第九章 应力、应力状态分析(习题解答)
第九章应力状态(3,4,5)分解
2 2
2 t x
解：
s 2 50MPa s 1 s 2 50MPa
s 3 50MPa
t max s1 s 3
2 50MPa
[例9-14]求图示应力状态的主应力和最大 剪应力（应力单位为MPa）。
s max
解：
s min
s x s y
§9-3 空间应力状态的概念
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点 处的应力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢 轨在轮轨触点处就处于空间应力状态(图a)。
空间应力状态最一 般的表现形式如图所 示；正应力sx、sy、sz 的下角标表示其作用 面，切应力txy、txz、tyx、 tyz、tzx、tzy的第一个下角标表示其作用面，第二个 下角标表示切应力的方向。
现在来导出一般空 间应力状态(图a)下的广 义胡克定律。因为在线 弹性,小变形条件下可以 应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之 间的关系为
s y sz 1 ex s x s y s z E E E E 同理有 1 1 e y s y s x s z ，e z s z s x s y E E sx
图中所示的正应力和切应力均为正的，即正应力以拉应 力为正。如果某作用面的外法线是沿着坐标轴的正向，则该 面上的切应力分量就以沿坐标轴正向时为正，相反，如果某 截面上的外法线是沿着坐标轴的负向，则该面上的切应力分 量就以沿坐标轴负向时为正。这样剪应力互等定理的表达式 就可不加负号了。
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力 分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
弹性力学课后答案
弹性力学课后答案第二章习题的提示与答案2－1 是2－2 是2－3 按习题2－1分析。
2－4 按习题2－2分析。
2－5 在的条件中，将出现2、3阶微量。
当略去3阶微量后，得出的切应力互等定理完全相同。
2－6 同上题。
在平面问题中，考虑到3阶微量的精度时，所得出的平衡微分方程都相同。
其区别只是在3阶微量（即更高阶微量）上，可以略去不计。
2－7 应用的基本假定是：平衡微分方程和几何方程─连续性和小变形，物理方程─理想弹性体。
2－8 在大边界上，应分别列出两个精确的边界条件；在小边界（即次要边界）上，按照圣维南原理可列出3个积分的近似边界条件来代替。
2－9 在小边界OA边上，对于图2－15（a）、（b）问题的三个积分边界条件相同，因此，这两个问题为静力等效。
2－10 参见本章小结。
2－11 参见本章小结。
2－12 参见本章小结。
2－13 注意按应力求解时，在单连体中应力分量必须满足（1）平衡微分方程，（2）相容方程，（3）应力边界条件（假设 )。
2－14 见教科书。
2－15 2－16 见教科书。
见教科书。
2－17 取它们均满足平衡微分方程，相容方程及x=0和的应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。
2－18 见教科书。
2－19 提示：求出任一点的位移分量和，及转动量，再令 ,便可得出。
第三章习题的提示与答案3－1 本题属于逆解法，已经给出了应力函数，可按逆解法步骤求解：（1）校核相容条件是否满足，（2）求应力，（3）推求出每一边上的面力从而得出这个应力函数所能解决的问题。
3－2 用逆解法求解。
由于本题中 l>>h, x=0,l 属于次要边界（小边界），可将小边界上的面力化为主矢量和主矩表示。
3－3 见3-1例题。
3－4 本题也属于逆解法的问题。
首先校核是否满足相容方程。
再由求出应力后，并求对应的面力。
本题的应力解答如习题3-10所示。
应力对应的面力是：主要边界：所以在边界上无剪切面力作用。
第二版《材料力学》第六章至第九章习题解答-(华中科大版-倪樵主编)
2 z
W
M
2 x
W2
[ ]
7-17 图示直角曲拐，C端受铅垂集中力F作用。已知a=160mm，AB杆直径D=40mm，
l=200mm ，E=200GPa， μ=0.3，实验测得D点沿45º方向的线应变 ε45º=0.265 × 10-3。试求：
（1）力F的大小；（2）若AB杆的[σ]=140MPa，试按最大切应力理论校核其强度。
T Wp
16 M 0
D3
16 125 .6
0.023
79.96MPa
单元体可画成平面单元体如图(从上往下观察)
A
6-5 试用求下列各单元体中ab面上的应力（单位MPa） 。
解：(a)
x 70
y 70
xy 0
30
x
y
2
x
y
2
cos(2 30 )
70 1 2
35
(MPa)
x y sin(2 30 ) 70
2
3 60.62 (MPa) 2
(b)
x 70
y 70
xy 0
30
x
y
2
x
y
2
cos(2 30 )
70
(MPa)
x
y
2
sin(2 30 )
0
6-6 各单元体的受力如图所示，试求：（1）主应力大小及方向并在原单元体图上绘出主 单元体；（2）最大切应力（单位MPa） 。
解： (3) My 、Mz、Mx 和F 同时作用，拉弯扭组合，任一截 面D1点是危险点
应力状态：
D1
FN M F
M
2 y
M
2 z
y
AW A
材料力学-单祖辉-第三版课后答案-(第九章—第十九章)
3Fx 4a 2
[
]
x2 0.1277x6.39104 0
由此得切口的允许深度为
x5.20 mm
10-3 图示矩形截面钢杆，用应变片测得上、下表面的纵向正应变分别为 εa =1.0×10-3
2Sz(a)
S z,max
[2.23104
1 0.0085(0.140 0.0137)2 ]m3 2
2.90104 m3
式中：足标 b 系指翼缘与腹板的交界点；足标 a 系指上翼缘顶边中点。 3．应力计算及强度校核
三个可能的危险点（ a ， b 和 c ）示如图 9-5。
a 点处的正应力和切应力分别为
x1
4F πD 2
x2 0
设圆柱体与外管间的相互作用力的压强为 p，在其作用下，外管纵截面上的周向正应力为
t2
pD 2
(a)
在外压 p 作用下（图 b，尺寸已放大），圆柱体内任一点处的径向与周向正应力均为
r1 t1 p
根据广义胡克定律，圆柱体外表面的周向正应变为
t1
1 E1
t1
1
x1
松比 均为已知。试求内压 p 与扭力偶矩 M 之值。
题 9-14 图 解：圆筒壁内任意一点的应力状态如图 9-14 所示。
图中所示各应力分量分别为
图 9-14
由此可得
x
pD 4
,
t p2D,
2M πD2
σ0 σ x , σ90 σt ,
σ 4 5
τ
3pD, 8δ
根据广义胡克定律，贴片方向的正应变为
σ1
σ2
σt
pD，σ 4δ
3
0
9-13 图示组合圆环，内、外环分别用铜与钢制成，已知铜环与钢环的壁厚分别为
材料力学典型例题及解析7.应力应变状态典型习题解析
应力、应变状态分析典型习题解析1 已知矩形截面梁，某截面上的剪力F S =120 kN 及弯矩m kN 10⋅=M 。
绘出表示1、2、3及4点应力状态的微体，并求出各点的主应力。
b = 60 mm ，h = 100 mm 。
解题分析：从图中可分析1、4点是单向应力状态，2点在中性轴上为纯剪切应力状态，31取平行和垂直与梁横截面的六个平面，构成微体。
则各点处的应力状态如图示。
2、梁截面惯性矩为点微体上既有正应力又有切应力。
解：、画各点处微体的应力状态图计算各点处主应力4843333m 1050012m 10100(106012−−−×=×××==）bh I z 1点处弯曲正应力（压应力）MPa 100Pa 10100m10500m 1050m N 101064833−=×=×××⋅×==−−z I My σ1点为单向压缩受力状态，所以021==σσ，MPa 1003−=σ2点为纯剪切应力状态，MPa 30Pa 1030m10100602N1012036263=×=×××××=−τ（向下）容易得到，MPa 301=σ，02=σ，MPa303−=σ3点为一般平面应力状态弯曲正应力MPa50Pa 1050m 10500m 1025m N 101064833=×=×××⋅×==−−z I My σ弯曲切应力σ14τ2F S =120 kN题图1中性轴324hστ25 mm 31b M =10 kN·mσ3150 mm 1MPa 5.22Pa 1050.22m10500m 1060m 105.372560N 101206483393*S =×=××××××××==−−−zz bI S F τMPa6.8MPa6.58Pa)10522()2Pa 1050(2Pa 1050)2(22626622minmax −=×+×±×=+−±+=x y x yx τσσσσσσ所以 MPa 6.581=σ，02=σ，MPa 6.83−=σ4点为单向拉伸应力状态，拉伸正应力的大小与1点相等。
第九章 应力状态分析
目
录
§9-1 一点处的应力状态 §9-2 平面应力状态分析
§9-3 三向应力状态的应力圆
§9-4 应力和应变间的关系 §9-5 平面应力状态下由测点处的线应变求应力
§9-1 一点处的应力状态
一 基本变形下的横截面上应力回顾
拉（压）杆横截面上的应力：
m
F F
m
横截面上只有正应力，且 均匀分布 计算公式：
a
2
x y x y 2 2 b 得 x 2 2
2
(c)
可以看出，若以 为横坐标， 为纵坐标，则（c）式为圆的方程。
x y y 2 圆心为 , 0 ，半径为 R x x 2 2
F
利用
n
0
dA dA cos sin dAsin cos 0
F 0
t
dA dA cos cos dAsin sin 0
经整理后得到 （1） 由（1）、（2）式，可以求出单 元体各个截面上的应力。（即a点 （2） 处各个方向上的应力）
sin 2
cos 2
定义：构件内一点处各个方向上的应力集合，称为该点处的 应力状态。
三 研究一点处的应力状态的目的 t ,max c ,max sin 2 45 cos 2
x
（1） （2）
o
c ,max
F
FN
FN A
等直圆杆扭转时横截面上的应力：
Me m Me
m
横截面上只有切应力，呈 线性分布
T
o
9第九章 应力、应变分析、强度理论123
第九章 应力、应变分析、强度理论一、是非题9-1、单元体最大正应力面上的剪应力恒等于零。
（ ）9-2、单元体最大剪应力面上的正应力恒等于零。
（ ）9-3、依照剪应力互等定理，一单元体中两个平面上的剪应力数值相等，符号相反，则这两平面必定相互垂直。
（ ）9-4、 只要构件横截面上的轴力N=0，则该横截面正应力处处为零。
（ ）9-5、 梁受横力弯曲时，其横截面上各点处的主应力必定是σ1≥0，σ3≤0。
（ ）9-6、 等截面圆杆受纯扭转时，杆内任一点处只有剪应力，而无正应力。
（ ）9-7、若受力构件中一点处，某方向上的线应变为零，则该方向上的正应力必为零。
（ ）9-8、若受力钢质构件中的一点处，某相互垂直方向的剪应变为零，则该方向上的剪应力必为零。
（ ） 9-9、若各向同性材料单元体的三个正应力σx >σy >σz ，则对应的三个线应变也有εx >εy >εz 。
（ ） 9-10、 各向同性单元体的三个主应变为ε1≠0，ε2≠0，ε3=0，若（1）、当ε1>0，则必有σ1>0；（ ）（2）、当ε1>ε2，则必有σ1>σ2；（ ）（3）、当ε1>ε2>0，则()()21max 12εεμτ-+=E 。
（ ） 9-11、各向同性材料在三向均匀压缩或拉伸时，其形状改变比能恒等于零。
（ ）二、选择题9-12、单元体应力状态如图9-1所示，由x 轴至σ1方向的夹角为（ ）。
A 、＋13.5°；B 、－76.5°；C 、＋76.5°；D 、－13.5°。
9-13、 若已知σ1=5MP a ，则另一个主应力为（ ）。
A 、σ2=－85MP a ；B 、σ3=－85MP a ；C 、σ2=75MP a ；D 、σ3=－75MP a 。
9-14、 三种应力状态分别如图9-2a 、b 、c 所示，则三者间的关系为（ ）。
A 、完全等价；B 、完全不等价；C 、（b ）和（c ）等价；D 、（a ）和（c ）等价。
第九章应力状态(3,4,5)
s
3
e3
1 E
s
3
s 1
s 2
例 9-17
边长a =0.1 m的铜质立方体，置于刚性很大的 钢块中的凹坑内(图a)，钢块与凹坑之间无间隙。 试求当铜块受均匀分布于顶面的竖向荷载F =300 kN时，铜块内的主应力，最大切应力，以及铜块 的体应变。已知铜的弹性模量E =100 GPa，泊松比
1 2
E
sx sy sz
思考: 各向同性材料制成的构件内一点处，
三个主应力为s1＝30 MPa，s2＝10 MPa，s3＝-40
MPa。现从该点处以平行于主应力的截面取出边 长均为a的单元体，试问：(1) 变形后该单元体的 体积有无变化？(2) 变形后该单元体的三个边长之 比有无变化？
弹性,小变形条件下可以
应用叠加原理，故知x方 向的线应变与正应力之
间的关系为
e x
sx
E
sy
E
sz
E
1 E
sx
sy
sz
同理有
e y
1 E
s
y
s x
s z ，e z
1 E
sz
sx
s
最一般表现形式的空间应力状态中有9个应力
分量，但根据切应力互等定理有txy＝tyx，tyz＝tzy ， txz＝tzx，因而独立的应力分量为6个，即sx、sy、sz、 tyx、tzy、tzx。
当空间应力状态的三个主应
力s1、s2、s3已知时(图a)，与
任何一个主平面垂直的那些斜截
面(即平行于该主平面上主应力
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8-9 矩形截面梁如图所示，绘出1、2、3、4点的应力单元体，并写出各点的应力计算式。
解：(1)求支反力R A =1.611KN,R B =3.914KN (2)画内力图如图所示。
xPl(-)(+)Plx σx σ（4)MkN ·m)PPP '-PP 'P'aal-2aAyτττσx x σBy(-)(-)(+)（1)（2)h /4PbPzh1234VkN)题8-9图(3) 求梁各点的正应力、剪应力：(4)画各点的应力单元体如图所示。
9-1 试用单元体表示图示构件的A 、B 的应力单元体。
（a ）解：（1）圆轴发生扭转变形，扭矩如图所示。
111max 222222333333max 442330,22(')[()]448114()121200(0,0)16ZZZ ZzV pA b hh h hP P b M V S Pl hy I I bb h b h b M SM PlW b h σττστστστ==-=-⋅=-⋅⋅-⋅⨯⨯-⋅=⋅=⋅==⋅⨯⨯⨯⨯⋅=====-=-=⨯⨯9-1aττy A y ττy ττABττy ττy By ττ80kN ·m BA160kN ·mAB-+1608020080kN ·m240kN ·m AT (kN ·m )B（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 、B 两点均在圆轴最前面的母线上，横截面上应力沿铅垂方向单元体如图所示：331601020.21680510.216A A tb B tT Pa kPa W T Pa kPaW τπτπ===⨯===-⨯（b ）解：（1）梁发生弯曲变形，剪力、弯矩图如图所示。
z y160kN0.5m 0.5m 0.5m 0.5m80kN ·m5050120kN40kN120200-+120VkN)40MkN ·m)+120402060xστxτABAA σx xττxx στxτσxBB 题9-1（b ）（2）绘制A 、B 两点的应力单元体：A 点所在截面剪力为正，A 点横截面的剪力为顺时针，同时A 点所在截弯矩为正下拉，而A 点是压缩区的点。
B 点所在截面剪力为负，B 点横截面的剪力为逆时针，同时B 点所在截弯矩为正下拉，而B 点是拉伸区的点。
单元体如图所示：333.3333.60100.0537.50.1200.21212010(0.1200.050.075) 5.6250.1200.20.1201220100.0512.50.1200.2124010(0.1200.05A A A t A z A A t B B B tB z B B t M y Pa MPaI V S Pa MPaI bM y Pa MPaI V S I bστστ⨯=-⋅=-⨯=-⨯⋅⨯⨯⨯⨯=⋅==⋅⨯⨯⨯=⋅=⨯=⨯⋅-⨯⨯⨯⨯=⋅=⋅g g 30.075) 1.8750.1200.20.12012Pa MPa=-⨯⨯9-2（c ）试用解析法求出图示应力单元体a-a 截面的应力。
30O(MP a )205030aa解：(1)由题意知：30,20.5030ox x y MP MPa MP στσα==-==，，。
(2)求30o斜截面上的应力cos 2sin 22230503050cos 60(20)sin 6052.32()223050sin 2cos 2sin 60(20)cos 6018.67()22x x x xx o o o o x x x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+-+-=+--⨯=--=+=+-⨯=- (e) 试用解析法求出（1）图示应力单元体-30o 斜截面的应力。
（2）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面。
解：(1)由题意知：oMPa MP x x 30.20,10-=-=-=ατσ。
见图（a ）(MP a )σ1=15.6230O(MP a )1020σ3=-5.6237.98O(a) (b)题9-2e 图(2)求α斜截面上的应力。
cos 2sin 222100100cos(60)(20)sin(60) 6.16()22100sin 2cos 2sin(60)(20)cos(60)0.67()22x yx yx o o x y o o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+--+--=+---⨯-=---=+=-+-⨯-=- (3) 求梁的主应力及主平面方位角：max 2222min 100100()()(20)222215.62520.62()25.62x y x y xMPa σσσσστσ+-⎫-+--=±+=±+-⎬⎭⎧=-±=⎨-⎩故，MPa MPa 62.25,0,62.15321-===σσσ0022(20)tan 24100=-37.98x x y oτασσα-⨯-==-=----（4）求最大剪应力)(62.20231max MPa =-=σστ(4)画点的主应力单元体如图（b ）所示。
9-3c 对图示应力单元体，试用解析法求解：（1）主应力与主方向，以及面内的剪应力极值；（2）在单元体上标出主平面、主应力和剪应力极值及其作用面。
20404038O1σσ3=11.23=-71.237O解：(1)由题意知： 40,20,40x y x MP MP MPa σστ=-=-=-。
(2) 求梁的主应力及主平面方位角：max 2222min 40204020()()(40)222211.233041.23()71.23x y x y x MPa σσσσστσ+-⎫---+=±+=±+-⎬⎭⎧=-±=⎨-⎩故，12311.23,0,71.23MPa MPa σσσ===- 0022(40)tan 24-37.9840+20o x x y ταασσ-⨯-==-=-→=--（4）求最大剪应力13max 11.23+71.23=41.23()22MPa σστ-==-37.98457o o o s α=+=(4)画点的主应力单元体、剪应力极值及其作用面如图所示。
9-8 梁如图示，试求：（1）A 点处指定斜截面上的应力；（2）A 点处的主应力及主平面位置。
V kN)(a)40-+140kN70kN70kN402mM k N ·m)(c)2m Ah /4AAττy y ττx xτx σσx σx σx 题9-8140(d )+y τx y ττx σσx τyAxx σx σττAτh /4A2m +z (d )(c)(b)M k N ·m)1402m 题9-84070kN70kN140kN+-40(a)V kN)στy y τx x13.6O34.1Oσx τ解：（1）根据对称性可知，两约束反力均为70kN,并绘出剪力和弯矩图如图示。
A 点在跨中稍左或稍右截面上，70140V M ==⋅中中kN ,kN m（2）求跨中稍左横截面上A 点的应力。
①查表得36a 工字钢的几何参数：4343360,136,15.8,10,15800cm ()42224436015.8360336015.813615.815.810464116.68mm 4.6410m2482z z h b t d I h t h t h h S bt t d *-=====⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫=⋅-+-⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭-⨯⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+-⨯⨯-==⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭mm mm mm mm ②求跨中稍左横截面上A 点的应力33,81401036010Pa 79.7MPa 41580010A xA z M y I σ--⨯⨯=⋅=⨯=⨯ 纵向纤维间无挤压：,0A y σ=3,4,837010 4.6410Pa 20.56MPa 158********z AA xz VS I d τ*---⨯==⨯⨯=⋅⨯⨯⨯ （3）绘制A 点的应力单元体。
（4）求A 点600斜截面上的应力。
cos 2sin 22279.779.7cos(260)20.56sin(260) 2.12()2279.7sin 2cos 2sin(260)20.56cos(260)24.23()22x y x yx o o x y o o x MPa MPa αασσσσσατασστατα+-=+-=+⨯-⨯⨯=-=+=⨯+⨯⨯=（5）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max 2222min 79.779.7()()20.56222284.6939.8544.84()4.99x y x y x MPa σσσσστσ+-⎫=±+=±+⎬⎭⎧=±=⎨-⎩故，12384.69,0, 4.99MPa MPa σσσ===- 002220.56tan 20.516-13.679.7o x x y ταασσ-⨯==-=-→=-9-9试求图示杆件A 点处的主应力。
题9-9x σx στxz τAx σσx x z ττA2π4π+-+60πM k N ·m)T kN)N kN)d =10c m0.5m 4πk N ·m60πkN4πkN A解：（1）外力分析：构件发生拉弯扭组合变形。
（2）内力分析：轴力图、扭矩图、弯矩图如图所示。
A 所在横截面的内力为：6042N T M πππ===⋅固固固kN,kN ,kN m（3）应力分析：A 点在上边缘点，无弯曲剪应力。
A 点所在横截面各点具有均匀分布的轴力引起的拉的正应力N σ，A 点在上下弯的拉伸区的边缘点W σ，该点正应力33,236010210=Pa=88MPa 0.10.1432A x N W zN M AW ππσσσππ⨯⨯=+=++⨯⨯固固 ,0A z σ=同时，该点还有扭转剪应力3,3410=Pa=64MPa 0.116A x tT W πτπ⨯=⨯固。
应力单元体如图所示。
（4）求梁A 点处的主应力及主平面位置。
max 2222min 8888()()642222121.674477.67()33.67x z x z xMPa σσσσστσ⎫+-=±+=±+⎬⎭⎧=±=⎨-⎩故，123121.67,0,33.67MPa MPa σσσ===-002264tan 2 1.4546-27.788o x x z ταασσ-⨯==-=-→=-9-5 试用图解法求解题9-3dC25.67°19.33°τm inτm ax 5=-27σ3=371στ=32max τ3σ=-27=37σ1τσ55x'A T202030O10MPaPABB '19.33°25.67°解：（1）由图可知： 20,30,20x y x MP MP MPa σστ=-==-。