第九章应力状态理论基础(讲稿)

第九章应力状态理论基础

一、教学目标

通过本章学习，掌握应力状态的概念及其研究方法；会从受力杆件中截取单元体并标明单元体上的应力情况；会计算平面应力状态下斜截面上的应力；掌握平面应力状态和特殊空间应力状态下的主应力、主方向的计算，并会排列主应力的顺序；掌握广义胡克定律；了解复杂应力状态比能的概念；了解主应力迹线的概念。

二、教学内容

1、应力状态的概念；

2、平面应力状态分析--数解法

3、平面应力状态分析—图解法

4、三向应力状态下的最大应力；

5、广义胡克定律•体应变；

6、复杂应力状态的比能；

7、梁的主应力•主应力迹线的概念。

三、重点难点

重点：

1、平面应力状态下斜截面上的应力计算，主应力及主方向的计算，最大

剪应力的计算。

2、广义胡克定律及其应用。 难点：

1、应力状态的概念，从具体受力杆件中截面单元体并标明单元体上的应力情况。

2、斜截面上的应力计算公式中关于正负符号的约定。

3、应力主平面、主应力的概念，主应力的大小、方向的确定。

4、广义胡克定律及其应用。 四、教学方式

采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、计划学时 6学时 六、实施学时 七、讲课提纲

本章与前几章在研究对象上的不同之处。

回顾：内力图：N F 、n M 、Q F 、M --一根（杆、轴、梁）

强度计算⎪⎩⎪

⎨⎧一面（危险截面）一段—、—、max max

max max M F M F Q n N

本章：应力状态— 一点。

(一)应力状态的概念

一、为什么要研究一点的应力状态？ 简单回顾： 拉压：

图9-1

强度条件：[]⎪⎩⎪⎨⎧=≤=

n

n A F b s N

σσσσ 扭转：

图9-2

强度条件：[]⎪⎩⎪⎨⎧=≤=n

n W M b s n

n

ττττmax

弯曲：

图

11-3

强度条件：[][]⎪

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨

⎧⎪⎩⎪⎨⎧=≤⋅=⎪⎩⎪⎨⎧=≤=*n n b I S F n n W M b

s

z z x ma Q x ma b

s z x ma ττττσσσσmax

但，到目前为止尚不能对如第4点的应力情况进行校核，因此：

1、为了对某些复杂受力构件中既存在σ又存在τ的点建立强度条件提供依据。

2、为实验应力分析奠定基础

通过实验来研究和了解结构或构件中应力情况的方法，称为实验应力分析。

应力状态、应变状态在实验应力分析等方面的广泛应用：

实验方案的制订：验证理论计算结果：复杂受力结构、构件的应力测试等等。

二、什么叫一点的应力状态？

通过某一点的所有截面上的应力情况，或者说构件内任一点沿不同方向的斜面上应力的变化规律，称为一点的应力状态。

三、怎样研究一点的应力状态？

在构件内取得单元体代替所研究的点：通过截面法研究单元体各个斜截面上的应力情况来研究一点的应力状态。

1、单元体的概念：

⑴正六面微体：边长为无穷小量，dx 、dy 、dz ，故： ⑵任意一对平行平面上的应力均相等；

⑶各个面上的应力都均匀分布；

⑷任意、相互平行方向的应变均相同。

2、怎样取单元体

⑴取单元体的原则：

①尽量使三对面上的应力为已知（包括应力等于零）

②先定横截面上的σ、τ，然后按τ互等定律确定其他面上的剪应力。

一对横截面dx

⑵取法一对纵截面（平行上、下面）dy

一对纵截面（平行前、后面）dz

3、根据构件的受力情况，绘应力单元体

例：受拉伸或压缩构件上的应力单元体

受扭构件上的应力单元体

弯曲构件上的应力单元体，等等

(二)平面应力状态分析——数解法

一、斜截面上的应力

(a)

(b)

图9-4

已知：受力构件中的应力单元体

求：任一斜截面上的应力

σ、ατ

α

设：

解：截面法：截出任一斜截面如下：

图9-5

1、α面上的应力

∑=0n

F 0s i n c o s c o s s i n

=-+-+ασατασατσαy y x x ∵静力平衡条件，不是应力平衡

∑=0n

F

:

sin )sin (cos sin)(cos )cos (sin )cos (=-+⋅-+αασαταασαατσαdA dA dA dA dA y y x x 整理上式得，

ατασσασσα2sin 2cos 2

2

x y

x y

x --+

+=

──────────────⑴

同理，∑=0t F ，得

αταασσα2cos 2sin 2

x y

x ++=

──────────────────⑵

上述二式：

从数学上看上述两个方程式为参数方程，参变量为α；

从力学上看，这两个方程称为一点的任意斜截面上的应力公式。

图9-6

2、β面（α+90°）上的应力： 若令β=90°+α，则

)90(2sin )90(2cos 2

20090

ατασσασασα

β+-+-+

+=

=+x y

x y

x

ατασσασ2sin 2cos 2

2x y

x y

x +--

+=

──────────────⑶

)90(2cos )90(2sin 2

00

090

αταασττα

β+-+-=

=+x y

x