2013 合肥一模 理科 数学以及参考答案
2013年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷
A． m<5
B． m<3
C． 3<m<5
D． m＞3
9．10．设如图一系列图形中最外边的正方形边长都是 1，依次连接正方形四边中点得新的 正方形，观察图形，则第 n 个图形中所有三角形的面积是 （ ）
A． 1
1 2
n
B． 1
1 3
n
C．
1 2
七、 （本题满分 12 分）
22.如图 1，在矩形 ABCD（AB<BC）的 BC 边上取一点 E，使得 BA=BE,作 AEF 90 ,
o
交 AD 于 F 点，易证 EA=EF。 （1）如图 2，若 EF 与 AD 的延长线交于点 F，证明：EA=EF 仍然成立； （2）如图 3，若四边形 ABCD 是平行四边形（AB<BC）,在 BC 边上取一点 E，使 BA=BE, 作 AEF ABE , 交 AD 于 F 点，则 EA=EF 是否成立？若成立请说明理由。 （3）由题干（1） （2）你可以得出什么结论。
五、 （本大题共 2 小题，每题 10 分，满分 20 分）
19、已知：如图，在大蜀山山顶有一斜坡 AP 的坡度为 1:2.4，坡长 AP 为 26 米，在坡顶 A 处的同意水平面上有一座安徽卫视发射塔 BC，在斜坡底 P 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为
45°，在坡顶 A 处测得该塔的塔顶 B 的仰角为 76°．求： （1）坡顶 A 到地面 PQ 的距离； （2）发射塔 BC 的高度（结果精确到 1 米） ． （参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24， tan76°≈4.01）
，
解得，3＜m＜5．故选 C. 10、解：∵第 1 个图形中所有三角形的面积是 1×1﹣ ×
2013年高考理科数学安徽卷word解析版
D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线
4．(2013安徽，理4)“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内
单调递增”的()．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．(2013安徽，理5)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五
10．(2013安徽，理10)若函数f(x)＝x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))
3＋ax2＋bx＋c有极值点x
A．3B．4C．5D．6
第Ⅱ卷(非选择题共100分)
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．
8
a
4
的系数为7a__________.，则实数＝
6
2
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡
上的指定区域内．
2013安徽理科数学第2页
16．(2013安徽，理16)(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4cosωx·
期为π.
(1)求ω的值；
sin
π
x(ω＞0)的最小正周
4
(2)讨论f(x)在区间0,
2．(2013安徽，理2)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是()．
125311
6B．24C．4D．12
A．
3．(2013安徽，理3)在下列命题中，不是．．公理的是()．
A．平行于同一个平面的两个平面相互平行
B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此
2013年高考安徽卷理科数学试题及答案
2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（安徽卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位.z 是复数z 的共轭复数．若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋i D ．－1－i 答案 A解析 设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R代入z ·z i ＋2＝2z ，整理得：(a 2＋b 2)i ＋2＝2a ＋2b i则⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a 2＋b 2＝2b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，因此z ＝1＋i. 2．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112答案 D解析 赋值S ＝0，n ＝2 进入循环体：检验n ＝2<8， S ＝0＋12＝12，n ＝2＋2＝4； 检验n <8， S ＝12＋14＝34，n ＝4＋2＝6； 检验n <8，S ＝34＋16＝1112，n ＝6＋2＝8，检验n ＝8，脱离循环体， 输出S ＝1112.3．在下列命题中，不是公理的是( ) A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行 B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 答案 A解析 B 、C 、D 选项是公理．4．“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 若a ＝0，f (x )＝|x |在(0，＋∞)上单调递增； 若a ≠0，f (x )＝|(ax －1)x |＝(ax －1)2x 2 f ′(x )＝2a 2x ⎝⎛⎭⎫x －12a ⎝⎛⎭⎫x －1a |(ax －1)x |；当x >0时，若a <0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上递增． 若a >0，由f ′(x )>0解得0<x <12a 或x >1a.因此“a ≤0”⇔“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”．5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是( ) A ．这种抽样方法是一种分层抽样 B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 答案 C解析 x 男＝15(86＋94＋88＋92＋90)＝90，x 女＝15(88＋93＋93＋88＋93)＝91，s 2甲＝15(42＋42＋22＋22＋02)＝8， s 2乙＝15(32＋22＋22＋32＋22)＝6. 6．已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2} 答案 D解析 由已知条件0<10x <12，解得x <lg 12＝－lg 2.7．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( ) A ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝2 B ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2C ．θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝1D ．θ＝0(ρ∈R )和ρcos θ＝1 答案 B解析 如图，在极坐标系中圆ρ＝2cos θ与圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝π2和ρcos θ＝2.8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n (n ≥2)个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f (x 1)x 1＝f (x 2)x 2＝…＝f (x n )x n，则n 的取值范围为( )A ．{3,4}B ．{2,3,4}C ．{3,4,5}D ．{2,3}答案 B解析 过原点作直线与函数y ＝f (x )的图象可以有两个、三个、四个不同的交点，因此n 的取值范围是{2,3,4}．9．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足|OA →|＝|OB →|＝OA →·OB →＝2，则点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →.|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域的面积是( ) A ．2 2 B ．2 3C ．4 2D ．4 3答案 D解析 由|OA |＝|OB |＝OA ·OB ＝2，知cos ∠AOB ＝12，又0≤∠AOB ≤π，则∠AOB ＝π3，点集{P |OP →＝λOA →＋μOB →，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R }所表示的区域如图所示；其面积为4S △AOB ＝4 3.10．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有极值点x 1，x 2，且f (x 1)＝x 1，则关于x 的方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0的不同实根个数是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 答案 A解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知x 1≠x 2，且⎩⎪⎨⎪⎧3x 21＋2ax 1＋b ＝0，3x 22＋2ax 2＋b ＝0，若x 1<x 2，作y ＝x 1，y ＝x 2与f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 有三个不同交点．即方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同的实根． 若x 1>x 2，如图同理方程3(f (x ))2＋2af (x )＋b ＝0有三个不同实根．二、填空题11．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12.12．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sin A ＝5sin B ，则角C ＝________. 答案2π3解析 由已知条件和正弦定理得：3a ＝5b ，且b ＋c ＝2a ， 则a ＝5b 3，c ＝2a －b ＝7b 3cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又0<C <π，因此角C ＝2π3.13．已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2x 2＋(y －a )2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0a －1≥0，解得a ≥1.14．如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n …分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．答案 a n ＝3n －2解析 由已知S 梯形A n B n B n ＋1A n ＋1＝S 梯形A n ＋1B n ＋1B n ＋2A n ＋2 S △OB n ＋1A n ＋1－S △OB n A n ＝S △OB n ＋2A n ＋2－S △OB n ＋1A n ＋1， 即S △OB n A n ＋S △OB n ＋2A n ＋2 ＝2S △OB n ＋1A n ＋1由相似三角形面积比是相似比的平方知OA 2n ＋OA 2n ＋2＝2OA 2n ＋1，即a 2n ＋a 2n ＋2＝2a 2n ＋1， 因此{a 2n }为等差数列a 2n ＝a 21＋3(n －1)＝3n －2，a n ＝3n －2.15．如图，正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当CQ ＝34时，S 与C 1D 1的交点R 满足C 1R ＝13；④当34<CQ <1时，S 为六边形；⑤当CQ ＝1时，S 的面积为62. 答案 ①②③⑤解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确；当CQ ＝34时，由△PCQ ∽△ADM ，DM AD ＝CQ PC ，则DM ＝AD ·CQ PC ＝32.连接MQ 交C 1D 1于R 点C 1R D 1R ＝C 1QD 1M＝12，即D 1R ＝2C 1R ，又D 1R ＋C 1R ＝1，则C 1R ＝13故命题③正确．当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题④错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12·2·3＝62，故命题⑤正确．三、解答题16．已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性． 解 (1)f (x )＝4cos w x ·sin ⎝⎛⎭⎫w x ＋π4 ＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin2 ωx ＋cos2 ωx )＋ 2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2 ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω>0. 从而有2π2ω＝π，故ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4. 当π4≤2x ＋π4≤π2. 即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增；当π2≤2x ＋π4≤5π4， 即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增， 在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减．17．设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a >0，区间I ＝{x |f (x )>0}． (1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解 (1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2. 故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}． 因此区间I ＝⎝⎛⎭⎫0，a1＋a 2，I 的长度为a1＋a 2.(2)设d (a )＝a1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2.令d ′(a )＝0，得a ＝1. 由于0<k <1，故1－k ≤a <1时， d ′(a )>0，d (a )单调递增； 当1<a ≤1＋k 时， d ′(a )<0，d (a )单调递减． 所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得． 而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1. 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k2－2k ＋k 2.18．设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1，F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． (1)解 因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)， 其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c(x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为⎝⎛⎭⎫0，cy 0c －x 0.因此，直线F 1Q 的斜率为kF 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以kF 1P ·kF 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20－(2a 2－1)①将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限． 解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2. 即点P 在定直线x ＋y ＝1上．19．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5°，AB 和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60°. (1)证明：平面P AB 与平面PCD 的交线平行于底面； (2)求cos ∠COD .(1)证明 设面P AB 与面PCD 的交线为l .因为AB ∥CD ，AB 不在面PCD 内，所以AB ∥面PCD . 又因为AB ⊂面P AB ，面P AB 与面PCD 的交线为l ，所以AB ∥l . 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知， l 与底面平行．(2)解 设CD 的中点为F ， 连接OF ，PF .由圆及等腰三角形的性质知，∠COD ＝2∠COF ，OF ⊥CD . 因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP ⊥CD . 又OP ∩OF ＝O ，故CD ⊥面OPF . 又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD . 从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF .故∠OPF 为OP 与面PCD 所成的角． 由题设，∠OPF ＝60°.设OP ＝h ，则OF ＝OP ·tan ∠OPF ＝h ·tan 60°＝3h . 根据题设有∠OCP ＝22.5°， 得OC ＝OP tan ∠OCP ＝h tan 22.5°.由1＝tan 45°＝2tan 22.5°1－tan 222.5°和tan 22.5°>0，可解得tan 22.5°＝2－1. 因此OC ＝h2－1＝(2＋1)h . 在Rt △OCF 中，cos ∠COF ＝OF OC ＝3h(2＋1)h ＝6－ 3.故cos ∠COD ＝cos(2∠COF )＝2cos 2∠COF －1 ＝2(6－3)2－1＝17－12 2.20．设函数f n (x )＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0； (2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n .证明 (1)对每个n ∈N *，当x >0时， f n ′(x )＝1＋x2＋…＋x n －1n>0.故f n (x )在(0，＋∞)内单调递增． 由于f 1(1)＝0，当n ≥2时， f n (1)＝122＋132＋…＋1n2>0.故f n (1)>0.所以存在唯一的x n ∈⎣⎡⎦⎤23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋x n ＋1(n ＋1)2>f n (x)， 故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f (n ＋1)(x)在(0，＋∞)内单调递增知x n ＋1<x n .故{x n }为单调递减数列．从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n n n 2＝0.① f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p (n ＋1)2＋…＋x n ＋p n ＋p (n ＋p )2＝0.② ①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得∑n ＋pk ＝n ＋11k (k －1)＝1n －1n ＋p <1n. 因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <1n. 21．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X .(1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(2)求使P (X ＝m )取得最大值的整数m .解 (1)因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于P (A )＝P (B )＝C k －1n －1C k n ＝k n ，故P (A )＝P (B )＝1－k n .因此学生甲收到活动通知信息的概率P ＝1－⎝⎛⎭⎫1－k n 2＝2kn －k 2n 2. (2)当k ＝n 时，m 只能取n ，有P (X ＝m )＝P (X ＝n )＝1.当k <n 时，整数m 满足k ≤m ≤t ，其中t 是2k 和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为(C k n )2.当X ＝m时，同时收到李老是和张老师转发信息的学生人数恰为2k －m .仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人数均为m －kx 由乘法计数原理知：事件|X ＝m |所含基本事件数为C k n C 2k －m k C m －k n －k ＝C k n C m －k k C m －k n －k . 此时P (X ＝m )＝C k n C 2k －m k C m －k n －k (C k n )2＝C m －k k C m －k n －k C k n . 当k ≤m ＜t 时，P (X ＝m )≤P (X ＝m ＋1)⇔C m －k k C m －k n －k ≤C m ＋1－k k C m ＋1－k n －k ⇔(m －k ＋1)2≤(n －m )(2k －m )⇔m ≤2k －(k ＋1)2n ＋2.假如k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t 成立． 则当(k ＋1)2能被n ＋2整除时．k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2≤t . 故P (X ＝m )在m ＝2k －(k ＋1)2n ＋2和 m ＝2k ＋1－(k ＋1)2n ＋2处达最大值； 当(k ＋1)2不能被n ＋2整除时．P (X ＝m )在m ＝2k －⎣⎢⎡⎦⎥⎤(k ＋1)2n ＋2处达最大值． (注：[x ]表示不超过x 的最大整数)．下面证明k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<t . 因为1≤k <n ，所以2k －(k ＋1)2n ＋2－k ＝kn －k 2n ＋2－1≥ k (k ＋1)－k 2－1n ＋2＝k －1n ＋2≥0. 而2k －(k ＋1)2n ＋2－n ＝－(n －k ＋1)2n ＋2<0. 故2k －(k ＋1)2n ＋2<n .显然2k －(k ＋1)2n ＋2<2t . 因此k ≤2k －(k ＋1)2n ＋2<1.。
2013年合肥市瑶海区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
2013年安徽省合肥市瑶海区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）2．（4分）（2013•瑶海区一模）2013年安徽省将投入资金54.8亿元，全部免除740万城乡义务教育阶段学3．（4分）（2011•南昌）将两个大小完全相同的杯子（如图甲）叠放在一起（如图乙），则图乙中实物的俯视图是（） B．4．（4分）（2009•南充）如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（）5．（4分）（2012•黔东南州）如图，矩形ABCD边AD沿拆痕AE折叠，使点D落在BC上的F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（）AB×=6．（4分）（2013•瑶海区一模）如图是H市2013年3月上旬一周的天气情况，右图是根据这一周每天的最高气温绘制的折线统计图，下列说法正确的是（）7．（4分）（2013•瑶海区一模）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点，EA⊥AB，且AB=8，AE=6，则梯形ABCD的面积等于（），AB×8．（4分）（2013•瑶海区一模）如图，已知A是反比例函数（x＞0）图象上的一个动点，B是x轴上的一动点，且AO=AB．那么当点A在图象上自左向右运动时，△AOB的面积（）是反比例函数=9．（4分）（2013•瑶海区一模）如图，一次函数y=（m﹣5）x+6﹣2m的图象分别与x轴、y轴的相交于A、B两点，则m的取值范围是（）轴交与负半轴，则10．（4分）（2013•瑶海区一模）设如图一系列图形中最外边的正方形边长都是1，依次连接正方形四边中点得新的正方形，观察图形，则第n个图形中所有三角形的面积是（））﹣（）×）﹣﹣（﹣﹣（﹣（二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．（5分）（2013•瑶海区一模）把代数式ax2﹣ax+a分解因式，结果是a（x﹣）2．a）））12．（5分）（2013•瑶海区一模）小明同学从家步行到公交车站台，在等公交车去学校，图中的折线表示小明同学的行程s（km）与所花时间t（min）之间的函数关系，从图中可以看出公交车的速度是500m/min．13．（5分）（2013•瑶海区一模）将一副三角板按如图叠放，若OB=，则OD=3．==，BO=，HC=HO=，BC=，BD=2BC=3+，﹣=32的值以及抛物线的顶点分别是﹣4；5；（2，1）．﹣=2三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）15．（8分）（2013•瑶海区一模）计算：（1+）÷．并从﹣2，0，2，4中选取一个你最喜欢的数代入求值．×，=16．（8分）（2012•内江）计算：．=2=2四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）17．（8分）（2013•瑶海区一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（1，n）．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）请直接写出坐标轴上满足条件PA=OA的点P的坐标．所以，=2y=18．（8分）（2013•瑶海区一模）《给老师的100条建议》是前苏联著名教育实践家和教育理论家苏霍姆林斯基的作品，是世界文学史上经久不衰的教育名著，北京教育科学出版社在2013年1月份印刷了该书60万册，3月份印刷72.6万册，若2、3月份平均每月增长率相同，求2、3月份平均每月的增长率．五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）19．（10分）（2013•瑶海区一模）已知：如图，在大蜀山山顶有一斜坡AP的坡度为1：2.4，坡长AP为26米，在坡顶A处的同一水平面上有一座安徽卫视发射塔BC，在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76°，求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）发射塔BC的高度．（结果保留为整数）sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.0，tan14°≈0.525．，求出即可．=，≈≈20．（10分）（2013•瑶海区一模）2012年1月15日，广西龙江河发生严重的重金属镉污染事件．据专家介绍，重金属镉具有毒性，长期过量接触镉会引起慢性中毒，影响人体肾功能．为了解这次镉污染的程度，国务院派出的龙江河调查组抽取上层江水制成标本a1、a2，抽取中层江水制成标本b1、b2，抽取下层江水制成标本c1、c2．（1）若调查组从抽取的六个样本中送选两个样本到国家环境监测实验室进行检验，求刚好选送一个上层江水标本和一个下层江水标本的概率；（2）若每个样本的质量为500g，检测出镉的含量（单位：mg）分别为：0.3、0.2、0.7、0.5、0.3、0.4，请算出每500g河水样本中金属镉的平均含量；（3）据估计，受污染的龙江河河水共计2500万吨，请根据（2）的计算结果，估算出2500万吨河水中含镉量约为多少吨？）由题意可得=×=；）=×六、解答题（共1小题，满分12分）21．（12分）（2013•瑶海区一模）每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到点B2的路径长．OB==，=22七、解答题（共1小题，满分12分）22．（12分）（2013•瑶海区一模）如图1，在矩形ABCD（AB＜BC）的BC边上取一点E，使BA=BE，作∠AEF=90°，交AD于F点，易证EA=EF．（1）如图2，若EF与AD的延长线交于点F，证明：EA=EF仍然成立；（2）如图3，若四边形ABCD是平行四边形（AB＜BC），在BC边上取一点E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F点．则EA=EF是否成立？若成立，请说明理由．（3）由题干和（1）（2）你可以得出什么结论．八、解答题（共1小题，满分14分）23．（14分）（2013•瑶海区一模）为了落实国务院总理李克强同志到合肥考察时的指示精神，合肥市政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅增加，长丰县某农户生产一种“红颜草莓”，已知这种草莓的成本价为10元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=60﹣2x，设这种草莓每天的销售利润为y（元）．（1）求y与x之间的函数关系式：（2）当这种草莓的销售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）若这种草莓从上市开始销售单价x与销售月数m的关系是x=﹣2m+22（0＜m＜6，且m为整数），求该农户共获得多少万元利润（每个月按30天计）．。
2013年高考安徽理科数学试题及答案解析版
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． （1）【2013年安徽，理1，5分】设i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数．若·i+2=2z z z ，则z =（ ）（A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- 【答案】A【解析】设()i z a b a b =+∈R ,，则由·i+2=2z z z 得()()i i i 2i (2)a b a b a b +-+=+，即22i (2i )22a b a b ++=+， 所以22a =，222a b b +=，所以1a =，1b =，即i 1i z a b =+=+，故选A ．（2）【2013年安徽，理2，5分】如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（ ）（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）1112【答案】D【解析】开始28<，11022s =+=，224n =+=；返回，48<，113244s =+=，426n =+=；返回，68<，31114612s =+=，628n =+=；返回，88<不成立，输出1112s =，故选D ．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命题中，不是．．公理的是（ ） （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行 （B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内（D ）如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】A 【解析】由立体几何基本知识知，B 选项为公理2，C 选项为公理1，D 选项为公理3，A 选项不是公理，故选A ． （4）【2013年安徽，理4，5分】“0a ≤”是“函数()1|()|f x ax x =-在区间(0)+∞，内单调递增”的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C【解析】函数()f x 的图象有以下三种情形：0a = 0a > 0a < 由图象可知()f x 在区间(0)+∞，内单调递增时，0a ≤，故选C ．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生．随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93．下列说法一定正确的是（ ）（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样 （C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 【答案】C【解析】解法一：对A 选项，分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数之比，所以A 选项错； 对B 选项，系统抽样要求先对个体进行编号再抽样，所以B 选项错； 对C 选项，男生方差为40，女生方差为30．所以C 选项正确；对D 选项，男生平均成绩为90，女生平均成绩为91．所以D 选项错，故选C ． 解法二：五名男生成绩的平均数为869488920150(9)9++++=，五名女生成绩的平均数为()18893938893915++++=，五名男生成绩的方差为22222218690949088909290909085s (-)+(-)+(-)+(-)+(-)==，五名女生成绩的方差为2222288913939165s (-)+(-)==，所以2212s s >，故选C ．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式()0f x <的解集为112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或，则()100x f ＞的解集为（ ）（A ）{|}1lg2x x x <->-或 （B ）lg |}12{x x -<<- （C ）l 2|g {}x x >- （D ）l 2|g {}x x <- 【答案】D【解析】由题意知11012x -<<，所以1lg lg 22x =-<，故选D ．（7）【2013年安徽，理7，5分】在极坐标系中，圆2cos ρθ=的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）（A ）()0cos 2θρρθ=∈=R 和 （B ）)s (co 2θρρθ=∈=R 和（C ）)s (co 1θρρθ=∈=R 和 （D ）()0cos 1θρρθ=∈=R 和 【答案】B【解析】由题意可知，圆2cos ρθ=可化为普通方程为2211()x y -+=．所以圆的垂直于x 轴的两条切线方程分别为0x =和2x =，再将两条切线方程化为极坐标方程分别为()θρ=∈R 和cos 2ρθ=，故选B ． （8）【2013年安徽，理8，5分】函数()y f x =的图象如图所示，在区间[]a b ,上可找到()2n n ≥个不同的数12n x x x ⋯,，,，使得1212===n nf x f x f x x x x ()()()，则n 的取值范围是（ ） （A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ）{}3,4,5 （D ）{}2,3 【答案】B【解析】1212===n n f x f x f x x x x ()()()可化为1212000===00n n f x f x f x x x x ()-()-()----，故上式可理解为()y f x =图象上一点与坐标原点连线的斜率相等，即n 可看成过原点的直线与()y f x =的交点个数． 如图所示，由数形结合知识可得，①为2n =，②为3n =，③为4n =，故选B ．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足=2OA OB OA OB =⋅=，则点集{}=+,1,P OP OA OB λμλμμ+≤∈R 所表示的区域的面积是（）（A ）（B ）（C ） （D ） 【答案】D【解析】以OA ，OB 为邻边作一个平行四边形，将其放置在如图平面直角坐标系中，使A ，B两点关于x 轴对称，由已知=2OA OB OA OB =⋅=，可得出60AOB ∠=︒，点)A ，点)1B -，点()D ，现设()P x y ，，则由=+OP OA OB λμ得())),1x y λμ=+-，即x y λμλμ+)=-=⎪⎩，由于1λμ+≤，λμ∈R ，，可得11x y ⎧≤⎪⎨-≤≤⎪⎩画出动点()P x y ，满足的可行域为如图阴影部分，故所求区域的面积为，故选D ．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点1x ，2x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】A【解析】由()2320f x x ax b '=++=得，1x x =或2x x =，即()()()2320f x af x b ++=的根为()1f x x =或()2f x x =的解．如图所示12x x < 21x x <由图象可知()1f x x =有2个解，()2f x x =有1个解，因此()()()2320f x af x b ++=的不同实根个数为3， 故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2013年安徽，理11，5分】若将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是 ． 【答案】12【解析】∵8x ⎛+ ⎝的通项为1838C ()r r r r x a x --883388=C C r rr r r r r r a x x a x ----=，∴843r r --=，解得3r =．∴338C 7a =， 得12a =．（12）【2013年安徽，理12，5分】设ABC ∆的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ．若2b c a +=，3sin 5sin A B =，则角C = ．【答案】2π3【解析】∵3sin 5sin A B =，∴35a b =．① 又∵2b c a +=，②∴由①②可得，53a b =，73c b =，∴22222257133cos 52223b b b b ac C ab b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯，∴2π3C =．（13）【2013年安徽，理13，5分】已知直线y a =交抛物线2y x =于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为 ．【答案】[1)+∞，【解析】如图，设20200()()C x x x a ≠,，()A a ，(),B a a ，则()200,CA x a x =--，()200,CB a x a x =-．∵CA CB ⊥，∴0CA CB ⋅=，即()()222000a x a x --+-=，()()2210a x a x --+-=，∴210xa =-≥，∴1a ≥．（14）【2013年安徽，理14，5分】如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O的两条边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11nnn n A B B A ++的面积均相等．设n n OA a =．若11a =，22a =，则数列{}n a 的通项公式是 ．【答案】n a =【解析】设11OA B S S ∆=，∵11a =，22a =，n n OA a =，∴11OA =，22OA =．又易知1122OA B OA B ∆∆∽，∴1122221221124OA B OA B S OA S OA ∆∆()⎛⎫=== ⎪()⎝⎭．∴11112233OA B A B B A S S S ∆==梯形．∵所有梯形11n n n n A B B A ++的面积 均相等，且11n n OA B OA B ∆∆∽，∴1n OA OA ．∴1n a a =∴n a（15）【2013年安徽，理15，5分】如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q为线段1CC 上的动点，过点A P Q ，，的平面截该正方体所得的截面记为S ．则下列命题正确的是__________(写出所有正确命题的编号)．①当012CQ <<时，S 为四边形；②当12CQ =时，S 为等腰梯形；③当34CQ =时，S 与11C D 的交点R 满足113C R =；④当341CQ <<时，S 为六边形；⑤当1CQ =时，S【答案】①②③⑤【解析】当12CQ =时，222111154D Q D C C Q =+=，22254AP AB BP =+=，所以1D Q AP =，又因为1//2AD PQ ，所以②正确；当012CQ <<时，截面为APQM ，且为四边形，故①也正确，如图（1）所示；如（2）图，当34CQ =时，由1QCN QC R ∆∆∽得11C Q C RCQ CN =，即114314C R =，113C R =，故③正确；如图（3）所示，当341CQ <<时，截面为五边形APQMF ，所以④错误；当1CQ =时，截面为1APC E ，可知1AC =EP =1APC E 为菱形，S四边形1APC E =，故⑤正确．图（1） 图（2） 图（3）三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2013年安徽，理16，12分】已知函数()4cos πsin ()4·0x f x x ωωω⎛⎫ ⎪⎝⎭=>+的最小正周期为π． （1）求ω的值；（2）讨论f (x )在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性．解：（1）())2π4cos sin cos sin2c os24f x x x x x x x x ωωωωωωω=⋅⋅⎛⎫+=+ =⎝⎭+⎪+π2sin 24x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因为()f x 的最小正周期为π，且0ω>，从而有2π=π2ω，故1ω=．（2）由（1）知，()π2sin 24f x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=0π2x ≤≤，则ππ5π2444x ≤+≤．当πππ2442x ≤+≤即π08x ≤≤时，()f x 单调递增；当ππ5π2244x ≤+≤即ππ82x ≤≤时，()f x 单调递减． 综上可知，()f x 在区间π0,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减．（17）【2013年安徽，理17，12分】设函数()()221f x ax a x =-+，其中0a >，区间(){}|0I x f x =>．（1）求I 的长度(注：区间()αβ，的长度定义为βα-；（2）给定常数()0,1k ∈，当11k a k -≤≤+时，求I 长度的最小值． 解：（1）因为方程()()22100ax a x a -+=>有两个实根10x =，221ax a =+，故()0f x >的解集为{}12|x x x x <<． 因此区间20,1a I a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，I 的长度为21a a +． （2）设()21d a aa=+，则()22211a a a d -(+')=．令()0d a '=，得1a =．01k <<，故当11k a -≤<时，()0d a '>， ()d a 单调递增；当11a k <≤+时，()0d a '<，()d a 单调递减．所以当11k a k -≤≤+时，()d a 的最小 值必定在1a k =-或1a k =+处取得．而23223211211111211kd k k k k k d k k k k -(-)--+(-)==<+(+)-++(+)，故()()11d k d k -<+． 因此当1a k =-时，()d a 在区间[]1,1k k -+上取得最小值2122kk k --+．（18）【2013年安徽，理18，12分】设椭圆E ：2222=11x y a a +-的焦点在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；（2）设12F F ，分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线2F P 交y 轴于点Q ，并且11F P FQ ⊥．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上． 解：（1）因为焦距为1，所以22141a -=，解得258a =．故椭圆E 的方程为2288=153x y +．（2）设00()P x y ,，()1,0F c -，()2,0F c ，其中c =．由题设知0x c ≠，则直线1F P 的斜率100F P y k x c=+， 直线2F P 的斜率200F P y k x c =-，故直线2F P 的方程为00()y y x c x c =--．当0x =时，0cy y c x =-， 即点Q 坐标为00(0,)cy c x -．因此，直线1F Q 的斜率为100F Q yk c x =-． 由于11F P FQ ⊥，所以1100001F P F Q y yk k x c c x ⋅=⋅=-+-．化简得22200(21)y x a =--．① 将①代入E 方程，由于点00()P x y ，在第一象限，解得20x a =，201y a =-，即点P 在定直线1x y +=上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，其母线与底面所成的角为22.5︒，AB和CD 是底面圆O 上的两条平行的弦，轴OP 与平面PCD 所成的角为60︒． （1）证明：平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面； （2）求cos COD ∠． 解：（1）设面PAB 与面PCD 的交线为l ．//AB CD ，AB 不在面PCD 内，所以//AB 面PCD ．又因为AB 面PAB ，面PAB 与面PCD 的交线为l ，所以//AB l ． 由直线AB 在底面上而l 在底面外可知，l 与底面平行．（2）设CD 的中点为F ．连接OF ，PF ．由圆的性质，2COD COF ∠=∠，OF CD ⊥．因为OP ⊥底面，CD ⊂底面，所以OP CD ⊥．又OP OF O =，故CD ⊥面OPF ．又CD ⊂面PCD ，因此面OPF ⊥面PCD ．从而直线OP 在面PCD 上的射影为直线PF ， 故OPF ∠为OP 与面PCD 所成的角．60OPF ∠=︒．设OP h =，则tan tan60OF OP OPF h h =⋅∠=⋅︒=．根据题设有22.5OCP ∠=︒，得tan tan 22.5OP h OC OCP ==∠︒．由22tan 22.51tan 22.51tan45︒-=︒=︒和tan22.50︒>，得tan22.51︒，因此1)OC h ==．在Rt OCF ∆中，os c OF OC OF C ===∠，故22cos cos 22co ()2s 1=171COD COF COF ∠=∠=∠---=（20）【2013年安徽，理20，13分】设函数()2322*21()23n nf x x n x x x x n-++++∈∈+=R N ，．证明：（1）对每个*n ∈N ，存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =；（2）对任意*p ∈N ，由（1）中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<．解：（1）对每个*n ∈N ，当0x >时，()11+02n n x f x x n -++'=>，故()n f x 在(0)+∞，内单调递增． 由于()110f =，当2n ≥时，()2221110231n f n=+++>，故()10n f ≥．又21122222213322112111231 ()0233343343313n k n k n n n k k f k --==⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎣⎦=-++≤-+=-+⋅=-⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-∑∑，所以存在唯一的2,13n x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，满足()0n n f x =．（2）当0x >时，()()()1121n n n n f x f x x f x n ++(+)=+>，故()()()1110n n n n n n f x f x f x +++>==． 由()1n f x +在(0)+∞，内单调递增知，1n n x x +<，故{}n x 为单调递减数列，从而对任意*n p ∈N ，，n p n x x +<． 对任意*p ∈N ，由于()222102n nn n n n f x x x x n-++++==，①()2122221+021n n n pn p n p n p n p p n p n n p x x x x x n n n f x p ++++++++-++++++=(+)(+=)＋．②①式减去②式并移项，利用01n p n x x +<<≤，得222211k kk k n pn pnn p n n p n n n p p k k n k n x x x x k x x k k +++++==+=++=-+≤-∑∑∑21111(1)n pn pk n k n k k k ++=+=+≤<-∑∑111n n p n =-<+．因此，对任意*p ∈N ，都有01n n p n x x +<-<．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责．已知该系共有n 位学生，每次活动均需该系k 位学生参加(n 和k 都是固定的正整数)．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k 位学生，且所发信息都能收到．记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X ． （1）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （2）求使()P X m =取得最大值的整数m ．解：（1）因为事件A ：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B ：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立的事件，所以A 与B 相互独立．由于()()11C C k n k n P A B k n P --===，故()()=1k P A P B n=-，因此学生甲收到活动通知信息的概率222211k kn k P n n -⎛⎫=--= ⎪⎝⎭． （2）当k n =时，m 只能取n ，有()()1P X m P X n ====．当k n <时，整数m 满足k m t ≤≤，其中t 是2k和n 中的较小者．由于“李老师和张老师各自独立、随机地发活动通知信息给k 位同学”所包含的基本事件总数为2(C )k n ．当X m =时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2k m -．仅收到李老师或 仅收到张老师转发信息的学生人数均为m k -．由乘法计数原理知：事件{}X m =所含基本事件数为 2C CCC CCk k m m k k m k m k nkn kn kn k------=．此时()22C C C C C (C )C k k m m k m k m k n k n k kn k k kn nP X m ------===． 当k m t ≤<时，()()1P X m P X m =≤=+⇔C C m k m k k n k ---≤11C C m k m kkn k +-+--⇔()()()212m k n m k m -+≤-- ⇔ 2(1)22k m k n +≤-+．假如2(1)22k k k t n +≤-<+成立，则当()21k +能被2n +整除时， 22(1)(1)22122k k k k k t n n ++-<≤+-≤++．故()P X m =在2(1)22k k n m +-+=和2(1)212k m k n ++-+=处达最大值； 当()21k +不能被2n +整除时，()P X m =在2(1)22m k k n ⎡⎤+-⎢⎥+⎣⎦=处达最大值．(注：[]x 表示不超过x 的最大整数)，下面证明2(1)22k t n k k ≤+-<+．因为1k n ≤<，所以22(1)1222k kn k k k n n +----=++2111022k k k k n n (+)---≥=≥++．而22(1)12<022k n k k n n n +(-+)--=-++，故()2122k k n n +-<+． 显然2(1)222k k k n +-<+．因此2(1)22k t n k k ≤+-<+．。
安徽省合肥市高三数学“一模”适应性考试试题 理
安徽省合肥市2013届高三数学“一模”适应性考试试题 理考试说明：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），试题分值：150分，考试时间：120分钟。
2．所有答案均要答在答题卷上，否则无效，考试结束后只交答题卷。
第I 卷 选择题（共50分）一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。
每小题只有一个选项符合题意）1．设a 是实数，且112a i i -++是实数，则a = A ．12B ．1C ．—1D ．2 2．已知全集U=R ，集合1{|0},2U x A x C A x +=≤-则集合等于A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x ≤-≥或D ．{|12}x x x <-≥或 3．不等式2210ax x -+<的解集非空的一个必要而不充分条件是A ．1a <B ．1a ≤C ．01a <<D ．0a <4．已知数列{},{}n n a b 为等差数列为等比数列，且满足：10001013114,2,a a b b π+==-则1201278tan 1a a b b +-= A ．1 B ．-1 C．3 D 35．如右图，在△ABC 中，AB=BC=4，∠ABC=30°，AD 是边BC 上的高，则AD AC ⋅的值等于A ．4B ．-4C ．8D ．06．若00,2x y x y z x y y a -≤⎧⎪+≥=+⎨⎪≤⎩若的最大值为3，则a 的值是A ．1B ．2C ．3D ．47．在2101()x x -的展开式中系数最大的项是A ．第5、7项B ．第6、7项C ．第4、6项D ．第6项8．双曲线E 的中心为原点，P （3，0）是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N （-12，-15），则E 的方程为A ．22136x y -= B ．22163x y -=C ．22145x y -= D ．22154x y -= 9．若如图所给程序框图运行的结果恰为2012,2013s >那么判断框 中可以填入的关于k 的判断条件是A ．2013k >B ．2012k >C ．2013k <D ．2012k < 10．定义函数(),y f x x D =∈，若存在常数C ，对任意的12,x D x D ∈∈存在唯一的，使得C =，则称函数()f x 在D 上的几何平均数为C 。
2013年高考理科数学试卷--安徽卷(含答案)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z = （A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -2．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（A ）16 （B ）2524（C ）34 （D ）11123．在下列命题中，不是公理．．的是 （A ）平行于同一个平面的两个平面相互平行（B ）过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面（C ）如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内 （D ）如果两个不重合的平面有一个公共点， 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 4．"0"a ≤“是函数()=(-1)f x ax x 在区间(0,+)∞内单调递增”的（A ） 充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件5．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90，五名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（A ）这种抽样方法是一种分层抽样 （B ）这种抽样方法是一种系统抽样（C ）这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 （D ）该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 6．已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或 （B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x7．在极坐标系中，圆=2cos p θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为 （A ）=0()cos=2R θρρ∈和 （B ）=()cos=22R πθρρ∈和（C ） =()cos=12R πθρρ∈和 （D ）=0()cos=1R θρρ∈和8．函数=()y f x 的图像如图所示，在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是（A ）{}3,4 （B ）{}2,3,4 （C ） {}3,4,5 （D ）{}2,39．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B 满足2,OA OB OA OB ===则点集{}|,1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈所表示的区域的面积是（A ）22 （B ）23 （C ） 42 （D ）4310．若函数3()=+b +f x x x c 有极值点1x ，2x ，且11()=f x x ，则关于x 的方程213(())+2()+=0f x f x b 的不同实根个数是（A ）3 （B ）4 （C ） 5 （D ）6二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
2013年普通高等学校招生全国统一考试安徽卷数学理
2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求1.(5分)设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若(z·)i+2=2z，则z=( )A. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i解析：设z=a+bi(a，b∈R)，则，由，得(a+bi)(a-bi)i=2(a+bi)，整理得2+(a2+b2)i=2a+2bi.则，解得.所以z=1+i.答案：A.2.(5分)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.B.C.D.解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S=++的值∵S=++=.答案：D.3.(5分)在下列命题中，不是公理的是( )A. 平行于同一个平面的两个平面平行B. 过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面C. 如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内D. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：B，C，D经过人类长期反复的实践检验是真实的，不需要由其他判断加以证明的命题和原理故是公理；而A平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理.答案：A.4.(5分)“a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件解析：当“a≤0”时，x∈(0，+∞)，f(x)=|(ax-1)x|=-a(x-)x，结合二次函数图象可知函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增.若a＞0，如取a=1，则函数f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1)x|，当x∈(0，+∞)时f(x)=，如图所示，它在区间(0，+∞)内有增有减，从而得到函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增得出a≤0.”a≤0”是”函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0，+∞)内单调递增”的充要条件.答案：C.5.(5分)某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93，下列说法正确的是( )A. 这种抽样方法是一种分层抽样B. 这种抽样方法是一种系统抽样C. 这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D. 该班男生成绩的平均数大于该班女生成绩的平均数解析：根据抽样方法可知，这种抽样方法是一种简单随机抽样.五名男生这组数据的平均数=(86+94+88+92+90)÷5=90，方差=[(86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2]=8.五名女生这组数据的平均数=(88+93+93+88+93)÷5=91，方差=[(88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2]=6.故这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差.答案：C.6.(5分)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为{x|x＜-1或x＞}，则f(10x)＞0的解集为( )A. {x|x＜-1或x＞-lg2}B. {x|＜-1＜x＜-lg2}C. {x|x＞-lg2}D. {x|x＜-lg2}解析：由题意可知f(x)＞0的解集为{x|-1＜x＜}，故可得f(10x)＞0等价于-1＜10x＜，由指数函数的值域为(0，+∞)一定有10x＞-1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10-lg2，由指数函数的单调性可知：x＜-lg2答案：D7.(5分)在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )A. θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=2B. θ=(ρ∈R)和ρcosθ=2C. θ=(ρ∈R)和ρcosθ=1D. θ=0(ρ∈R)和ρcosθ=1解析：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以(1，0)为圆心，1为半径的圆.故圆的两条切线方程分别为(ρ∈R)，ρcosθ=2.答案：B.8.(5分)函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是( )A. {3，4}B. {2，3，4}C.{3，4，5}D. {2，3}解析：∵表示(x，f(x))点与原点连线的斜率，若=…=，则n可以是2，如图所示：n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4答案：B9.(5分)在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||=||=·=2，则点集{P|=λ+μ，|λ|+|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )A.B.C.D.解析：由两定点A，B满足==2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形.不妨设A()，B().再设P(x，y).由，得：.所以，解得①.由|λ|+|μ|≤1.所以①等价于或或或. 可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为.答案：D.10.(5分)若函数f(x)=x3+ax2+bx+c有极值点x1，x2，且f(x1)=x1，则关于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同实根个数是( )A. 3B. 4C. 5D. 6解析：f′(x)=3x2+2ax+b，x1，x2是方程3x2+2ax+b=0的两根，不妨设x2＞x1，由3(f(x))2+2af(x)+b=0，则有两个f(x)使等式成立，x1=f(x1)，x2＞x1=f(x1)，如下示意图象：如图有三个交点，答案：A.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.(5分)若的展开式中x4的系数为7，则实数a= .解析：由通项公式T r+1==，∵的展开式中x4的系数为7，∴，解得.答案：.12.(5分)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C= .解析：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=，∵b+c=2a，∴c=，∴cosC==-，∵C∈(0，π)，∴C=.答案：13.(5分)已知直线y=a交抛物线y=x2于A，B两点，若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为[1，+∞) .解析：如图所示，可知A，B，设C(m，m2)，，.∵该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，∴=.化为m2-a+(m2-a)2=0.∵m，∴m2=a-1≥0，解得a≥1.∴a 的取值范围为[1，+∞).答案：[1，+∞).14.(5分)如图，互不相同的点A1，A2，…，A n，…和B1，B2，…，B n，…分别在角O的两条边上，所有A n B n相互平行，且所有梯形A n B n B n+1A n+1的面积均相等，设OA n=a n，若a1=1，a2=2，则数列{a n}的通项公式是.解析：设，∵OA 1=a1=1，OA2=a2=2，A1B1∥A2B2，∴A1B1是三角形OA2B2的中位线，∴==，∴梯形A1B1B2A2的面积=3S.故梯形A n B n B n+1A n+1的面积=3S.∵所有A n B n相互平行，∴所有△OA n B n(n∈N*)都相似，∴，，，…，∵，∴，，….∴数列{}是一个等差数列，其公差d=3，故=1+(n-1)×3=3n-2.∴.因此数列{a n}的通项公式是.答案：.15.(5分)如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是(写出所有正确命题的编号).①当0＜CQ＜时，S为四边形②当CQ=时，S为等腰梯形③当CQ=时，S与C1D1的交点R满足C1R=④当＜CQ＜1时，S为六边形⑤当CQ=1时，S的面积为.解析：如图当CQ=时，即Q为CC1中点，此时可得PQ∥AD1，AP=QD1==，故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜，只需在DD1上取点M满足AM∥PQ，即可得截面为四边形APQM，故①正确；③当CQ=时，如图，延长DD1至N，使D1N=，连接AN交A1D1于S，连接NQ交C1D1于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N=1：2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，可知截面为APC1F为菱形，故其面积为AC1·PF==，故正确.答案：①②③⑤三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算骤16.(12分)已知函数f(x)=4cosωx·sin(ωx+)(ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)讨论f(x)在区间[0，]上的单调性.解析：(1)先利用和角公式再通过二倍角公式，将次升角，化为一个角的一个三角函数的形式，通过函数的周期，求实数ω的值；(2)由于x是[0，]范围内的角，得到2x+的范围，然后通过正弦函数的单调性求出f(x)在区间[0，]上的单调性.答案：(1)f(x)=4cosωxsin(ωx+)=2sinωx·cosωx+2cos2ωx=(sin2ωx+cos2ωx)+=2sin(2ωx+)+，所以 T==π，∴ω=1.(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+)+，因为0≤x≤，所以≤2x+≤，当≤2x+≤时，即0≤x≤时，f(x)是增函数，当≤2x+≤时，即≤x≤时，f(x)是减函数，所以f(x)在区间[0，]上单调增，在区间[，]上单调减.17.(12分)设函数f(x)=ax-(1+a2)x2，其中a＞0，区间I={x|f(x)＞0}(Ⅰ)求I的长度(注：区间(a，β)的长度定义为β-α)；(Ⅱ)给定常数k∈(0，1)，当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值.解析：(Ⅰ)解不等式f(x)＞0可得区间I，由区间长度定义可得I的长度；(Ⅱ)由(Ⅰ)构造函数d(a)=，利用导数可判断d(a)的单调性，由单调性可判断d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，通过作商比较可得答案.答案：(Ⅰ)因为方程ax-(1+a2)x2=0(a＞0)有两个实根x1=0，＞0，故f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，因此区间I=(0，)，区间长度为；(Ⅱ)设d(a)=，则d′(a)=，令d′(a)=0，得a=1，由于0＜k＜1，故当1-k≤a＜1时，d′(a)＞0，d(a)单调递增；当1＜a≤1+k时，d′(a)＜0，d(a)单调递减，因此当1-k≤a≤1+k时，d(a)的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，而=＜1，故d(1-k)＜d(1+k)，因此当a=1-k时，d(a)在区间[1-k，1+k]上取得最小值，即I长度的最小值为.18.(12分)设椭圆E：的焦点在x轴上(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q，证明：当a变化时，点P在某定直线上.解析：(1)利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出，解出即可；(2)设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中.利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线F1P的斜率=，直线F2P的方程为.即可得出Q.得到直线F1Q的斜率=.利用F1Q⊥F1P，可得= .化为.与椭圆的方程联立即可解出点P的坐标.答案：(1)∵椭圆E的焦距为1，∴，解得.故椭圆E的方程为.(2)设P(x0，y0)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中.由题设可知：x 0≠c.则直线F1P的斜率=，直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为.令x=0，解得.即点Q.因此直线F1Q的斜率=.∵F1Q⊥F1P，∴=.化为.联立，及x0＞0，y0＞0，解得，.即点P在定直线x+y=1上.19.(13分)如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD 是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°，(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.解析：(1)利用线面平行的判定与性质，可证平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)先作出OP与平面PCD所成的角，再求出OC，OF，求出cos∠COF，利用二倍角公式，即可求得cos∠COD.答案：(1)设平面PAB与平面PCD的交线为l，∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，∴AB∥平面PCD，∵AB⊂面PAB，平面PAB与平面PCD的交线为l，∴AB∥l，∵AB在底面上，l在底面外，∴l与底面平行；(2)设CD的中点为F，连接OF，PF，由圆的性质，∠COD=2∠COF，OF⊥CD，∵OP⊥底面，CD⊂底面，∴OP⊥CD，∵OP∩OF=O，∴CD⊥平面OPF，∵CD⊂平面PCD，∴平面OPF⊥平面PCD，∴直线OP在平面PCD上的射影为直线PF，∴∠OPF为OP与平面PCD所成的角，由题设，∠OPF=60°，设OP=h，则OF=OPtan∠OPF=，∵∠OCP=22.5°，∴，∵tan45°==1，∴tan22.5°=，∴OC==，在Rt△OCF中，cos∠COF===，∴cos∠COD=cos(2∠COF)=2cos2∠COF-1=17-12.20.(13分)设函数f n(x)=-1+x+++…+(x∈R，n∈N+)，证明：(1)对每个n∈N+，存在唯一的x∈[，1]，满足f n(x n)=0；(2)对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜.解析：(1)由题意可得f′(x)＞0，函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.求得f n(1)＞0，f n()＜0，再根据函数的零点的判定定理，可得要证的结论成立.(2)由题意可得f n+1(x n)＞f n(x n)=f n+1(x n+1)=0，由 f n+1(x) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n+1＜x n，故x n-x n+p＞0.用 f n(x)的解析式减去f n+p (x n+p)的解析式，变形可得x n-x n+p=+，再进行放大，并裂项求和，可得它小于，综上可得要证的结论成立.答案：(1)对每个n∈N+，当x＞0时，由函数f n(x)=-1+x+)，可得f′(x)=1+++…＞0，故函数f(x)在(0，+∞)上是增函数.由于f1(x1)=0，当n≥2时，f n(1)=++…+＞0，即f n(1)＞0.又f n()=-1++[+++…+]≤-+·=-+×=-·＜0，根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的x n，满足f n(x n)=0.(2)对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}，当x＞0时，∵f n+1(x)=f n(x)+＞f n(x)，∴f n+1(x n)＞f n(x n)=f n+1(x n+1)=0.由 f n+1(x) 在(0，+∞)上单调递增，可得 x n+1＜x n，即 x n-x n+1＞0，故数列{x n}为减数列，即对任意的 n、p∈N+，x n-x n+p＞0.由于 f n(x n)=-1+x n+++…+=0 ①，f n+p (x n+p)=-1+x n+p+++…++[++…+]②，用①减去②并移项，利用 0＜x n+p≤1，可得x n-x n+p=+≤≤＜=＜.综上可得，对于任意p∈N+，由(1)中x n构成数列{x n}满足0＜x n-x n+p＜.21.(13分)某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加(n和k都是固定的正整数)，假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X.(I)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；(II)求使P(X=m)取得最大值的整数m.解析：(I)由题设，两位老师发送信息是独立的，要计算该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率可先计算其对立事件，该生没有接到任一位老师发送的信息的概率，利用概率的性质求解；(II)由题意，要先研究随机变量X的取值范围，由于k≤n故要分两类k=n与k＜n进行研究，k=n时易求，k＜n时，要研究出同时接受到两位老师信息的人数，然后再研究事件所包含的基本事件数，表示出P(X=m)，再根据其形式研究它取得最大值的整数m即可.答案：(I)因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P(A)=P(B)==，故P()=P()=1-，因此学生甲收到活动信息的概率是1-(1-)2=(II)当k=n时，m只能取n，此时有P(X=m)=P(X=n)=1当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为()2，当X=m时，同时收到两位老师所发信息的学生人数为2k-m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m-k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为P(X=M)==当k≤m＜t时，P(X=M)＜P(X=M+1)⇔(m-k+1)2≤(n-m)(2k-m)⇔m≤2k-假如k≤2k-＜t成立，则当(k+1)2能被n+2整除时，k≤2k-＜2k+1-＜t，故P(X=M)在m=2k-和m=2k+1-处达到最大值；当(k+1)2不能被n+2整除时，P(X=M)在m=2k-[]处达到最大值(注：[x]表示不超过x的最大整数)，下面证明k≤2k-＜t因为1≤k＜n，所以2k--k=≥=≥0而2k--n=＜0，故2k-＜n，显然2k-＜2k因此k≤2k-＜t.。
2013年安徽省高考数学模拟卷(理)
2013年安徽省高考数学模拟卷（理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．） （1）i 是虚数单位，复数ii +-37= （ ）（A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i （2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的 （ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时， 输出x 的值为 （ ）（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9 （4）函数22)(3-+=x x f x 在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为 （ ）（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40 （6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,， 已知8b=5c ，C=2B ，则cosC= （ ）（A ）257 （B ）257-（C ）257±（D ）2524（7）已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，AC AQ )1(λ-=，R ∈λ，若 23-=，则λ= （ ）（A ）21 （B ）221± （C ）2101±（D ）2223±-（8）设R n m ∈,，若直线02)1()1(=-+++y n x m 与圆1)1()1(22=-+-y x 相切，则m+n 的取值范围是（A ）]31,31[+-（B ）),31[]31,(+∞+⋃--∞（C ）]222,222[+- （D ）),222[]222,(+∞+⋃--∞（9）由1、2、3、4、5组成一个不重复的5位数，则十位数字和千位数字均比它们各自相邻的数大的概率为（ ）开 始 输入x|x|>1?1||-=x x x = 2x+1 输出x结 束是否∙CP BQ(A) (B) (C) (D)（10）设两个正态分布N(μ1, σ12)(σ1 ＞0)和N(μ2, σ22)（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有 (A) 1212,μμσσ<< (B)1212,μμσσ<>(C)1212,μμσσ>< (D) 1212,μμσσ>>二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分．)（11）某地区有小学150所，中学75所，大学25所. 现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查，应从小学中 抽取_________所学校，中学中抽取________所学校.（12）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）， 则该几何体的体积为_________m 3.（13）已知集合},32|{<+∈=x R x A 集合},0)2)((|{<--∈=x m x R x B 且),,1(n B A -= 则m =__________，n = __________.（14）已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==pty pt x 2,22（t 为参数）,其中p>0，焦点为F ，准线为l. 过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E. 若|EF|=|MF|，点M 的横坐标是3，则p = _________. （15）已知函数112--=x xy 的图象与函数2-=kx y 的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是 .三、解答题(本大题共6小题，满分75分．解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤．) （16）（本小题满分12分）在A B C ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知co s 2co s 2co s A Cc a Bb--=（1）求sin sin C A的值； （2）若1cos ,2,4B b ==求A B C ∆的面积S.31363223侧视图俯视图正视图（17）（本小题满分12分）现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏.（Ⅰ）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（Ⅱ）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（Ⅲ）用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记Y X -=ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望ξE .（18）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AC ⊥AD ，AB ⊥BC ，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1. （Ⅰ）证明PC ⊥AD ；（Ⅱ）求二面角A-PC-D 的正弦值；（Ⅲ）设E 为棱PA 上的点，满足异面直线BE 与CD 所成的角为30°，求AE 的长.（19）（本小题满分13分）已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+；（1）求()f x 的解析式及单调区间； （2）若21()2f x x a x b ≥++，求(1)a b +的最大值。
【VIP专享】安徽省合肥市2013届高三第一次教学质量检测数学理试题 Word版含答案
3.答第 II 卷时，必须使用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、
笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用 0.5 毫米的黑色 墨水
签字笔描清楚.必须在题号疾备佘的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无 效，在试题
卷、萆稿纸上答题无效
第 I 卷（满分 50 分） 一、选择题（本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 t,只有一
项是符合题目要求的）
1. 复数
3i 1
1 i
A. 5 B. 2 2 C. 5
（i 为虚数单位）的模是（)
2. 已知集合 M=｜1，2，3,4,5｜，N= | x | 2 1，则 x 1
A.{4，5} B. {1,4,5} C.{3,4,5} D.{1，3，4,5}
3. 已知命题 p:若(x-1)(x-2) 0 则 x 1 且 x 2 命题 q:存在实数 x。,使
位.
注窻事项：
合肥市 2013 年高三第一次教学质量检测,
数学试题（理）
(考试时间：120 分钟满分:150 分）
1.答趙前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两
2.答第 I 卷时，每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
=()
4. 一个六面体的三视图如图所示，其侧视图是边长为 2 的正方形，则该六面体的表面 积是（)
A. 12 2 5 B. 14 2 5 C. 14 2 5 D. 18 2 5
5.
x2
双曲线
b2
曲线的离心率等于（）
y2 b2