完整版勾股定理全章复习与巩固练习

勾股定理全章复习与巩固练习

A.450 a 元

B.225 a 元

C.150 a 元

D.300 a 元

【基础练习】

一.选择题 1?如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面 部4 m 处，则树折断之前高（） A 3m 处折断，树顶端落在离树底

E -

C

第1题 A.5 m 2?如图，从台阶的下端点 第2题

第4题

B.7 m

C.8 m

B 到上端点A 的直线距离为（）

D.10 m

A. 1272

B .1O V3

C. 6^5

D.8/5

3.下列命题中是假命题的是（ ） A.三个内角的度数之比为 1: 3: 4的三角形是直角三角形; B.三个内角的度数之比为1 : J 3 : 2的三角形是直角三角形; c.三边长度之比 1 : J 3 : 2的三角形是直角三角形; D.三边长度之比 J 2: J 2: 2的三角形是直角三角形; ABC

中,

4.如图所示，在△ 图中阴影部分的面

积是（

A. 6 B . 12 AB = AC= 5, ）. C . BC = 6,点E 、F 是中线 AD 上的两点，则 24 ( c 5.下列三角形中，是直角三角形的是

A.三角形的三边满足关系 a b

c.三角形的一边等于另一边的一半

6 .某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美 化环

境，已知这种草皮每平方米售价

a

元，则购买这种草皮至少需要 （）

B.三角形的三边比为 1 : 2 : 3 D.三角形的三边为 9, 40, 41 第6题 第7题 第8题 7. 如图，Rt △ ABC 中，/ C=90 , AC=12, BC=5.分别以 AB AC BC 为边在 AB 的

同侧作正方形 ABDEACFGBCIH,四块阴影部分的面积分别为

环3、存S 4.则

S 1+S+S 3+S 等于（ ）

A.90

B.60

C.169

D.144

8. 已知，如图长方形 ABCD 中, AB = 3cm , AD= 9cm ，将此长方形折叠，使点

B

与点D 重合，折痕为EF ,则^ ABE 的面积为（

A.3 cm 2

2 B.4 cm c c 2

C.6 cm

D.12 cm 2

二.填空题

9 ?若一个三角形的三边长分别为 10 .若等边三角形的边长为 2,

11.如图，B, C 是河岸边两点，

45°, BC = 60米，则点A 到岸边BC 的距离是

6, 8,10,则这个三角形中最短边上的高为 ______ .

则它的面积为 _______ .

A 是对岸岸边一点，测得/ ABC= 45°,/ ACB= 米. 12.下列命题中，其逆.命题成立的是 ________

① 同旁内角互补，两直线平行； ② 如果两个角是直角，那么它们相等； ③ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等; .（只填写序号）

④如果三角形的三边长 a 、b c 满足a 2

b 2

c 2

，那么这个三角形是直角三

角形.

13.如图，圆柱形容器中，高为 120cm,底面周长为100cm,在容器内壁离容器底

部40cm 的点B 处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，

离容器上沿

40cm

与蚊子相对的点A 处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 ________________ cm.（容

器

厚度忽略不计）

17.若直角三角形两直角边的比是

3: 4，斜边长是20,求此三角形的面积.

18 ?甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口

A 同时出发，甲以每小时 30海

里的速度向北偏东 35。方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航 行，2小时后，甲船到 C 岛，乙船到达 B 岛，B 、C 两岛相距100海里，判断 乙船所走方向，说明理由.

14.

在直角三角形中，一条直角边为 11 cm ，另两边是两个连续自然数，则此直

角三角形的周长为 _______ .

15. 如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，若涂黑的四个小正方形的面积的和是

10 cm 2

，则其中最大的正方形的边

三.解答题

长为

A

16.如图，△ ABC 中，/ ACB= 90°, AC = BC = 1 ,取斜边的中点，向斜边做垂线,

画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边 与^ ABC 的BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为 _______________ .

A

20.如图，四边形ABCD 是边长为 纸片沿某条直线折叠，使点

AD BC 边交于点 M N.求BN 的长.

9的正方形纸片，B 为CD 边上的点，BC = 3.将 B 落

在点B 处，点A 的对应点为A ，折痕分别与 c

D

C

19 .如图，△ ABC 中，/ A = 90

AO AB,求BD 的长.

,AC = 20, AB= 10,延长 AB 到 D,使 CM DB=

2

【提高练习】 一.选择

题 C. a 2 m 1 2 ,b 2 2m,c 2

m 1 2D . a 2

m 1 \b 2 2m 2,c 2

m 1 "

1.在^ ABC 中，若a n 2 1,b 2n,c n 1，则△ ABC >( ) A.锐角三角形

2.如图，每个小正方形的边长为 数为（ ） A. 90 B.钝角三角形 C. 1, A 、B 等腰三角形 D.直角三角形 C 是小正方形的顶点，则/ ABC 的度 C . 45 第6题

第2题

3.下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ B.三边长的平方之比为

D.三内角之比为 3: 4:

4和6,则底边上的高等于（） A .三内角之比为 1: 2: 3

C.三边长之比为 3: 4: 5 4.若等腰三角形两边长分别为 1

：

5

2: 3

C.

4 J 2

D.

4 J 2 或街

5.若三角形的三边长分别等于 2，则此三角形的面积为（

B . C.

6.如图，Rt △ ABC 中，/ 等于（） C = 90 ,CD! AB 于点

D, AB= 13, CD= 6,

AO BC

A.5

B.

C.

D.

9j5

7.已知三角形的三边长为 a 、b C ，由下列条件能构成直角三角形的是

A. a 2

m 1 2,b 2 4m 2

,c 2

2 2 2 2 2

m 1 B. a m 1 ,b 4m, c

8. 如图，已知直角梯形 ABCD 中, AD// BC, AB 丄 BC, AD= 2, BC = DC= 5，点 P 在

BC 上移动，则当 A. — \/17

17

二.填空题

9. 如图，平面上A 、

PA +PD 取最小值时，△ APD 中边AP 上的高为（ B.—肛

C.—Jn

17

17

D.3

B 两点处有甲、乙两只蚂蚁，它们都发现

C 处有食物，已知

点C 在A 的东南方向，在 B 的西南方向.甲、乙两只蚂蚁同时从 A 、B 两地出

发爬向C 处，速度都是 30cm /min.结果甲蚂蚁用了 2 min ，乙蚂蚁2分40 秒到达C 处分享食物，两只蚂蚁原来所处地点相距 ___________ cm

.

f t

川

fcrr.

第13题

c

m

第9题

第10题

第11题

10 .如图，AB = 5, AC = 3, BC 边上的中线 AD= 2,则^ ABC 的面积为 ___________ . 11 ?如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边

AB= 6, BC = 8,将直角边 AB

折叠使它落在斜边 AC 上，折痕为AD,则BD= __________ .

12 . △ ABC 中，AB= AC = 13,若 AB 边上的高 CD= 5，贝U BC = ________ . 13 .如图，长方体的底面边长分别为

1 cm 和3cm ，高为6 cm .如果用一根细线

从点A 开始经过四个侧面缠绕一圈到达点

B ,那么所用细线最短需要

____ cm ,如果从点A 开始经过四个侧面缠绕 n 圈到达点B,那么所用细线最

短需要 _____ cm .

14 .小明把一根70cm 长的木棒放到一个长宽高分别为 30cm, 40cm, 50cm 的木箱

中，他能放进去吗？答： __________ （选填“能”或“不能”）.

15.已知，如图，在平面直角坐标系中，

0为坐标原点，四边形 OABC 是矩形，点

A 、C 的坐标分别为 A （10, 0）、C （ 0, 4）,点D 是OA 的中点，点 P 在BC 边

上运动，当△ ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点 P 的坐标为 ___________ .

第15题

第16题

16. 如图所示，在^ ABC 中, AB= 5,AC= 13, BC 边上的中线 AD = 6, BC =

三.解答题

17. 如图所示，已知 D E 、F 分别是△ ABC 中BC AB AC 边上的点，且 AE = AF , BE = BD, CF = CD AB= 4, AC = 3, BD 3

，求：△ ABC 的面积.

CD 2

AB= 6 cm , CD= 15 cm ，将这四根木条

用小钉绞合在一起，构成一个四边形 ABCD(在A 、B 、G D 四点处是可以活

动的).现固定AB 边不动，转动这个四边形，使它的形状改变，在转动的过 程中有

以下两个特殊位置.

位置一：当点D 在BA 的延长线上时，点 位置二：当点 C 在AB 的延长线上时，/

(1) 在图2中，若设BC 的长为x ，请用

(2) 在图3中画出位置二的准确 图形；(各木

条长度需符合题目要求)

(3)利用图2、图3求图1的四边形ABCD 中，

BG AD 边的长.

18?有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为

6m , 8m ?现在要将绿

地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以 8m 为直角边的直角三角形，求扩充

后等腰三角形绿地的周长.

19.如图，有两条公路 OM ON 相交成30°角，沿公路 0M 方向离0点80米处有一 所学校A.当重型运输卡车 P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心50米长为 半径的圆形区域内都会受

到卡车噪声的影响，且卡车 P 与学校A 的距离越近

噪声影响越大.若一直重型运输卡车 P 沿道路ON 方向行驶的速度为18千米/

时.

(1) 求对学校A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校A 的距离； (2) 求卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间

.

C 在线段A

D ±(如图2); O 90°.

x 的代数式表示AD 的长； IS

■ ■

一电.

20

1

【基础答案与解析】

一.选择题

1.

【答案】C;

【解析】树高

为342 3 5 8.

2

.

【答案】A;

【解析】距离

为J4 4 1242.

H

AB x ,

3 .

4 . 【答

案】

【答

案】

B

；

A

；

8.

【解析】

设

脑+血

【解

析】

S A BEF S A CEF，S阴

影

S^ ABD

贝U DP BE= 9- x，在Rt△ ABE 中，

=8再、9 + F = (9 —兀)',JT = 4, ; &彌=6申2

5

. 6

. 【答

案】

【答

案】

D

；

C

；

二.填空题

9 .【答

案】

7 .

10 .【答

案】

【解析】作咼，求得咼

为

15 m，所以面积为15 150 m2.

【解

析】

面积为

11

.

12

.

【答

案】

【答

案】

【解

析】

2 4

3 43.

【答案】

【解析】解：过D作BM的垂线交BM于N,

?「图中S=&tA DOI, S AB O=S AM ND

?- S2+S4=S Rt△ ABC

可证明Rt △ AGE^ Rt △ ABC Rt △ DNB^ Rt△

BHD

? - S1+S2+S3+S1

=$+&+ (S2+S4),

=Rt △ ABC 的面积+Rt △ ABC的面积+Rt △ ABC

的面积

=Rt △ ABC的面积X3

=12X 5-2X3

=90.

故选：A.

13

.

【答

案】

【解

析】

30；

①④；

①的逆命题

“如果两个角相等，那么它们是直角”很明显是错误的；③的逆命

题“如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等”，两个实数可

以互为相反数，所以该命题不正确；

“两直线平行，同旁内角互补”显然正确；②的逆命

题

角三角形，那么三角形的三边长

确的，这是勾股定理的内容

130；

解：如图，

交EC于

???高为

④的逆命题“如果三角形是直

a b、c满足a2b2

A关于EC的对称点A

c2”也是

正

，连接A'B

将容器侧面展开，作

F,贝U A'B即为最短距离.

120cm,底面周长为100cm,在容器内壁离容器底部40cm的

40cm

点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿

与蚊子相对的点A处，??? A D=50cm BD=120cm

2

【解析】 132. 15.【答案】 【解析】 16.【答案】 B

=V A ' 2^1)2=75 2+12 O^

130

(cm

).

???在直角△ A DB 中，A 14.【答案】 2

n

根据勾股定理, 1

2

，解得n 60，所以周长为11 +60+ 61 =

四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积

三.解答题 17.【解析】

解：设此直角三角形两直角边分别是 3X , 4X ，由勾股定理得:

3x 2 4x 2 202 化简得: x 2

16 ???直角三角形的面积为: 1 2

一 3x 4x 6x 96.

18.【解析】

解：由题意得：甲 2小时的路程=30X 2=60海里，乙 里，

2 2 2

?/ 60 +80 =100 , ???/ BAC=90 ,

???C 岛在A 北偏东35°方向，

? B 岛在A 北偏西55°方向. ???乙船所走方向是北偏西 55°方向.

解：设 BD= x ，贝U CD= 30- x .

在Rt △ ACD 中根据勾股定理列出 (30 X)2

解得x = 5. 所以BD= 5.

20.【解析】 解：

点A 与点

??? AM 设BN A ，点B 与点B 分别关于直线MN

AM , BN BN . BN x ，则 CN 9 x .

???正方形ABCD C

90°.

2 2

?- CN BC

??? B C = 3,

BN 2.

2小时的路程=40X 2=80海

??? (9

解得x ? BN x)2 32

5 .

5.

【提高答案与解析】 一.选择题

10 2 202

,

对称,

1 . 【答案】D;

2 2

【解析】m 1 4m m 1 .

c2

2 .

3 .

4 .

5 .

6.

7 . 【解析】因为c2

a2b2,

2 .2

a b

【答案】C;

【解析】连接AC,

【答

案】

【解

析】

【答

案】

【解

析】

【答

案】

【解

析】

计算

n2 1 n2 1 n2 1 n2 1 = 4 n2b2，所以

由勾股定理的逆定理可知：△ ABC是直角三角形.

AC= BC= 75 ,AB = ,根据勾股定理的逆定理，△

ABC是等腰直角三角形，???/ ABC= 45° .

D；

解：A、因为根据三角形内角和定理可求出三个角分别为

90度，所以是直角三角形，故正确；

B因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确;

C因为其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故正确;

D因为根据三角形内角和公式得三个角中没有90°角，

角三角形，故不正确.

故选D.

D；

底边可能是4,也可能是6,故由勾股定理，底边上的咼为

B

；

因为

2246 2,所以此三角形为直角三角形,

30度，60度,

所以不是直

面积为

8.【答案】C;

【解析】如图，过D点作DEI BC于E,则DE= AB, AD= BE, EC= BC— BE= 3,

在Rt△ CDE中，DE=^^^= 4 ,延长AB至F,使AB= BF,连接DF,

交BC于P点，连接AP,这时候PA^PD取最小值，??? AD// BC, B是AF

BP= .在Rt △ ABP 中，AP =

1 2

2

【答

案】

【解

析】

【答

案】

血.

二.填空题

9 .【答

案】

100;

B

；

AC BC 2

X 13X 6= 325.

B

；

【解

析】

AC2 BC2 2AC BC AB2 2AB CD = 169 + 2

\ i :

依题知AO 60 cm , BC= 80 cm 二AB = 7AC2 BC2J602 802

=100 cm

10 ?【答案】6;

【解析】延长AD到E,使DE= AD,连结

11.【答案】3;

BE,可得△ ABE为直角三角形.

【解析】设点B落在AC上的E点处，设BD= x，则DE= BD= x , AE= AB= 6, CE= 4, CD= 8 —x，在Rt △ CDE中根据勾股定理列方程.

12.【答

案】

【解析】ABC为锐角三角形时, BC JCD2 BD2$5 1 726 ；△ ABC 为

13.【答案】BC J CD2 BD2J52 2525辰. 16 ?【答案】

2^61 ；

10

；

2丿9

16n2；

【解析】延长AD到M 使DM= AD,易得△ ABD^A MCD /? CM = AB= 5 AM

=2AD= 12

【解析】最短绕一圈，需要

2

3 13 1 10cm

,

在^ ACM中52122132即CM 2AM 2AC2. / AM(= 90° 在Rt 2J9 16n2. △ DCM中CD J CM2DM 2V5262761 二BC = 2CD= 2761 .

14.【答案】

【解析】

15.【答案】能；

解：可设放入长方体盒子中的最大长度是

2 2 2 2

根据题意，得x =50 +40 +30 =5000,

2

70 =4900,

因为4900V 5000,

所以能放进去.

(3 , 4) ; (2 , 4) ; (8 , 4)

xcm

,

【解

析】

以0为等腰三角形的顶点，作等腰三角形ORD ，因为0P1= 5, PH1 OC 4，所以由勾股定理求得OH13，所以p13,4，同三.解答题

17.【解析】

解：.型

CD

3

一，设BD= 3X，贝U CD= 2X，由AE= AF, BE= BD CF= CD

2

理，以D为以0为等腰三角形的顶点，可求出2,4 ,F3 8,4 .

即AF= 3—2x , AE= 4—3x ,

3 —2 x = 4—3 x，解得x = 1 BC = 3 x + 2 x = 5

如图所示.

2 2 2 2 2 2

又??? 3 4 5 ,即AC AB BC

△ ABC是直角三角形，/ A= 90°.

1 1

ABC - AB gAC - 4 3 6

2 2

18 .【解

析】

在 Rt △ ABC 中，/ ACB= 90°, AC= 8, BC = 6

由勾股定理得： AB = 10，扩充部分为 Rt △ ACD 扩充成等腰△ ABD,应分

以下三种情况.

①如图1，当

?? AD=40m

即对学校A 的噪声影响最大时卡车 P 与学校A 的距离为40米；

（2）由图可知：以 50m 为半径画圆，分别交 ON 于B , C 两点，AD 丄BC ，

BD=C D 1B C, OA=80m

2

???在 Rt △ AOD 中,/ AOB=30 ,

??? AD 丄OA= X 80=40m

3 2

在Rt △ ABD 中, AB=50, AD=4Q 由勾股定理得：

BD

讥产肿

=

30m

由勾股定理

得:

③如图3，当 由勾股定理得:

19. 解: 图2

AD 4j 5，得△ ABD 的周长为(20 4j 5)m . AB 为底时，设 AD= BD= X ,贝y CD= x —

6,

S

图3

x 25，得△ ABD 的周长为80

m 3 3

【解析】

(1)过点A 作ADI ON 于点D,

?// NOM=30 , AO=80m

故BC=2< 30=60米，即重型运输卡车在经过 BD 时对学校产生影响.

???重型运输卡车的速度为 18千米/小时，即坦卫2

60

???重型运输卡车经过 BD 时需要60-300=0.2 （分钟）=12 （秒）. 答：卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校 A 带来噪声影响的时间为 12秒.

20.【解

析】

解：（1）T =x

,

在四边形ABCD 转动的过程中, =300米/分钟,

BC AD 边的长度始终保持不变， BC

???在图 2 中，AC = BC — AB=

位置二的图形见图 3. ???在四边形ABCD 转动的过程中，

??? 在图 3 中，BC = X , AC= AB+ BC = 6 + x , AD= x + 9.

在^ ACD 中，/ C = 90°

X — 6, AD= AC + CD= X +

9. BC AD 边的长度始终保持不变

, 解: AB= AA 10时，可求 CA CB= 6得^ ABD 的周长为 32 m .

②如图2，当 AB= BD= 10 时，可求 CD= 4

R

由勾股定理得AC

2

2 2

CD 2

AD 2

. (6 X)2

152

(X

9)2

.

整理,

X 2

12x 36 225 X 2

18x 81 .

化简， 解得

即 BC = 30. ??? AD = 39.

6x = 180.

=30

. L 5