2020届天一大联考皖豫联盟体高三高中毕业班第一次考试数学(理)试题(解析版)

2020届天一大联考皖豫联盟体高中毕业班第一次考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合(){}2||lg 4A x y x ==-，{|B x y ==，则A B =I ( )A ．{}|12x x <<B ．{}|12x x ≤<C ．{}|13x x 剟D ．{}|23x x -<…【答案】B【解析】根据对数函数和二次函数的性质，求得集合,A B ，再结合集合交集的运算，即可求解． 【详解】由题意，集合(){}2|lg 4(2,2),{|[1,3]A x y x B x y ==-=-===，所以{|12}A B x x =≤<I . 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了集合的交集的概念及运算，其中解答中根据函数的定义域的定义，正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．2．已知复数(1)()z i a i =+-在复平面内对应的点位于第四象限，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1,)+∞ B ．(,1)-∞-C ．(,1)-∞D ．(1,1)-【答案】D【解析】化简复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，根据复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，列出不等式，即可求解． 【详解】由题意，复数(1)()1(1)z i a i a a i =+-=++-，因为复数z 在复平面内对应的点位于第四象限，可得10a +>且10a -<，解得11a -<<.即实数a 的取值范围是(1,1)-．故选：D ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和复数的几何意义，其中熟记复数的运算法则，结合复数的几何意义，列出不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．“2m ≤-”是“函数2()43f x x mx =--在区间[2,)-+∞上单调递增”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据二次函数的性质，求得函数的单调性，再结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解． 【详解】由题意，函数2()43f x x mx =--的对称轴为2x m =，若2m ≤-，则24m ≤-，函数()f x 在[2,)-+∞上递增，充分性成立； 若()f x 在区间[2,)-+∞上递增，则22m ≤-，即1m ≤-，不能推出2m ≤-， 所以必要性不成立， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的单调性和充分条件，必要条件的判定，其中解答中熟练应用二次函数的性质，结合充分、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4．中秋节，小张买了一盒月饼，里面一共有10个月饼，其中豆沙馅、莲蓉馅、蛋黄馅，水果馅和五仁馅各2个，小张从中任取2个月饼，这2个月饼的馅不同的概率为( ) A ．910B ．89C ．45D ．12【答案】B【解析】根据题，求得基本事件的总数，再由馅相同的情况只有5种，得出不同的情况的种数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，从10个月饼中任取2个，共有21045C =种情况，其中馅相同的情况只有5种，可得不同的情况有40种，所以所求概率为408459=. 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了古典概型的概率计算问题，其中解答中认真审题，熟练应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所有事件的个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．5．设22019a -=，2018log 2020b =，2019log 2020c =，则（ ） A ．a c b << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】现根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >，再结合对数函数的单调性，即可求解． 【详解】根据指数函数和对数函数的的性质，可得01a <<，1b >，1c >， 又因为2001log 2018b =，20201log 2019c =，因为20200log 2018<<2020log 20191<，所以2020202011log 2018log 2019>，即a c b <<. 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的性质及其应用，其中解答中熟练应用指数函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力． 6．已知函数1()tan ln (1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数，则不等式()0f x >的解集为( ) A ．(1,0)- B ．(1,1)- C ．(0,1) D ．(0,1)(1,)⋃+∞ 【答案】C【解析】根据函数()f x 为奇函数，整理得2221ln 01a xx-=-，求得1a =，得到1()tan ln1xf x x x+=+-，再结合函数的定义域和单调性，即可求解．【详解】因为函数1()tan ln(1)1axf x x a x+=+≠--为奇函数， 可得()()f x f x -=-，即1tan ln1axx x --++1tan ln 1ax x x+=---， 整理得2221ln 01a x x-=-，可得1a =，所以1()tan ln 1x f x x x +=+-， 从而()f x 的定义域为(1,1)-，又因为()tan ln(1)ln(1)f x x x x =++--在(1,1)-上为增函数，且(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,1). 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的概念及应用，求得函数的解析式，再结合函数的单调性求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7．若,x y 满足约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则122yx⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )A ．116B ．18C ．1D ．2【答案】A【解析】画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域，如图所示，其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，因为1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，所以z 的最小值为min 314z =--=-，则1222yx x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭的最小值为41216-=. 故选：A ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力．8．已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ，a b ⊥r r，()()a c b c -⊥-r r r r ，则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[0,2]C ．[0,4]D ．[0,8]【答案】D【解析】以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，根据AC BC ⊥，得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=，再结合直线与圆的位置关系，即可求解． 【详解】设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r，以点O 为原点，OA u u u r ，OB uuu r分别为x 轴，y 轴的正方向建立直角坐标系，则(2,0),(0,2)A B ，依题意，得AC BC ⊥，所以点C 在以AB 为直径的圆上运动，设点(,)C x y ，则22(1)(1)2x y -+-=，()22a b c x y +⋅=+r r r，由圆心到直线22x y t +=的距离2222222t d +-=≤+[0,8]t ∈.故选：D ． 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力．9．函数2ln x y x=图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()f x 为奇函数，排除A ，B ，再利用导数求得函数的单调性，排除D ，即可求解． 【详解】由题意，函数2ln x y x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，且22ln()ln ()()x x f x f x x x--==-=--，所以函数()f x 为奇函数，排除A ，B ；当0x >时，函数2ln xy x =，则22(1ln )x y x-'=， 当0e x <<时，0y '>，函数单调递增，当x e >时，0y '<，函数单调递减，排除D ． 故选：C . 【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的判定方法，以及函数的导数与单调性的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 10．已知函数1()sin (0)62f x x πωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭，若函数()f x 在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有两个零点，则ω的取值范围为（ ） A ．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．2,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．142,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．142,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】设6x πμω=-，化简函数为1()sin 2f x μ=-，得到函数()f x 在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上前三个零点，列出不等式组，即可求解．【详解】由题意，因为02x π<<，可得6626x ππωππω-<-<-，设6x πμω=-，则函数11()sin sin 622f x x πωμ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭ 则函数1()sin 2f x μ=-在,6πμ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭上，前三个零点分别是513,,666πππ， 所以526613266ωπππωπππ⎧->⎪⎪⎨⎪-⎪⎩„，解得1423ω<„. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，结合零点的概念得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．11．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，42323S S S +=，设,m n 是正整数，若存在正整数(1)ij i j <<，使得,,i j ma mn na 成等差数列，则mn 的最小值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8【答案】D【解析】由42323S S S +=，求得公比2q =，得到12n n a -=，再由,,i j ma mn na 成等差数列，结合基本不等式，即可求解． 【详解】由题意，因为42323S S S +=，可得()43322S S S S -=-，可得342a a =， 即432a a =，所以等比数列{}n a 的公比2q =，所以12n n a -=. 又由,,i j ma mn na成等差数列，得1122224i j i j mn ma na m n m n --=+=+≥+≥令0)t t =>，则24t t ≥，所以4t ≥，4≥，得8mn ≥，当且仅当4,2m n ==时等号成立. 所以mn 的最小值为8. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列，以及基本不等式的综合应用，其中解答中熟记等差数列、等比数列的通项公式和性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理运算能力．12．设,a b 都是不为1的正数，函数11()2x x f x a b --=+-的图象关于1x =对称则()f x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】B【解析】由函数()f x 的图象关于1x =对称，得到()2x xg x a b =+-为偶函数，求得1ab =，又根据()0g x ≥，得到函数()g x 有且只有一个零点，从而得到函数()f x 只有一个零点． 【详解】依题意，函数11()2x x f x ab --=+-的图象关于1x =对称，可得()2xxg x a b =+-为偶函数，所以()()g x g x =-，即x x x x a b a b --+=+，所以11x x xxx x x x a b a b a b a b++=+=⋅，所以1x x a b ⋅=，即()1xa b ⋅=，因对任意x 恒成立，所以1ab =，所以1b a =，可得1()x x xb a a-==，所以()220x x g x a a -=+-≥=，当且仅当0x =时等号成立， 所以()g x 有且只有一个零点，又因为函数()f x 的零点个数等价于函数()g x 的零点个数， 所以函数()f x 有且只有一个零点． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了函数的对对称性的应用，以及函数的零点的个数的判定，其中解答中熟练应用函数的对称性，以及函数的基本性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．二、填空题13．设函数2,0,()1lg ,0,x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩则110f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______. 【答案】98【解析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入即可求解． 【详解】依题意，函数2,0()1lg ,0x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，可得得1110100f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以111lg 10021009810100100f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-==+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：98． 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答中准确把握分段函数的分段条件，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力．14．已知函数()ln 1f x x x =++的图象上有一点(,2)P m ，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程为______. 【答案】2y x =【解析】利用导数求得()f x 为增函数，根据(1)2f =，求得1m =，进而求得(1)2f '=，得出即在点P 处的切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求解． 【详解】由题意，点(,2)P m 在曲线()y f x =上，可得()ln 12f m m m =++=， 又由函数()ln 1,0f x x x x =++>，则1()10f x x'=+>， 所以函数()f x 在(0,)+∞上为增函数，且(1)2f =，所以1m =， 因为1()1f x x'=+，所以(1)2f '=，即在点P 处的切线的斜率为2， 所以曲线()y f x =在点(1,2)P 的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =．【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义，以及导数的运算公式，结合直线的点斜式方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．15．已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，底面ABC 是直角三角形，且斜边AB 的长为D ABC -的体积的最大值为_____. 【答案】3【解析】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，得出三棱锥D ABC -的体积最大时，ABC V 是等腰直角三角形，顶点D 在MO 的延长线上，结合体积公式，即可求解． 【详解】设三棱锥D ABC -的外接球球心为O ，AB 的中点为M ，由ABC ∆是直角三角形，且斜边AB 的长为所以ABC ∆外接圆的半径为r =所以1OM ===，当三棱锥D ABC -的体积最大时，顶点D 在底面ABC 上的射影恰好为点M ，此时13DM R =+=，又22122AC BC AC BC +=≥⋅，∴6AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC =时，等号成立， 此时ABC ∆是等腰直角三角形，且1632ABC S ∆=⨯=， 所以三棱锥D ABC -的最大体积为13333D ABC V -=⨯⨯=. 故答案为：3. 【点睛】本题主要考查了组合体的性质的应用，以及三棱锥的体积的计算，其中解答中得到三棱锥D ABC -的体积最大时，几何体的结构特征是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及计算能力．16．已知函数321()13f x x ax =-+的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点，则实数a 的取值范围为_______.【答案】11,212⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭【解析】求得2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，根据函数的单调性和(0)10=>f ，不符合题意，得到0a >，进而得出()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增，结合题意，利用函数的性质，分类讨论，即可求解． 【详解】由题意，函数321()13f x x ax =-+，则2()2(2)f x x ax x x a '=-=-，令()0f x '=，得0x =或2x a =，当0a ≤时，()f x 在(0,2)上单调递增，因为(0)10=>f ，不符合题意，故0a >， 当(0,2)x a ∈时，()0f x '<；当(2,)x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(0,2)a 上单调递减，在(2,)a +∞上单调递增， 因为函数()f x 的图象在区间(0,2)上与x 轴恰好有1个公共点， ①当(2)0f <时，即1(2)84103f a =⨯-+<，解得1112a >；②当022a <<且(2)0f a =时，可得338(2)4103f a a a =-+=，解得2a =，综上可得，实数a 的取值范围是2a =或1112a >.故答案为：11,12⎡⎫⋃+∞⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭.【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的零点问题，其中解答中熟练利用导数求得函数的单调性，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力．三、解答题17．设a 为实数，1212:2220a a a p ++--+<，:(0,)q x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立.（1）若P 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若()p q -∧为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,12⎛⎫⎪⎝⎭；（2）1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦【解析】（1）由命题P 为真命题，得到关于实数a 不等式，结合指数的运算性质，即可求解；（2）由命题q 为真命题，结合基本不等式求最值，得到2a ≤，再由()p q ⌝∧为真命题，得出p 为假命题且q 为真命题，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）由命题P为真命题，即()(12122222220a aa a a ++--+=-<，22a <<，可得112a <<，即实数a 的取值范围是1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭.（2）若命题q 为真命题，由(0,)x ∀∈+∞，不等式210x ax -+≥恒成立， 即21x ax +…在(0,)x ∈+∞上恒成立，即1a x x≤+对(0,)x ∈+∞恒成立， 当(0,)x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，所以q 为真命题时，可得2a ≤，又因为()p q ⌝∧为真命题，则p 为假命题且q 为真命题，所以1122a a a ⎧≤≥⎪⎨⎪≤⎩或，解得12a „或12a 剟. 所以实数a 的取值范围是1,[1,2]2⎛⎤-∞⋃ ⎥⎝⎦. 【点睛】本题主要考查了以命题的真假为载体求解参数的取值范围，其中解答中熟记复合命题的真假判定，以及一元二次不等式和不等式的恒成立问题的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 18．已知函数321()33f x x mx nx =+++，其导函数()f x '是偶函数，且(3)0f =. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()2y f x λ=-的图象与x 轴有三个不同的交点，求实数λ的取值范围.【答案】（1）31()433f x x x =-+；（2）725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】（1）由()f x '是偶函数，根据()()f x f x ''-=，求得所以0m =，再由(3)0f =，解得4n =-，即可得到函数的解析式；（2）由（1），求得2()4f x x =-'，进而求得函数的单调性与极值，再根据曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点，得出725233λ-<<，即可求解． 【详解】（1）由题意，函数321()33f x x mx nx =+++，则2()2f x x mx n '=++， 因为()f x '是偶函数，则()()f x f x ''-=，可得2222x mx n x mx n -+=++，所以0m =，又因为(3)0f =，所以127093303n ⨯+⨯++=，解得4n =-，所以函数的解析式为31()433f x x x =-+. （2）由（1）可得函数31()433f x x x =-+，则2()4f x x =-'，令2()40f x x '=-=，解得2x =±.当2x <-或2x >时，()0f x '>，所以()f x 在(,2)-∞-，(2,)+∞上分别单调递增， 当22x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(2,2)-上单调递减， 所以()f x 的极大值为25(2)3f -=，()f x 的极小值为7(2)3f =- 又由曲线()y f x =与直线2y λ=有三个不同的交点， 所以725233λ-<<，即72566λ-<<， 故实数λ的取值范围是725,66⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了函数性质的综合应用，以及利用导数求解函数的零点问题，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性与极值是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力．19．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )(0)P θθθπ<<，以PQ 为斜边作一等腰直角三角形PRQ （原点O 与点R 分别在直线PQ 的两侧）.（1）当3πθ=时，求2||OR ；（2）求四边形OPRQ 面积的最大值. 【答案】（1）532+（2524【解析】（1）当3πθ=时，得到点P 的坐标为3)，在ORQ ∆中，由余弦定理，即可求得2||OR 的值．（2）根据三角形的面积公式，求得四边形OPRQ 的面积为5244S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，结合三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1）在直角坐标系xOy 中，已知定点(1,0)Q 及动点(2cos ,2sin )P θθ， 当3πθ=时，点P 的坐标为3)，所以2OQP π∠=，且||3PQ =所以34OQR π∠=，6||||cos 4RQ PQ π==， 在ORQ ∆中，由余弦定理，可得2223||||||2||||cos4OR OQ RQ OQ RQ π=+-⋅ 36251213222⎛⎫=+-⨯-=+ ⎪ ⎪⎝⎭所以2||OR 532=+ （2）由题意可得，||2OP =，POQ θ∠=. 四边形OPRQ 的面积211||||sin ||24S OP OQ PQ θ=⋅+ ()221sin 12212cos 4θθ=++-⨯⨯55sin cos 2444πθθθ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为(0,)θπ∈，当34πθ=时，四边形OPRQ 面积S 524. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式，以及三角函数的性质的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力．20．已知等差数列{}n a 满足54a =，69218a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n S 满足21n n S b =-.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）若*n N ∀∈，1122(2)2n n a b a b a b n t +++-+L …恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）1n a n =-，12n nb -=；（Ⅱ）[2,8].【解析】（Ⅰ）根据题设条件，列出方程组求得1,a d 的值，即可得到得出数列{}n a 的通项公式，再利用数列的递推关系，得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列，即可求出数列的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯，利用乘公比错位相减法，即可求解．【详解】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为54a =，69218a a +=，可得114431818a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得101a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)1n a a n d n =+-=-，对于数列{}n b ，当1n =时，11121b S b ==-，解得11b =. 当2n ≥时，1121n n S b --=-，21n n S b =-， 两式相减，得122n n n b b b -=-，即12n n b b -=， 所以{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，所以12n nb -=.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得1(1)2n n n a b n -=-⨯.令1122n n n T a b a b a b =+++L ， 当1n =时，10T =.当2n ≥时，12211222(2)2(1)2n n n T n n --=⨯+⨯++-⨯+-⨯L ， 则23121222(2)2(1)2n nn T n n -=⨯+⨯++-⨯+-⨯L .两式相减，得2312222(1)2n nn T n --=++++--⨯L22(1)2(2)2212n n n n n -=--⨯=--⨯--， 得(2)22n n T n =-⋅+，而1n =时也符合该式，所以(2)22nn T n =-⋅+，故题中不等式可化为(2)2(2)nn n t -⨯≥-.（）， 当1n =时，不等式（）可化为2t -≥-，解得2t ≥； 当2n =时，不等式（）可化为00≥，此时t ∈R ； 当3n ≥时，不等式（）可化为2n t ≤，因为数列{}2n是递增数列，所以8t ≤，综上，实数t 的取值范围是[2,8]. 【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数，能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.21．已知椭圆2222:1(0,0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，12AF F △的面积为1，且椭圆C的离心率为2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）点M 在椭圆上且位于第二象限，过点1F 作直线11l MF ⊥，过点2F 作直线22l MF ⊥，若直线12,l l 的交点N 恰好也在椭圆C 上，求点M 的坐标.【答案】（1）2212x y +=；（2）⎛ ⎝⎭【解析】（1）根据题设条件，列出,,a b c 的方程组，结合222a c b -=，求得,,a b c 的值，即可得到椭圆的标准方程；（2）设()00,M x y ，分01x =-和01x ≠-两种情况讨论，当01x ≠-时，联立12,l l 的方程组，取得20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，再结合椭圆的对称性，列出方程组，即可求解【详解】（1）由椭圆C 的上顶点为A ，12AF F ∆的面积为1，且椭圆C的离心率为2，可得2221212c a c b bc a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅==⎨⎪-=⎪⎪⎩，解得1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知，椭圆的方程2212x y +=，可得1(1,0)F -，2(1,0)F ，设()00,M x y ，则00x <，00y >.当01x =-时，2l 与1l 相交于点2F 不符合题意；当01x ≠-时，直线1MF 的斜率为001y x +，直线2MF 的斜率为001y x -，因为11l MF ⊥，22l MF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-，直线2l 的斜率为001x y --， 所以直线1l 的方程为001(1)x y x y +=-+，直线2l 的方程为001(1)x y x y -=--，联立1l 和2l 的方程，解得0x x =-，2001x y y -=，所以20001,x N x y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，因为点,M N 在椭圆C 上，由椭圆的对称性，可知20001x y y -=±， 所以22001x y -=或22001x y +=，由方程组22002200112x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，而方程组22002200112x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩无解（舍去）， 所以点M的坐标为⎛ ⎝⎭. 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求解、及直线与椭圆的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与椭圆方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力． 22．已知函数()2ln 1f x x ax =+-，其中a ∈R . （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）已知(0,1)a ∈，[1,e]x ∈，设函数2()1()2f x ax g x x ++=的最大值为M ，求证：1M <.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】（Ⅰ）求得函数的导数2()f x a x'=+，分0a ≥和0a <两种情况讨论，即可求得函数的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增，结合零点的存在定理，得到存在唯一0(1,)x e ∈，使得()00f x =，进而得出()g x 的单调性和最值0021ln ,(1,)x M x e x -=∈，再结合函数21ln (),(1,)xx x e xϕ-=∈的单调性，即可求解． 【详解】（Ⅰ）由题意，函数()2ln 1,0f x x ax x =+->，则2(),0f x a x x'=+>， ①当0a ≥时，()0f x '>，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ②当0a <时，当20,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>，当2x a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，+时，()0f x '<， 所以函数()f x 在20,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在2,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． （Ⅱ）依题意得22()1ln ()2f x ax x axg x x x +++==，则332ln 1()()x ax f x g x x x +-'=-=-，因为当01a <<时，由（Ⅰ）可知()f x 在[1,]e 上单调递增， 又因为(1)10,()10f a f e ae =-<=+>，所以存在唯一0(1,)x e ∈，使得()0002ln 10f x x ax =+-=. 当01x x ≤≤时，()0f x <，()0g x '>，()g x 在[]01,x 上单调递增；当0x x e ≤≤时，()0f x >，()0g x '<，()g x 在[]0,x e 上单调递减； 因此()g x 在0x x =处取得最大值， 且最大值为()000002200ln 1ln ,(1,)x ax x M g x x e x x +-===∈， 设21ln ()((1,))x x x e x ϕ-=∈，则3332ln 32ln 31()0x e x x x xϕ--'=<=-<， 所以()x ϕ在(1,)e 上递减，所以21ln1()(1)11x ϕϕ-<==，即1M <． 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．。