太松又达不到预期的效果。因此约束边界很难确定，这种情况在三维问题下特别明显）
内单元的应变能密度是恒定的常数 。由此建立更新设计变量迭代格式：
n1enB,
Bp( e)p1ue Tk0ue ve
n 1 m e n a B x (m in,
e nm ) if
if e nB m ax (m in, e nm ) m ax (m in, e nm )e nB m in (1 , e nm )
RAMP（ Rational Approximation of Material Properties ） （材料属性的理性近似模型）
Level Set法 (水平集法)
ICM(独立映射法)
ESO(进化法)
……
优化求解方法
OC法(优化准则法) MMA法(移动渐进线法) SLP(序列线性规划法） SQP(序列二次规划法) …………
优化求解 OC法优化求解
基本原理 变量约束优化的KT条件：定义在闭区间上的一元函数的优化（仅有变量上下限约束）
基本原理
OC法数学模型 对应于目标函数的拉格朗日函数为：
OC法数学模型
OC法数学模型
u
优化设计准则
OC法数学模型
优化设计准则
上式即为设计变量的迭代准则。由该式可以看出当柔度取得极值时,在整个设计区域
解决方法：线性和非线性 Pratt,(1991) 证明了非线性技术优于线性技术。但是非线性技术不能应用于拓扑优化， 因为非线性方法常会造成拓扑优化问题的不光滑。
线性技术又分为两种：基于傅里叶变换对的方法（频率）和基于卷积的方法。但是傅 里叶变换法只能用于常规的矩形网格。
敏度分析（sigmund.O）
m in (1 ,e nm )
if e nB m in (1 , e nm )
n 1 m e n a B x (m in,
e nm ) if
if e nB m ax (m in, e nm ) m ax (m in, e nm )e nB m in (1 , e nm )
敏度分析
目前 SIMP 方法常用的过滤技术是Sigmund提出的过滤方案，用于修改目标函数的敏 度信息：
敏度分析
内容
拓扑优化简介 OC法拓扑优化设计流程 算例
约束情况
左边界各节点受横向约束 右下角节点受纵向约束
20 60
F(2,1) = -1; fixeddofs = union([1:2:2*(nely+1)],[2*(nelx+1)*(nely+1)]);
目标函数(min& max)
约束函数
设计变量
目标函数——最小柔度(SIMP法)
(x) (e)p
min
C UTF
n
(
e
)
p
u
T e
kou
e
KU F
e 1
s.t. V 0
( ) V0 min
1
本质上，结构拓扑优化是个（ 0,1）整数规划 问题，属于组合优化的范畴。 2n次计算有限元分析 才能求得全局最优解，是个指数时间算法，非多项式 时间算法，随着单元数量n的增加，计算量会激增， 也 即 是 困 扰 组 合 优 化 领 域 的 NP 难 题 。
内容
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化实现流程
SIMP法+OC法 基于99行拓扑优化程序代码 top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin)
1 2
3
有限元分析
目的：求整体位移矩阵
4节点矩形单元
1
4
e
2
3
Ke BeTDBetdA
B、D、t分别代表什么？？？
整体刚度矩阵
敏度分析（sigmund.O）
网格过滤法原理：数字图像处理中的降噪技术
一张图片被离散成有限个像素点，一个像素点代表一个灰度值（256个灰度水平）。 假设灰度值是连续变化的。
图像处理的一个常见问题是噪音来自电气传感器噪声,噪声传输错误等。主要表现为离 散孤立的像素变化,这些地方与其周围通常出现显著的不同。
e ——设计变量
SIMP法
(0,1)整数规划问题
[0,1]区间内的单元密度的连续变 量优化问题
(x) (e)p
min
C UTF
n
(
e
)
p
u
T e
kou
e
KU F
e 1
s.t. V 0
( ) V0 min
1
e ——设计变量
密度变量的引入： 在工程中，材料的刚度线性依赖材料的密度，即
》top(60,20,0.5,3,3)
在Matlab中运行程序行 top(60,20,0.5,3,3)
迭代次数：10
15
30
69
>imagesc
悬臂梁
左端固支 右端中间作用垂直载荷
p 1
F(2*nelx*(nely+1)+nely+2,1) = -1 fixeddofs = [1:2*(nely+1)]
拓扑优化算法及其实现
马灿 2015年11月30日
内容
拓扑优化简介 拓扑优化设计流程 算例
拓扑优化
拓扑优化：拓扑优化是结构优化的一种。结构优化可分为尺寸优化、形状优化、形貌优化和 拓扑优化。尺寸优化以参数为优化对象，比如板厚、梁的截面宽、长和厚等；形状优化以结 构件外形或者孔洞形状为优化对象，比如凸台过渡倒角的形状等；形貌优化是在已有薄板上 寻找新的凸台分布，提高局部刚度；拓扑优化以材料分布为优化对象，通过拓扑优化，可以 在均匀分布材料的设计空间中找到最佳的分布方案。拓扑优化相对于尺寸优化和形状优化， 具有更多的设计自由度，能够获得更大的设计空间，是结构优化最具发展前景的一个方面。
3、局部梯度约束方法（局部斜率约束属于局部约束，可防止局部细条的形成，从 而降低结构拓扑的几何复杂性，但优化结果难以满足全局最佳，并且，这种方法在优化问 题中引入了2N(二维)或3N(三维)个额外约束，使计算效率大大降低）
4、网格过滤法（网格过滤方法只需定义一个局部长度尺寸，相对较为容易，在约 束尺度下的结构变量都被过滤掉。网格过滤方法的优点是不需要在优化问题中加入额外约 束，且容易实施。缺点是过滤方法为一种基于启发式求解规则的方法）
优化设计过程：将区域离散成足够多的子区域，对这些子区域进行结构分析，再按某种优 化策略和准则从这些子区域中删除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。
拓扑优化建模方法
变密度法
SIMP（ Solid Isotropic Microstructures with Penalization ）(固体各向 同性惩罚函数法）
>top(80,50,0.5,3,3)
迭代次数：5
10
29
m in (1 ,e nm )
if e nB m in (1 , e nm )
xnew = max(0.001,max(x-move,min(1.,min(x+move,x.*sqrt(-dc./lmid)))))
n
CUTF (e)pueTkeue e1 优化结果：各单元密度组成的矩阵——X
Ke
单元刚度矩阵
K
整体刚度矩阵
KUF
U 和 F 为 整 体 位 移 与 载 荷
整体节点编排：
划分网格数 (nelx,nely)
nely+2 1
纵向
e
e
nely+1
2(nely+1)
2 1
8 7
4
3 局部
6 5
(1)

(4)
e
(2)
(3)
整体
KUF (有限元基本方程)
U ——各节点位移矩阵
建立优化模型
刚度大的材料，密度也大。比如，钢的密度比铝的密 度大，因此钢的刚度比铝的刚度大。按照这个朴素的 逻辑，就可用单元的密度来代替材料的有无，如下式
Ke pKe
K e为 惩 罚 的 单 元 刚 度 矩 阵 ； K e为 真 实 的 单 元 刚 度 矩 阵 ；
[0,1]为 每 个 单 元 的 密 度 ，
是 0到 1之 间 的 连 续 变 量 ； p为总大于1的罚(Penalization)因子， 一般取3，大的罚因子可使密度快 速的趋于0或者1。