第六章流体动力学积分形式基本方程
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流体动力学基本方程
4
τ 21 = c21kl
∂ul ∂u ∂u = c2121 1 = µ 1 ∂xk ∂x2 ∂x2
′ = c21 ′ kl τ 21
′ ∂ul′ ∂u1 ∂u ′ ′ = c2121 =µ 1 ′ ′ ′ ∂xk ∂x2 ∂x2
′ x1 x2
x1
′ x2
cijkl 是四阶张量，考察变换
′ = β im β jnτ mn = β im β jn cmnpq τ ij ∂uq ∂x p = β im β jn cmnpq β kp β lq ∂ul′ ′ ∂xk
——能量方程
二、动能方程
G G G G G dV G G G dV 将动量方程 ρ = ρF + ∇ ⋅ P 两边同时点积 V 得： ρV ⋅ = ρF ⋅ V + V ⋅ (∇ ⋅ P) dt dt G G G G dV 1 d (V ⋅ V ) 1 dV 2 而V ⋅ ，故有动能定理 = = dt 2 dt 2 dt
。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 。 §4.本构方程 数学预备： 二阶张量的坐标变换 记 ∇V = E ，将坐标系旋转，从原坐标系 o-xyz 到旋转后的坐标系 o-x′y′z ′ ，二阶张量 E 的张量元满足 变换：
Chapter 3
流体动力学基本方程
§1 质量连续性方程（质量守恒方程） 一．体系和控制体。 体系（物质体） ：流体团无论运动到哪，如何变形，总由同一批流体质点组成。 控制体：流场中一个确定的子空间，大小、形状、位置都固定。有流体质点不停出入。 二．通量的概念和 Reynolds 输运方程 质量通量：单位时间内穿过曲面 s 的质量
第六章 流体动力学的积分方程分析
DE Q W Dt
(6-18)
18
第六章 流体动力学的积分方程分析
式中，E ed 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能 ~ 、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即 量包括内能 u
(6-19) 和 W 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是 式(6-18)中 Q Q 传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以 热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热 ， 为正。 Q 源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时 Q W 同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将 与体积流量Q相混淆。
17
第六章 流体动力学的积分方程分析
§6-3 能量方程
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对 该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化 后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在 研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正， 考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处 于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的 作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示 为
d d i AiVi out i AiVi in 0 dt i i
(6-11)
14
第六章 流体动力学的积分方程分析
d 定常流动 对于定常流动， d d 0，于是式（6 t dt 10）简化为
A
V ndA 0
Dt Dt
Dt
5
第六章 流体动力学的积分方程分析
一个体积为δτ的流体微元包含的物理量为δΦ= ρφ δτ，于是
(6-18)
18
第六章 流体动力学的积分方程分析
式中，E ed 是系统的总能量，单位质量流体所具有的能 ~ 、动能V2/2和重力势能gz(取z轴铅垂向上)，即 量包括内能 u
(6-19) 和 W 上的圆点表示对时间的导数，它们分别是 式(6-18)中 Q Q 传热功率和作功功率。 可以是单位时间内通过系统界面以 热传导形式传递给系统的热量，也可以是以辐射形式或内热 ， 为正。 Q 源传递给系统的热量；当外界传递热量给系统时 Q W 同样当外界对系统作功时，作功功率 为正。注意不要将 与体积流量Q相混淆。
17
第六章 流体动力学的积分方程分析
§6-3 能量方程
根据热力学第一定律，一个系统的内能变化等于外力对 该系统所作的功与外界传递给系统的热量之和。 热力学第一定律适用于初始状态静止，经过一系列变化 后又恢复静止状态的系统。由于流体处于连续的运动中，在 研究流体系统的能量守恒时需要对热力学第一定律加以修正， 考虑流体总能量(内能、动能与重力势能之和)的变化，即处 于流动中的一个流体系统的总能量的变化率等于外力对它的 作功功率和外界对该系统的传热功率之和，以数学公式表示 为
d d i AiVi out i AiVi in 0 dt i i
(6-11)
14
第六章 流体动力学的积分方程分析
d 定常流动 对于定常流动， d d 0，于是式（6 t dt 10）简化为
A
V ndA 0
Dt Dt
Dt
5
第六章 流体动力学的积分方程分析
一个体积为δτ的流体微元包含的物理量为δΦ= ρφ δτ，于是
流体力学第六章流体动力学积分形式基本方程-精选
第二节 动量方程
代入上式得到流体对弯管的作用力
FiF xjF yip 1p2co sw 1 21co A sjp2w 1 2A sin
二、运动控制体的动量方程 控制体速度为u，流体在控制体内运动的相对速度为w r ，其绝对速度为
wuwr ，参照静止控制体的动量方程（6.4），可推导出 运动控制体的 动量方程。 流入控制体的动量为
第二节 动量方程
将式（a），（b）代入式（6.4）得到
AwrnwrdAuAwrndAF dApndA
twrd u tdu td
（c）
由连续性方程可知 u tduAw rndA0，则（c）式变为
A w r n w r d A F d A p n d A t w r d u t d（6.6）
第六章 流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
流体力学
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
流体力学第六章 旋转流体动力学
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论以偏向力有 重要作用的流体运动，此时，在运动方程中，偏向力项远 远大于运动的惯性项和粘性项。
Zhu Weijun NIM NUIST
假定流体运动满足： RO <<1 或者RO →0（即 Rossby 数很小）；
Ek =
R0 →0 Re
同时要求： RO L/UT →0 （即要求T很大，1/T → 0，即 对应缓慢运动或者准定常流动）。
d aV a = dt
∑F
i
i
考虑地球的旋转效应，引进的旋转坐标系；前面给 出旋转坐标系与惯性坐标系之间的基本关系，以下 通过分析，得出适用于描述旋转流体的运动方程。
Zhu Weijun NIM NUIST
daVa dVa = + ΩΛVa ⇒ dt dt
d aVa d V + ΩΛr = + ΩΛ V + ΩΛr ⇒ dt dt
da d = + ΩΛ dt dt
① ② ③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
Zhu Weijun NIM NUIST
对于任意矢量
A
，满足：
da A dA = + ΩΛA dt dt
该算子是联系惯性坐标系与旋转坐标系的普遍关系。
Zhu Weijun NIM NUIST
（惯性）静止坐标系 绝对坐标系
此时，无量纲方程变为：
1 1 1 2kΛV′ = − ρ′ ∇′p′ + Fr g′ R0
Zhu Weijun NIM NUIST
方程进一步处理： 考虑压力梯度力项（两种情况）： ①假设流体不可压： 1 p′ ρ ′ = const ⇒ − ∇′p′ = −∇′( ) ρ′ ρ′ ②正压流体：
第六章流体动力学的积分方程分析
2015/4/20
西安交通大学流体力学课程组
2
6.1 物质积分的随体导数—雷诺输运定理
系统
某一确定流体质点集合的总体
system
与外界无质量交换
随流体质点的运动而运动
边界形状、包围空间大小 随流体质点的运动而变化
拉格朗日方法下的概念
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西安交通大学流体力学课程组
3
系统2
物理定律通常应用于系统
第六章 流体动力学的积分方程分析
流体动力学
雷诺输运定理，积分形式控制方程组
基础知识
守恒定律、牛顿第二定律、物质导数、描述流 体运动的两种方法
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1
第六章 流体动力学的积分方程分析
雷诺输运定理
系统和控制体、雷诺输运定理
积分形式的控制方程
连续方程、能量方程、动量方程
单位体积流体的物理量分布函数
m
动量
k
mV
V
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控制体
控制体
流场中某一确定的空间区域
control volume
与外界有质量交换
空间位置相对于某参照系不变
边界形状、包围空间大小一般是确定的
欧拉方法下的概念
control surface
控制面
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积分方法的优点
积分方法无需了解内部细节，甚至允许物理量在 内部发生间断，只利用 CV 和 CS，花很少时间就 能获得有价值的结果
方法简单，计算量小
适于研究大范围内的流体运动，特别是求解对有 限区域固体边界的总体作用
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流体动力学积分形式的基本方程
τ0
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
A0
即：
D ∫∫∫ ρVdτ 0 = ∫∫∫ ρ f dτ 0 + ∫∫ pn dA0 Dt τ 0 A0 τ0
n 作用面法线方向而非 pn 的方向
三、动量矩方程
DM 0 D = ∫∫∫ r × ρVdτ 0 = ∑ r × F Dt Dt τ 0 = ∫∫∫ ρ ( r × f )dτ 0 + ∫∫ ( r × pn )dA0
A
D ∂φ ∫∫∫) φ dτ 0 ( t ) = ∫∫∫ ∂t dτ + Dt τ 0 ( t τ
∫∫ ( V • n )φ dA − − − − − (1)
A
——输运公式，即系统导数的欧拉表达式
∇ • (φ V ) = φ∇ • V + V∇ • φ
由质点导数
Dφ ∂φ = + V∇ • φ Dt ∂t
τ0
A0
M 0 = ∫∫∫ ( r × V ) dτ 0
τ0
四、能量方程
⎛ V2 ⎞ DE D Q +W = = ∫∫∫ ρ ⎜ e + 2 ⎟ dτ 0 Dt Dt τ 0 ⎝ ⎠
●热传导
n qλ = qin q n 方向分量 q = − λ∆T ， 为外法 在
Q
q T ∆T 线方向， 由外向内为负， 外高里低 ， 指向温增 ● 热辐射 总辐射热 ∫∫∫ qR ρdτ 0
1 2 3
间的变化率
• 质点导数强调某一流体质点的物理量对时间 的变化率 • 以直角坐标为例：
已知速度场，t时刻空间点 点 V = V ( x, y, z, t )，经过 ∆t ，
p
p ( x, y , z )
上的流体质
p → p′( x + u ∆t , y + v∆t , z + w∆t , t )
6第六章伯努利方程及其应用
由兰姆方程(引入理想流体假设1)：
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
0 ，质量力有势(3) f U ，兰姆方程为： 假设流动为定常(2) t
左边是标量场的梯度，标量梯度在某一方向的 投影，等于标量在该方向的方向导数。等式反 映了四个向量的平衡关系，他们投影到某一方 向仍然是平衡的。在流场中做任意曲线L，将上式在曲线的微元弧线 (切线)上投影，有： V2 1 p U ( ) (V )l l 2 l l
第一节 伯努利定理
在流体静力学中，我们曾引入过压力函数的概念，现在在推导伯 努利方程之前，我们先对压力函数的性质在作进一步的分析。
一、压力函数分析
在流体静力学中，对于密度仅是压力 的函数的正压流体，引入了压力函数：
我们考察流场中的任意一条曲线L，规定线上的某点o为原点，因 此曲线L上的任意一点能用该点到o弧长 l 表示,而dl 表示曲线弧的微 元长度。显然，在曲线L上，密度和压力是弧长 l 的函数，并且在不 同的曲线L上，其函数也是不同的，这样速度和压力就可表示为：
第二节
伯努利方程的应用
在应用伯努利方程时，要注意它的应用条件，在确认求解问题符 合方程的应用条件后，关键就是要正确的选取计算点或计算截面，即 公式中的的①、②位置，选取的一般原则：１、包含未知数的截面； ２、包含已知数最多的截面。必要时，伯努利方程可以与连续方程联 立，以求解两个未知数。
一、容器小孔出流问题
常见的正压场有：
1、不可压缩流场：
2、完全气体等温流场：
3、完全气体的绝热等熵流场 ：
在现实问题中最常见的是第一种和第三种流场。比如对于液体，一般 就可以视为不可压缩流场。对于气体，当流速较低时，今后会讨论到， 也可以视为不可压缩流场；而当流速较高时，由于其导热系数小，又 可以视为绝热流场。
流体力学第六章
积分常数C1、C2由边界条件确定。
C1 exp( h) C2 exp( h) 0
消去一个常数
C C1 exp(h) C 2 exp(h) 2 C exp ( z h) exp ( z h) Cch ( z h) 2 Cch ( z h)sin x cos t 在 z0
t x x y y z
自由面上的运动边界条件
波浪问题的基本方程和边界条件：
2φ
2φ x
2
2φ y
2
1 t 2
n 0
z p pa
2
2
0
运动学方程 动力学方程
gz 0
=+
pa C (t ) dt
1 p pa gz 0 t 2
在自由面上： z , p pa
1 g 0 t 2
在自由面上：
z ( x, y, t ) , z z ( x x, y y, t t )
流体质点的速度 ：
Ach ( z h) u cos x cos t x shh
w Ash ( z h) sin x cos t z shh
波数和频率之间的关系
Ach ( z h) sin x cos t shh
z0
0 在 z h z g 0 在 z 0 t
Ach ( z h) sin x cos t shh
2 gthh
流体质点的运动轨迹（有限水深）：
u w
Ach ( z h) sh h Ash ( z h) sh h
流体动力学基本方程
u
（ 2 p2 p1 )
2 g ( 1 ) h
皮托管测速计
§4.3 实际流体流束的伯努利方程
实际流体具有粘性，在流动过程中有一部分机械能将不可逆地转 化为热能耗散。根据能量守恒原理，实际流体流束的伯努利方程为
整理： 1 p du x fx x dt
1 p du y fy y dt
同理：
1 p du z fZ z dt
1 p fx x 1 p fy y f 1 p Z z
§4.4 理想流体的运动学微分方程的伯努利积分
du x 1 p f x x dt du y 1 p fy y dt 1 p du z fZ z dt
沿流线积分，将流线上的dx、dy、dz分别乘理想流体运动微分方程的三个分式，然后相加得：
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 p 1 p f x dxdydz ( p dx)dydz ( p dx)dydz dxdydz du x 2 x 2 x dt
1 1 2 2 2 2 d u x u y uz d ( u ) 2 2
du y 1 p p p du x du z f x dx f y dy f z dz dx dy dz dx dy dz x y z dt dt dt
u x u y u z 0 x y z
② 对不可压缩均质流体，ρ为常数，上式可简化为
u x u y u z 0 x y z
流体动力学微分形式的基本方程
z
❖ 质量 m ：m x y z
❖ 加速度的 x 向分量 ax ：
ax
du x dt
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
Xxyz ( xx yx zx )xyz
x y z
xyz( u x
t
ux
u x x
uy
u x y
uz
ux ) z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
dt
x
y
z
du
f
1
( σ)
dt
存在问题：
方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
xx
p 2
u x x
yy
p 2 u y
y
zz
p 2 u z
z
xy
yx
( u y
x
u x ) y
yz
zy
( u z
y
u y ) z
zx
xz
( u x
z
u z ) x
3. 纳维－斯托克斯方程（N－S方程）
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
X
1
p x
v(
2ux x 2
2ux y 2
2u x z 2
)
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
x y
当定义
ux
y
和
uy
x
，连续性方程
自然满足。称ψ为流函数。
❖ 质量 m ：m x y z
❖ 加速度的 x 向分量 ax ：
ax
du x dt
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
Xxyz ( xx yx zx )xyz
x y z
xyz( u x
t
ux
u x x
uy
u x y
uz
ux ) z
除以ΔxΔyΔz，并令 Δx→0,Δy→0,Δz→0 取极限，得出
dt
x
y
z
du
f
1
( σ)
dt
存在问题：
方程组不闭合（4个方程，9个未知量）。
2. 不可压缩流体的应力与应变率关系
xx
p 2
u x x
yy
p 2 u y
y
zz
p 2 u z
z
xy
yx
( u y
x
u x ) y
yz
zy
( u z
y
u y ) z
zx
xz
( u x
z
u z ) x
3. 纳维－斯托克斯方程（N－S方程）
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
X
1
p x
v(
2ux x 2
2ux y 2
2u x z 2
)
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
x y
当定义
ux
y
和
uy
x
，连续性方程
自然满足。称ψ为流函数。
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一、静止控制体的动量方程 作用于控制体上的力为
作用于控制面上的力为 单位时间内控制体内动量的增量为 单位时间内通过控制面流入控制体的动量为
第1页
Fd A pn dA
wd t
w nwdA
A
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
A
动量方程
A
按照动量守恒定律可写出静止控制体的动量方程：
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第一节
式中Q为流管内的体积流量 （m3/s）。应该指出，对不可压 缩流体，
应该指出，对不可压缩流体， d d 0 t t 所以（6.3）式也适用于不定 常流动。
连续性方程
n
dA
pn A2
n2 w2
w
q
n1
d
A R
第1页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程第四节 Nhomakorabea理想流体（
t pn np
能量方程
F U
二、能量方程的简化 对于定常（ 0 ）、绝热（ q qR 0 ）、质量力有势（ ）的流动，（6.8）式简化为
w2 A np wdA U wd A w n e 2 dA 0
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
流体动力学的基本方程可以对系统建立，也可以对控制 体建立，所谓系统是指确定不变的物质的组合。所谓控制体 是指相对于某一坐标系固定不变的空间体积，它的边界面称 为控制面。三大守恒定律的原始形式是对系统建立的，但在 许多流体力学实际问题中如对控制体建立方程，应用起来更 为方便。所以流体动力学中讨论的基本方程多数是对控制体 建立的。求解对有限控制体建立的积分形式基本方程，可以 给出流体动力学问题的总体性能关系，如流体与物体间作用 的合力和总的能量交换等。本章讨论流体动力学的积分形式 基本方程。
w nwdA Fd pn dA
对于定常流动 t wd 0，则（6.4）式变为
wd t
（6.4）
w nwdA Fd
A
A
pn dA
（6.5）
（6.5）式表示定常流动时作用于控制面和控制体上的力之和等于单位 时间内流出控制体的动量。
Fx mR pa mRg p
A
w (a)
w mp (b) 图6.3 垂直上升的火箭
(c)
Fx Fd mR g mR
dt
第6页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
动量方程
由于燃烧室内气体的质量相对于火箭总质量为一微量，则由上面两式可 以求得火箭运动的加速度为
dU m p w ( p pa ) A Fd mR g dt mR
R
qR
w1
A1
F
o 图6.1 控制体和控制面
第3页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
动量方程
如图6.1所示，令 pn 为流体应力，即外部作用于dA 控制面上单位面积的 力，p为压力， F 为外部作用于 d 控制体上单位质量流体的质量力。在 重力场中 F g， g 为重力加速度。将动量守恒定律应用于控制体 可 知，单位时间内流入控制体的动量与作用于控制面及控制体上外力之和 等于单位时间内控制体内动量的增加。
例题6.1 如图6.2所示，不可压流体定常流过截面积为A的等截面弯管，求 流体作用于弯管上的力F。已知进出口截面流动均匀，忽略质量力，且已 知w1，A，，p1，p2及出口截面方向。
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第二节
动量方程
y Fy
解：选取流体与弯管壁面的交界 面及进出口截面为控制面，并选 取xoy坐标系。 已知 n1 i ，n2 icos jsin ， pn n1 p1 ， n n2 p2 ， w n w i p w1 1 1 1 w2 w2 n2 w2 i cos j sin ， 1 2 ， 1 A2 ， gd 0 ， p1 A F pn dA ，这里Ab为弯管壁面 A w1
1
p2
w2
2
Fx
o x
b
面积，代入（6.5）式得
图6.2 流体流过等截面弯管
2 2 p1 A1i p2 A2 i cos jsin F w1 A1i w2 A2 i cos jsin 又由连续性方程（6.3）可知 w2 w1 A1 w1 A2 第3页
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第四节
能量方程
一、能量方程的建立 如图6.1所示， q 为外部给予控制面dA上单位时间单位面积的传导热 ，qR 为外部给予控制体 d上单位时间单位质量流体非热传导的热, 如辐 射热、化学生成热等，e为单位质量流体的广义内能，如热力学中的内 能，电磁能等，z为向上度量的铅垂高度，其它符号意义同前。将能量 守恒定律应用于控制体可知：单位时间内流入控制体的能量，外部传入 的热量以及外力所作的功的总和等于单位时间内控制体内能量的增加。 其数学表达式为
w nwdA wr un wr dA wr nwr dA u wr ndA
A A A A
（a）
单位时间内控制体内动量的增加
wd wr ud wr d ud t t t t u wr d d u d t t t
研究生教材
流 体 力 学
顾伯勤 主编
中国科学文化出版社
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第二篇 流体动力学基本原理及流体工程
第五章
第六章
第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章
流体动力学微分形式基本方程 流体动力学积分形式基本方程 伯努利方程及其应用 量纲分析和相似原理 流动阻力与管道计算 边界层理论 流体绕过物体的流动 气体动力学基础
A
第一节 连续性方程 为控制体体积，A为控制面面积， 为 dA 控制面外 n
w ndA d t
其数学表达式为
式中 m 为流管内的质量流量（kg/s）。该式仅适用于定常流动。
如流体是不可压缩的，则（6.2）式可写成
w1 A1 w2 A2 Q
第2页
（6.3）
r1
o
w2
M Qc1 cos1r1 Qc2 cos2 r2 0
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第三节
上式化简得到
动量矩方程
M Q c2 cos2 r2 c1 cos1r1
因为 N M 所以所求叶轮传递给流体的功率为
N Q c2 cos2 r2 c1 cos1r1 Q c2u2 cos2 c1u1 cos1
）、
但 而
U wd Uwd U wd
Uwd
A
n UwdA
（广义高斯定理）
由连续性方程，定常流动时 w 0 ，因而
U wd 0 。于是有
（6.9）
w2 p w n e U dA 0 A 2
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第六章
流体动力学积分形式基本方程
第三节
动量矩方程
作用于控制体上的力矩为 R Fd 通过控制面流入控制体的动量矩为 A w nR wdA 单位时间内控制体内动量矩的增量 R wd t 按动量矩守恒定律得到其数学表达式为 w nR w dA R pn dA R Fd R wd （6.7） A A t （6.7）式称为积分形式的动量矩方程，对于定常流动，（6.7）式等号 右端为零。 第1页 退出 返回
w2 A q dA qR d A pn wdA F wd A w n e 2 dA w2 d e t 2
（6.8）
（6.8）式称为积分形式的能量方程。
A
第六章
流体动力学积分形式基本方程
第三节
动量矩方程
c1 r2 u1 u2
例题6.3 如图6.4所示，离心压缩机叶轮转 速为 ，带动流体一起旋转，圆周速度 为 u ，流体沿叶片流动速度为w ，流量 为Q，流体密度为 ，求叶轮传递给流体 的功率。
1 w1
2
c2
解：流体绝对速度为 c u w 当叶片足够多时，可认为流动是稳定的。取 r r1，2处叶轮进出口圆周为控制面，由于对 称性，当对轴心取力矩时，重力和压力的力 图6.4 离心压缩机叶轮 矩为零。 设叶轮作用于流体的力矩为M，由（6.7）式可以得到
如图6.1所示，o为某一参考点，R为o点到控制面 dA 或控制体d 的向径，其它符号同前。将动量矩守恒定律应用于控制体 可知：单 位时间内流入控制体的动量以及作用于控制体与控制面上的外力对参 考点o之矩等于单位时间内控制体内对同一点的动量矩的增量。 作用于控制面上的力矩为 R pn dA
t
A
u wr nwr dA Fd pn dA wr d d （6.6） A A t t
（6.6）式称为运动控制体的动量方程。 例题6.2 求如图6.3（a）所示的以速度U垂直上升的火箭的加速度。 解：首先求火箭发动机排出气体对火箭壳体的作用力。选取燃烧室内的 气体作为控制体，由于火箭不需要空气，所以控制面没有进口。