等差数列前n项和
等差等比数列的前n项和公式
等差等比数列的前n项和公式
当涉及到等差数列和等比数列的前 n 项和时，可以使用以下公式计算：
1. 等差数列的前 n 项和公式：
对于等差数列 a，公差为 d，前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算：
Sn = (n/2) * (2a + (n-1)d)
其中，
Sn 表示前 n 项和
n 表示项数
a 表示首项
d 表示公差
2. 等比数列的前 n 项和公式：
对于等比数列 a，公比为 r，且 r ≠ 1，前 n 项和 Sn 可以通过以下公式计算：
Sn = (a * (1 - r^n)) / (1 - r)
其中，
Sn 表示前 n 项和
n 表示项数
a 表示首项
r 表示公比
需要注意的是，这些公式适用于从第一项开始计算的情况。
如果你从第零项开始计算，则需要对公式进行相应的调整。
等差数列前n项和的推导公式
等差数列前n项和的推导公式等差数列前n项和的推导公式，听起来是不是有点复杂？这个东西就像我们生活中的许多事情，简单却又充满了乐趣。
想象一下，咱们去超市买东西，每次都能找到一些折扣。
假如你要买一堆苹果，第一天买了一个，第二天又买了一个，再加上还有其他的。
嘿，等差数列就这么来了！说白了，它就是每次加上一个固定的数字，像是你每天都要喝的那杯咖啡，始终是那么多。
前n项和又是什么呢？简单来说，就是把这些数字加起来，比如说，你第一天买了一个苹果，第二天又加了一个，第三天又来了一个……你知道的，时间长了，苹果就越来越多。
数数看，你每天加的这一个，算下来就成了一个小山堆。
我们想要知道这些苹果加起来到底有多少，这时候，前n项和就派上用场了。
我们先来看看公式。
等差数列的前n项和，通常是用S_n来表示。
你可能会问，这个S_n到底是什么呢？它的公式是这样的：S_n = n/2 × (a_1 + a_n)。
这里的n是你加了多少天，a_1是第一天的苹果数量，而a_n就是第n天的苹果数量。
咋样？听起来是不是不那么复杂？举个例子，假如第一天你买了1个苹果，第二天买了2个，第三天买了3个……一直往下加。
那你就会发现，你买的苹果越来越多，像是人气不断飙升的网红一样。
每一天都在增加，真的是“天天向上”。
现在，我们来算算前n项和吧。
假设你想知道前5天的苹果总数。
第一天是1个，第二天是2个，第三天是3个，第四天是4个，第五天是5个。
把它们加起来，1 + 2 + 3 + 4 + 5，这个和就是15。
哦，天哪，真的是一大堆苹果！你看，这个过程就是等差数列的魅力所在。
再回到公式，S_n = n/2 × (a_1 + a_n)。
把数据代进去，n是5，a_1是1，a_n是5。
所以你就可以算出S_5 = 5/2 × (1 + 5)，结果出来是15。
是不是特别简单？等差数列的魅力还不止于此，想想看，生活中我们总是喜欢把事情做得简单明了。
等差数列前n项和的几何意义
详细描述
在等差数列中，由于每一项都是前一项加上 一个常数（公差），因此奇数项的和等于中 间一项乘以个数，偶数项的和等于中间两项 的和乘以个数。这种对称性质在解决等差数 列问题时非常有用，可以简化计算过程。
05
等差数列前n项和的证明 方法
倒序相加法
总结词
倒序相加法是通过将等差数列的前n项和倒序写，然后两 式相加，消去大部分项，得到一个更简单的等式，从而 证明前n项和的公式。
解释
通项公式表示等差数列中任意一项的 值，它由首项和公差决定，与项数 $n$有关。
等差数列前n项和的公式
定义
等差数列前n项和公式 (n-1)d)$。
解释
前n项和公式表示等差数列中前n项的 和，它由首项、公差和项数$n$决定。
02
等差数列前n项和的几何 意义
THANKS
感谢观看
式。
构造法
总结词
构造法是通过构造一个新的等差数列，使得这个新数 列的前n项和与原数列的前n项和相等，从而证明前n 项和的公式。
详细描述
首先构造一个新的等差数列，使得这个新数列的前n 项和与原数列的前n项和相等。然后利用等差数列的 性质，证明这两个数列的前n项和相等。通过化简， 可以得到等差数列前n项和的公式。
平行四边形的面积
总结词
等差数列前n项和可以表示为平行四边形的面积。
详细描述
等差数列的前n项和还可以看作是平行四边形的面积，其中平行四边形的底为等差数列 的首项和末项，高为项数n的一半，平行四边形的面积即为等差数列前n项和的值。
03
等差数列前n项和的应用
计算等差数列的和
公式法
利用等差数列前n项和的公式，可以直接计算出等差数列的和。
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
02
03
04
05
06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列前n项和的性质
想一想： 在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么
关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
思考2：若{an}为等差数列，那么
{Sn n
}是什么数列？
性质：数列{an}是等差数列
(2)∵an＝2n－1， ∴bn＝2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1， ∴Bn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn ＝121－13＋2113－15＋2115－17＋…＋122n1－1－2n1＋1 ＝121－2n1＋1＝2nn＋1.
『变式探究』
1.已知在正整数数列{an}中，前 n 项和 Sn 满足： Sn＝18(an＋2)2， (1)求证：{an}是等差数列； (2)若 bn＝12an－30，求数列{bn}的前 n 项和的最小值．
则S2k 1 等于什么？ T2k 1
ak S2k 1 bk T2k 1
例4：Sn，Tn分别是等差数列{an}、{bn}的前n项的和，
且
Sn Tn
7n 2 n3
，则
a5 b5
.
『变式探究』
1.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和
Bn，且
An Bn
7n 45，则使得 n3
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝12，S12＞0， S13＜0. （1）求数列{an}公差d的取值范围；（2）指出 S1， S2， S3， …，S12中哪一个值最大。
4.数列{an}首项为23，公差为整数的等差数列，且第六 项为正，第七项为负. （1）求数列{an}的公差d； （2）求前n项和Sn的最大值； （3）当Sn>0时，求n的最大值；
等差数列前n项和公式推导
这个故事告诉我们求等差数列前 ｎ项和的一种很重要的思想方法，就
是我们要介绍的“倒序相加”法。
二、等差数列前ｎ项和公式１：
对等差数列ａ１，ａ２，…，ａｎ前ｎ项求和， 得
Ｓｎ＝ａ１＋ａ２＋ａ３＋…＋ａｎ， Ｓｎ＝ａｎ＋ａｎ－１＋ａｎ－２＋．．．＋ａ２＋ａ１，
上面两式相加得：
解之得：n1=9, n2=-3（舍）所以等 差数列-10，-6，-2，2，…前9项和 是54.
四、巩固练习
1、求集合M={m/m=7n,n ∈N ＋且m ＜100}的元 素个数，并求这些元素的和。
2、已知一个等差数列的前100项和是310， 前20项的和是1220，求其前n项和公式.
五、课后作业
S
n
=
na1
n(n 1)d 2
（2）
公式（2）又可化为
n d
S n= 2
2 (a1 d)n 2
当d ≠0时，这是一个常数项为零的关 于n的二项式.
三、讲解例题：
例1、一堆放铅笔的V型架的最下层放一支铅笔，往上 每一层都比它下一层多放一支，最上层放120支，问：这 个V型架上共放多少支铅笔？
解：由题意知，这个V型架上共放120层铅笔且自下而 上各层的铅笔成等差数列，记为{an}其中a1=1,a120=120,根 据等差数列前n项和公式得:
已知等差数列的前n项和为a，前2n 项和为b，求前3n项和。
下课！
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
等差数列前n项和的公式
21
1
问题2
一个堆放铅笔的V形架 的最下面一层放一支铅 笔，往上每一层都比它 下面一层多放一支，最 上面一层放100支.这个 V形架上共放着多少支 铅笔？
问题就是 求 “1+2+3+4+…+100=？”
问题2：对于这个问题，德国著名数学家高斯10岁 时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）
假设1+2+3+ +100=x,
【变式】若Sn=-3n2 +6n +1，求an？ 【解析】当n=1时，a1=S1=4. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =（-3n2+6n+1）-[-3（n-1）2+6(n-1) +1]
=9-6n,
a1=4不符合此式.
故an=
4(n 1) 9 6n(n 2)
.
n
1 11 1从 而a1=，3或a1=-1.
na1 2 d 35
(A)33
(B)34
(C)35
(D)36
3.数列{an}为等差数列，an=11,d=2, Sn=35,则a1等于( )
(A)5或7
(B)3或5 (C)7或-1
(D)3或-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2+a4=6，则S5=_______.
5.两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，若
(1)
那么100+99+98+ +1=x.
(2)
由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,
100个101
所以 2x 101100, x=5050.
等差数列前n项和公式大全
等差数列前n项和公式大全
等差数列是指数列中相邻两项之差相等的数列。
其前n项和公式如下：1. 等差数列首项为a，公差为d，前n项和为Sn，则有：Sn = n/2(2a + (n-1)d)这是最常用的等差数列前n项和公式，也是最基本的公式。
2. 等
差数列首项为a，公差为d，末项为an，前n项和为Sn，则有：Sn =
n/2(a + an)这个公式的推导需要用到等差数列的通项公式an = a + (n-1)d。
3. 等差数列首项为a，公差为d，第m项到第n项的和为Smn，则有：Smn = (n-m+1)/2(2a + (n-m)d)这个公式可以用来求等差数列中任意
一段连续项的和。
4. 等差数列首项为a，公差为d，第k项的值为ak，
则有：ak = a + (k-1)d这是等差数列的通项公式，可以用来求等差数列
中任意一项的值。
以上是等差数列前n项和公式的常见形式，需要根据具
体问题选择合适的公式进行计算。
等差数列前n项和公式大全
等差数列前n项和公式大全为了更好地理解等差数列前$n$项和公式，我们首先来了解等差数列的定义和性质。
等差数列的定义：如果一个数列满足任意相邻两项之间的差值相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的通项公式：等差数列的通项公式可以表示为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_n$是数列中的第$n$项，$a_1$是数列中的第一项，$d$是公差。
等差数列的前$n$项和公式：等差数列的前$n$项和可以表示为$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，其中$S_n$表示前$n$项和。
现在让我们来证明等差数列前$n$项和公式。
我们从等差数列的通项公式出发，再利用数列中第一项与最后一项的关系来推导出前$n$项和公式：设等差数列的第$n$项为$a_n$，而第一项为$a_1$，公差为$d$。
根据通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的最后一项可以表示为：$a_n=a_1+(n-1)d$。
那么数列的前$n$项和可以表示为：$S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)$。
将等差数列的最后一项代入前$n$项和公式，得到：$S_n=a_1+a_n+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-2)d)$。
由于等差数列具有对称性，可以对以上等式进行变形，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+d+a_n-d)+(a_1+2d+a_n-2d)+...+(a_1+(n-1)d+a_n-(n-1)d)$。
将等差数列的前$n$项和重新表示，得到：$S_n=(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+(a_1+a_n)+...+(a_1+a_n)$。
一共有$n$项，所以：$S_n=n(a_1+a_n)$。
将$a_1$和$a_n$用$a_1 + (n-1)d$来表示，即：$S_n =\frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$。
根据等差数列的前$n$项和公式，我们得到了等差数列前$n$项和的公式。
等差数列的前n项和公式
等差数列的前n项和公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持一致的一种数列。
在数学中，我们经常需要求等差数列的前n项和，即将等差数列前n个数相加的结果。
这里，我们将探讨等差数列的前n项和公式，并通过实例进行验证。
一、等差数列的定义与性质：等差数列的定义：若数列An（简称为数列A）满足An+1 - An = d，其中d为常数，则称数列A为等差数列。
等差数列通常用a1, a2, a3, ..., an来表示。
等差数列的性质：在等差数列中，任意一项An可以表示为第一项a1与项数n和公差d的关系，即An = a1 + (n-1)d。
二、等差数列的前n项和公式推导：为了求解等差数列的前n项和，我们需要推导出一个通用的公式。
设等差数列的前n项和为Sn，我们来看一下如何得出Sn的公式。
我们观察等差数列的前n项和情况，可以列出以下两个等式：S1 = a1S2 = a1 + (a1 + d)S3 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d)...Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)接下来，我们将Sn与Sn的逆序相加，可以得到以下结果：Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ... + (a1 + (n-1)d)Sn = (a1 + (n-1)d) + (a1 + (n-2)d) + ... + a1将这两个式子相加，我们可以得到：2Sn = n(a1 + (a1 + (n-1)d))2Sn = n(2a1 + (n-1)d)整理一下得到：Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2这就是等差数列前n项和的通用公式。
三、等差数列前n项和公式实例验证：现在，我们通过一个实例来验证等差数列前n项和的公式。
例题：计算等差数列3, 8, 13, 18, 23的前4项和。
首先，我们需要确定各项的值：a1 = 3，首项为3d = 8 - 3 = 5，公差为5n = 4，项数为4将这些值代入公式Sn = n(2a1 + (n-1)d) / 2，我们可以得到：S4 = 4(2*3 + (4-1)*5) / 2= 4(6 + 3*5) / 2= 4(6 + 15) / 2= 4(21) / 2= 42所以，等差数列3, 8, 13, 18, 23的前4项和为42。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
等差数列前n 项和 一、两个公式的计算
1、在等差数列{}n a 中，求前n 项的和
（1）15,95n a a ==，10n =，则n S = 。
（2）1100,2a d ==-，50n =，则n S = 。
2、在等差数列{}n a 中：
（1）120a =，54n a =，999n S =，则d = ，n = 。
（2）2,8,64,n d n S ===则1a = ，n a = 。
（3）15a =，2d =-，0n S =，则n = ，n a = 。
（4）3n a =-，0n S =，1d =-，则1a = ，n = 。
3、等差数列{}n a 中，1054S S =，则
1
a d
=（ ） A 、12 B 、2 C 、1
4
D 、4
4、等差数列{}n a 中，若1248S S =，则1a
d
=（ ）
A 、910
B 、109
C 、2
D 、23
5、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若363,24S S ==，则9a = 。
6、在等差数列{}n a 中，首项为20，第n 项为54，前n 项和为999，求项数n 和公差d
7、设{}n a 是一个公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前10项和10110S =，且
2214a a a =⋅（1）证明：1a d =（2）求公差d 的值和数列{}n a 的通项公式
二、等差数列取绝对值求和
1、对于数列{}n a ，若102n a n =-()n N *∈，且1212....m m a a a a a a +++=+++，则正整数m 的最大值是（ ）
A 、4
B 、5
C 、6
D 、7
2、设{}n a 为等差数列，10a ＞，670a a +＞，670a a ⋅＜，则使其前n 项和0n S ＞成立的最大自然数n 是（ ）
A 、11
B 、12
C 、13
D 、14
3、在等差数列{}n a 中，10110,0a a ＜＞，且1110a a ＞，若{}n a 的前n 项和0n S ＜，则
n 的最大值是（ ）
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
4、已知在等差数列{}n a 中，39a a =，公差0d ＜，则使其前n 项和n S 取最大值的自然数n 是。
5、已知等差数列{}n a 中，512a =，2018a =- （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）求数列{}n a 前20项的和20T
6、设等差数列{}n a 的第10项为23，第25项为-22，求： （1）数列{}n a 的通项公式
（2）数列{}n a 前50项的绝对值之和
7、在等差数列{}n a 中，1023a =，2522a =- （1）该数列第几项开始为负？ （2）前多少项和最大？ （3）求数列{}n a 的前n 项和
8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且462S =-，675S =-，求：（1）{}n a 的通项公式n a 及前n 项和为n S ；（2）12314...a a a a ++++
三、等差求和技巧（1）
1、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若21a =，33a =，则4S =（ ） A 、12 B 、10 C 、8 D 、6
2、在等差数列{}n a 中，若284a a +=，则其前9项的和9S =（ ） A 、18 B 、27 C 、36 D 、9
3、在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =（ ） A 、45 B 、50 C 、55 D 、60
4、在等差数列{}n a 中，5174a a +=，则它的前21项和等于（ ） A 、42 B 、40.5 C 、40 D 、21
5、等差数列{}n a 前21项和为42，则11a =（ ）
A 、1
B 、2
C 、1.5
D 、3
6、在等差数列{}n a 中，已知前11项和等于33，则246810a a a a a ++++=（ ） A 、12 B 、15 C 、16 D 、20
7、等差数列12,,...,k a a a 的和为81，若2118k a a -+=，则项数k =（ ） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10
8、设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且3710a a +=，则9S =（ ） A 、45 B 、50 C 、55 D 、90
9、如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=（ ） A 、14 B 、21 C 、28 D 、35
10、若一个等差数列的前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ）
A 、13项
B 、12项
C 、11项
D 、10项 11、已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为（ ）
A 、24
B 、26
C 、27
D 、28 12、已知等差数列{}n a 中，524S =，则24a a += 。
13、在等差数列{}n a 中，已知638a a a =+，则数列的前9项和是 。
14、等差数列{}n a 中，若46151750a a a a +++=，则20S = 。
15、等差数列{}n a 中，若1155S =，求48a a += 。
16、在等差数列{}n a 中，已知前三项和为15，最后三项和为78，所有项和为155，则项数n 等于 。
四、等差求和技巧（2）
1、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
5359a a =，则95
S
S =（ ） A 、1 B 、-1 C 、2 D 、
1
2
2、数列{}n a 是等差数列，47a =，则7S = 。
3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则
9
5
S S = 。
4、已知两个等差数列{}n a ，{}n b ，它们的前n 项和分别为n S 、n T ，若
2331
n n S n T n +=-，则
9
9
a b = 。
5、两个等差数列{}n a ，{}n b ，1212 (72)
...3
n n a a a n b b b n ++++=++++，则55a b = 。
五、奇数项和与偶数项和关系
1、在项数为21n +的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n =（ ）
A 、9
B 、10
C 、11
D 、12 2、一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项之和与奇数项之和的比为32:27，求公差d ；
3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为377，项数n 为奇数，且前n 项和中奇数项和与偶数项和之比为7:6，求中间项
六、232,,,...k k k k k S S S S S --成等差数列
1、若{}n a 是等差数列，则123456789,,a a a a a a a a a ++++++，...,32313n n n a a a --++（ ）
A 、一定不是等差数列
B 、一定是递增数列
C 、一定是等差数列
D 、一定是递减数列
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若369,36S S ==，则789a a a ++=（ ） A 、63 B 、45 C 、36 D 、27
3、等差数列{}n a 的前m 项和是30，前2m 项的和是100，则它的前3m 项和是（ ） A 、130 B 、170 C 、210 D 、260
4、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612
S
S =（ ） A 、
310 B 、13 C 、18 D 、1
9
5、等差数列{}n a 中，481,4S S ==，则17181920a a a a +++= 。
6、等差数列{}n a 中，3m S =，27m S =，求3m S
答案：
一、1、（1）500 （2）2550 2、（1）17
13
,27 (2)1,15 (3)6,-5 (4)3,7 3、A 4、A 5、15 6、17
27,13
n d ==
7、（2）2,n d a n == 二、13BBC - 4、5或6 5、（1）222n a n =-+ （2）200 6、（1）353n a n =-+
（2）2059 7、（1）第18项开始为负（2）前17项和最大（3）223103
22310388422
n n n S n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩
8、（1）323n a n =-，2343
22
n S n n =-（2）147
三、15611CACAB BCACAB -- 12、9.6 13、0 14、250 15、10 16、10 四、1、A 2、49 3、9 4、
3750 5、65
12
五、1、B 2、5 3、729a = 六、14CBCA - 5、9 6、12。