刚体转动的角速度和角加速度
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定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
转动刚体内各点的速度与加速度
全相等，即
sA sM
求上式两边的一阶及二阶导数，则得 vA vM
aA aMτ
物体的速度和加速度的大小与 M点的速度和切向加速度的大
小相等，因此
vA 0.4 m/s , aA 0.4 m/s2
例5-4
可绕固定水平轴转动的摆，其转动方程为
0
cos
2 T
t，式中，T
是
摆的周期，如图5-12所示。设由摆的重心 C 至转轴 O的距离为 l ，
这就是动点 M沿圆周的运动方程。 动点速度的大小为
v ds r d r dt dt
图5-7
转动刚体内任一点速度的大小等于该点到转轴的垂直 距离与刚体角速度的乘积。
速度的方向是沿圆周的切线方向，指向与转动的方向（即角速
度 ）一致。因此 v 与 应具有相同的正负号。
根据上述结论，在该截面上的任一条通过轴心的直线上，各点的速 度按线性规律分布，将速度矢的端点连成直线，此直线通过轴心。 如图5-8（a）所示。在该截面上，不在一条直线上的各点的速度分 布如图5-8（b）所示。
理论力学
转动刚体内各点的速度与加速度
当刚体绕定轴转动时，距转轴为 r 的任一点 M 做以轴上的 O 点为圆心、 r 为半径的圆周运动，如图5-7所示。若以 M0 为计
算起点，则当刚体转动角 f (t) 时，M点即由M0 点转至M， 由自然法可知 M 点的弧坐标为
s M0M r rf (t)
例5-5
汽轮机叶轮由静止开始做匀加速度转动。如图5-13所示，轮上 M 点 距轴心 O 为 r 0.4 m ，在某瞬时的全加速度 a 40 m/s2 ，与转动半径
的夹角 30 。若 t 0 时，角 0 0 ，求叶轮的转动方程及 t 2 s
第5章 刚体力学
F Fz F
z k Fz来自 F M z k r F M z rF sin
O
r
F
2）合力矩等于各分力矩的矢量和
大学物理讲义
M M1 M 2 M 3
3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消
M ij
大学物理讲义
四
角量与线量的关系
d dt
d d 2 dt dt
2
a
an r
et v a
t
at r an r
2
大学物理讲义
5.2 转动定律 转动惯量 平行轴定理
一 力矩
刚体绕 O z 轴旋转 , 力 F
M
F
作用在刚体上点 P , 且在转动 平面内, 为由点O 到力的 作用点 P 的径矢 . Z 的力矩 F 对转轴
>0
z
z
<0
d dt
定轴转动(fixed-axis rotation)的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标变量 .
大学物理讲义
三
匀变速转动公式
大学物理讲义
质点运动
转动(rotation)：刚体中所有的点都绕同一直线 做圆周运动. 转动又分定轴转动和非定轴转动
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
大学物理讲义
二 刚体转动的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r 角位移
角加速介绍
0 t
0
0t
1 2
t 2
2 02 2 ( 0 )
11
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速 度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动 的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动 的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？
三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度
1.位移与角位移之间的关系
位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质
点的运动。
9
5.匀变速转动的计算公式
1.特点： 1.角加速度为一常量 β C
2.定轴转动。
3.初始条件： t 0时
2.匀变速转动公式
0 0
由
d
dt
有：d dt 两边积分
d
0
t
dt
0
0 t 0 t （1）
由 d
dt
有：d dt
刚体运动的描述
1
一、刚体运动的基本形式
刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各 种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。
刚体的平动是指刚体在运 动过程中其中任意两点的连 线始终保持原来的方向（或 者说，在运动的各个时刻始 终保持彼此平行）。
特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位 移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而 刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。
方向：满足右手定则，沿刚体 转动方向右旋大拇指指向。
角速度是矢量，但对于刚体定轴转 动角速度的方向只有两个，在表示角 速度时只用角速度的正负数值就可表 示角速度的方向，不必用矢量表示。
ω
7
4.角加速度 描写角速度变化快慢和方向的物理量。
t到t+Δt时刻，刚体角速度的增量为：
刚体的定轴转动定律
物体2这边的张力为
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
T2、 T2’(T2’= T2)
T1
T2
T1
T2
am
a
1
a
m
m1
m1g 2
m2
m2g
因m2>m1，物体1向上运动，物体2向下运动，滑轮以
顺时针方向旋转，Mr的指向如图所示。可列出下列方
程
T1 G1 m1a
G2 T2 m2a
T2r T1r M J
式中是滑轮的角加速度，a是物体的加速度。滑轮
t 0
方向:
t dt
右手螺旋方向
z (t)
x
参考平面
参考轴
刚体定轴转动（一
维转动）的转动方向可
以用角速度的正负来表
示.
角加速度
d
dt
定轴转动的特点
z
>0
z
<0
1） 2）
每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
任一质点运动
,
,
均相同，但
v,
a不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
三、 匀变速转动公式
轴的力矩 Mzk
r
F
z
F
k
O rFz
F
M z rF sin
z
Байду номын сангаас
F
M
O
r P
d
五. 定轴转动刚体的转动定律：
Fit
Fi
fit
•
ri
fi
mi• fin
Fin
O
•
j
d
fij
fji
i
Fit ri (miri2 )
I miri2
i
刚体转动的角速度和角加速度
刚体转动的角速度和角加速度
角速度和角加速度是指一个刚体围绕自身轴线旋转时的角速度和角加速度，它们是力
学上一个重要的基本概念，可用来理解刚体运动和受力问题，引出它们的定义也是物理学
课程中学习运动学的重要知识。
角速度指的是刚体每秒绕自身轴线转动的圈数，用弧度每秒的单位来表示，一般符号
表示为ω，因为一般情况下，刚体一秒之内运动角度和角速度之间可以直接表达，所以角速度和角度之间也可以直接表达，常用弧度制表示，把它和角度分别写两个大写字母表示。
角加速度是指刚体在单位时间内绕自身轴线旋转改变角速度所受到的力，一般用角单
位/秒的平方表示，符号表示为α，它和角加速度也可以看做是线性加速度的旋转形式，
表示的是每平方秒所旋转的弧度。
角速度和角加速度的关系可以用微分方程表达，即ω=α· t，其中，t是持续时间。
另外，角速度和角加速度还可以用矩阵形式定义，即ω转矩为α分子· I·ω，其中，
I为轴心的惯性矩，其意义与梯度表示的动量类似。
最后，可以运用力学原理求解角速度和角加速度，同时可以用梯度乘以惯性向量，以
及线性动量求解角速度和角加速度，作为包装应用到更多力学中，使得研究刚体动力学变
得更加简单。
关于刚体转动的角速度和角加速度的讨论
关于刚体转动的角速度和角加速度的讨论
张明影
【期刊名称】《西安航空技术高等专科学校学报》
【年(卷),期】2002(020)001
【摘要】在理论力学教学中,平面运动刚体的转动与基点无关的证明过于简单,本文利用矢量代数的知识,证明平面运动刚体的角速度与角加速度与基点的选择无关.【总页数】2页(P49-50)
【作者】张明影
【作者单位】西航工学院基础部,陕西,西安,710021
【正文语种】中文
【中图分类】O31
【相关文献】
1.刚体角速度和角加速度与基点选择无关的证明 [J], 王希凡
2.刚体的角动量,角速度,力矩和角加速度的关系 [J], 陈跃敏
3.刚体平面运动的角动量和角速度 [J], 杨文平;李素琴
4.重刚体在和角速度成一次正比例阻尼力下定点转动的解 [J], 张惠业;张颐;张帆
5.转动刚体的动量矩和角速度的共线问题 [J], 王叙贵
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
1-.掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度、角加速度等物理量重点
质点直线运动
刚体的定轴转动
位移
x
速度 v dx
dt
加速度
a
dv dt
d2 x dt 2
质量
m
功 动能 动量
A Fdx
EK
1 mv2 2
mv
角位移
角速度 d
角加速度
dt
d
dt
d 2
dt 2
转动惯量J miri2
功
A
2 1
M
Z
d
转动动能
EK
1 J 2
2
角动量
J
功率
P Fv
角功率 P M
课堂讨论题
1.当两个力作用在一个有固定转轴的刚体上下列说法正确吗?
(1)这两个力都平行于轴作用时它们对轴的合力矩一定为零;
(正确)
(2)这两个力都垂直于轴作用时它们对轴的合力矩可能为零;
(正确)
(3)这两个力矢量和为零时,它们对轴的合力矩一定为零;
(不正确)
(4)这两个力对轴的合力矩为零时,它们的矢量和一定为零;
a dv v dv ; 1 v2 2.4x 2x2
得
dt dx 2 vmax 1.2 m s （也可用驻点法求极值得到）
设:A由静止释放沿斜面下滑的最
大距离为 S ,则以A,B,C为系统,其
B R
机械能守恒。
OA
1 ks2 mgs sin 0
2
m
k
C
s 1.2 m
x
=37°
3.如图,已知A: m,l,质量均匀,开始时水平静止B:m , , A竖直时
基本概念和规律
1 .描述刚体定轴转动的物理量及运动学公式
角速度及角加速度的矢量表示
v R r sin
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
矢量积 r的大小及方向都与速度 v 的大
小及方向相同，即
v r （5-17）
转动刚体内任一点的速度，可由刚体的角速 度矢量与该点矢径的矢量积来表示。
图5-19
为了求出加速度 a 与 和 的关系式，取式（5-17）对于时间
的导数，得
a dv d ( r) d r dr
dt dt
dt
dt
但已知 因此得
d
dt
dr ， dt
v
a r v （5-18）
上式右边的第一项的大小为 | r | r sin R
如图5-20（a）所示，于是切向加速度可写为
aτ r
转动刚体内任一点M 的切向加速度矢量等于刚体的角加速度矢量与 该点矢径的矢量积。 式（5-18）右边的第二项的大小为
理论力学
角速度及角加速度的矢量表示
为了指明转轴在空间的方位，规定角速度矢量 和角加速度矢
量 均沿转动轴线，它们的模分别表示该瞬时刚体角速度和角
加速度的大小，用 k 表示沿轴线 Oz 的正方向的单位矢量，则
k d k
dt
d d k k
dt dt
当 0 ， 0 时， 及 均沿z轴的正向，说明刚体在加速转动， 如图5-18（a）所示；当 0 ， 0 时， 沿正向而 沿z轴的负
向，说明刚体在做减速转动，如图5-18（b）所示。
（a） 图5-18
（b）
从转轴上任一点 O作矢量 ，再作矢径 r OM ，如图5-19所示。以
表示 r 与z轴间夹角，点O1表示 M点描绘的圆周的中心， R 是该圆周
的半径，于是速度 v 的大小是 R 。由直角三角形 OMO1 可知 ，所
以 M点的速度的大小为
角加速度表征刚体角速度变化的快慢
角加速度的数值越大，表示刚体在单位时间内角速度的改变量越大，即刚体的转 动状态变化越快。角加速度的方向与刚体转动方向的变化趋势一致，当角加速度 为正值时，表示刚体转动方向在改变。
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。
旋转运动中的角加速度
在旋转运动中，角加速度是描述旋转运动状态变化的重要物 理量。在匀速旋转运动中，角速度的大小和方向保持不变； 而在变速旋转运动中，角速度的大小和方向会发生变化，此 时就需要用到角加速度来描述这种变化。
角加速度的大小和方向决定了旋转运动状态变化的快慢和方 向。在圆周运动中，角加速度的方向与圆周切线方向一致， 指向圆心；在旋转抛物面运动中，角加速度的方向与旋转轴 线一致，指向旋转轴线。
角加速度在日常生活中的应用
角加速度在日常生活中的应用非常广 泛，例如汽车转向、陀螺仪、洗衣机 等。
VS
在汽车转向过程中，驾驶员施加在方 向盘上的力矩会使车轮产生角加速度， 使汽车发生转向动作。陀螺仪则利用 角动量守恒原理，通过测量和计算角 速度和角加速度来指示方向和保持平 衡。洗衣机则利用角加速度使衣物产 生离心力，从而将衣物甩干。
角加速度的方向变化与外力矩的方向有关，当外力矩作用 在刚体的转动轴上时，角加速度方向不变；当外力矩作用 在刚体的非转动轴上时，角加速度方向会发生改变。
角加速度与线加速度的关联
在刚体的平面运动中，角加速度与线 加速度存在一定的关系。
当刚体做定轴转动时，线加速度为零 ；当刚体做平面运动时，线加速度等 于角加速度乘以半径。
04
角加速度的特性
角加速度的方向性
01
角加速度的方向始终与刚体的转 动轴线一致，表示刚体角速度变 化的方向。
02
当刚体做定轴转动时，角加速度 方向与转动轴线重合；当刚体做 平面运动时，角加速度方向垂直 于运动平面。