数列与不等式综合

2015
高考数学培优讲义---数列综合问题
题型一：等差、等比问题 1.（1）设n a a a ,......,21是各项均不为零的等差数列（4≥n ），且公差0≠d ，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列：
①当4=n 时，求d
a 1
的数值；②求n 的所有可能值；
2.求证：对于一个给定的正整数)4(≥n n ，存在一个各项及公差都不为零的等差数列n b b b ,......,21，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列。

3. 已知各项均为正数的两个数列{}n a 和{}n b 满足：122
n n n n n a b a n a b *++=
∈+N ，．
（1）设11n n n
b b n a *
+=+∈N ，，求证：数列2
n n b a ⎧⎫⎛⎫⎪⎪⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭
是等差数列；
（2）设12n
n n
b b n a *+=⋅∈N ，，且{}n a 是等比数列，求1a 和1b 的值．
题型二：求通项问题、前n 项和问题
1.已知数列1{}1n a a =中，且a 2k =a 2k －1+(－1)K , a 2k +1=a 2k +3k , 其中k =1,2,3,……. （I ）求a 3, a 5；
（II ）求{ a n }的通项公式.
2.在各项为正的数列{}n a 中，数列满足11=a ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
+n n n a a a 1211 , 求{}n a 的通项公式； 3.满足1(1)21n n n a a n ++-=-,则{n a }的前60项和为
（ ）
A ．3690
B ．3660
C ．1845
D ．1830
4.在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=n n n a a S 121（1）求 {}n a 的通项公式；（2） 求n S
题型三数列与方程
1.设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，
22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，
，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1
4
q =
，求{}n x 的前n 项和n S ．
题型三数列与不等式
题型1利用基本不等式
1（2011广东）设0b >，数列{}n a 满足1a b =，1
122
n n n nba a a n --=
+-(2)n ≥．
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）证明：对于一切正整数n ，1
112
n n n b a ++≤+．
题型2：利用二项式定理 1.已知数列{n a }满足n S =
*()2
n n
a n N ∈，n S 是{n a }的前n 项的和，12=a . （1）求n a ； （2）证明：131(1) 2.
22n n a +≤+<
1.
已知曲线:1C xy =，过C 上一点(,)n n n A x y 作一斜率为1
2
n n k x =
+的直线交曲线C 于另一点111(,)n n n A x y +++，点列(1,2,3,)n A n =的横坐标构成数列{}n x ，其中111.7
x =
（1）求1n n x x +与的关系式； （2）求证：11
{
}23
n x +-是等比数列； （3）求证：23123(1)(1)(1)(1)1(,1)n n x x x x n N n -+-+-++-<∈≥
题型4：利用迭代原理 1已知)1(1
3
)(≠++=
x x x x f ，设数列{}3),(,111-===+n n n n n a b a f a a a 数列满足满足（1）证明1
2
)13(--≤n n
n b （2）3
32<n s
2设数列{}n a 满足3
*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数
（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*
n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；
（Ⅱ）设1
03c <<，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222
*1221,13n a a a n n N c
++>+-
∈-
1．（2004安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*
N n ∈。

（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （II ）数列{}n a 满足p
c a 11>，p
n n n a p
c a p p a -++-=
111， 证明：p
n n c
a a 1
1>>+.
题型6：利用函数单调性
1设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．
（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，
是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b
k a b
-≥．证明：1k a b +>．
题型7：利用求和整体放缩 1 已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{b n }滿足12
111
*444(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明：
数列{b n }是等差数列； （Ⅲ）证明：
*122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +-<+++<∈
题型8：利用不动点求参数的值
1.（2009安徽卷理）
首项为正数的数列{}n a 满足2
11(3),.4
n n a a n N ++=
+∈ （I ）证明：若1a 为奇数，则对一切2,n n a ≥都是奇数； （II ）若对一切n N +∈都有1n n a a +>，求1a 的取值范围.
2（2010全国卷1理数）
已知数列{}n a 中，1111,n n
a a c a +==-
. （Ⅰ）设51,22
n n c b a =
=-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .
3.（2012安徽 ）数列{}n x 满足：2
*
110,()n n n x x x x c n N +==-++∈ （I ）证明：数列{}n x 是单调递减数列的充分必要条件是0c < （II ）求c 的取值范围，使数列{}n x 是单调递增数列。

4．（2004安徽）设实数0>c ，整数1>p ，*
N n ∈。

（I ）证明：当1->x 且0≠x 时，px x p +>+1)1(； （II ）数列{}n a 满足p
c a 11>，p
n n n a p
c a p p a -++-=
111， 证明：p
n n c a a 1
1>>+。

5.（2014重庆） 设2
1
11,22(*)n n n a a a a b n N +==-++∈
（1）若1b =，求23,a a 及数列{}n a 的通项公式；
（2）若1b =-，问：是否存在实数c 使得221n n a c a +<<对所有*n N ∈成立？证明你的
结论.
待续。