手拉手模型-最值问题

手拉手模型-最值问题
定义：是指有公共顶点的两个等腰三角形，顶角相等
. 模型一
等腰三角形形成手拉手模型(基本型)
【条件】(1)ABC ∆和ADE ∆为等腰三角形 (2)α=∠=∠DAE BAC
【结论】(1)BAD ∆≌CAE ∆(重点CE BD =)
(2)α=∠=∠DOE BOC (8字型) (3)OA 平分COD ∠
(4)AMC ∆∽OMB ∆;AND ∆∽ONE ∆ (5)点A ，B ，C ，O 四点共圆；点A ，D ，E ，O
四点共圆
证明:(1) ABC ∆和ADE ∆为等腰三角形
∴AC AB =,AE AD =
α=∠=∠DAE BAC
∴BAE DAE BAE BAC ∠+∠=∠+∠ ∴BAD CAE ∠=∠
在BAD ∆和CAE ∆中⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD CAE BAD AC
AB
∴BAD ∆≌CAE ∆ (2) BAD ∆≌CAE ∆
∴ACE ABD ∠=∠
在NOE ∆和NAD ∆中，
0180=∠+∠+∠EON NEO ONE 0180=∠+∠+∠DAN NDA AND AND ONE ∠=∠ ∴DAN EON ∠=∠ ∴α=∠=∠NAD DOE ∴α=∠=∠DOE BOC
(3)过A 点作BD AP ⊥于P 点，过A 点作CE AQ ⊥于Q 点,则090=∠=∠AQC APB
BAD ∆≌CAE ∆ ∴ACQ ABP ∠=∠
在ABP Rt ∆和ACQ Rt ∆中，⎪⎩
⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠ACQ ABP AC
AB AQC
APB ∴ABP Rt ∆≌ACQ Rt ∆ ∴AQ AP =
∴OA 平分COD ∠ 变形：
【应用】利用全等转化相等的线段和角，有助于寻找
到解决问题的思路
【构造条件】出现共顶点+等线段(图形中出现一般等腰、等边、等腰直角或正方形可考虑)
【构造方法】主要是旋转构造，也可利用其它方法直接构造
模型二 等边三角形形成手拉手模型(特殊型：两边共线)
【条件】(1)ABC ∆和ADE ∆为等边三角形 (2)C ，A ，D 在同一条直线上
【结论】(1)BAD ∆≌CAE ∆(重点CE BD =)
(2)060=∠=∠DOE BOC (8字型) (3)OA 平分COD ∠
(4)ACM ∆≌ABN ∆，AEM ∆≌ADN ∆ (5)AMN ∆为等边三角形 (6)CD MN //
(7)OA OB OC +=，OA OE OD += (8)AMC ∆∽OMB ∆;AND ∆∽ONE ∆ (9)点A ，B ，C ，O 四点共圆；点A ，D ，E ，O
四点共圆；点A ，M ，O ，N 四点共圆
【例1】如图,在边长为32的等边ABC ∆中,动点D,E 分别在BC,AC 边上,且保持AE=CD,连接BE,AD,相交于P,求CP 的最小值. 分析：
方法点拨：从变中找不变
变：点D ,E 运动，点P 随之运动
不变：ABE ∆≌CAD ∆,0120=∠APB ,等边ABC ∆ 不变：060=∠=∠BPD APE ,等边ABC ∆
思考：能否利用不变的、元素发现基本图形
观察图形：可以以AP 或BP 为边构造等边三角形，从而构建手拉手模型 解：
设x AP 2=,y BP 2= 在等边ABC ∆中，
AC AB =，060=∠=∠ACD BAE
CD AE =
在BAE ∆和ACD ∆中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=CD AE ACD BAE AC
AB
∴BAE ∆≌ACD ∆ ∴CAD ABE ∠=∠
060=∠+∠DAB CAD ∴060=∠+∠ABE CAD ∴0120=∠APB
延长PD 到H ,使得y PH PB 2==,连接BH ,CH ,
则PBH ∆是等边三角形 在等边ABC ∆中，
BC AB =，060=∠ABC 在等边PBH ∆中， BH BP =，060=∠PBH
PBC ABC ABP ∠-∠=∠,PBC PBH CBH ∠-∠=∠ ∴CBH ABP ∠=∠
在ABP ∆和CBH ∆中，⎪⎩
⎪⎨⎧=∠=∠=BH BP CBH ABP BC
AB
∴ABP ∆≌CBH ∆
∴x AP CH 2==,0120=∠CHB ∴060=∠-∠=∠PHB CHP CHP
过B 作PH BG ⊥,过C 作PH CF ⊥,则得y PG =, y BG 3=,x HF =,x CF 3=,
y x AG +=2,x y PF +=2
ABG Rt ∆中,222AB BG AG =+ ∴222)32()3()2(=++y y x 整理得,xy y x -=+322
02)(222≥-+=-xy y x y x ，即xy y x 222≥+ ∴1≤xy
在PCF Rt ∆中，222CF PF PC +=
∴4812444)3()2(2222≥-=-+=+-xy xy y x x x y
∴ 2≥PC
∴PC 的最小值为2.
【解题反思】
1.构造处理曲线型最值问题的本质是构造不变关系，例如全等，相似或特殊图形，从而转化角或线段，关联最值.
2.对比之前的转化法，这两种解法都是从变中寻找不变的元素入手，以静制动.
3.相对于转化法，构造手拉手模型进行相关线段的转换后，可能需要进一步通过添加辅助线构造直角三角形，将集合问题转化为代数问题进行分析，对同学们的集合和代数综合能力要求较高.
4.此种方法也是一种解题方向，可以开拓大家的思路，希望同学们解决最值问题时要勇于尝试和观察基础图形，通过基础图形多角度思考问题，发现线索，找到解题思路.
【总结】
步骤:
1.审题观图，判断是否符合条件(一般等腰，等腰直角，等边，正方形等).
2.构造不变关系(例如全等，相似，特殊四边形等)转化相关量.
3.分析关系，预判处理最值难度.
4.选择转化法，或解析法解决最值问题.
5.转化为线段最短、三角形三边关系、垂线段最短等基本最值问题解决.
1.如图,在边长为8的等边ABC ∆中,点D 是AB 的中点,点E 是平面上一点,且线段DE=2,将线段EB 绕点E 顺时针旋转060得到线段EF,连接AF,求线段AF 的取值范围.
方法点拨：从变中找不变
变：点E 运动,点F 随之运动
不变：FE BE =,060=∠BEF ,等边ABC ∆ 思考：能否利用不变的、元素发现基本图形 观察图形：可以以BE,FE 为边构造等边三角形,从而构建手拉手模型
2.如图,在ABC ∆中,AB=1,BC=2,以AC 为边作等边点ACD ∆,连接BD,求线段BD 的取值范围.
4.如图,在ABC ∆中,BC=2,AB=2,以AC 为边作正
方形
ACDE ,
连接BE,求BE 的取值范围.
4.如图,在ABC ∆中,AB=2,BC=3,以AC 为斜边作等腰直角ACD ∆,连接BD ，求BD 的取值范围.
5.如图,在ABC ∆中,060=∠B ,AB=8,点D 是直线BC 上动点,连接AD,在直线AD 的右侧作等边ADE ∆,连接CE,当线段CE 的长度最小时,求线段CD 的长度
6.如图,AB=4，AC=2，以BC 为边向上构造等边三角形BCD ，连接AD 并延长至点P ，使AD=PD ，求PB 的最小值.
7.如图,在四边形ABCD 中,AB=AC,060=∠BAD , BD ⊥CD 于点D,求线段AC 长度的最大值.
8.如图,正方形ABCD 中,AB=4,点E 在BC 上,BE=1,点F 是BC 上的一个动点,以EF 的右侧作等边EFG ∆,连接CG,求CG 的最小值.
9.如图,等腰直角ABC ∆中,090=∠ACB ,AC=BC=4, M 为AB 的中点,D 是射线BC 上一动点,连接AD,将线段AD 绕A 逆时针旋转090点得到线段AE,连接ED 、ME,求点D 在运动过程中ME 的最小值.。