《点、直线与圆锥曲线的位置关系》教案(公开课)
【高中数学】公开课： 直线与圆锥曲线的位置关系ppt课件
10若a=0，直线l与抛物线对称轴平行或重合
20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点
0：有一个交点
0：无交点
10
例2.直线y-ax-1=0与双曲线3x2-y2=1交于A,B两点.
(1)当a为何值时，A、B在双曲线的同一支上?
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆过坐标原点?
解析(1)
A .①③ B.②④⑤ C.①②③
天马行空官方博客：/tmxk_docin ；QQ:1318241189；QQ群：175569632
D.②③④
2
课堂问题：
直线与圆锥曲线的位置关系主要是指 直线和圆锥曲线公共点的个数问题：
用数形结合的方法,能迅速判 断某些直线和圆锥曲线的位
解决问题的方法有：置关系,但要注意:形准不漏
1)几何法：运用圆锥曲线的平面几何性质等 价转化(数形结合)
2)代数法：等价转化为直线方程和圆锥方程 组成的方程组解的个数问题，进而转化为一 元方程。
3
例1：
1).直线y=kx-k+1与椭圆x2/9+y2/4=1的恒有几
个交点(
)
(A) 0个 (B)一个 (C)二个 (D)不确定
1)若f(x，y)=0表示椭圆，则a≠0
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
9
2)若f(x,y)=0是双曲线时，
交点的 分布
10若a=0，直线l与双曲线的渐近线平行或重合
20若a≠0，设Δ=b2-4ac
0：有两个不同的交点 0：有一个交点 0：无交点
3)f(x,y)=0是抛物线时,
(D)不确定
【解题回顾】
过封闭曲线内的点的 直线必与此曲线相交
直线与圆锥曲线的位置关系教案
课题：直线与圆锥曲线的位置关系授课者：滦县第十中学陈智勇高考要求1掌握直线与圆锥曲线公共点问题、相交弦问题以及它们的综合应用解决这些问题经常转化为它们所对应的方程构成的方程组是否有解或解的个数问题2会运用“设而不求”解决相交弦长问题及中点弦问题3会利用圆锥曲线的焦半径公式解决焦点弦的问题掌握求焦半径以及利用焦半径解题的方法4会用弦长公式|AB|=21k|x2－x1|求弦的长；5会利用“设点代点、设而不求”的方法求弦所在直线的方程（如中点弦、相交弦等）、弦的中点的轨迹等一、复习目标（一）知识目标1、掌握用坐标法判断直线与圆锥曲线的位置关系，进一步体会曲线方程的解与曲线上点的坐标之间的关系；2、领会中点坐标公式和弦长公式及韦达定理在解题中的灵活应用；3、理解“点差法”在解决直线与圆锥曲线位置关系中的解题技巧；（二）能力目标1、通过多媒体课件的演示，培养学生发现运动规律、认识规律的能力.2、培养学生运用方程思想、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．（三）情感目标1、通过课件的演示获得培养学生探索数学的兴趣.2、通过师生、生生的合作学习，树立竞争意识与合作精神，感受学习交流带来的成功感，激发提出问题和解决问题的勇气，树立自信心。
二、教学重点与难点重点：直线与圆锥曲线的位置关系的判定及方程思想、分类讨论思想、数形结合思想运用；难点：等价转换、“点差法”设而不求在解题中的灵活应用。
三、方法指导：1、在研究直线与圆锥曲线的交点个数问题时，不要仅由判别式进行判断，一定要注意二次项的系数对交点个数的影响。
2、涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用点差法较为简便。
3、要注意判别式和韦达定理在解题中的作用。
应用判别式，可以确定直线和圆锥曲线的位置关系，确定曲线中的参数取值范围，求几何极值等。
应用韦达定理，可以解先相交时的弦长问题，弦的中点问题或最值问题。
4、 要重视方程思想、等价转换思想、分类讨论、数形结合等数学思想的运用。
《直线与圆锥曲线的位置关系》第二课时示范公开课教学设计【高中数学】
《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计第一课时◆教学目标1．清楚直线与抛物线的关系，提升学生的数学抽象素养．2.．会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题，提高学生的逻辑推理素养．3．加强数形结合思想的训练与应用，提高学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：直线与抛物线的三种位置关系教学难点：会用坐标法求解直线与抛物线的有关问题◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习直线与抛物线的位置关系（2）本节课是学生在学习了直线与椭圆、双曲线的位置关系的基础上，研究直线与抛物线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用．本节内容也是高考的重点与热点内容．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.二、探索新知我们知道，通过直线的方程、圆的方程可以探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，而且这些问题都可以转化为方程组的解的问题．类似地，因为平面直角坐标系中的点在椭圆、双曲线、抛物线上的充要条件是点的坐标满足对应的方程，所以我们同样可以通过方程组的解的问题来探讨直线与这些曲线的位置关系的问题．（引出课题：直线与圆锥曲线的位置关系）例4：已知点)2,0(A 和抛物线x y C 6:2=，求过点x 且与抛物线C 相切的直线l 的方程.师生活动：根据上一节学习方法，尝试解决本例．预设的答案:当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点)2,0(A 可知，直线l 就是y 轴，其方程为0=x ，由消去未知数x 得02=y .这是一个一元二次方程且只有唯一的实数解，所以直线0=x 与抛物线C 相切如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为2+=kx y ，由方程组⎩⎨⎧=+=xy kx y 622，消去x ，整理得01262=+-y ky .为了使得这个方程是一元二次方程且只有一个实数解，必须有0124)6(02=⨯--≠k k 且，因此可解得43=k ，此时直线l 的方程为0843,243=+-+=y x x y 即. 综上可知，直线l 的方程为08430=+-=y x x 或.教师讲解：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段．设计意图：求经过抛物线外一点且与抛物线相切的直线的方程.本题一方面可以考查直线方程斜率存在和斜率不存在两种情况的分类讨论，另一方面也可以通过数形结合认识到从抛物线外一点可作两条切线，若联立方程只求出一条，那么另一条切线的斜率不存在.让学生分析研究的路径并找出合适的方法，激发进一步探究的欲望．问题3：通过上述例题，请同学们总结直线l 与圆锥曲线C 位置关系的判断方法． 师生活动：教师指导学生总结，学生总结完发言．预设的答案:判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0=++C By Ax (B A ,不同时为0)代人圆锥曲线C 的方程0),(=y x F ，消去y (或消去x )得到一元方程02=++c bx ax ．(1)当0=a 时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点.此时，若C 为双曲线，则直线与双曲线的渐近线平行;若C 为抛物线，则直线与抛物线的对称轴平行．(2)当0≠a 时，若0>∆，直线l 与圆锥曲线C 相交，有两个不同的交点;若0=∆，直线l 与圆锥曲线C 相切，有唯一的公共点(切点);若0<∆，直线l 与圆锥曲线C 相离，没有公共点．设计意图：通过对例题的总结，得出一般性的结论，有助于学生的理解，发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养．例5：已知直线2:-=x y l 与抛物线y x C 62-=：相交于B A ,两点，且O 为坐标原点.(1)求弦长|AB|;(2)判断⊥OA OB 是否成立，并说明理由.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：(1)设),(),,(2211y x B y x A ，则2122122)()(||y y x x AB -+-= 因为),(),,(2211y x B y x A 都是直线2:-=x y l 上的点，所以⎩⎨⎧-=-=222211x y x y第二式减去第一式可得1212x x y y -=-，从而2122122122)(2)()(||x x x x x x AB -=-+-=又因为从方程组⎩⎨⎧-=-=262x y y x ，中消去y ，整理可得01262=-+x x ，而且21,x x 是该方程的两个根，因此由韦达定理可知⎩⎨⎧-=-=+1261212x x x x ，所以844)()(12212212=-+=-x x x x x x ， 因此168||2=AB ，从而可知422168||==AB ．(2)设),(),,(2211y x B y x A ，则因此2121y y x x OB OA +=⋅将⎩⎨⎧-=-=222211x y x y 代入上式可得1212121222()80⋅=+=-+=-≠OA OB x x y y x x x x所以⊥OA OB 不成立．设计意图：解法中，同以前一样，我们设了A ，B 两点的坐标，但是解题过程中并没有实际求出，因此使用的也是“设而不求”的方法.该题当然也可以先求出A 与B 的坐标，然后再求弦长，并验证垂直是否成立．四、归纳小结，布置作业问题5：什么是弦长？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：一般地，直线与圆锥曲线有两个公共点时，则以这两个公共点为端点的线段称为圆锥曲线的一条弦，线段的长就是弦长.简单地说，圆锥曲线的弦就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段． 设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解弦长的一些基本概念．布置作业：教科书上的练习题五、目标检测设计1过抛物线y 2=4x 的焦点的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，设点M （3，0）.若△MAB的面积为|AB |=( )A. 2B. 4C.D. 8 设计意图：考查学生对椭圆的几何性质的基本判断．2直线()1y kx k R =+∈与椭圆2215x y m+=恒有两个公共点，则m 的取值范围为 A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．()()1,55,⋃+∞D ．[)()1,55,⋃+∞设计意图：考查学生利用椭圆的几何性质求椭圆方程．3．过点M （1，1）的直线与椭圆1342222=+y x 交于A ，B 两点，且点M 平分弦AB ，则直线AB 的方程为（ ）A ．4x +3y ﹣7=0B ．3x +4y ﹣7=0C ．3x ﹣4y +1=0D ．4x ﹣3y ﹣1=0 设计意图：考查学生对椭圆离心率的理解．参考答案：1．D 【详解】抛物线y 2=4x 的焦点F 为（1，0），可设直线l 的方程为x =ty +1，代入抛物线方程，可得y 2﹣4ty ﹣4=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2=4t ，y 1y 2=﹣4，则|AB |y 1﹣y 2|=.=△MAB 的面积为12|MF |.|y 1﹣y 2|12=⨯2|y 1﹣y 2=4t =±1，则|AB |=.=8，故选：D.2．【答案】C3．B 【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆的方程可得：134221221=+y x ，134222222=+y x 两式相减可得：03))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x 解得43-=k 则直线AB 的方程为：3x +4y ﹣7=0．故选：B ．。
直线与圆锥曲线的位置关系(第一课时)教学课件(共37张PPT)高中数学北师大版选择性必修第一册
拓展：
(1）直线与椭圆相交，则直线与椭圆必有两个交点，反之亦然；而直线与双 曲线或抛物线相交则包含两种情况：①直线与双曲线或抛物线有两个交点， ②直线与双曲线或抛物线有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行，与 抛物线的对称轴平行或重合． (2）直线与椭圆相切，则直线与椭圆有唯一公共点（切点）,反之亦然；直线 与双曲线或抛物线只有一个交点是直线与双曲线或抛物线相切的必要不充分 条件.
2
x1 x2 k
即
x1
x2
1 k
.设线段
MN
的中点为 P x0,
y0
，则 x0
1 2k
，y0
k
1 2k
9 2
4
.
中点
P
在
y
x2
内， 4
1 2k
2
，解得 k
1 4
或k
1 4
.
7.已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F,过点 F 且斜率为 2 的直线与抛物线 C 交于 A,B
AF 3 5 两点（点 A 在 x 轴的上方）,则 BF ___2________．
2 ；若Δ<0，则k
2 或k 2 ．
综上，当 k
2 或 k 2 时，直线l与双曲线C没有公共点；当k
2 时，
直线l与双曲线C相切于一点；当 k 1时，直线l与双曲线C相交于一点；当
2 k 1或 1 k 1或1 k 2 时，直线l与双曲线C有两个公共点．
直线与双曲线的位置关系的判断方法：
1．代数法 将直线方程与双曲线方程联立，方程组的解的组数就是直线与双曲线交点的 个数．联立得方程组，消去x或y中的一个后，得到的形如二次方程的式子中， 要注意x2项或y2项的系数是否为零，否则容易漏解．
人教版高中数学教案-直线与圆锥曲线的位置关系
直線與圓錐曲線的位置關係 課前預習學案 一、預習目標1．掌握直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法，能夠把研究直線與圓錐曲線的位置關系的問題轉化為研究方程組的解的問題；2. 會利用直線與圓錐曲線的方程所組成的方程組消去一個變數，將交點問題問題轉化為一元二次方程根的問題，結合根與係數關係及判別式解決問題． 二、預習內容1．直線與圓錐曲線的位置關係的判定方法：； 2、弦的中點或中點弦的問題，除利用韋達定理外，也可以運用“差分法”（也叫“點差法”）．3、弦長公式 ；4、焦點弦長： ；1．直線y x b =+與抛物線22y x =，當b ∈ 時，有且只有一個公共點；當b ∈ 時，有兩個不同的公共點；當b ∈ 時，無公共點．2．若直線1y kx =+和橢圓22125x y m+=恒有公共點，則實數m 的取值範圍為 ． 3．抛物線2y ax =與直線y kx b =+(0)k ≠交於,A B 兩點，且此兩點的橫坐標分別為1x ，2x ，直線與x 軸的交點的橫坐標是3x ，則恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．橢圓122=+ny mx 與直線1=+y x 交於,M N 兩點，MN 的中點為P ，且OP 的斜率為22，則nm的值為（ ） ()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知雙曲線22:14y C x -= ，過點(1,1)P 作直線l ，使l 與C 有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l 共有（ ）()A 1 條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條6．設直線21y x =-交曲線C 於1122(,),(,)A x y B x y 兩點，（1）若12||2x x -=，則||AB = ．（2）12||2y y -=，則||AB = ． 7．斜率為1的直線經過抛物線24y x =的焦點，與抛物線相交於,A B 兩點，則||AB = ．8．過雙曲線2212y x -=的右焦點作直線l ，交雙曲線於,A B 兩點，若||4AB =，則這樣的直線l 有（ ）()A 1條 ()B 2條 ()C 3條 ()D 4條9．已知橢圓2224x y +=，則以(1,1)為中點的弦的長度是（ ）()A 32 ()B 23 ()C 303 ()D 36210．中心在原點，焦點在x 軸上的橢圓的左焦點為F ，離心率為13e =，過F 作直線l 交橢圓於,A B 兩點，已知線段AB 的中點到橢圓左準線的距離是6，則||AB = ． 三、提出疑惑同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中 疑惑點 疑惑內容課內預習學案 一、學習目標1、使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．2、通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．3、通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、學習過程1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？3．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：4．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件． 5．例題例1．過點(1,6)--的直線l 與抛物線24y x =交於,A B 兩點，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直線:1l y kx =+與雙曲線22:21C x y -=的右支交於不同的兩點,A B ， （I ）求實數k 的取值範圍；（II ）是否存在實數k ，使得以線段AB 為直徑的圓經過雙曲線C 的右焦點F ？若存在，求出k 的值；若不存在，說明理由．例3．已知直線l 和圓M ：2220x y x ++=相切於點T ，且與雙曲線22:1C x y -=相交於,A B 兩點，若T 是AB 的中點，求直線l 的方程．例4．如圖，過抛物線22(0)y px p =>上一定點000(,)(0)P x y y >，作兩條直線分別交抛物線於1122(,),(,)A x y B x y ，（1）求該抛物線上縱坐標為2p的點到其焦點F 的距離；（2）當PA 與PB 的斜率存在且傾斜角互補時，求12y y y +的值，並證明直線AB 的斜率是非零常數． 例5．橢圓的中心是原點O ，它的短軸長為22，相應於焦點)0)(0,(>c c F 的準線l 與x 軸相交於點A ，||2||FA OF =，過點A 的直線與橢圓相交於,P Q 兩點．（I ）求橢圓的方程及離心率；（II ）若,0.=OQ OP 求直線PQ 的方程；（III ）設)1(>=λλAQ AP ，過點P 且平行於準線l 的直線與橢圓相交於另一點M ，證明FQ FM λ-=． 課後練習與提高1．以點(1,1)-為中點的抛物線28y x =的弦所在的直線方程為（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率為3的直線交橢圓221259x y +=於,A B 兩點，則線段AB 的中點M 的座標滿足方程（ ）()A 325y x =()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．過點(0,1)與抛物線22(0)y px p =>只有一個公共點的直線的條數是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．過雙曲線22221x y a b -=的右焦點2F 作垂直於實軸的弦PQ ，1F 是左焦點，若0190PFQ ∠=，則雙曲線的離心率是（ ） ()A 2 ()B 12 ()C 22 ()D 325．過抛物線2(0)y ax a =>的焦點F 作一直線交抛物線於,P Q 兩點，若線段PF 與FQ 的長分別是,p q ，則11p q+等於（ ） ()A 2a ()B 12a ()C 4a ()D 4a6．直線y x m =+與橢圓2214x y +=交於A 、B 兩點，則||AB 的最大值是（ ） ()A 2 ()B 55 ()C 105 ()D 81057．已知雙曲線2290x y kx y -+--=與直線1y kx =+的兩個交點關於y 軸對稱，則這兩個交點的座標為 ．8.與直線042=+-y x 的平行的抛物線2x y =的切線方程是 ．9.已知橢圓的中心在原點，離心率為12，一個焦點是(,0)F m -（m 是大於0的常數）． （Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設Q 是橢圓上的一點，且過點,F Q 的直線l 與y 軸交於點M ，若||2||MQ QF =，求直線l 的斜率．10．一個正三角形的三個頂點都在雙曲線221x ay -=的右支上，其中一個頂點是雙曲線的右頂點，求實數a 的取值範圍．11．已知直線1y kx =+與雙曲線2231x y -=相交於,A B 兩點．是否存在實數k ，使,A B兩點關於直線20x y -=對稱？若存在，求出k 值，若不存在，說明理由．點、直線與圓錐曲線的位置關係一、教學目標(一)知識教學點使學生掌握點、直線與圓錐曲線的位置及其判定，重點掌握直線與圓錐曲線相交的有關問題．(二)能力訓練點通過對點、直線與圓錐曲線的位置關係的研究，培養學生綜合運用直線、圓錐曲線的各方面知識的能力．(三)學科滲透點通過點與圓錐曲線的位置及其判定，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力．二、教材分析1．重點：直線與圓錐曲線的相交的有關問題．(解決辦法：先引導學生歸納出直線與圓錐曲線的位置關係，再加以應用．)2．難點：圓錐曲線上存在關於直線對稱的兩點，求參數的取值範圍．(解決辦法：利用判別式法和內點法進行講解．)3．疑點：直線與圓錐曲線位置關係的判定方法中△=0不是相切的充要條件．(解決辦法：用圖形向學生講清楚這一點．)三、活動設計四、教學過程(一)問題提出1．點P(x0，y0)和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？它們的條件是什麼？引導學生回答，點P與圓錐曲線C的位置關係有：點P在曲線C上、點P在曲線C 內部(含焦點區域)、點P在曲線的外部(不含焦點的區域)．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之一．2．直線l：Ax+By+C=0和圓錐曲線C：f(x，y)=0有哪幾種位置關係？引導學生類比直線與圓的位置關係回答．直線l與圓錐曲線C的位置關係可分為：相交、相切、相離．那麼這三種位置關係的條件是什麼呢？這是我們要分析的問題之二．(二)講授新課1．點M(x0，y0)與圓錐曲線C：f(x，y)=0的位置關係的焦點為F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦點為F，一定點為P(x0，y0)，M點到抛物線的準線的距離為d，則有：(由教師引導學生完成，填好小黑板)上述結論可以利用定比分點公式，建立兩點間的關係進行證明．2．直線l∶Ax＋Bx＋C=0與圓錐曲線C∶f(x，y)＝0的位置關係：直線與圓錐曲線的位置關係可分為：相交、相切、相離．對於抛物線來說，平行於對稱軸的直線與抛物線相交於一點，但並不是相切；對於雙曲線來說，平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，但並不相切．這三種位置關係的判定條件可引導學生歸納為：注意：直線與抛物線、雙曲線有一個公共點是直線與抛物線、雙曲線相切的必要條件，但不是充分條件．3．應用求m的取值範圍．解法一：考慮到直線與橢圓總有公共點，由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件可求．由一名同學演板．解答為：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上，知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點，即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，亦即5k2≥1-m對一切實數k成立．∴1-m≤0，即m≥1．故m的取值範圍為m∈(1，5)．解法二：由於直線過定點(0，1)，而直線與橢圓總有公共點，所以定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上，由點與橢圓的位置關係的充要條件易求．另解：由橢圓方程及橢圓的焦點在x軸上知：0＜m＜5．又∵直線與橢圓總有公共點．∴直線所經過的定點(0，1)必在橢圓內部或邊界上．故m的取值範圍為m∈(1，5)，小結：解法一由直線與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路易得，但計算量大；解法二由點與圓錐曲線的位置關係的充要條件求，思路靈活，且簡捷．稱，求m的取值範圍．解法一：利用判別式法．並整理得：∵直線l′與橢圓C相交於兩點，解法二：利用內點法．設兩對稱點為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中點為M(x0，y0)，∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)小結：本例中的判別式法和內點法，是解決圓錐曲線上存在兩點關於直線的對稱的一般方法，類似可解抛物線、雙曲線中的對稱問題．練習1：(1)直線過點A(0，1)且與抛物線y2=x只有一個公共點，這樣的直線有幾條？(2)過點P(2，0)的直線l與雙曲線x2-y2=1只有一個公共點，這樣的直線有幾條？由學生練習後口答：(1)3條，兩條切線和一條平行於x軸的直線；(2)2條，注意到平行於漸近線的直線與雙曲線只有一個交點，故這樣的直線也只有2條．2=4關於直線y=x-3對稱的曲線C′的方程．練習2：求曲線C∶x2+4y由教師引導方法，學生演板完成．解答為：設(x′，y′)是曲線C上任意一點，且設它關於直線y=x-3的對稱點為(x，y)．又(x′，y′)為曲線C上的點，∴(y+3)2+4(x-3)2=4．∴曲線C的方程為：4(x-3)2+(y+3)2=4．(三)小結本課主要研究了點、直線與圓錐曲線的三種位置關係及重要條件．五、佈置作業的值．2．k取何值時，直線y＝kx與雙曲線4x2-y2=16相交、相切、相離？3．已知抛物線x=y2+2y上存在關於直線y=x+m對稱的相異兩點，求m的取值範圍．作業答案：1．由弦長公式易求得：k=-4當4-k2=0，k=±2，y=±2x為雙曲線的漸近線，直線與雙曲線相離當4-k2≠0時，△=4(4-k2)×(-6)(1)當△＞0，即-2＜k＜2時，直線與雙曲線有兩個交點(2)當△＜0，即k＜-2或k＞2時，直線與雙曲線無交點(3)當△=0，即k=±2時，為漸近線，與雙曲線不相切故當-2＜k＜2時，直線與雙曲線相交當k≤-2或k≥2時，直線與雙曲線相離六、板書設計。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
【公开课教案】《直线与圆锥曲线的位置关系1》教案
直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。
2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。
二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L 的方程是：0=++C By Ax ，圆锥曲线的方程是0),(=y x f ，则由⎩⎨⎧==++0)y ,x (f 0C By Ax 消去）或消去y x (,得：02=++c bx ax )0(≠a …………（*） 设方程（*）的判别式ac b 42-=∆ 交点个数问题①当a ＝0或a ≠0，∆＝0时，曲线和直线只有一个交点； ②当a ≠0，∆＞0时，曲线和直线有两个交点； ③当a ≠0，∆＜0时，曲线和直线没有交点。
2、直线L 与圆锥曲线相交时的弦长。
设直线L 与圆锥曲线交于),(),,(2211y x Q y x P ，直线L 的斜率为k ，则2122122124)(1||1||x x x x k x x k PQ -+⋅+=-+==||11212y y k -+=2122124)(11y y y y k-+⋅+3、设A （11y ,x ），B （x 2，y 2）是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点，且21x x ≠，0x x 21≠+，M （x 0，y 0）为AB 的中点，则两式相减可得2221212121ab x x y y x x y y -=++⋅--，22OMAB ab k k -=⋅。
这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。
【典型例题】例1、已知抛物线的方程为x y 42=，直线l 过定点P (－2,1)，斜率为k ，k 为何值时，直线l 与抛物线x y 42=只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】 直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)，即y ＝kx ＋2k ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2k ＋1，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(4k 2＋2k －4)x ＋(2k ＋1)2＝0，(*)当k ＝0时，方程(*)为－4x ＋1＝0，即x ＝14，此时直线l 和抛物线只有一个交点，当k ≠0时，Δ＝(4k 2＋2k －4)2－4k 2(2k ＋1)2＝－32k 2－16k ＋16，由Δ＝0，即－32k 2－16k ＋16＝0，得 2k 2＋k －1＝0， 解得k ＝－1或k ＝12，∴当k ＝－1或k ＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k ＜12且k ≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k ＜－1或k ＞12时，方程(*)没有实根．综上知 ，当k ＝0或k ＝－1，或k ＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k ＜12且k ≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k ＜－1或k ＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222=+y x 的一个焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，求△AOB 的面积的最大值(O 为原点)．解：不妨设AB 过焦点(0,1)， 当AB 斜率不存在时显然不合题意．设AB 的方程为y －1＝kx ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x 2＋y 2＝2得(2＋k 2)x 2＋2kx －1＝0，所以x 1＋x 2＝－2k 2＋k 2，x 1x 2＝－12＋k 2， 所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝221＋k 22＋k 2.又设点O 到直线AB 的距离为d ，则d ＝11＋k 2， 所以S △AOB ＝12|AB |·d＝2·1＋k 22＋k 2＝2·1＋k 21＋k 2＋1＝21＋k 2＋11＋k 2≤22，所以S △AOB 的最大值为22.例3. 已知双曲线方程2x 2－y 2＝2.(1) 求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2) 过点B(1,1)能否作直线l ，使l 与所给双曲线交于Q 1、Q 2两点，且点B 是弦Q 1Q 2的中点？这样的直线l 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A 的中点弦两端点为),(),,(222111y x P y x P ，则有关系2,42121=+=+y y x x ．又据对称性知21x x ≠，所以2121x x y y --是中点弦21P P 所在直线的斜率，由1P 、2P 在双曲线上，则有关系22,2222222121=-=-y x y x ．两式相减是：0))(())((221212121=-+--+y y y y x x x x∴0)(2)(422121=---⋅y y x x ∴42121=--xx y y所求中点弦所在直线为)2(41-=-x y ，即074=--y x ．(2)可假定直线l 存在，而求出l 的方程为)1(21-=-x y ，即012=--y x方法同(1)，联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=--=-0122222y x y x ，消去y ,得03422=+-x x然而方程的判别式08324)4(2<-=⋅⋅--=∆，无实根，因此直线l 与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l 不存在．四．课堂巩固1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有 （ ）()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++= ()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则nm的值为 （）()A 22()B 322()C 229()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条。
直线与圆锥曲线的位置关系(1)(教学设计)——高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
一、教材内容及其解析1.内容类比直线与圆的关系，探究直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线的弦长问题，与双曲线有关的中点弦问题，与抛物线有关的最值问题.2.内容解析直线与圆锥曲线的位置关系是圆锥曲线知识应用的重点内容，本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系，圆锥曲线的方程和简单的几何性质的基础上，进一步研究直线与圆锥曲线的位置关系，让学生感悟数形结合及方程思想的运用.学生可以类比直线与圆的三种位置关系的探究过程，学习从代数的角度归纳直线与圆锥曲线位置关系.弦长公式的推导使用了两点间距离公式，从公式本身可以发现弦长与交点的确定坐标无关，因此可以大大简化计算.中点弦问题考查的内容较为综合，点差法是学生需重点掌握的方法.与弦长有关的问题，从不同的角度体现了根的判别式、根与系数关系、点差法等知识在判断位置关系中的作用.坐标法作为连接“形”与“数”的桥梁，集中地体现了数形结合的数学思想，这种思想贯穿了整个“圆锥曲线的方程”一章，是学生应重点掌握的基本数学方法.通过本节的学习，学生可以巩固前面所学的圆锥曲线的性质以及直线的基本知识，从而培养逻辑思维能力、运算能力、分析和解决问题的能力等.知识的上下位关系：双曲线和抛物线由于图形不是封闭的，学生容易完全借鉴直线与圆的位置关系，认为有一个交点就是相切.直线斜率与双曲线渐近线斜率的关系对交点个数的影响，学生容易讨论不完全或斜率范围取错.中点弦问题中，学生在已知信息中只能发现中点坐标与斜率的一部分关系，难以建立它们之间的联系.3.问题解决策略通过改变直线斜率，直观感受它对直线与双曲线位置关系的影响；中点弦的问题中，设置层层递进的问题串，带领学生挖掘题目中的隐含信息，发现交点、中点、斜率彼此之间的关系. 4.教学难点点差法求中点弦问题，体会直线斜率和中点坐标的内在联系. 四、教学支持条件分析使用GGB 软件作图，展示直线斜率对交点个数的影响 五、课堂活动设计 【本课时教学流程图】【一】复习回顾【引言】前面我们学习了直线的方程、圆的方程，并且探讨直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系的问题，那么判断直线与圆的位置关系的方法有什么？ 【教师引导，学生回忆】生：几何法，利用圆心到直线的距离d 与圆的半径r 之间的关系.生：代数法，将直线方程与圆方程联立，通过判别式化为方程组的解的问题. 生：利用几何性质，当直线过定点，定点在圆的内部，此时直线与圆一定相交. 请你回忆并补充下表： 位置关系公共点个数图形判断方法（几何）判断方法（代数）相交 2d r < 0∆>类比直线与圆的位置关系从数和形的角度探究直线与双曲线的位置关系 探究求弦长的两种方法探究中点弦问题，体会“点差法”探究抛物线的最值问题相切1d r =0∆=相离d r >0∆<师：在初中，我们判断直线与圆的位置关系是看公共点的个数，这种判定是直观地定性描述，当直线与圆无限接近时，从图形上我们无法判断，因此我们无法做到严格地定量刻画.现在我们应用了方程思想和数形结合的思想通过判别式的情况来判断直线与圆的位置关系，它们是否可以推广应用到直线与圆锥曲线的位置关系中，我们继续来研究下面的例题.直线与圆锥曲线也有相应的位置关系，是不是一样可以从数和形的角度来判断呢？来看下面的例题.【二】例题导学任务一：探究直线与圆锥曲线的位置关系【例1】 判断双曲线22136x y -=与过其右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线的位置关系.问题1：如何判断二者的位置关系，说说你的想法. 师：如果此时直线的斜率是2，你有什么发现？ 生：直线与双曲线只有一个交点.师：前面我们知道了，与双曲线渐近线平行的直线和双曲线只交与一点.若此时直线的倾斜角变为30︒，斜率为33，你能从图形上说说这一变化吗？ 生：直线倾斜角变小，又经过右焦点，所以与双曲线左右两支各交于1点.追问1：当直线仍过右焦点，请你结合图像，讨论直线斜率与交点个数的关系？（GGB 演示） ① 2个交点：当b b k k aa<->或时，与右支双曲线有2交点；当b b k aa -<<时，与两支各有1交点；设计意图：复习判断直线与圆的位置关系的方法，再一次明确位置关系可以从几何和代数两个角度判断，提出直线与圆锥曲线位置关系的判定问题.当二次项系数为0时，此时bk a=±.追问2：这时直线的斜率会对位置关系产生什么影响？生：直线斜率与双曲线渐近线的斜率相等，因此直线与双曲线只有一个公共点.师：需要注意，直线与圆，直线与椭圆只有一个公共点时是相切的位置关系.当直线与双曲线渐近线平行时，有一个公共点，此时我们叫做直线与双曲线相交.追问3：你能说说判断直线与圆锥曲线的位置关系一般方法吗？需要特别注意什么？师生共同总结：判断位置关系，既可以从代数角度：联立方程组→判断Δ与0的关系→公共点的个数→直线与圆锥曲线的位置关系.特别需要注意，当二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.还可以数形结合，当直线过定点时，根据定点位置和直线斜率和双曲线渐近线斜率的大小关系确定其位置关系.课下思考题：探究直线y kx m =+与抛物线22y px =的位置关系. 当直线和圆锥曲线相交于两点时，就有了弦，那么如何来求弦长呢？ 任务二：探究弦长公式, 体会“设而不求”【例2】 如图，过双曲线22136x y -=的右焦点2F ，倾斜角为30︒的直线交双曲线,A B 两点，求AB .问题3：当直线与双曲线相交时，如何求两点间的弦长？ 【教师引导学生思考、交流，学生动手实践】生：直接求出交点坐标，利用两点间距离公式进行求解.方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为12(3,0),(3,0)F F -， 因为直线AB 的倾斜角是30︒，且直线经过右焦点2F ，所以直线AB 的方程为3(3)3y x =- 由223(3)3136y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩消去y ，得256270x x +-=. 解方程，得1293,,5x x =-=将12,x x 的值分别带入直线方程，得122323,,5y y =-=- 于是,A B 两点的坐标分别为923(3,23),(,),55---所以22222121923163||()()(3)(23).555AB x x y y =-+-=--+-+=(3,1)A-当3k=-4故所求直线方程为师：（若学生没想到，教师适当引导）③弦解法二（点差法）：设1122(,),(,)M x y N x y ，,M N 均在双曲线上，221122221414x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减，得2222212121212121,44()x x y y x x y y x x y y --+=-∴=-+， A MN 点平分，12123=6,4x x y y k ∴++∴=-，=-2， 31(3),3450.4y x x y +=--+-=即经验证，该直线MN 存在.故所求直线方程为31(3),3450.4y x x y +=--+-=即师：我们又一次发现，虽然设了交点坐标，但并没有解出它们，而是在它们与我们需要的直线斜率之间搭了一个桥梁，“设而不求”解决中点弦问题.像这样设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标1122(,),(,)A x y B x y ，将这两点带入圆锥曲线方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种代点作差的方法为“点差法”.存在中点弦的区域：事实上，如图，双曲线和渐近线将平面直角坐标系分成如下3个区域，若点M 在区域①内，不存在以该点为中点的弦；若点M 在区域②或③，存在以该点为中点的弦.因此对本题而言，如图，当3x =时，渐近线上32y =-，双曲线上52y =-，因此点(3,1)M -在双曲线右设计意图：本题主要考查了直线与双曲线的综合问题，解题的关键是充分运用数形结合、方程和转化的数学思想来解决较为复杂的综合问题.，在学生相互交流讨论，师生的互动交流中，感受点差法“设而不求”的巧妙，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来相互转化，体会数学的严谨性，使学生综合问题的解决能力得到训练.支内部，存在以M 为中点的弦.思考题.已知双曲线2212yx -=过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点， P 能否是线段AB 的中点？为什么？解: 假设存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点. 设过(1,1)P 的直线方程为1(1)y k x -=-，A ，B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ，则221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，①，② ①-②得12121212()()()()02y y y y x x x x +-+--=.由P 为AB 的中点，则12122,()2,x x y y +=+=则12122y y x x -=-， 即直线AB 的方程为12(1)y x -=-，即21y x =-，代入双曲线2212y x -=，可得22430,x x -+=检验判别式16240∆=-<，方程无解.故不存在过点(1,1)P 的直线l 与双曲线相交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点.拓展：（1）证明在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =-≠,22OP b k k a⨯=-（P 不是坐标原点）.（2）证明在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率20020(0)b x k y a y =≠.设计意图：点差法来解决中点弦问题时计算量较少，但有一个弊端，不能保证直线与圆锥曲线一定有两个交点，因此需要用判别式加以检验.⊥是否成立，并说明理由OA OB已知抛物线22=y x6。
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《点、直线与圆锥曲线的位置关系》教案
一、教学目标
(一)知识教学点
使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线相交的有关问题．
(二)能力训练点
通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆锥曲线的各方面知识的能力．
(三)学科渗透点
通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力．
二、教材分析
1．重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题．
(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用．) 2．难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围．
(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解．)
3．疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中△=0不是相切的充要条件．(解决办法：用图形向学生讲清楚这一点．)
三、活动设计
四、教学过程
(一)问题提出
1．点P(x0，y0)和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？它们的条件是什么？
引导学生回答，点P与圆锥曲线C的位置关系有：点P在曲线C上、点P
在曲线C内部(含焦点区域)、点P在曲线的外部(不含焦点的区域)．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一．
2．直线l：Ax+By+C=0和圆锥曲线C：f(x，y)=0有哪几种位置关系？
引导学生类比直线与圆的位置关系回答．直线l与圆锥曲线C的位置关系可分为：相交、相切、相离．那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之二．
(二)讲授新课
1．点M(x0，y0)与圆锥曲线C：f(x，y)=0的位置关系
的焦点为F1、F2，y2=2px(p＞0)的焦点为F，一定点为P(x0，y0)，M点到抛物线的准线的距离为d，则有：
(由教师引导学生完成，填好小黑板)
上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明．
2．直线l∶Ax＋Bx＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：
直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：
注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．
3．应用
求m的取值范围．
解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件可求．
由一名同学演板．解答为：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上，知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点，
即(10k)2-4x(m+5k2)×5(1-m)≥0，
亦即5k2≥1-m对一切实数k成立．
∴1-m≤0，即m≥1．
故m的取值范围为m∈(1，5)．
解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0，1)必在椭圆内部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求．
另解：
由椭圆方程及椭圆的焦点在x轴上知：0＜m＜5．
又∵直线与椭圆总有公共点．
∴ 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上．
故m的取值范围为m∈(1，5)，
小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷．
称，求m的取值范围．
解法一：利用判别式法．
并整理得：
∵直线l′与椭圆C相交于两点，
解法二：利用内点法．
设两对称点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P1P2的中点为M(x0，y0)，
∴y1+y2=3(x1+x2)．(1)
小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题．
练习1：(1)直线过点A(0，1)且与抛物线y2=x只有一个公共点，这样的直线有几条？
(2)过点P(2，0)的直线l与双曲线x2-y2=1只有一个公共点，这样的直线有几条？
由学生练习后口答：(1)3条，两条切线和一条平行于x轴的直线；(2)2条，注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有2条．练习2：求曲线C∶x2+4y2=4关于直线y=x-3对称的曲线C′的方程．
由教师引导方法，学生演板完成．解答为：
设(x′，y′)是曲线C上任意一点，且设它关于直线y=x-3的对称点为(x，y)．
又(x′，y′)为曲线C上的点，
∴(y+3)2+4(x-3)2=4．
∴曲线C的方程为：4(x-3)2+(y+3)2=4．
(三)小结
本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件．
五、布置作业
的值．
2．k取何值时，直线y＝kx与双曲线4x2-y2=16相交、相切、相离？
3．已知抛物线x=y2+2y上存在关于直线y=x+m对称的相异两点，求m的取值范围．
作业答案：
1．由弦长公式易求得：k=-4
当4-k2=0，k=±2， y=±2x为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离
当4-k2≠0时，△=4(4-k2)×(-6)
(1)当△＞0，即-2＜k＜2时，直线与双曲线有两个交点
(2)当△＜0，即k＜-2或k＞2时，直线与双曲线无交点
(3)当△=0，即k=±2时，为渐近线，与双曲线不相切
故当-2＜k＜2时，直线与双曲线相交
当k≤-2或k≥2时，直线与双曲线相离
六、板书设计。