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1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦?设过抛物线2

x 2py外一点P(X o,y°)的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB

的交点为Q。

(1 )求证：抛物线切点弦的方程为x0x p(y+ y0)；

(2)求证：

1 1

2 PC |PD | |PQ |

2. 已知定点F( 1, 0),动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M,并延长MP到点N 且PM PF 0,| PM | | PN |.

(1)动点N的轨迹方程；

(2)线I与动点N的轨迹交于A, B两点，若OA OB 4,且4,6 | AB | 4 30，求直线I的斜率k的取值范围.

3.如图，椭圆G :1的左右顶点分别为A、B, P为双曲线C2 :1右支

上(x轴上方)一点，连AP交C1于C,连PB并延长交C1于。，且厶ACD与厶PCD的面积相等，求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角.

4.已知点M ( 2,0), N(2,0)，动点P满足条件| PM | | PN | 2-2.记动点P的轨迹为W.

(I)求W的方程;

uuu uun

(n)若 AB 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求 OA OB 的最小值.

2 2

5.已知曲线 C 的方程为：kx 2+(4-k)y 2=k+1,(k € R)

(I)若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围；

(n)若曲线c 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是 60°,求此双曲线的方程； (川)满足(n)的双曲线上是否存在两点 P , Q 关于直线I : y=x-1对称，若存在，求出过 P,

Q 的直线方程；若不存在，说明理由。

6.如图(21)图，M (-2, 0)和N (2, 0)是平面上的两点， 动点P 满足：PM PN 6.

(1)求点P 的轨迹方程；

2 ⑵若PM -PN l = --------------------- ,求点P 的坐标.

1 cos MPN

的两条渐进线|仆12分别交于点M,N ，与椭圆交于点 A,B . ⑴若 MON ―,双曲线的焦距为

3

UUUU UULU

(II )若OM MN 0 ( O 为坐标原点)

2 x

7.已知F 为椭圆—

a 2

b 2 1

(a b

0)的右焦点，直线I 过点F 且与双曲线

b 2

4。求椭圆方程。

ULU 1 UULT

,FA -AN ，求椭圆的离心率

3

I

2 1. (1)略

(2)为简化运算，设抛物线方程为

2

(x X o) 2p(y y o)，点Q, C, D的坐标分别为

(X3, 丫3),(花，％),(X2, y2)，点P(0,0),直线

y

2

(X X o) 2p(kx y o)

2 2

kx ,

一方面。要证112

PC|PD||PQ|

化斜为直后

只须证：

丄

2 X1X2X3

由于11X1x22(x o

9

pk) X1X2为X2X

2pk

另一方面，由于P(0,0)所以切点弦方程为：x0 (x x0) p( y 2y0)

所以X3

2

x

o

2Pk 1 X o pk X3 x：2

pk

X o Pk

1 1 2

从而

X1X2 X3

即112

PC|PD||PQ|

2分

___ ______________________ _____ l2

PF (1, y),由PM PF 0得x J

2 4 0，因此，动点的轨迹方程为y2 4x(x 0). (4)

8.设曲线C1: X7 y2 1 ( a为正常数)与C2: y2 2(x m)在x轴上方只有一个公共点P。

a

(I)求实数m的取值范围(用a表示)；

1

(n) 0为原点，若C i与x轴的负半轴交于点A，当0 a二时，试求OAP的面积的最大值(用a表示)。

2.("设动点N 的坐标为(x,y),则M( x,0), P(0,y)(x 0),PM ( x, y),

(2)设I 与抛物线交于点 A (x i ,y i ) ,B(x 2,y 2),当I 与x 轴垂直时， 则由 OA OB 4,得力 2、2、y

2..2,|AB|4.2 46,不合题意,

故与I 与 x 轴不垂直，可设直线I 的方程为y=kx+b(k ^ 0),则由OA OB 4,得y y 2 4…

6分

由点 A , B 在抛物线 y 2 4x(x 0)上，有y 2 4x t ,y ； 4x 2,故％ y 2 8.

又 y 2=4x, y=kx+b 得 ky 2— 4y+4b=0, 所以 4b 8,b

2k.

16(1 2k 2),|AB |2

k

2

因为4.6 | AB| 4.30,所以96匚身(驾 32) 480.解得直线I 的斜率的 取值范围是

3. 由题意得 C 为 AP 中点，设 C(x °,y °),A( 2,0) , P(2^ 2,2y 。),

2 2

把C 点代入椭圆方程、P 点代入双曲线方程可得 3X 0 4y 。

12

2 2 '

3(2x o 2)

4y 。 12

沧

1

3

3,故 C(1,—),P(4,3),又 B(2,0)

y

2

2

4. 解法

(I)由|PM| — |PN|= 2.2知动点P 的轨迹是以 M,N 为焦点的双曲线的右支，实

半轴长a

：2

又半焦距 c=2，故虚半轴长b

■. c 2 a 2

2

所以W 2 2

的方程为—￡

2 2

1,x 、2

(n)设

A ,

B 的坐标分别为

(捲，yj, (X 2, y 2)

UJU

UUU ******** 2 2

当AB 丄x 轴时，为 X 2,从而y

y 2,从而OA OB

y^

为

y , 2.

当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m ,与W 的方程联立，消去y 得

10分

［

討

12分

解之得:

故直线PD 的斜率为

4 2 2，直线PD 的方程为

2

3

尹2),

联立

3 ,

y

(x 2 2 2

x y

4 3 2) 解得D(1, 1

3、，故直线CD 的倾斜角为90° 2)

(1 k 2)x 2 2kmx m 2

2 0.

故x X 2 2km X 1X 2 m 2

2

1 k 2, k

2 1 7

所以 urn OA uuu OB X 1X 2 y 』2 X 1X

2 (kx 1 m)(kx 2 (1 2 2 k )(m 2) 2k 2 2 m m 2 2k 2 2

k 2 1 1 k 2 k 2 1 又因为X-|X 2 0,所以 k 2

1 0,从而 uuu OA uuu OB

2. 综上，当AB 丄X 轴

时, 2.

uuu

OB 取得最小值 2 & 2 2

m) (1 k )x 1x 2 km(x ) x 2) m

uur OA 解法二： (I)同解法 2 2 / X i y , (X i y)(x

y i ) 2(i

1,2).

则st 2,且s 0,t i 0(i

1,2)所以

uuu uuu

1

OA OB x.,x 2 yM

(s tJG t 2)

的坐标分别为，则(捲，yj , (x 2,y 2),则

(n)

设 A ,

B 1

才 g t 2)

令 s K y i ,t i X i y ,,

1 产

2

s i s 2t 1t 2 2, 当且仅当 X i SS 2 址2,即 % X 2,时”

y 2 ”成立. uuu 所以OA uuu O

B 的最小值是2.

5. (1) 2 X

k

当 k=0或 k=-1 或 k=4 时，

2 丄 1，为椭圆的充要条件是 k 1 4 k

C 表示直线；当k z 0且k z -1且k z 4时方程

为 k k 1 k 1

°,〒厂

即是 0

1或-1 k 0 或 k 4,

当k 1或k 4时,双曲线焦点在

x 轴上 2

,a

1

,b 2 上

丄,得k 6,

2

综上得双曲线方程为冷

6

x m

2 2 消去

y 得：4x 4mx 2y 2 7

方程(2)的厶＞0,.?.存在满足条件的P 、Q ,直线PQ 的方程为

6. (1)由椭圆的定义，点 P 的轨迹是以M 、N 为焦点, 因此半焦距c=2,长半轴a=3，从而短半轴 b= a c 一5，

x 2 所以椭圆的方程为一

9

⑵由PM gPN 1 cosMPN ,得

PM gPN cosMPN PM gPN | 2.

MN | 4,由余弦定理有

2 2 2

MN PM | PN 2 PM gPN cosMPN.

②

将①代入②，得

2 2

42 PM |PN 2( PM gPN 2).

2

故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为 2「3的双曲线 — y 2 1上.

3

2 2

由⑴知，点P 的坐标又满足—L 1,所以

9 5

当-1 k 0时,双曲线焦点在y 轴上,b 2

,得k 6,不符. 4

（出） 若存在，设直线 PQ 的方程为:

y=-x+m

X o

设P,Q 的上点是M (x °,y 。),贝V y o m

2

,M 在直线L 上, 3m ~2~

3m ~2

2

2

y 6x 2

2

2m 2

7 0

1 2

长轴长2a=6的椭圆. 2

J 1. 5

因为cosMPN 1,P 不为椭圆长轴顶点，故

P 、M 、 N 构成三角形.在厶PMN 中,