第八章_季节性时间序列模型
季节性时间序列分析方法
第七章季节性时间序列分析方法由于季节性时间序列在经济生活中大量存在，故将季节时间序列从非平稳序列中抽出来，单独作为一章加以研究，具有较强的现实意义。
本章共分四节：简单随机时间序列模型、乘积季节模型、季节型时间序列模型的建立、季节调整方法X-11程序。
本章的学习重点是季节模型的一般形式和建模。
§1 简单随机时序模型在许多实际问题中，经济时间序列的变化包含很多明显的周期性规律。
比如：建筑施工在冬季的月份当中将减少，旅游人数将在夏季达到高峰，等等，这种规律是由于季节性（seasonality）变化或周期性变化所引起的。
对于这各时间数列我们可以说，变量同它上一年同一月（季度，周等）的值的关系可能比它同前一月的值的相关更密切。
一、季节性时间序列1．含义：在一个序列中，若经过S个时间间隔后呈现出相似性，我们说该序列具有以S为周期的周期性特性。
具有周期特性的序列就称为季节性时间序列，这里S为周期长度。
注：①在经济领域中，季节性的数据几乎无处不在，在许多场合，我们往往可以从直观的背景及物理变化规律得知季节性的周期，如季度数据（周期为4）、月度数据（周期为12）、周数据（周期为7）；②有的时间序列也可能包含长度不同的若干种周期，如客运量数据（S=12，S=7）2．处理办法：（1）建立组合模型；（1）将原序列分解成S个子序列（Buys-Ballot 1847）对于这样每一个子序列都可以给它拟合ARIMA 模型，同时认为各个序列之间是相互独立的。
但是这种做法不可取，原因有二：（1）S 个子序列事实上并不相互独立，硬性划分这样的子序列不能反映序列{}t x 的总体特征；（2）子序列的划分要求原序列的样本足够大。
启发意义：如果把每一时刻的观察值与上年同期相应的观察值相减，是否能将原序列的周期性变化消除？（或实现平稳化），在经济上，就是考查与前期相比的净增值，用数学语言来描述就是定义季节差分算子。
定义：季节差分可以表示为S t t t S t S t X X X B X W --=-=∇=)1(。
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法
第八章非平稳和季节时间序列模型分析方法时间序列是指观测值按照时间顺序排列的一组数据，其中具有季节性和非平稳性的时间序列数据具有特殊的分析需求。
本文将介绍非平稳和季节时间序列的分析方法。
一、非平稳时间序列分析方法非平稳时间序列是指其统计特征在时间上发生了变化，无法满足平稳性的要求。
非平稳时间序列具有趋势性、周期性、季节性和不规则性等特征。
对于非平稳时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.差分法：差分法是通过对时间序列取一阶或多阶差分来消除趋势性的影响。
通过差分后的时间序列进行分析，我们可以得到一个稳定的时间序列，并进行后续的建模和预测。
2.移动平均法：移动平均法是通过计算一定窗口范围内的观测值的平均值来消除短期波动的影响，从而得到一个平滑的时间序列。
通过移动平均后的时间序列进行分析，我们可以在一定程度上消除非平稳性的影响。
3.分解法：分解法是将非平稳时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分。
通过分解后的各个部分进行分析，我们可以了解趋势、季节和随机成分在时间序列中的作用，从而更好地进行建模和预测。
二、季节时间序列分析方法季节时间序列是指具有明显季节性的时间序列数据。
对于季节时间序列的分析，我们可以采用以下方法：1.季节性指数：季节性指数是用来描述季节性的强度和方向的指标。
通过计算每个季节的平均值与总平均值之比，可以得到季节性指数。
根据季节性指数的变化趋势，我们可以判断时间序列的季节性变化情况，并进行后续的建模和预测。
2.季节性趋势模型：季节性趋势模型是一种常用的季节时间序列建模方法。
该模型将时间序列分解为趋势项、季节项和随机项三个部分，并通过对这三个部分进行建模来分析季节性时间序列。
常用的季节性趋势模型包括季节性自回归移动平均模型（SARIMA）、季节性指数平滑模型等。
总结起来，非平稳和季节时间序列模型的分析方法主要包括差分法、移动平均法和分解法等对非平稳时间序列进行分析，以及季节性指数和季节性趋势模型等对季节性时间序列进行分析。
季节性时间序列分析方法(PPT37张)
(1 1B n B n )(1 S B S ) X t at
(7.3.8)
由此可求得偏自相关函数。这种方法可以推广到 AR(n)模型
( B)U ( B S ) X t at ，
或更一般的情形 即
(7.2.6a)
只考虑不同年份同月的资料之间的相关关系。 (7.2.6b)
表示同年不同月之间几乎不存在依赖关系，但受前一期 扰动的影响。即时间序列资料消除了季节因素之后适合于一 个 MA(1)模型。 更一般的是模型（7.2.5）和（7.2.6）中的周期长度 12 可以用 S 替代。
3. (1 B S ) X t C (1 1B)(1 S B S )at 4. (1 B) X t (1 S B S )at 5. (1 B S ) X t (1 S B S )at 6. (1 1B)(1 B S ) X t (1 S B S )at 7. (1 1B S ) X t C (1 1B)at 8. (1 B S )2 X t C 2 S ( B)at
D (1 1 B S ) S X t et
一阶移动平均季节模型 Wt et 1et S ，或Wt (1 1B S )et
D S X t (1 1B S )et
一般的季节性 ARMA 模型 U ( B S )Wt V ( B S )et
D U ( B S ) S X t V ( B S )et
D X t V ( B S )et 在随机季节模型 U ( B S ) S
(7.1.6)
中，由于 et 不是独立的，因此不妨假设 et 适合一个 ARIMA(n,d,m)： ( B) d et ( B)at ，
季节性时间序列分析方法
季节性时间序列分析方法在经济领域中得到的观测数据一般都具有较强的随时间变化的趋势，如果是季度或月度数据又有明显的季节变化规律。
因此研究经济时间序列必须考虑其趋势性和季节性的特点，既要考虑趋势变动，又要考虑季节变动，建立季节模型。
第一节 简单的时间序列模型一、 季节时间序列序列是季度数据或月度数据（周，日）表现为周期的波动。
二、随机季节模型例1 假定t x 是一个时间序列，通过一次季节差分后得到的平稳序列，且遵从一阶自回归季节模型,即有 t s s t t t x B x x w )1(-=-=-1tt s t w w 或 1(1)s t t B w 将t w =t s x )B (-1代入则有1(1)(1)s s t t B B x SARIMA(1,1,0)更一般的情况，随机序列模型的表达式为11(1)(1)(1)s s S t t B B x B SARIMA(1,1,1)第二节 乘积模型值得注意的是t a 不一定是白噪声序列。
因为我们仅仅消除了不同周期相同周期点之间具有的相关部分，相同周期而不同周期点之间的也有一定的相关性。
所以，在此情况下，模型有一定的拟合不足，如果假设t 是),(q p ARMA 模型，则1(1)(1)s s t t B B x 式可以改为1()(1)(1)()s s t t B B B x B如果序列}{t x 遵从的模型为()()()()s d D s s t t B U B x B V B （3.26） 其中ks k s s s B BB B U ΓΓΓ----= 2211)(ms m s s s B B B B V H H H ----= 2211)(p p B B B φφΦ---= 11)(q q B B B θθΘ---= 11)(d d B )1(-=∇D s D s B )1(-=∇则称（3.26）为乘积季节模型，记为),,(),,(q d p m D k ARIMA ⨯。
季节性时间序列模型
季节性时间序列模型季节性时间序列模型通常包括四个主要组成部分：趋势、周期、季节和残差。
趋势表示数据的长期增长或下降趋势，可以是线性或非线性的。
周期表示数据中的循环模式，例如月度或年度循环。
季节表示数据在特定季节中的重复模式，例如每年夏季销售增长。
残差表示无法通过趋势、周期和季节解释的部分，即剩余误差。
为了建立季节性时间序列模型，首先需要对数据进行季节性分解，以提取趋势、周期和季节成分。
常用的方法包括移动平均法和指数平滑法。
移动平均法通过计算一系列连续时间段内的平均值来平滑数据，并提取趋势和周期成分。
指数平滑法则通过加权计算最近一段时间内的数据，赋予更高的权重，以反映近期数据的影响力，进而提取趋势成分。
一旦趋势、周期和季节成分被提取，可以使用这些成分来预测未来的值。
最常用的方法是加法模型和乘法模型。
加法模型中，趋势、周期和季节成分相加得到预测值。
乘法模型中，趋势、周期和季节成分相乘得到预测值。
具体选择哪种模型取决于数据的性质。
季节性时间序列模型还可以通过调整模型参数和增加复杂度来提高预测性能。
常用的技术包括自回归（AR）模型、移动平均（MA）模型和自回归移动平均（ARMA）模型。
这些模型通过考虑多个时间点的数据来提高预测的准确性。
季节性时间序列模型在实际应用中具有广泛的价值。
例如，在销售领域，可以使用季节性时间序列模型预测未来几个月的销售量，以制定合理的库存管理策略。
在经济学中，可以使用该模型预测未来几个季度的经济增长率，以指导政府的宏观调控政策。
然而，季节性时间序列模型也面临一些挑战和限制。
首先，它依赖于数据中的季节性模式，如果季节性模式发生变化，则模型的准确性可能会下降。
其次，模型的复杂度和参数调整可能会带来计算上的困难。
此外，模型所能提供的准确度也取决于数据的质量和可用性。
总的来说，季节性时间序列模型是一种强大的工具，可以用于分析和预测数据中的季节性变化。
通过合理的调整和选择模型参数，可以提高预测的准确性。
13季节ARIMA模型
2.8 季节时间序列模型在某些时间序列中，存在明显的周期性变化。
这种周期是由于季节性变化（包括季度、月度、周度等变化）或其他一些固有因素引起的。
这类序列称为季节性序列。
比如一个地区的气温值序列（每隔一小时取一个观测值）中除了含有以天为周期的变化，还含有以年为周期的变化。
在经济领域中，季节性序列更是随处可见。
如季度时间序列、月度时间序列、周度时间序列等。
处理季节性时间序列只用以上介绍的方法是不够的。
描述这类序列的模型之一是季节时间序列模型(seasonal ARIMA model)，用SARIMA表示。
较早文献也称其为乘积季节模型（multiplicative seasonal model）。
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中）的变化周期为s，即时间间隔为s的观测值有相似之处。
首先用季节差分的方法消除周期性变化。
季节差分算子定义为，∆s = 1- L s若季节性时间序列用y t表示，则一次季节差分表示为∆s y t = (1- L s) y t = y t- y t - s对于非平稳季节性时间序列，有时需要进行D次季节差分之后才能转换为平稳的序列。
在此基础上可以建立关于周期为s的P阶自回归Q阶移动平均季节时间序列模型（注意P、Q 等于2时，滞后算子应为(L s)2 = L2s。
A P (L s) ∆s D y t =B Q(L s) u t(2.60)对于上述模型，相当于假定u t是平稳的、非自相关的。
当u t非平稳且存在ARMA成分时，则可以把u t描述为Φp (L)∆d u t = Θq (L) v t(2.61)其中v t为白噪声过程，p, q分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d表示u t的一阶（非季节）差分次数。
由上式得u t = Φp-1(L)∆-dΘq (L) v t(2.62)把(2.62) 式代入(2.60) 式，于是得到季节时间序列模型的一般表达式。
Φp(L) A P(L s) (∆d∆s D y t) = Θq(L) B Q(L s) v t(2.63)其中下标P, Q, p, q分别表示季节与非季节自回归、移动平均算子的最大滞后阶数，d, D分别表示非季节和季节性差分次数。
第八章季节时间序列模型与组合模型
当ut非平稳且存在ARMA成分时，则可以把ut描述为 Φ p ( L)∆d ut = Θ q ( L)vt p, q 分别表示非季节自回归、移动平均算子的最大阶数，d 表示ut的一阶（非季节）差分次数。于是得到季节时间序 列模型的一般表达式。
Φ p ( L) AP ( Ls )(∆d ∆D yt ) = Θ q ( L) BQ ( Ls )vt s
900 800 700 600 500 400 300 200 100 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89
月度商品零售额时序图 月度商品零售额自相关偏 自相关图
设季节性序列（月度、季度、周度等序列都包括其中） 的变化周期为s，即时间间隔为s 的观测值有相似之处。首 先用季节差分的方法消除周期性变化。季节差分算子定义 为， ∆ = 1 − Ls
通过LnGDPt的相关图和偏相关图可以看到LnGDPt是一个非 平稳序列（相关图衰减得很慢）。
对LnGDPt进行一阶差分，得 DLnGDPt。DLnGDPt的平稳性 得到很大改进，但其季节因素影响还很大。从 DLnGDPt的相 关图和偏相关图也可以明显地看到这个特征。若对LnGDPt直 接进行一次季节差分（四阶差分），得D4LnGDPt。其波动性 也很大。D2LnGDPt显然是过度差分序列。
从上式可以看出SARIMA模型可以展开为ARIMA(p+PS+DS, d, q+QS) 模型。
对乘积季节模型的季节阶数，即周期长度s 的识别可 以通过对实际问题的分析、时间序列图以及时间序列的相 关图和偏相关图分析得到。 以相关图和偏相关图为例，如果相关图和偏相关图不 是呈线性衰减趋势，而是在变化周期的整倍数时点上出现 绝对值相当大的峰值并呈振荡式变化，就可以认为该时间 序列可以用SARIMA 模型描述。
第八章季节性时间序列模型
n
表4.1 单变量时间序列观测数据表
n 例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
第八章季节性时间序列模型
n 二、季节时间序列的重要特征 n 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
第八章季节性时间序列模型
n 可见当得到样本的自相关函数后，各滑动平均参数的矩 法估计式也就不难得到了。
n 更一般的情形，如果一个时间序列服从模型
n
n
(8.18)
n 其中，
。整理后可以看出该时间
序列模型是疏系数MA(ms+q)，可以求出其自相关函数，
2348 2454.9 2881.7
1998 2549.5 2306.4 2279.7 2252.7 2265.2
2326 2286.1 2314.6 2443.1
2536 2652.2 3131.4
1999 2662.1 2538.4 2403.1 2356.8
2364 2428.8 2380.3 2410.9 2604.3 2743.9 2781.5 3405.7
n 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值
n 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
第八章季节性时间序列模型源自例1 季节指数的计算第八章季节性时间序列模型
季节指数图
第八章季节性时间序列模型
二、综合分析
n 常用综合分析模型
n 加法模型
n 乘法模型
n 混合模型
个模型组合而成。由于序列存在季节趋势，故先
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(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut
但式(8.11)仅仅拟合了间隔时间为周期长度点之 间的相关关系，序列还存在非季节趋势，相邻时 间点上的变量还存在相关关系，所以模型显然拟 ut 合不足，u t 不仅是非白噪声序列而且非平稳， 如满足以下的模型 (1 B)ut (1 1B) t (8.12) 式(8.12)拟合了序列滞后期为一期的时间点之间 的相关， at 为白噪声序列，将式(8.12)代入式 (8.11)，则得到模型一。
2549.5
2306.4 2279.7 2252.7 2265.2 2326 2286.1 2314.6
2662.1
2538.4 2403.1 2356.8 2364 2428.8 2380.3 2410.9
2774.7
2805 2627 2572 2637 2645 2597 2636
9
10 11 12
1023.3
1051.1 1102 1415.5
1396.2
1444.1 1553.8 1932.2
1756
1818 1935.2 2389.5
2083.5
2148.3 2290.1 2848.6
2239.6
2348 2454.9ห้องสมุดไป่ตู้2881.7
2443.1
2536 2652.2 3131.4
2604.3
三、常见的随机季节模型
为了读者学习起来方便，这里列举几个常见的 随机季节模型，并简介其生成的过程。 在实际问题中，季节性时间序列所含有的成分 不同，记忆性长度各异，因而模型形式也是多 种多样的。这里以季节周期S=12为例，介绍几 种常见的季节模型。
模型一
(8.10)
(1 B)(1 B12 ) X t (1 1B)(1 12 B12 ) t
4.2 季节时间序列模型
一、随机季节模型 季节性随机时间序列时间间隔为周期长度S的两个时间点上 的随机变量有相对较强的相关性，或者说季节性时间序列 X t 与 X t 12 有 表现出周期相关，比如对于月度数据，S=12， 相关关系，于是我们可以利用这种周期相关性在 X t 与 X t 12 之间进行拟合。 S D (1 B ) 设一个季节性时间序列{ X t }通过D阶的季节差分 后为一平稳时间序列 Wt ，即 Wt (1 BS )D X t ，则一阶自 回归季节模型为 S (1 B )Wt t Wt 1Wt S t 1 或 (8.5) 其中， t 为白噪声序列。将 Wt (1 BS )D X t 代入式（8.5）， 得 (1 BS )(1 BS )D X (8.6) 1 t t
1602.2
1491.5 1533.3 1548.7 1585.4 1639.7 1623.6 1637.1
1909.1
1911.2 1860.1 1854.8 1898.3 1966 1888.7 1916.4
2288.5
2213.5 2130.9 2100.5 2108.2 2164.7 2102.5 2104.4
(5)残差检验
xt ˆ Tt I t ˆ S
t
(6)短期预测
ˆ T ˆ ˆt (l ) S x t l t l
三、X-11过程
简介
X-11过程是美国国情调查局编制的时间序列季节调整过 程。它的基本原理就是时间序列的确定性因素分解方法
因素分解
长期趋势起伏 季节波动 不规则波动 交易日影响
d (1 B)d
D S (1 BS )D
称式(8.9)为乘积季节模型，记为ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 。 如果将模型的AR因子和MA因子分别展开，可以得到类似 的 ARIMA(kS+p,mS+q) ARIMA(k,D,m) (p,d,q) 模型，不同的是模型的系数在某 些阶为零，故 是疏系数模型或 子集模型。
模型二 (8.13)
(1 B12 ) X t (1 1B)(1 12 B12 ) t
模型(8.13)也是由两个模型组合而成，一个是 (8.14)
(1 B12 ) X t (1 12 B12 )ut
它刻画了不同年份同月的资料之间的相关关系，但是又 有欠拟合存在，因为 u t 不是白噪声序列。如果 u t 满足 以下MA（1）的模型，则
(8.9)
(B)U (BS )d S D X t (B)V (BS )t
其中，
U (BS ) 1 1BS 2 B2S …-k BkS
V (BS ) 1 H1BS H2B2S …-HmBmS
(B) 1 1B … p B p
(B) 11B …q Bq
V (B ) 1 H1B H2B …-HmB
S S 2S
mS
二、乘积季节模型 式(8.8)的季节性SARIMA模型中，我们假定是 a t 白噪声 序列，值得注意的是实际中 a t 不一定是白噪声序列。因 为式(8.8)的模型中季节差分仅仅消除了时间序列的季节 成分，自回归或移动平均仅仅消除了不同周期相同周期 点之间具有的相关部分，时间序列还可能存在长期趋势， 相同周期的不同周期点之间也有一定的相关性，所以， aARIMA 模型可能有一定的拟合不足，如果假设 是 t （p,d,q）模型，则式(8.8)可以改为
季节指数反映了该季度与总平均值之间 的一种比较稳定的关系 如果这个比值大于1，就说明该季度的值 常常会高于总平均值 如果这个比值小于1，就说明该季度的值 常常低于总平均值 如果序列的季节指数都近似等于1，那就 说明该序列没有明显的季节效应
例1 季节指数的计算
季节指数图
二、综合分析
常用综合分析模型
1
2 3 4 5 6
0.982
0.943 0.920 0.911 0.925 0.951
7
8 9 10 11 12
0.929
0.940 1.001 1.054 1.100 1.335
季节指数图
季节调整后的序列图
xt Tt I t ˆ S
t
(4)拟合长期趋势
ˆ 1015 T .522 20.93178 t t
加法模型
xt Tt St I t
乘法模型
xt Tt S t I t
混合模型
a) xt S t Tt I t b) xt S t (Tt I t )
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例2
月份
对1993年——2000年中国社会消费品零售
总额序列进行确定性时序分析
第八章 季节性时间序列模型
第一节 第二节 第三节 第四节
季节指数 综合分析 X11过程 随机季节差分
【例】以北京市1995年——2000年月平均 气温序列为例，介绍季节性时间序列模 型的基本思想和具体操作步骤。
时序图
一、季节指数
季节指数的概念
所谓季节指数就是用简单平均法计算的周期 内各时期季节性影响的相对数
表4.1 单变量时间序列观测数据表
例如，1993~2000年各月中国社会消费品零售总额序列， 是一个月度资料，其周期S=12，起点为1993年1月，具 体数据见附录。
二、季节时间序列的重要特征 季节性时间序列的重要特征表现为周期性。在一个序列 中，如果经过S个时间间隔后观测点呈现出相似性，比如 同处于波峰或波谷，我们就说该序列具有以S为周期的周 期特性。具有周期特性的序列称为季节时间序列，S为周 期的长度，不同的季节时间序列会表现出不同的周期， 季度资料的一个周期表现为一年的四个季度，月度资料 的周期表现为一年的12各月，周资料表现为一周的7天或 5天。 例如，图4.16的数据是1993年1月到2000年12月的中国 社会消费品月销售总额。
4000 3500 3000 2500 2000 1500 1000 500 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 SALES
图4.16 1993年1月—2000年12月的中国社会消费品月销售总
额
当然影响一个季节性时间序列的因素除了季节因素外，还存在趋势 变动和不规则变动等。我们研究季节性时间序列的目的就是分解影 响经济指标变量的季节因素、趋势因素和不规则因素，据以了解它 们对经济的影响。
同样的思路，一个一阶移动平均季节模型为 S D S (1 B ) X (1 B )t 或 Wt t 1 t s t 1 (8.7) 推广之，季节性的SARIMA为
U (BS )(1 BS )D X t V (BS )t
(8.8) 其中，
U (BS ) 1 1BS 2 B2S …-k BkS
ut (1 1B) t (8.15) 将式(8.15)代入式(8.14)，得到模型二。
4.3 季节性检验和季节模型的建立
检验一个时间序列是否具有季节性是十分必要的，如果一个时间序列季 节性显著，那么拟合适应的季节时间序列模型是合理的，否则会有欠拟 合之嫌。如果不是一个具有显著季节性的时间序列，即使是一个月度数 据资料，也不应该拟合季节性时间序列模型。下面我们讨论如何识别一 个时间序列的季节性。 一、季节性时间序列自相关函数和偏自相关函数的检验 根据Box-Jenkins的建模方法，自相关函数和偏自相关函数的特征是识 别非季节性时间序列的工具。从第七章第二节的讨论已经看到季节性时 间序列模型实际上是一种特殊的ARIMA模型，不同的是它的系数是稀疏 的，即部分系数为零，所以对于乘积季节模型的阶数识别，基本上可以 采用Box-Jenkins的方法，考察序列样本自相关函数和偏自相关函数， 从而对季节性进行检验。