2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(解析版)
【解析】
解：模拟程序的运行，可得：
a=2，b=5，
不满足a＞b，a=2+5=7，
b=7-5=2
a=7-2=5．
输出a，b的值分别为5，2．
故选：D．
由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
若an=0，则{an}是等差数列，当m+n=p+q时，由“am•an=ap•aq”成立，但“{an}是等比数列”不成立，
即充分性不成立，
则“am•an=ap•aq”是“{an}是等比数列”的成立的必要不充分条件，
故选：B．
根据等比数列的通项公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等比数列的通项公式和性质是解决本题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：由三角函数的定义可知，cos ，sinα= ，β= ，
∴cos（β-α）=cos cosα+sin sinα= =
故选：C．
由三角函数的定义可知，cos ，sinα= ，β= ，然后结合两角差的余弦公式即可求解
本题主要考查了三角函数的定义及两角差的余弦公式的简单应用，属于基础试题
18.如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE=DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4．
（Ⅰ）求四棱锥E-ABCD的体积；
（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；
（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．
19.已知函数 ．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
11.在△ABC中， ，a2+b2-c2=ab，c=3，则∠C=______；a=______．
12.已知a=log29，b=log3m，c=log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为______．
13. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=1，O为AB的中点．当点P在BC边上时， 的值为______；当点P沿着BC，CD与DA边运动时， 的最小值为______．
故答案为[ ，3 ]
先得到M的轨迹为一个圆，然后用|CQ|减去圆的半径得|MQ|的最小值，加上半径得|MQ|的最大值．
本题考查了两点间的距离公式，属中档题．
15.【答案】（共13分）
解：（Ⅰ）∵数列{an}满足：a1=1，an+1+2an=0．
∴依题意，数列{an}满足：a1=1，an+1=-2an，
（Ⅱ）求证：（x-1）f（x）≥0．
20.已知椭圆 的一个焦点为F（1，0），离心率为 ．A为椭圆C的左顶点，P，Q为
椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：x=4分别交于M，N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△PAF与△PMF的面积之比为 ，求M的坐标；
（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R，若P，F，Q三点共线，求证：∠MFR=∠FNR．
所以b37与数列{an}的第7项相等．…………………..（13分）
【解析】
（Ⅰ）推导出数列{an}满足：a1=1，an+1=-2an，从而{an}是首项为1，公比为-2的等比数列，由此能求出{an}的通项公式和前n项和．
（Ⅱ）由b1=-8，b2=-6，{bn}为等差数列，求出{bn}的通项公式，从而b37=2×37-10=64．由此能求出b37与数列{an}的第7项相等．
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1.已知集合A={x|x＜-1或x＞3}，B={x|x-2≥0}，则A∪B=（ ）
A. 或 B. C. D.R
2.下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
3. 执行如图所示的程序框图，输入a=2，b=5，那么输出的a，b的值分别为（ ）
A.7，
B. ，
C.5，
D.5，2
4.若x，y满足2x-1≤y≤x，则点（x，y）到点（-1，0）距离的最小值为（ ）
A.
B.
C.
D.
5.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（ ）
8.【答案】D
【解析】
解：因为 （其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，
故选：D．
先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．
本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．
9.【答案】y=±
【解析】
解：∵双曲线 的a=2，b=1，焦点在x轴上
A. B. C. D.
6.已知m，n，p，q为正整数，且m+n=p+q，则在数列{an}中，“am•an=ap•aq”是“{an}是等比数列”的（ ）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为 ，C（-1，0）．若∠BOC= ，则cos（β-α）的值是（ ）
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：B={x|x-2≥0}={x|x≥2}，
则A∪B={x|x≥2或x＜-1}，
故选：A．
根据集合并集的定义进行求解即可．
本题主要考查集合的基本运算，结合集合并集的定义是解决本题的关键．比较基础．
2.【答案】D
【解析】
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x3，为奇函数，不符合题意；
∴复数 的实部为 ；虚部为 ．
故答案为： ； ．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11.【答案】
【解析】
解：∵a2+b2-c2=ab，
∴可得cosC= = = ，
∵C∈（0，π），
∴C= ，
∵ ，c=3，
∴由正弦定理 ，可得： = ，解得：a= ．
4.【答案】C
【解析】
解：由x，y满足2x-1≤y≤x，作出可行域如图，
点（-1，0）到点（x，y）的最小距离为D到P的距离．即： = ．
故选：C．
由约束条件作出可行域，再由点到点的距离公式求得点（-1，0）到点（x，y）的最小距离．
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
5.【答案】C
【解析】
解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：
长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，
如图，
∴该零件的体积：
V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）．
故选：C．
由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．
14.已知直线l过点（1，1），过点P（-1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
15.设数列{an}满足：a1=1，an+1+2an=0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式及前n项和Sn；
（Ⅱ）若等差数列{bn}满足b1=a4，b2=a2-a3，问：b37与{an}的第几项相等？
对于B，y=cosx，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；
对于C，y=ex，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，y=|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
故选：D．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性与单调性，属于基础题．
本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．
6.【答案】B
【解析】
解：若“{an}是等比数列”，则am•an=a12qm+n-2，ap•aq=a12qp+q-2，
∵m+n=p+q，∴am•an=ap•aq成立，即必要性成立，
即当m=27时，b=log3m=log327=3满足a＞b＞c，
故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．
故答案为：27．
由对数值的运算得：a=log29＞log28=3，c=log515＜log525=2，即当m=27时，b=log3m=log327=3满足a＞b＞c，得解．
本题考查了对数值的运算，属简单题．
A.
B.
C.
D.
8.在交通工程学中，常作如下定义：
交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；
车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；
车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．
一般的，V和K满足一个线性关系，即 （其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（ ）
而双曲线 的渐近线方程为y=±
∴双曲线 的渐近线方程为y=±
故答案为：y=±
先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2-x-2≤0}，则A∩∁R B=（）A. B. C. D. 0，1，2.执行如图所示的程序框图，输入a=2，b=5，那么输出的a，b的值分别为（）A. 7，B. ，C. 5，D. 5，23.已知向量与不共线，且=+m（m≠1），=n+．若A，B，C三点共线，则实数m，n满足的条件为（）A.B.C.D.4.鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A. B. C. D.5.已知S n是等差数列{a n}的前n项和，则“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为（）A. 84B. 42C. 41D. 357.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P是底面ABCD上的动点，PA≥PC1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于（）A. B. C. D.8.在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A. 随着车流密度增大，车流速度增大B. 随着车流密度增大，交通流量增大C. 随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D. 随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知复数在复平面内对应的点为Z，则Z关于虚轴对称的点位于第______象限．10.已知a=log26，b=log515，若a＞log3m＞b，m∈N*，则满足条件的m可以为______．11.椭圆：与曲线C2关于直线y=-x对称，C1与C2分别在第一、二、三、四象限交于点P1，P2，P3，P4．若四边形P1P2P3P4的面积为4，则点P1的坐标为______，C1的离心率为______．12.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则=______．13.设关于x，y的不等式组，，表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则m的取值范围是______．14.已知函数f（x），对于任意实数x∈[a，b]，当a≤x0≤b时，记|f（x）-f（x0）|的最大值为D[a，b]（x0）．①若f（x）=（x-1）2，则D[0，3]（2）=______；②若，，，＞，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.如图，在四边形ABCD中，，，．（Ⅰ）求∠CAD的正弦值；（Ⅱ）若∠BAC=2∠CAD，且△ABC的面积是△ACD面积的4倍，求AB的长．16.某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如表：从这天中随机选取一天，随机变量表示在维修处该天元件的维修个数．（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；（Ⅱ）若a，b∈N*，且b-a=6，求P（a≤X≤b）最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）17.如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB=60°，AB=AD=4，AE⊥DE，AE=DE，平面ABE与平面CDE交于EF．（Ⅰ）求证：CD∥EF；（Ⅱ）若EF=CD，求二面角A-BC-F余弦值；（Ⅲ）在线段BC上是否存在点M使得AM⊥EM？若存在，求BM的长；若不存在，说明理由．18.已知点P（1，2）到抛物线C：y2=2px（p＞0）准线的距离为2．（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB分别交x轴于M，N两点．求|MF|•|NF|的值．19.已知函数f（x）=x+sin x．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点，处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立，求实数a的取值范围．20.若n行n列的数表（n≥2）满足：a ij∈{0，1}（i，j=1，2，…，n），（i=1，2，…，n，0＜m＜n），＞，，，，，，记这样的一个数表为A n（m）．对于A n（m），记集合，，＜，，∈．|T（n，m）|表示集合T（n，m）中元素的个数．（Ⅰ）已知，写出＜，，∈的值；（Ⅱ）是否存在数表A4（2）满足|T（4，2）|=1？若存在，求出A4（2），若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表＜＜，∈，求证：，．答案和解析1.【答案】A【解析】解：B={x|-1≤x≤2}；∴∁R B={x|x＜-1，或x＞2}；∴A∩∁R B={-2}．故选：A．可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．2.【答案】D【解析】解：模拟程序的运行，可得：a=2，b=5，不满足a＞b，a=2+5=7，b=7-5=2a=7-2=5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．由已知中的程序语句可知该程序的功能是计算并输出变量a，b的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.【答案】C【解析】解：由题意可得，∴，故有，∴mn=1，故选：C．由题意可得，再根据两个向量共线的性质可得，由此可得结论．本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4.【答案】C【解析】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V=100×20×20-40×20×10=32000（mm3）．故选：C．由三视图得鲁班锁的其中一个零件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，由此能求出该零件的体积．本题考查几何体的体积的求法，考查几何体的三视图等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．5.【答案】C【解析】解：若S n＞na n对n≥2恒成立，则na1+d＞n（a1+（n-1）d]，整理得（n-1）d＜0，①当n≥2时，得d＜0，即等差数列{a n}是单调递减数列，则a3＞a4成立，若a3＞a4成立，得d＜0，此时由①得n-1＞0，得n＞1，此时n≥2恒成立，综上“S n＞na n对n≥2恒成立”是“a3＞a4”的充要条件，故选：C．根据等差数列的通项公式结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列通项公式以及前n项和公式进行化简是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：根据题意，分4种情况讨论：①，选出的3本都是论语，有1种情况，②，选出的3本中有2本是论语，则其中有1本是近代文学名著，有C61=6种情况，③，选出的3本中有1本是论语，则其中有2本是近代文学名著，有C62=15种情况，④，选出的3本都是近代文学名著，有C63=20种情况，则有1+6+15+20=42种不同的选法；故选：B．根据题意，按选出论语的数目分4种情况讨论，求出每一种情况的选法数目，由加法原理计算可得答案．本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，关键是分类讨论．7.【答案】A【解析】解：依题意，以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，则C1（0，0，2），A（2，2，0）．设P点坐标为（x，y，0），则由PA≥PC1，得≥，在xoy平面内，z=0，化简得：x+y≤1．所以，点P构成的区域为如图的阴影区域．所以，满足条件的点P构成的图形的面积等于S=×1×1=．故选：A．以C为坐标原点，CD为x轴，CB为y轴，CC1为z轴建立坐标系，设P点坐标为（x，y，0），根据PA≥PC1，列不等式，化简后得到x，y的约束条件，即可求出P点构成图形的面积．本题考查了空间距离，考查了正方体的结构特征，空间坐标系的应用等，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．先阅读题意，再结合简单的合情推理判断即可得解．本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属简单题．9.【答案】四【解析】解：∵=，∴Z（），则Z关于虚轴对称的点为（），位于第四象限．故答案为：四．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标，进一步求得Z关于虚轴对称的点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10.【答案】9【解析】解：由a=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足a＞log3m＞b，m∈N*，故满足条件的m可以为9．故答案为：9由对数值的运算得：=log26＞log24=2，b=log515＜log525=2，即取m=9即log39=2满足题意，得解．本题考查了对数值的运算，属简单题．11.【答案】（1，1）【解析】解：在椭圆中，取x=-y，y=-x，可得曲线C2：，联立，得．∵四边形P1P2P3P4的面积为4，∴4x2=4，即，解得．∴点P1的坐标为（1，1），由a2=4，得a=2，c=．∴e=．故答案为：（1，1）；．由题意求得曲线C2的方程，与椭圆C1联立，结合四边形P1P2P3P4的面积为4求得b2，则答案可求．本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．12.【答案】【解析】解：函数，=2sin（2x-），函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）==2sin2x的图象，故：故答案为：-首先把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用三角函数关系式的变换求出g（x）的关系式，最后求出三角函数的值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的平移变换和伸缩变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】，，【解析】解：mx-y+1=0经过的定点D（0，1），x，y的不等式组表示的平面区域如图：平面区域为钝角三角形及其内部，可得∠PDO为钝角．或∠DQO为钝角，所以m的取值范围是：．故答案为：．画出可行域，利用mx-y+1=0经过的定点，判断求解即可．本题考查线性规划的应用，画出约束条件的可行域，判断三角形是钝角三角形哭直线系方程的应用，是难度比较大的题目．14.【答案】3 [1，4]【解析】解：①当0≤x≤3时，f（2）=1，则|f（x）-f（x0）|=|（x-1）2-1|=，则当x=3时，|f（x）-f（x0）|的最大值为D[0，3]（2）=（3-1）2-1=4-1=3．②f（-1）=-1+2=1，则|f（x）-f（x0）|=|f（x）-1|=，作出函数h（x）=|f（x）-1|图象如图：∵a≤-1≤a+2，∴区间长度为2，若a=-1，则对应区间为[-1，1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（1）=h（0）=1，若a+2=-1，即a=-3，则对应区间为[-3，-1]，此时D[a，a+2]（-1）=h（-3）=（-3+1）2=4，则D[a，a+2]（-1）的取值范围是[1，4]，故答案为：3，[1，4]①根据定义先求出f（2）=1，将绝对值函数表示成分段函数形式，利用数形结合进行求解即可．②先求出f（-1）=1，将函数表示成分段函数形式，结合a≤-1≤a+2，讨论区间对应函数的最值进行求解即可．本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的解析式，利用数形结合以及函数最值的性质是解决本题的关键．15.【答案】解：（Ⅰ）在△ACD中，设AD=x（x＞0），由余弦定理得，整理得7x2=7，解得x=1．所以AD=1，CD=2．由正弦定理得，解得．（Ⅱ）由已知得S△ABC=4S△ACD，所以，化简得AB•sin∠BAC=4AD•sin∠CAD．所以AB•2sin∠CAD•cos∠CAD=4AD•sin∠CAD，于是AB•cos∠CAD=2AD．因为，且∠CAD为锐角，所以．因此．【解析】（Ⅰ）直接利用余弦定理的应用和正弦定理的应用求出结果．（Ⅱ）进一步利用三角形的面积公式的应用和同角的三角函数的关系是的应用求出结果．本题考查的知识要点：正弦定理余弦定理和三角形面积的应用，同角三角函数的关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．16.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）X的取值为：9，12，15，18，24；P（X=9）=，P（X=12）=，P（X=15）=，P（X=18）=，P（X=24）=，故X的数学期望…（5分）（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，a，b的只可能为：或或经计算，，，所以P（a≤X≤b）的最大值为…（10分）（Ⅲ）至少增加2人…（13分）【解析】（Ⅰ）求出X的所有可能取值为9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）当P（a≤X≤b）取到最大值时，求出a，b的只可能然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前两问的结果，判断至少增加2人．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，概率的应用，考查转化思想以及计算能力．17.【答案】（Ⅰ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABE，CD⊄平面ABE，∴CD∥平面ABE，又CD⊂平面CDE，平面CDE∩平面ABE=EF，∴CD∥EF．（Ⅱ）取AD的中点N，连接EN，BN．∵AE=DE，∴EN⊥AD．又平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，EN⊂平面ADE，∴EN ⊥平面ABCD ．∵AN =AD =2，AB =4，∠DAB =60°，∴BN = =2 ．∴AN 2+BN 2=AB 2，即AN ⊥BN ．∵△ADE 是等腰直角三角形，AD =4，∴EN =2，以N 为原点建立空间直角坐标系N -xyz ，如图所示，则N （0，0，0），B （0，2 ，0），C （-3， ，0），F （-1， ，2）． ∴ ， ， ， ， ， ，设平面BCF 的法向量为n =（x ，y ，z ），则 ， ，即 ，令 ，则x =-1，z =1．于是 ， ， ．又平面ABCD 的法向量为， ， ， ∴cos ＜ ， ＞== =． 由题知二面角A -BC -F 为锐角， 所以二面角A -BC -F 的余弦值为．（Ⅲ）不存在满足条件的点M ，使AM ⊥EM ，理由如下： 若AM ⊥EM ，则 =0．因为点M 为线段BC 上的动点，设． 则M （3t -3， t + ，0）， ∴ =（3t -5， t + ，0）， =（3t -3， t + ，-2），∴（3t -3）（3t -5）+（ t + ）2=0，化简得：2t 2-3t +3=0，方程无实根．所以线段BC 上不存在点M ，使AM ⊥EM ． 【解析】（I ）证明CD ∥ABE ，根据线面平行的性质即可得出CD ∥EF ；（II ）建立空间坐标系，求出平面ABC 和平面BCF 的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；（III ）设CM=tCB ，求出和，令=0求出t 的值得出结论．本题考查了线面平行的判定与性质，考查空间向量与空间角的计算，属于中档题． 18.【答案】（共13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以p =2．所以抛物线C 的方程为y 2=4x ，焦点F 的坐标为（1，0）…（4分）（II ）设点 ， ， ， ，由已知得Q （-1，-2）， 由题意直线AB 斜率存在且不为0．设直线AB 的方程为y =k （x +1）-2（k ≠0）．由得ky 2-4y +4k -8=0，则 ，．因为点A ，B 在抛物线C 上，所以 ，，，．因为PF ⊥x 轴， 所以= =．所以|MF |•|NF |的值为2…（13分）【解析】（Ⅰ）通过点经过抛物线，代入方程，求出p ，即可求C 的方程及焦点F 的坐标； （Ⅱ）设点，，由已知得Q （-1，-2），设直线AB 的方程为y=k （x+1）-2（k≠0）．由得ky 2-4y+4k-8=0，利用韦达定理以及弦长公式，转化求解|MF|•|NF|的值．本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力． 19.【答案】解：（Ⅰ）因为f （x ）=x +sin x ，所以f '（x ）=1+cos x ，，， 所以曲线y =f （x ）在点， 处的切线方程为y =x +1 （Ⅱ）因为 ∈ ，，所以sin x ≥0，cos x ≥0，①当a ≤0时，x +sin x ≥0，ax cosx≤0，即f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立 所以不等式f （x ）≥ax cosx 在区间 ，上恒成立． ②当a ＞0时，设g （x ）=f （x ）-ax cosx=x +sin x -ax cosx ， g '（x ）=1+cos x -a cos x +ax sinx=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， （1）若0＜a ≤1，（1-a ）cos x ≥0，ax sinx≥0， 所以g '（x ）＞0在区间 ，上恒成立；所以g （x ）在区间 ，上单调递增，g （x ）min =g （0）=0， ∴g （x ）=f （x ）-ax cosx≥0∴f （x ）≥ax cosx 在区间 ， 上恒成立，（2）若1＜a ≤2，令h （x ）=g '（x ）=1+（1-a ）cos x +ax sinx ， 则h '（x ）=（2a -1）sin x +ax cosx ，h '（x ）＞0在区间 ，上恒成立， 所以g '（x ）在区间 ，上单调递增，g '（x ）min =g '（0）=2-a ≥0， ∴g （x ）在区间，上单调递增∴g（x）≥g（0）=0即f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立∴当a≤2时，不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立；（3）当a＞2时，令h（x）=g'（x）=1+（1-a）cos x+ax sinx，则h'（x）=（2a-1）sin x+ax cosx，h'（x）＞0在区间，上恒成立，所以g'（x）在区间，上单调递增，g'（x）min=g'（0）=2-a＜0，＞，所以存在∈，，使得g'（x0）=0．当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，g（x）单调递减；当＜＜时，g'（x）＞0，g（x）单调递增；当x=x0时，g'（x）=0，g（x）取得极小值；而g（0）=0，所以g（x0）＜0，所以不等式g（x）≥0在区间，上不能恒成立，所以不等式f（x）≥ax cosx在区间，上恒成立时实数a的取值范围是（-∞，2]【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义可求切线的方程；（Ⅱ）利用恒成立问题转化为最值，分类讨论即可解决此问题．本题考查利用导数求切线的方程和函数恒成立问题中求参数的取值范围，还考查了考生的逻辑思维能力20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意，计算σ12=σ13=σ23=1；…（3分）（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．理由如下：假设存在A4（2），使得|T（4，2）|=1．不妨设，σij的可能值为0，1．当σij=0（1≤i＜j≤4）时，经验证这样的A4（2）不存在．当σij=1（1≤i＜j≤4）时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的A4（2）只能为或，这两种情况都与|T（4，2）|=1矛盾，即不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1．…（8分）（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，这将形成A n（n-m），由于σij=a i1a j1+a i2a j2+…+a in a jn，可得（1-a i1）（1-a j1）+（1-a i2）（1-a j2）+…+（1-a in）（1-a jn）=n-m-m+σij，从而|T（n，m）|=|T（n，n-m）|．当时，由于＞＜，，∈，所以任两行相同位置的1的个数．又由于σij≥0，而从1到的整数个数，从而，；从而当0＜m＜n时，都有|T（n，m）|≤．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据题意计算σ12、σ13和σ23的值；（Ⅱ）不存在数表A4（2），使得|T（4，2）|=1，说明理由即可；（Ⅲ）在数表A n（m）中，将σij换成1-σij，得出A n（n-m），根据题意计算σij，得出|T（n，m）|=|T（n，n-m）|，从而得出|T（n，m）|≤．本题考查了不等式的性质与应用问题，也考查了矩阵乘法的性质应用问题，是难题．。
2019年4月北京市东城区高2019届高2016级高三综合练习文科数学试题参考答案
分 所以 f ( x ) 的最小正周期 T 2 . ………………………………………………….10 分 2
高三数学（文）（东城） 第 6 页（共 11 页）
因为
x0,
，所以
2x
6
.
列表如下：
2x-
-
0
6
6
2
x
0
12
3
f (x)
（11） 3 π 4
（13） 0；0,
（12）
π 4
，5 4
（答案不唯一）
（14） 0； A ðR B
三、解答题（共 6 小题，共 80 分）
（15）（共 13 分）
解：（I）
f
2 3
4cos
2 3
sin
2 3
6
1
4
cos
年多 500 亿元以上”．
根据题意， P(A ) 4 2 ． …………………………………………………….3 分
10 5
（Ⅱ）从 2007 年至 2011 年这五年中有两年体育产业年增长率超过 25%，设这两年为 A ， B ，其它
三年设为 C ， D ， E ，从五年中随机选出两年，共有 10 种情况：
得 PF 3 .………………………..14 2
分
（19）（共 13 分）
a 2,
解：（I）由题意得
1
a2
9 4b2
a 2, 解得 1. b 3.
所以椭圆 M 的方程为 x2 y2 1. 43
又 c a2 b2 1，
北京市东城区2019-2020学年度第二学期高三数学综合练习(二)参考答案
……………6 分
（Ⅱ ）解： 由
得
，
又
，
,
因此，建立如图所示的空间直⻆坐标系
．
由
，
得
，
，
，
，
，
，
设平面
的法向量为
，
则
即
令得
，
所以
是平面
的一个法向量.
又
,
设直线 与平面 所成⻆为 ，
所以
分 （17）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ ）由
，得
，即
． ，
因为
，
所以
，
.
……………14
所以
.
………………………………6 分
.
又因为
，
，
所以
，
所以 点 不在以 为直径的圆上．
（20）（本小题 15 分） （Ⅰ ）解：
对于
，
当
时，
, ，
所以
.
所以
在
上单调递减.
（Ⅱ ）解：当 时，
，对于
，命题成立，
………………………………14 分 ………………………………4 分
当
时，设
，
则
.
因为
，
所以
，
在
上单调递增.
又
，
所以
.
所以
在
上单调递增，且
；
设事件 C 表示“甲同学被项目 C 招募”，由题意可知，
；
设事件 D 表示“甲同学被项目 D 招募”，由题意可知，
；
（Ⅰ ）由于事件“甲同学至多获得三个项目招募”与事件“
”是对立的，
所以甲同学至多获得三个项目招募的概率是 （Ⅱ ）由题意可知，
2019年北京市东城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)
2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣2≥0}，则A∪B＝（）A．{x|x＜﹣1或x≥2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|2≤x＜3}D．R2．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．y＝x3B．y＝cos x C．y＝e x D．y＝|x|+13．（5分）执行如图所示的程序框图，输入a＝2，b＝5，那么输出的a，b的值分别为（）A．7，﹣3B．﹣3，﹣3C．5，﹣3D．5，24．（5分）若x，y满足2x﹣1≤y≤x，则点（x，y）到点（﹣1，0）距离的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代鲁国工匠鲁班所作．如图是某个经典的六柱鲁班锁及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：mm），则此构件的体积为（）A．34000mm3B．33000mm3C．32000mm3D．30000mm3 6．（5分）已知m，n，p，q为正整数，且m+n＝p+q，则在数列{a n}中，“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，终边分别是射线OA和射线OB．射线OA，OC与单位圆的交点分别为，C（﹣1，0）．若∠BOC＝，则cos（β﹣α）的值是（）A．B．C．D．8．（5分）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q（辆/小时）：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V和K满足一个线性关系，即（其中v0，k0是正数），则以下说法正确的是（）A．随着车流密度增大，车流速度增大B．随着车流密度增大，交通流量增大C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）双曲线﹣y2＝1的渐近线方程为．10．（5分）复数的实部为；虚部为．11．（5分）在△ABC中，，a2+b2﹣c2＝ab，c＝3，则∠C＝；a＝．12．（5分）已知a＝log29，b＝log3m，c＝log515，则满足a＞b＞c的一个正整数m为．13．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，的值为；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值为．14．（5分）已知直线l过点（1，1），过点P（﹣1，3）作直线m⊥l，垂足为M，则点M到点Q（2，4）距离的取值范围为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）设数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若等差数列{b n}满足b1＝a4，b2＝a2﹣a3，问：b37与{a n}的第几项相等？16．（13分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）若对于任意的x∈[0，m]，f（x）≥1恒成立，求m的最大值．17．（13分）某工厂的机器上存在一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修．现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，如表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数．（Ⅰ）从这10天中，随机选取一天，求甲维修的元件数不少于5件的概率；（Ⅱ）试比较这10天中甲维修的元件数的方差s甲2与乙维修的元件数的方差s乙2的大小．（只需写出结论）；（Ⅲ）由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计最少需要增加几名工人．18．（14分）如图所示的五面体ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，AE⊥DE，AE＝DE，AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4．（Ⅰ）求四棱锥E﹣ABCD的体积；（Ⅱ）求证：EF∥平面ABCD；（Ⅲ）设点M为线段BC上的动点，求证：EM与AM不垂直．19．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：（x﹣1）f（x）≥0．20．（14分）已知椭圆的一个焦点为F（1，0），离心率为．A 为椭圆C的左顶点，P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线AP，AQ与直线l：x＝4分别交于M，N两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若△P AF与△PMF的面积之比为，求M的坐标；（Ⅲ）设直线l与x轴交于点R，若P，F，Q三点共线，求证：∠MFR＝∠FNR．2019年北京市东城区高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：B＝{x|x﹣2≥0}＝{x|x≥2}，则A∪B＝{x|x≥2或x＜﹣1}，故选：A．2．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x3，为奇函数，不符合题意；对于B，y＝cos x，在区间（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝e x，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；对于D，y＝|x|+1，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得：a＝2，b＝5，不满足a＞b，a＝2+5＝7，b＝7﹣5＝2a＝7﹣2＝5．输出a，b的值分别为5，2．故选：D．4．【解答】解：由x，y满足2x﹣1≤y≤x，作出可行域如图，点（﹣1，0）到点（x，y）的最小距离为D到P的距离．即：＝．故选：C．5．【解答】解：由三视图得鲁班锁的其中一个零件是：长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长体的一个几何体，如图，∴该零件的体积：V＝100×20×20﹣40×20×10＝32000（mm3）．故选：C．6．【解答】解：若“{a n}是等比数列”，则a m•a n＝a12q m+n﹣2，a p•a q＝a12q p+q﹣2，∵m+n＝p+q，∴a m•a n＝a p•a q成立，即必要性成立，若a n＝0，则{a n}是等差数列，当m+n＝p+q时，由“a m•a n＝a p•a q”成立，但“{a n}是等比数列”不成立，即充分性不成立，则“a m•a n＝a p•a q”是“{a n}是等比数列”的成立的必要不充分条件，故选：B．7．【解答】解：由三角函数的定义可知，cos，sinα＝，β＝，∴cos（β﹣α）＝cos cosα+sin sinα＝＝故选：C．8．【解答】解：因为（其中v0，k0是正数），则随着车流密度增大，流速度减小，交通流量先增大，后减小，故A、B、C错误，D正确，故选：D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：∵双曲线的a＝2，b＝1，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y＝±∴双曲线的渐近线方程为y＝±故答案为：y＝±10．【解答】解：∵＝，∴复数的实部为；虚部为．故答案为：；．11．【解答】解：∵a2+b2﹣c2＝ab，∴可得cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝，∵，c＝3，∴由正弦定理，可得：＝，解得：a＝．故答案为：，．12．【解答】解：因为a＝log29＞log28＝3，c＝log515＜log525＝2，即当m＝27时，b＝log3m＝log327＝3满足a＞b＞c，故满足a＞b＞c的一个正整数m为27．故答案为：27．13．【解答】解：矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点．当点P在BC边上时，＝||cos∠POB＝2×1＝2；当点P沿着BC，CD与DA边运动时，的最小值，＝||cos∠POB，P应该在线段AD上，此时＝||cos∠POB＝2×（﹣1）＝﹣2；故答案为：2；﹣2．14．【解答】解：设A（1，1）依题意点M的轨迹是以AP为直径的圆，圆心C的坐标为（0，2），半径为，∵|CQ|＝＝2，∴|CQ|﹣≤|MQ|≤|CQ|+，即≤|MQ|≤3．故答案为[，3]三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）∵数列{a n}满足：a1＝1，a n+1+2a n＝0．∴依题意，数列{a n}满足：a1＝1，a n+1＝﹣2a n，∴{a n}是首项为1，公比为﹣2的等比数列．∴{a n}的通项公式为，前n项和．………………………．（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，b1＝﹣8，b2＝﹣6，因为{b n}为等差数列，d＝b2﹣b1＝2．所以{b n}的通项公式为b n＝2n﹣10．所以b37＝2×37﹣10＝64．令64＝（﹣2）n﹣1，解得n＝7．所以b37与数列{a n}的第7项相等．…………………..（13分）16．【解答】（本题满分共13分）解：（Ⅰ）由图象可知，A＝2．因为，所以T＝π．所以．解得ω＝2．又因为函数f（x）的图象经过点，所以．解得．又因为，所以．所以．…………………………………………………………．（7分）（Ⅱ）因为x∈[0，m]，所以，当时，即时，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（0）＝1，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，符合题意；当时，即时，f（x）单调递减，所以，不符合题意；综上，若对于任意的x∈[0，m]，有f（x）≥1恒成立，则必有，所以m的最大值是．………………………………………..（13分）17．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件“从这10天中，随机选取一天，甲维修元件数不少于5”．根据题意，．……………………………………………………．（4分）（Ⅱ）．……………………．（8分）（Ⅲ）设增加工人后有n名工人．因为每天维修的元件的平均数为：．所以这n名工人每天维修的元件的平均数为．令．解得．所以n的最小值为4．为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人．………．（13分）18．【解答】（Ⅰ）解：取AD中点N，连接EN．在△ADE中，∵AE＝DE，∴EN⊥AD．∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EN⊂平面ADE，∴EN⊥平面ABCD．又∵AE⊥DE，AD＝4，∴EN＝2．∵AB∥CD，AB⊥BC，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4，∴．∴；（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，AB⊂平面ABFE，CD⊄平面ABFE，∴CD∥平面ABFE．又∵CD⊂平面CDEF，平面ABEF∩平面CDEF＝EF，∴CD∥EF．∵CD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD；（Ⅲ）证明：连接MN，假设EM⊥AM．由（Ⅰ）知EN⊥平面ABCD，∵AM⊂平面ABCD，∴EN⊥AM．∵EM⊥AM，且EN∩EM＝E，∴AM⊥平面ENM．∵MN⊂平面ENM，∴AM⊥MN．在△AMN中，AN＝2，AM≥4＞AN，∴∠AMN＜∠ANM．∴∠AMN＜90°．这与AM⊥MN矛盾．∴假设不成立，即EM与AM不垂直．19．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）f（x）定义域为（0，+∞），f（1）＝0.．f'（1）＝2．所以曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y﹣0＝2（x﹣1）．即y＝2x﹣2．……………．（5分）（Ⅱ）证明：记.．由g'（x）＝0解得x＝1．g（x）与g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以g（x）在x＝1时取得最小值g（1）＝2．所以．所以f'（x）＞0．所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．又由f（1）＝0知，当0＜x＜1时，f（x）＜0，x﹣1＜0，所以（x﹣1）f（x）＞0；当x＞1时，f（x）＞0，x﹣1＞0，所以（x﹣1）f（x）＞0．所以（x﹣1）f（x）≥0．………………………………（13分）20．【解答】（Ⅰ）解：由题意得c＝1，又，解得a＝2，c＝1．∵a2﹣b2＝c2，∴b2＝3．∴椭圆C的方程为；（Ⅱ）解：∵△P AF与△PMF的面积之比为，∴，则．设M（4，m）（m≠0），P（x0，y0），则，解得．将其代入，解得m＝±9．∴M的坐标为（4，9）或（4，﹣9）；（Ⅲ）证明：设M（4，m），N（4，n），P（x0，y0），若m＝0，则P为椭圆C的右顶点，由P，F，Q三点共线知，Q为椭圆C的左顶点，不符合题意．∴m≠0．同理n≠0．直线AM的方程为．由消去y，整理得（27+m2）x2+4m2x+（4m2﹣108）＝0．△＝（4m2）2﹣4（27+m2）（4m2﹣108）＞0成立．由，解得．∴．得．当|m|＝3时，|n|＝3，，即直线PQ⊥x轴．由椭圆的对称性可得|MR|＝|FR|＝|NR|＝3．又∵∠MRF＝∠NRF＝90°，∴∠MFR＝∠FNR＝45°．当|m|≠3时，|n|≠3，直线FP的斜率．同理．∵P，F，Q三点共线，∴，得mn＝﹣9．在Rt△MRF和Rt△NRF中，，，∴tan∠MFR＝tan∠FNR．∵∠MFR，∠FNR均为锐角，∴∠MFR＝∠FNR．综上，若P，F，Q三点共线，则∠MFR＝∠FNR．。
北京市东城区普通校2019届高三11月联考数学(文)试题 (2)
北京市东城区普通校2019届高三11月联考文科数学试题命题校：崇文门中学 2019年11月本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120 分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}4,2,1=A ,{}12==x x B ，那么=B A （ ） （A ）{}1 （B ）{}4,2,1 （C ）{}4,2,1,1- （D ）{}4,2 （2）在复平面内，复数2i 1i-（为虚数单位）对应的点的坐标为（ ） （A ）()1,1- （B ）()1,1- （C ）()2,2- （D ）()2,2- （3）已知向量()1,3=-a ，b ()2,m =-，若a ∥b ，那么=m （ ）（A ）6- （B ）6 （C ）32- （D ）32 （4）下列函数①1()3x y =，②x y lg =，③1y x =-+，④221y x x =-+中，在()0,+∞ 上单调递增的是（ ）（A ）① （B ）② （C ）③ （D ）④第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）已知数列{}n a 中，21=a ，n n a a 31=+(∈n *N )，那么=4a _____；=5S ____。
（10）已知函数()0,02)(>>+=a x xa x x f 在2=x 时取得最小值，那么a 的值为____。
（11）已知B A ,两点分别在河的两岸，某测量者在点A 所在的河岸边另选定一点C ，测得20AC =m ，45ACB ∠=，105CAB ∠=，那么B A ,两点的距离为_______m 。
（12）已知,x y 满足约束条件20320240x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，那么3z x y =+的最大值为_______。
2019年最新北京市高考数学二模试卷(文科)及答案解析
北京市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y= C．y=log0.5x D．y=e x3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=04．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．65．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．126．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为______．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是______．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为______．12．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为______；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为______．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是______．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．）1．若集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x||x|≤1}，则A∩B=（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|0≤x≤1}【考点】交集及其运算．【分析】根据集合交集的概念求解即可．【解答】解：∵B={x||x|≤1}={x|﹣1≤x≤1}，∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选A．2．下列函数中，在（0，+∞）上为减函数的是（）A．y=B．y=C．y=log0.5x D．y=e x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据基本初等函数的性质判断选项中函数的单调性即可．【解答】解：对于A，y=是定义域[0，+∞）上的增函数，不满足题意；对于B，y=在（﹣∞，1）和（1，+∞）上是单调减函数，不满足题意；对于C，y=log0.5x在（0，+∞）是单调减函数，满足题意；对于D，y=e x在（﹣∞，+∞）是单调增函数，不满足题意．故选：C．3．过圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心，且与直线l：3x+2y+1=0垂直的直线方程是（）A．2x﹣3y+3=0 B．2x﹣3y﹣3=0 C．2x+3y+3=0 D．2x+3y﹣3=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系；圆的标准方程．【分析】算出直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，结合题意可得所求垂线的斜率为k'=．求出已知圆的圆心C的坐标，利用直线方程的点斜式列式，化简即可得到经过已知圆心与直线3x+2y+1=0垂直的方程．【解答】解：圆x2+（y﹣1）2=4，∴圆心的坐标为C（0，1），∵直线3x+2y+1=0的斜率k=﹣，∴与直线3x+2y+1=0垂直的直线的斜率为k'=．因此，经过圆心C且与直线3x+2y+1=0垂直的直线方程是y﹣1=x，整理得2x﹣3y+3=0．故选：A．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】首先分析程序框图，循环体为“当型“循环结构，按照循环结构进行运算，求出满足题意时的S．【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1满足条件i＜4，执行循环体，S=2，i=2满足条件i＜4，执行循环体，S=6，i=3满足条件i＜4，执行循环体，S=14，i=4不满足条件i＜4，S=4，输出S的值为4．故选：B．5．如图，在正方形ABCD中，AD=4，E为DC上一点，且=3，则•（）A．20 B．16 C．15 D．12【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意把用表示，代入•，展开后由向量的数量积运算得答案．【解答】解：∵ABCD为边长是4正方形，∴，∵=3，∴，∴，则•==．故选：D．6．设a∈R，“cos2α=0”是“sinα=cosα”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出．【解答】解：由cos2α=cos2α﹣sin2α=（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）=0，即cosα﹣sinα=0或c osα+sinα=0，即cosα=sinα或cosα=﹣sinα，∴“cos2α=0”是“sinα=cosα”的必要不充分条件，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）=（）x﹣1．则不等式f（x）﹣x2≥0的解集是（）A．[0，1] B．[﹣1，1] C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）【考点】函数奇偶性的性质．【分析】设g（x）=f（x）﹣x2，由题意可得g（x）是定义在R上的偶函数，求出x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，可得0≤x≤1，即可解不等式．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣x2，∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴g（x）是定义在R上的偶函数，∴x≥0，不等式f（x）﹣x2≥0等价于（）x﹣1≥x2，∴0≤x≤1∴不等式f（x）﹣x2≥0的解集为[﹣1，1]．故选：B．8．小王的手机使用的是每月300M流量套餐，如图记录了小王在4月1日至4月10日这十天的流量使用情况，下列叙述中正确的是（）A．1日﹣10日这10天的平均流量小于9.0M/日B．11日﹣30日这20天，如果每天的平均流量不超过11M，这个月总流量就不会超过套餐流量C．从1日﹣10日这10天的流量中任选连续3天的流量，则3日，4日，5日这三天的流量的方差最大D．从1日﹣10日这10天中的流量中任选连续3天的流量，则8日，9日，10日这三天的流量的方差最小【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】求出平均数判断A，求出估计的总流量判断B，通过图象判断C、D．【解答】解：对应A：（6.2+12.4+14+11.6+4.8+6.2+5.5+9.5+10+11.2）=9.14，故A错误；对于B：11×20+91.4=311.4＞300，这个月总流量就超过套餐流量，故B错误；对于C、D，结合图象C正确，D错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．复数的虚部为 1 ．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1+i，再由i 的幂运算性质进行化简即可．【解答】解：∵==i，∴它的虚部是1，故答案为：1．10．在△ABC中，已知AB=2，BC=5，cosB=，则△ABC的面积是3．【考点】正弦定理．【分析】根据同角的三角公式求得sinB，再由三角形面积公式可求得结果．【解答】解：cosB=，sinB==，△ABC的面积S=AB•BC•sinB=×2×5×=3．故答案为：3．11．若x，y满足，则z=2x+y的最大值为7 ．【考点】简单线性规划．【分析】画出平面区域，利用目标函数的几何意义求z的最大值．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：当直线y=﹣2x+z经过C时z最大，并且C（2，3），所以z的最大值为2×2+3=7；故答案为：712．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，则抛物线C的方程为y2=8x ；若某双曲线的一个焦点与抛物线C的焦点重合，且渐近线方程为y=±x，则此双曲线的方程为=1 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，求出p，可得抛物线的方程，确定抛物线的性质，利用双曲线的性质，即可得出结论．【解答】解：∵抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣2，∴p=4，∴抛物线C的方程为y2=8x；抛物线的焦点坐标为（2，0），∴c=2，∵渐近线方程为y=±x，∴=，∴a=1，b=，∴双曲线的方程为=1．故答案为：y2=8x；=1．13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是放倒一个直三棱柱，由三视图求出几三棱柱底面边长、高，由三棱柱的结构特征和面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个直三棱柱、底面在左右，由侧视图知，底面是一个等腰直角三角形，两条直角边分别是2，则斜边是2，由正视图知，三棱柱的高是3，∴该几何体的表面积S==，故答案为：．14．为了促进公民通过“走步”健身，中国平安公司推出的“平安好医生”软件，最近开展了“步步夺金”活动．活动规则：①使用平安好医生APP计步器，每天走路前1000步奖励0.3元红包，之后每2000步奖励0.1元红包，每天最高奖励不超过3元红包．②活动期间，连续3天领钱成功，从第4天起走路奖金翻1倍（乘以2），每天最高奖励不超过6元红包．某人连续使用此软件五天，并且每天领钱成功．这五天他走的步数统计如下：为 1.0 元，为8.0 元．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意得到第1、2、3天的奖励红包都是0.3+×0.1；第4、5天的奖励红包都是2（0.3+×0.1）．【解答】解：因为每2000步奖励0.1元红包，所以依（x﹣1000）是2000的整数倍，依题意得：第1天红包奖励：0.3+×0.1=0.9（元）．第2天红包奖励：0.3+×0.1=1.0（元）．第3天红包奖励：0.3+×0.1=1.1（元）．第4天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.4（元）．第5天红包奖励：2×（0.3+×0.1）=2.6（元）．所以这5天的红包奖励为：0.9+1.0+1.1+2.4+2.6=8.0（元）．故答案是：1.1；8.0．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示．（Ⅰ）写出函数f（x）的最小正周期T及ω、φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[﹣，]上的最大值与最小值．【考点】正弦函数的图象．【分析】（I）由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的最值．【解答】解：（I）根据函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，可得=﹣，求得ω=2，∴最小正周期T==π．再根据五点法作图可得2•+φ=π，求得φ=．（II）由以上可得，f（x）=sin（2x+），在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，当2x+=﹣时，即x=﹣，函数f（x）取得最小值为﹣．当2x+=时，即x=，函数f（x）取得最大值为1．16．在等比数列{a n}中，a1=1，a4=8（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，求|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|（n ∈N*）．【考点】等比数列的前n项和．【分析】（Ⅰ）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8，求出q=2，问题得以解决；（II）先等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32，可得当n≤5时b n≤0且当n≥6时b n≥0．因此分两种情况讨论，并利用等差数列的求和公式加以计算，可得|b1|+|b2|+…+|b n|的表达式．【解答】解：（I）设等比数列的公比为q．由a1=1，a4=8所以a4=a1q3=8所以q=2所以等比数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，n∈N*．（II）因为a3，a5分别为等差数列{b n}的第6项和第8项，所以b6=a3=4，b8=a5=16，设等差数列{b n}的公差为d解得，b1=﹣26，d=6，所以等差数列{b n}的通项公式b n=b1+（n﹣1）d=﹣26+6（n﹣1）=6n﹣32因为当6n﹣32≤0时，n≤5．（1）当n≤5时，可得|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b n）=﹣3n2+29，（2）当n≥6时，|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=﹣（b1+b2+…+b5）+b6+b7+…+b n=70+（3n2﹣29n+70）=3n2﹣29n+140；综上所述：|b1|+|b2|+|b3|+…+|b n|=17．2015年秋季开始，本市初一学生开始进行开放性科学实践活动，学生可以在全市范围内进行自主选课类型活动，选课数目、选课课程不限．为了了解学生的选课情况，某区有关部门随机抽取本区600名初一学生，统计了他们对于五类课程的选课情况，用“+”表示选，“﹣”表示不选．结果如表所示：（2）估计学生在五项课程中，选了三项课程的概率；（3）如果这个区的某学生已经选了课程二，那么其余四项课程中他选择哪一项的可能性最大？【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）根据图表求得既选课程三，又选了课程四的人数，与总人数的比值；（2）观察图表查出选3项课程的总人数，与600的比值；（3）分别求得选课程一、三和四的概率，进行比较，选出最大的概率．【解答】解：（1）学生既选了课程三，又选了课程四的概率为：=，（2）学生在五项课程中，选了三项课程的概率为：=，（3）某学生已经选了课程二，再选课程一的概率为：=；再选课程三的概率为：=；再选课程四的概率为：=；所以，某学生已经选了课程二，那么该学生选择课程四的可能性最大．18．如图，P是菱形ABCD所在平面外一点，∠BAD=60°，△PCD是等边三角形，AB=2，PA=2，M是PC的中点，点G为线段DM上一点（端点除外），平面APG与BD交于点H．（Ⅰ）求证：PA∥GH；（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面BDM；（Ⅲ）求几何体M﹣BDC的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）连接MO，则MO∥PA，于是PA∥平面BDM，根据面面平行的性质得出PA∥GH；（II）计算DO，MO，DM，根据勾股定理的逆定理得出DO⊥MO，又DO⊥AC，得出DO⊥平面PAC，于是平面PAC⊥平面BDM；（III）由勾股定理的逆定理得出PA⊥PC，于是MO⊥PC，利用平面PAC⊥平面BDM的性质得出CM⊥平面BDM，于是V M﹣BDC=V C﹣BDM=【解答】（I）证明：连接MO．∵四边形ABCD是菱形，∴O为AC的中点，∵点M为PC的中点，∴MO∥PA．又MO⊂平面BDM，PA⊄平面BDM，∴PA∥平面BDM．又∵平面APG∩平面平面BDM=GH，PA⊂平面APG，∴PA∥GH．（II）证明：∵△PCD是边长为2的等边三角形，M是PC的中点．∴DM=．∵四边形ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴△ABD是边长为2的等边三角形，∴DO=BD=1，又MO==，∴DO2+MO2=DM2，∴BD⊥MO．∵菱形ABCD中，BD⊥AC，又MO⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，MO∩AC=O，∴BD⊥平面PAC．又BD⊂平面BDM，∴平面PAC⊥平面BDM．（III）解：∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC=2AO=2．在△PAC中，∵PA=2，AC=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC，∵MO∥PA，∴PC⊥MO，又平面PAC⊥平面BDM，平面PAC∩平面BDM=MO，PC⊂平面PAC，∴PC⊥平面BDM．∴V M﹣BDC=V C﹣BDM====．19．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），g（x）=lnx（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）用max{m，n}表示m，n中的最大值．设函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0），讨论h（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（I ）令f′（x ）=0求出f （x ）的极值点，得出f （x ）的单调性与单调区间，从而得出f （x ）的极值；（II ）对x 和a 的范围进行讨论得出f （x ），g （x ）在（0，+∞）上的单调性，利用单调性及最值判断f （x ），g （x ）的零点个数，从而得出h （x ）的零点个数． 【解答】解：（ I ）f′（x ）=3ax 2﹣6x=3x （ax ﹣2）． 令f′（x ）=0，得x 1=0，x 2=． ∵a ＞0，x 1＜x 2，f′（x ）及f （x ）符号变化如下， ，） （，∴f （x ）的极大值为f （0）=1，极小值为f （）=﹣+1=﹣+1．（ II ）令g （x ）=lnx=0，得x=1．当0＜x ＜1时，g （x ）＜0；x=1时，g （x ）=0；当x ＞1时，g （x ）＞0． （1）当x ＞1时，g （x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）上无零点． 所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（1，+∞）上无零点． （2）当x=1时，g （1）=0， 所以1为g （x ）的一个零点． f （1）=a ﹣2，①当a=2时，1是f （x ）的一个零点．所以当a=2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ②当0＜a ＜2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}有一个零点． ③当a ＞2时，h （x ）=max{f （x ），g （x ）}无零点．（3）当0＜x ＜1时，g （x ）＜0，g （x ）在（0，1）上无零点．所以h （x ）=max{f （x ），g （x ）}在（0，1）上的零点个数就是f （x ）在（0，1）上的零点个数．当a ＞0时，由（ I ）可知f （x ）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且f （0）=1，f （1）=a ﹣2，f （）=﹣+1=．①当，即0＜a＜2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2＜0，f（0）=1＞0．所以f（x）在（0，1）上有1个零点，即h（x）有1个零点．②当，即a=2时，f（x）在（0，1）上为减函数，且f（1）=a﹣2=0，所以f（x）在（0，1）上无零点，即h（x）无零点．③当，即a＞2时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，1）上为增函数，f（）=﹣+1=＞0，所以f（x）在（0，1）上无零点．即h（x）无零点．综上，当0＜a＜2时，h（x）有2个零点，当a=2时，h（x）有1个零点，当a＞2时，h（x）无零点．20．已知椭圆M：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，点D（0，）在椭圆M上，过原点O作直线交椭圆M于A、B两点，且点A不是椭圆M的顶点，过点A作x轴的垂线，垂足为H，点C是线段AH的中点，直线BC交椭圆M于点P，连接AP．（Ⅰ）求椭圆M的方程及离心率；（Ⅱ）求证：AB⊥AP；（Ⅲ）设△ABC的面积与△APC的面积之比为q，求q的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）由题意知c=1，b=，求得a=2，进而得到椭圆方程和离心率；（II）设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），将A，P代入椭圆方程．两式相减，由点B，C，P三点共线，可得直线PB，BC的斜率相等，化简整理求得k AB•k PA=﹣1，即可得证；或求得k PA•k PB=﹣，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，即可得证．（III）方法一、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将k=代入得x1，q===3+（﹣1），运用y0的范围，即可得到所求范围；方法二、设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP，BP方程解得x1，将=k代入x1，可得q===3+，由k的范围，即可得到所求范围．【解答】解：（I）由题意知c=1，b=，则a2=b2+c2=4，所以椭圆M的方程为+=1，椭圆M的离心率为e==；（II）证明：设A（x0，y0），P（x1，y1），则B（﹣x0，﹣y0），C（x0，），由点A，P在椭圆上，所以+=1①，+=1②点A不是椭圆M的顶点，②﹣①可得=﹣，法一：又k PB=，k BC==，且点B，C，P三点共线，所以=，即=，所以k AB•k PA=•=•==•（﹣）=﹣1．即AB⊥AP．法二：由已知AB，AP的斜率都存在，k PA•k PB=•==﹣，又k PB=k BC=，可得k PA=﹣，则k AB•k PA=•（﹣）=﹣1，即AB⊥AP．（III）法一：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程，解得x1=，将k=代入得x1==．q=====3+（﹣1），因为y02∈（0，3），所以q∈（3，+∞）．法二：设k AB=k，由（II）知k AP=﹣，k BP=，联立直线AP与BP方程：，解得x1===x0（1+），q====3+，因为k2∈（0，+∞），所以q∈（3，+∞）．。
2019届北京市四中高三高考调研卷(二)文科数学试卷及解析
2019届北京市四中高三高考调研卷（二）
文科数学试卷
★祝考试顺利★
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.）
【答案】C
【解析】
【分析】
可求出集合B，然后进行补集、交集的运算即可．
故选：C
2.）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
.
则复数z，位于第四象限.
本题选择D选项.
3.）
A. 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右
B. 把2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左
C. 把纵坐标不变，再把得到的曲线向右平
D. 纵坐标不变，再把得到的曲线向左平
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用三角函数图像的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．
【详解】对于选项A, 2倍，纵坐标不变，再
项A是错误的；
对于选项B, 2倍，纵坐标不变，再把得到的
所以选项B是错误的；
对于选项C,纵坐标不变，
得到曲线
所以选项C是正确的；
对于选项D,
D
是错误的.
4.某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种。
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习(一)数学(文)试题(解析版)
2019届北京市东城区高三第二学期综合练习（一）数学（文）试题一、单选题1．在复平面内，复数(2i)z -对应的点位于第二象限，则复数z 可取（ ） A ．2 B ．-1C ．iD ．2i +【答案】B【解析】由题意首先分析复数z 的实部和虚部的关系，然后考查所给的选项即可确定z 的值. 【详解】不妨设(),z a bi a b R =+∈，则()()()()()2222i z i a bi a b b a i -=-+=++-，结合题意可知：20,20a b b a +<->，逐一考查所给的选项： 对于选项A ：24,22a b b a +=-=-，不合题意； 对于选项B ：22,21a b b a +=--=，符合题意； 对于选项C ：21,22a b b a +=-=，不合题意； 对于选项D ：25,20a b b a +=-=，不合题意； 故选：B . 【点睛】本题主要考查复数的运算法则，各个象限内复数的特征等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知圆22:20C x x y ++=，则圆心C 到直线3x =的距离等于 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】化圆为标准方程，得圆心坐标即可求解 【详解】由题()22x 1y 1++=,则圆心（-1,0），则圆心C 到直线x 3=的距离等3-（-1）=4 故选：D 【点睛】本题考查圆的方程，点到线的距离公式，熟记一般方程与标准方程的互化是关键，是基础题3．设E 为V ABC 的边AC 的中点，+BE mAB nAC =，则,m n 的值分别为 A ．11,2- B ．1,12- C ．1,12-D ．11,2【答案】A【解析】将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来即可找到m 和n 的值，得到答案． 【详解】 ∵1BE 2=（BA BC +）BA BA AC 2++==-1AB AC 2+ ∴m 1,=-n 12= 故选：A ． 【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理，将向量BE 用向量AB 和AC 表示出来是解题的关键，属基础题．4．正方体被一个平面截去一部分后，所得几何体的三视图如图所示，则截面图形的形状为A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．平行四边形D ．梯形【答案】A【解析】首先确定几何体的空间结构特征，然后确定截面的形状即可. 【详解】如图所示，由三视图可得，该几何体是正方体被一个平面截去一个三棱锥所得的几何体， 很明显三棱锥的两条侧棱相等，故截面是等腰三角形. 故选：A .【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体的问题，截面问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5．若,x y 满足0,10,26,x y y y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x y -的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】D【解析】首先画出可行域，然后结合目标函数的几何意义求解目标函数的最大值即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：z x y =-=其中z 取得最大值时，其几何意义表示可行域内的点到直线0x y -=倍最大，据此可知目标函数在点A 处取得最大值，联立直线方程：026x y y x +=⎧⎨=-⎩，可得点的坐标为：()2,2A -，据此可知目标函数的最大值为：()max 224z =--=. 故选：D . 【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义． 6．南北朝时代的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”. 其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为12,S S ，则“12,V V 相等”是“12,S S 总相等”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由题“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之举反例即可 【详解】由祖暅原理知：“12S ,S 总相等”一定能推出“12V ,V 相等”，反之：若两个同样的圆锥，一个倒放，一个正放，则体积相同，截面面积不一定相同 故选：B 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，立体几何综合，理解祖暅原理是关键，是基础题 7．某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票. 这3名候选人的得票数（不考虑是否有效）分别为总票数的88% ,70% ,46% ，则本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为A ．68%B ．88%C ．96%D ．98%【答案】C【解析】设投1票的有x,2票的y,3票的z,由题列出x,y,z 的关系，推理即可 【详解】设投1票的有x,2票的y,3票的z ，则23204100,,x y z x y z x y z N ++=⎧⎪++=⎨⎪∈⎩,则z-x=4,即z=x+4,由题投票有效率越高z 越小，则x=0时，z=4,故本次投票的有效率（有效票数与总票数的比值）最高可能为96% 故选：C 【点睛】本题考查推理的应用，考查推理与转化能力，明确有效率与无效票之间的关系是解题关键,是中档题二、填空题8．在等差数列{}n a 中，262a a +=，则4a =___________. 【答案】1【解析】根据题意，由等差数列的性质可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }中，26a a +＝2， 则41a 2=⨯（26a a +）＝1； 故答案为1 【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的性质，准确计算是关键，属于基础题．9．抛物线C :22y px =上一点0(1,)y 到其焦点的距离为3，则抛物线C 的方程为_______. 【答案】28y x =【解析】利用抛物线的定义，求出p ，即可求C 的方程； 【详解】抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的准线方程为x p 2=-， 由抛物线的定义可知1p2+=3，解得p ＝4， ∴C 的方程为y 2＝8x ； 故答案为2y 8x = 【点睛】本题考查抛物线的定义与方程，熟记定义是关键，属于基础题． 10．在ABC ∆中，若cos sin 0b C c B +=，则C ∠=___________. 【答案】34π 【解析】由题意结合正弦定理和特殊角的三角函数值可得∠C 的大小. 【详解】由题意结合正弦定理可得：sin cos sin sin 0B C C B +=， 由于sin 0B ≠，故cos sin 0C C +=，则sin 3tan 1,cos 4C C C C π==-=. 【点睛】本题主要考查正弦定理的应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．已知函数()2sin()4f x x π=+，若对于闭区间[]a b ，中的任意两个不同的数12x x ，，都有1212()()0f x f x x x -<-成立，写出一个满足条件的闭区间__________.【答案】π544π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， （答案不唯一）【解析】由题()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，则求()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一个单调减区间即可【详解】由题因为任意两个不同的数12x x ，，都有()()1212f x f x 0x x -<-，则知()πf x 2sin x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在闭区间[]a b ，单调递减，ππ3π2k πx 2k π,k Z,242+≤+≤+∈即π52k πx 2k ππ44+≤≤+,,k Z,∈当k=0时，π5πx 44⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故答案为π5π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【点睛】本题考查三角函数的单调性，函数单调性定义，熟记三角函数性质，准确计算是关键，是基础题12．设函数2,,()1,.x e x x a f x ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩ 若1a =，则()f x 的最小值为__________； 若()f x 有最小值，则实数a 的取值范围是_______．【答案】0 [)0,+∞【解析】(1)将a=1代入函数，分析每段函数的最小值，则()f x 的最小值可求；(2)讨论a<0,a=0和a>0时函数的单调性和最小值即可求解 【详解】 (1)当a=1,()x e 2,1,f x 1,1.x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩,()f x =x e 2x,x 1,f -<'(x )=x e 2,f -'(x )>0,1>x>ln2;f '(x )<0,x<ln2;故()()min f x f ln222ln2;==-当()f x =x 1,x 1-≥（），()f x 单调递增，故()()min f x f 10==，又22ln20,->所以()f x 的最小值为0(2) ①当a<0时，由(1)知()f x =xe 2x,x a -<单调递减，故()()()f x f a f x ax 1>=-；（x a ≥）单调递减，故()()f x f a ,≤故()f x 无最小值，舍去； ②当a=0时，f(x)最小值为-1，成立③当a>0时，()f x ax 1=-（x a ≥）单调递增，故()()f x f a ≥； 对()f x =xe 2x,x a -<，当0<a ≤ln2,由(1)知()()f x f a >,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值在x=a 处取得，成立当a>ln2, 由(1)知()()f x f ln2≥,此时()x e 2,,f x 1,.x x a ax x a ⎧-<=⎨-≥⎩最小值为()(){}min f ln2,f a ,即()f x 有最小值，综上a 0≥故答案为0 ； [)0,∞+ 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性最值，分类讨论思想，分段函数，准确分类讨论是关键，是中档题13．设A B ，是R 的两个子集，对任意x R ∈，定义：01x A m x A ∉⎧=⎨∈⎩，，，，01.x B n x B ，，，∉⎧=⎨∈⎩①若A B ⊆，则对任意x R ∈，(1)m n -= _____； ②若对任意x R ∈，1m n +=，则A B ，的关系为__________. 【答案】0 R A B =ð【解析】由题意分类讨论x ∉A 和x ∈A 两种情况即可求得(1)m n -的值，结合题中的定义和m ,n 的关系即可确定A ,B 之间的关系. 【详解】①∵A ⊆B .则x ∉A 时,m =0,m (1−n )=0. x ∈A 时,必有x ∈B ,∴m =n =1,m (1−n )=0. 综上可得：m (1−n )=0.②对任意x ∈R ，m +n =1，则m ，n 的值一个为0，另一个为1， 即x ∈A 时，必有x ∉B ，或x ∈B 时，必有x ∉A ， ∴A ,B 的关系为R A B =ð. 【点睛】本题主要考查新定义知识的应用，集合之间的基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题 14．已知函数.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的最小正周期，并画出在区间上的图象.【答案】（Ⅰ）-1；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）将x=代入解析式求解即可；（Ⅱ）化简得f（x），可得f（x）的最小正周期为π，根据五点作图法，列表描点即可画出函数在[0，π]上的图象．【详解】（I）.（Ⅱ）.所以的最小正周期.因为，所以.列表如下：【点睛】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，五点作图法做正弦函数的图象，属于基本知识的考查．15．已知等比数列{}n a 的首项为2，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且126a a +=，1342b a b +=，323S a =.（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和.【答案】（Ⅰ）2n n a =，32n b n =-；（Ⅱ）6226n n T n =⨯--.【解析】（Ⅰ）{}n b 的公差为d ，由题意,利用等差数列的通项公式得q,求得n a ，再列1b d ，的方程，利用等差数列即可得出．（II ）利用分组求和法求和公式即可【详解】（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，数列{}n b 的公差为d . 由12a a 6+=，得11a a q 6+=.因为1a 2=，所以q 2=.所以n 1n 1n n 1a a q 222--==⋅=.由134322b a b ,S 3a +=⎧⎨=⎩，得1112b 8b 3,3b 312d d ，+=+⎧⎨+=⎩解得1b 1,3.d =⎧⎨=⎩所以()n 1b b n 1d 3n 2=+-=-.（Ⅱ）由（Ⅰ）知n n a 2=，n b =3n 2-.所以n n n a c b 322==⨯-.从而数列{}n c 的前n 项和()123n n T 322222n =⨯++++- ()n21232n 12⨯-=⨯--n 622n 6.=⨯--【点睛】本题考查等差，等比数列通项公式，求和公式，分组求和，熟记通项公式，准确求和是关键，是中档题16．改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）【答案】（Ⅰ）25；（Ⅱ）CF BC ⊥；（Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大．从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【解析】（Ⅰ）由图利用古典概型求值即可；（Ⅱ）求出任选两年的基本事件总数，列举满足条件的基本事件，即可求概率（Ⅲ）由题分析即可求解【详解】（Ⅰ）设A 表示事件“从2007年至2016年这十年中随机选出一年，该年体育产业年增加值比前一年多500亿元以上”．根据题意，()42P A 105==． （Ⅱ）从2007年至2011年这五年中有两年体育产业年增长率超过25%，设这两年为A ，B ，其它三年设为C ，D ，E ，从五年中随机选出两年，共有10种情况： AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE ，其中至少有一年体育产业年增长率超过25%有７种情况， 所以所求概率为710. （Ⅲ）从2008年或2009年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大． 从2014年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大．【点睛】本题考查条形图和折线图，古典概型，方差，准确识图是关键，是中档题17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，PA = //AB CD ，AB AD ⊥，1AD DC ==，2AB =，E 为侧棱PA 上一点. （Ⅰ）若13PE PA =，求证：PC //平面EBD ； （Ⅱ）求证：平面EBC ⊥平面PAC ；（Ⅲ）在侧棱PD 上是否存在点F ，使得AF ⊥平面PCD ？若存在，求出线段PF 的长；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）存在，线段PF 长32. 【解析】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由AB//CD ，得AG AB 2GC DC ==，进而AE AG EP GC，=证明EG //PC ，即可证明；（Ⅱ）由勾股定理推导BC AC ⊥，进而证明BC ⊥平面PAC ，即可求解；（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，证明AF ⊥平面PCD ，进而在直角三角形PAD 中求PF 长度【详解】（Ⅰ）设AC BD G ⋂=，连结EG ，由已知AB//CD ，DC 1=，AB 2=,得AG AB 2GC DC==. 由1PE PA 3=,得AE 2EP=. 在ΔPAC 中，由AE AG EP GC=，得EG //PC . 因为EG ⊂平面EBD ，PC ⊄平面EBD ，所以PC //平面EBD .（Ⅱ）因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥.由已知得AC =BC =AB 2=，所以222AC BC AB +=.所以BC AC ⊥.又PA AC A ⋂=，所以BC ⊥平面PAC .因为BC ⊂平面EBC ，所以平面EBC ⊥平面PAC .（Ⅲ）在平面PAD 内作AF PD ⊥于点F ，由DC PA ⊥，DC AD ⊥，PA AD A ⋂=，得DC ⊥平面PAD .因为AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .由PA =AD 1=，PA AD ⊥， 得3PF 2=. 【点睛】本题考查线面平行证明，面面垂直证明，利用垂直求长度问题，熟记判断定理，准确推理是关键，是中档题18．已知3(2,0),(1,)2A P -为椭圆22221(0)x y M a b a b+=>>：上两点，过点P 且斜率为,(0)k k k ->的两条直线与椭圆M 的交点分别为,B C .（Ⅰ）求椭圆M 的方程及离心率；（Ⅱ）若四边形PABC 为平行四边形，求k 的值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=，离心率12；（Ⅱ）32k =. 【解析】（Ⅰ）由题列a,b 方程组，即可求解椭圆方程，再由a,b,c 关系，求解离心率；（Ⅱ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>，与椭圆联立消去y,得x 的方程，求点B 坐标，同理求点C 坐标，进而得BC 1k 2=，再由PA BC =，得k 方程求解即可 【详解】 （I ）由题意得222,19 1.a 4b a =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆M 的方程为22x y 143+=.又c 1==， 所以离心率c 1e a 2==. （II ）设直线PB 的方程为y kx m(k 0)=+>， 由22,x y 143y kx m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得()()22234k x 8kmx 4m 120+++-=. 当Δ0>时，设()()1122B x ,y ,C x ,y ， 则2124m 121x 34k -⋅=+，即2124m 12x 34k-=+. 将3P 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入y kx m =+，整理得3m k 2=-，所以2124k 12k 3x 34k--=+. 所以()211212k 12k 9y kx m 234k --+=+=+.所以()22224k 12k 312k 12k 9B ,34k 234k ⎛⎫----+ ⎪ ⎪++⎝⎭. 同理()22224k 12k 312k 12k 9C ,34k 234k ⎛⎫+--++ ⎪ ⎪++⎝⎭. 所以直线BC 的斜率21BC 21y y 1k x x 2-==-. 又直线PA 的斜率()PA BC 3012k k 122-===--，所以PA //BC . 因为四边形PABC 为平行四边形，所以PA BC =. 所以()22224k 12k 34k 12k 31234k 34k +----=--++，解得3k 2=或12. 1k 2=时，()B 2,0-与A 重合，不符合题意，舍去. 所以四边形PABC 为平行四边形时，3k 2=. 【点睛】本题考查椭圆方程，直线与椭圆位置关系，韦达定理，设而要求的思想，准确求得B,C 坐标且推得PA BC k k =是本题关键，是中档题19．已知函数()()22ln f x ax a x x =+--. （1）若函数()f x 在1x =时取得极值，求实数a 的值；（2）当01a <<时，求()f x 零点的个数.【答案】（Ⅰ）1；（Ⅱ）两个.【解析】（Ⅰ）()()()2x 1ax 1f'x x +-=，由()f'10=，解得a 1=，检验x 1=时取得极小值即可；（II ）令()()()2x 1ax1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>，讨论单调性得()f x 在1x a =时取得极小值，并证明极小值为1f 0a ⎛⎫< ⎪⎝⎭.再由零点存在定理说明函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上各有一个零点，即可解得 【详解】（I ）()f x 定义域为()0,∞+.()()()()()22ax a 2x 12x 1ax 11f'x 2ax a 2x x x +--+-=+--==. 由已知，得()f'10=，解得a 1=.当a 1=时，()()()2x 1x 1f'x x+-=. 所以()()f'x 00x 1,f'x 0x 1<⇔⇔.所以()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,∞+.所以函数()f x 在x 1=时取得极小值，其极小值为()f 10=，符合题意所以a 1=.（II ）令()()()2x 1ax 1f'x 0x +-==，由0a 1<<，得1x 1a=>. 所以()()11f'x 00x ,f'x 0x a a<⇔⇔. 所以()f x 减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以函数()f x 在1x a =时取得极小值，其极小值为11f lna 1a a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 因为0a 1<<，所以1lna 0,1a. 所以110a -<.所以11f lna 10a a ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭. 因为()()()2a 2a 2a 2e 1a f 11e e e e e---+⎛⎫=++>+= ⎪⎝⎭， 又因为0a 1<<，所以a 2e 0-+>. 所以1f 0e ⎛⎫> ⎪⎝⎭. 根据零点存在定理，函数()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点.因为x lnx >，()()()()22f x ax a 2x lnx ax a 2x x x ax a 3=+-->+--=+-. 令ax a 30+->，得3a x a->. 又因为0a 1<<，所以3a 1a a->. 所以当3a x a ->时，()f x 0>. 根据零点存在定理，函数()f x 在1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上有且仅有一个零点. 所以，当0a 1<<时，()f x 有两个零点.【点睛】本题考查导数与函数综合，导数与函数的单调性，函数零点问题，分类讨论思想，熟练运用零点存在定理是关键，是中档题。
2019东城区高三二模文科数学试卷及答案
北京市东城区2019年度综合练习（二）高三数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合U ={1,2,3,4,5},A ={1,2,3},B ={3,4,5}，则()U AB =ð（A ）{1，2，3，4} （B ）{1，2，4，5} （C ）{1，2，5} （D ）{3}（2）若复数22(3)(56)i m m m m -+-+（R m ∈）是纯虚数，则m 的值为（A ）0 （B ）2 （C ）0或3 （D ）2或3 （3）如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96颗，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为（A ）7.68 （B ）8.68 （C ）16.32 （D ）17.32 （4）如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为 （A ）43（B ）83 （C ）4 （D ）8（5）已知3sin 4θ=，且θ在第二象限，那么2θ在 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限（6）已知点(1,2)A 是抛物线C ：22y px =与直线l ：(1)y k x =+的一个交点，则抛物线C的焦点到直线l 的距离是 （A ）22 （B ）2 （C ）223（D ）22正视图侧视图俯视图（7）△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若0OA AB OC ++=，且||||OA AB =，则CA CB ⋅等于 （A ）32（B（C ）3 （D）（8）已知函数21,0,()log ,0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩则函数1)]([+=x f f y 的零点个数是（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2019- 2020学年度第二学期高三综合练习(二)数学(解析版)
2020年北京市东城区高考数学二模试卷一、选择题（共10小题）.1．已知全集U＝{0，1，2，3，4，5}，集合A＝{0，1，2}，B＝{5}，那么（∁U A）∪B＝（）A．{0，1，2}B．{3，4，5}C．{1，4，5}D．{0，1，2，5} 2．已知三个函数y＝x3，y＝3x，y＝log3x，则（）A．定义域都为RB．值域都为RC．在其定义域上都是增函数D．都是奇函数3．平面直角坐标系中，已知点A，B，C的坐标分别为（0，1），（1，0），（4，2），且四边形ABCD为平行四边形，那么D点的坐标为（）A．（3，3）B．（﹣5，1）C．（3，﹣1）D．（﹣3，3）4．双曲线C：x2−y2b2=1的渐近线与直线x＝1交于A，B两点，且|AB|＝4，那么双曲线C的离心率为（）A．√2B．√3C．2D．√55．已知函数f（x）＝log a x+b的图象如图所示，那么函数g（x）＝a x+b的图象可能为（）A．B．C．D．6．已知向量a→=（0，5），b→=（4，﹣3），c→=（﹣2，﹣1），那么下列结论正确的是（）A．a→−b→与c→为共线向量B．a→−b→与c→垂直C．a→−b→与a→的夹角为钝角D．a→−b→与b→的夹角为锐角7．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（）A．135平方米B．270平方米C．540平方米D．1080平方米8．已知函数f（x）＝lnx+ax2，那么“a＞0”是“f（x）在（0，+∞）上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件9．已知一个几何体的三视图如图所示，正（主）视图是由一个半圆弧和一个正方形的三边拼接而成的，俯视图和侧（左）视图分别为一个正方形和一个长方形，那么这个几何体的体积是（）A ．1+π2B ．1+π4C ．1+π8D ．1+π10．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，且它的最小正周期是T ，已知f （x ）={x ，x ∈[0，T 4]T 2−x ，x ∈(T 4−T 2]，g （x ）＝f （x +a ）（a ∈R ）．给出下列四个判断： ①对于给定的正整数n ，存在a ∈R ，使得∑ n i=1g(i⋅T n )f(i⋅T n )=0成立； ②当a =T 4时，对于给定的正整数n ，存在k ∈R （k ≠1），使得∑ n i=1g(ki⋅T n )f(i⋅T n )=0成立；③当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，函数g （x ）+f （x ）既有对称轴又有对称中心； ④当a ＝k T 4（k ∈Z ）时，g （x ）+f （x ）的值只有0或T 4． 其中正确判断的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题共5题，每题5分，共25分．11．复数z =1−i i的共轭复数z 为 ． 12．已知cos2α=13，则cos 2（π2+α）﹣2cos 2（π﹣α）的值为 ．13．设α，β，γ是三个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中，正确结论的序号为．14．从下列四个条件①a=√2c；②C=π6；③cos B=−√24；④b=√7中选出三个条件，能使满足所选条件的△ABC存在且唯一，你选择的三个条件是____（填写相应的序号），所选三个条件下的c的值为．15．配件厂计划为某项工程生产一种配件，这种配件每天的需求量是200件．由于生产这种配件时其他生产设备必须停机，并且每次生产时都需要花费5000元的准备费，所以需要周期性生产这种配件，即在一天内生产出这种配件，以满足从这天起连续n天的需求，称n为生产周期（假设这种配件每天产能可以足够大）．配件的存储费为每件每天2元（当天生产出的配件不需要支付存储费，从第二天开始付存储费）．在长期的生产活动中，为使每个生产周期内每天平均的总费用最少，那么生产周期n为．三、解答题共6题，共85分。