基本初等函数、导数及其应用 第12课时

1第12课时 导数的应用与定积分1．会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 2．会利用导数解决某些实际问题．3．了解定积分的实际背景、基本思想和概念，了解微积分的基本定理的含义．[对应学生用书P40]【梳理自测】一、函数的最值1．(教材改编)函数f (x )＝12x －x 3在区间[－3,3]上的最小值是( ) A ．－9 B ．－16 C ．－12 D ．－112．函数y ＝ln x －x 在x ∈(0，e]上的最大值为( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e3．用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm4．函数f (x )＝x －e x 在区间[0,1]上的最小值为________． 答案：1.B 2.C 3.B 4.1－e◆以上题目主要考查了以下内容：假设函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a ，b ]上一定能够取得最大值与最小值．若函数在(a ，b )内是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点处取得．解决优化问题的基本思路二、定积分和微积分基本定理 1.⎠⎛03(x 2＋1)d x ＝________.2．(教材改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形面积为________．答案：1.12 2.83◆以上题目主要考查了以下内容： (1)定积分的几何意义如果函数f(x)在区间[a ，b]上连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛abf(x)d x 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(如图阴影部分)，这就是定积分⎠⎛ab f(x)d x 的几何意义．(2)定积分的性质①⎠⎛a b kf(x)d x ＝k ⎠⎛ab f(x)d x(k 为常数)；②⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]d x ＝⎠⎛a b f 1(x)d x±⎠⎛abf 2(x)d x ；③⎠⎛ab f(x)d x ＝⎠⎛ac f(x)d x ＋⎠⎛cb f(x)d x(其中a ＜c ＜b)．(3)微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么⎠⎛ab f(x)d x ＝F(b)－F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．【指点迷津】1．一个区别极值与最值的区别极值是指某一点附近函数值的比较，因此，同一函数在某一点的极大(小)值，可以比另一点的极小(大)值小(大)；最大、最小值是指闭区间[a ，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在开区间(a ，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．2．两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．3．三个防范(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念．(2)f ′(x 0)＝0是y ＝f(x)在x ＝x 0取极值的既不充分也不必要条件．如①y ＝|x|在x ＝0处取得极小值，但在x ＝0处不可导；②f(x)＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是f(x)＝x 3的极值点．(3)若y ＝f(x)可导，则f ′(x 0)＝0是f(x)在x ＝x 0处取极值的必要条件．[对应学生用书P 41]考向一 函数的最大(小)值与导数已知函数f(x)＝e x (ax 2－2x －2)，a ∈R 且a ≠0.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，求实数a 的值； (2)当a ＞0时，求函数f (|sin x |)的最小值． 【审题视点】 (1)由f ′(2)＝0解方程求a .(2)令t ＝|sin x |，转化为a ＞0时，f (t )(0≤t ≤1)的最小值． 【典例精讲】 由题意得，f ′(x )＝(e x )′·(ax 2－2x －2)＋e x ·(ax 2－2x －2)′＝e x (ax 2－2x －2)＋e x (2ax －2)＝a e x (x －2a)(x ＋2)．(1)由曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线垂直于y 轴，结合导数的几何意义得f ′(2)＝0，即a ·e 2·(2－2a )·(2＋2)＝4a e 2·2a －2a＝0，解得a ＝1.(2)设|sin x |＝t (0≤t ≤1)，则只需求当a ＞0时，函数y ＝f (t )(0≤t ≤1)的最小值．令f ′(x )＝0，解得x ＝2a 或x ＝－2，而a ＞0，即2a＞－2.从而函数f (x )在(－∞，－2)和(2a ，＋∞)上单调递增，在(－2，2a)上单调递减．当2a≥1，即0＜a ≤2时，函数f (x )在[0,1]上为减函数，y min ＝f (1)＝(a －4)e ； 当0＜2a ＜1，即a ＞2时，函数f (x )的极小值即为其在区间[0,1]上的最小值，y min ＝f (2a )＝－2e 2a.综上可知，当0＜a ≤2时，函数f (|sin x |)的最小值为(a －4)e ；当a ＞2时，函数f (|sin x |)的最小值为－2e 2a.【类题通法】 求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值时，首先可判断函数在[a ，b ]上的单调性，若函数在[a ，b ]上单调递增或单调递减，则f (a )，f (b )一个为最大值，一个为最小值．若函数在(a ，b )上不单调，一般先求(a ，b )上f (x )的极值，再与f (a )，f (b )比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值．1．(2014·徐州模拟)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值c －16. (1)求a ，b 的值；(2)若f (x )有极大值28，求f (x )在[－3,3]上的最小值． 解析：(1)因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b . 由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝0，f (2)＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16， 化简得⎩⎪⎨⎪⎧ 12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.(2)由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋c ，f ′(x )＝3x 2－12. 令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )＜0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )＞0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ， f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16. 由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4，因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.考向二 导数在实际问题中的应用(2014·泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x 元(x ＞6)，年销售为u万件，若已知5858－u 与⎝⎛⎭⎫ x －2142成正比，且售价为10元时，年销量为28万件． (1)求年销售利润y 关于售价x 的函数关系式；(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．【审题视点】 利用待定系数法求出比例系数，从而确定u ，可写出y 的函数，根据导数求出最值．【典例精讲】 (1)设5858－u ＝k ⎝⎛⎭⎫x －2142.∵售价为10元时，年销量为28万件，∴5858－28＝k ⎝⎛⎭⎫10－2142，解得k ＝2， ∴u ＝－2⎝⎛⎭⎫x －2142＋5858 ＝－2x 2＋21x ＋18.∴y ＝(－2x 2＋21x ＋18)(x －6)＝－2x 3＋33x 2－108x －108.(x ＞6)． (2)y ′＝－6x 2＋66x －108 ＝－6(x 2－11x ＋18) ＝－6(x －2)(x －9)．令y ′＝0，得x ＝2(∵x ＞6，舍去)或x ＝9， 显然，当x ∈(6,9)时，y ′＞0； 当x ∈(9，＋∞)时，y ′＜0，∴函数y ＝－2x 3＋33x 2－108x －108在(6,9)上是增加的；在(9，＋∞)上是减少的， ∴当x ＝9时，y 取最大值，且y max ＝135，∴售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元． 【类题通法】 利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：1．分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y ＝f (x )，根据实际意义确定定义域；2．求函数y ＝f (x )的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0得出定义域内的实根，确定极值点； 3．比较函数在区间端点和极值点处的函数值大小，获得所求的最大(小)值； 4．还原到原实际问题中作答．2．2013年“十一”长假期间，各旅游景区人数发生“井喷”现象，给旅游区的管理提出了严峻的考验，“十一”后，某旅游区管理部门对该区景点进一步改造升级，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x 万元之间满足：y ＝5150x －ax 2－ln x 10，x2x －12∈[t ，＋∞)，其中t 为大于12的常数．当x ＝10时，y ＝9.2.(1)求y ＝f (x )的解析式和投入x 的取值范围； (2)求旅游增加值y 取得最大值时对应的x 值．解析：(1)∵当x ＝10时，y ＝9.2，即5150×10－a ×102－ln 1＝9.2，解得a ＝1100.∴f (x )＝5150x －x 2100－ln x10.∵x 2x －12≥t 且t ＞12，∴6＜x ≤12t2t －1，即投入x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤6，12t2t －1.(2)对f (x )求导，得f ′(x )＝5150－x 50－1x＝－x 2－51x ＋5050x ＝－(x －1)(x －50)50x.令f ′(x )＝0，得x ＝50或x ＝1(舍去)．当x ∈(6,50)时，f ′(x )＞0，且f (x )在(6,50]上连续，因此，f (x )在(6,50]上是增函数； 当x ∈(50，＋∞)时，f ′(x )＜0，且f (x )在[50，＋∞)上连续，因此，f (x )在[50，＋∞)上是减函数．∴x ＝50为极大值点．当12t2t －1≥50，即t ∈⎝⎛⎤12，2544时， 投入50万元改造时取得最大增加值；当6＜12t2t －1＜50，即t ∈⎝⎛⎭⎫2544，＋∞时， 投入12t 2t －1万元改造时取得最大增加值．考向三 定积分及应用(1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x (0≤x ≤π2)－2πx ＋2(π2＜x ≤π)，则⎠⎛0πf(x)d x ＝________.(2)(2014·北京市东城区高三检测)图中阴影部分的面积等于________．【审题视点】 (1)根据分段函数把⎠⎛0πf(x)d x 分两段积分．(2)把面积看作⎠⎛01f(x)d x.【典例精讲】 由已知得⎠⎛0πf(x)d x ＝∫π20sin x d x ＋∫ππ2(－2πx ＋2)d x ＝－cos x | π20＋(2x －x 2π)| ππ2＝π4＋1. (2)所求面积为⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1.【答案】 (1)π4＋1 (2)1【类题通法】 (1)定积分的计算方法： ①利用定积分的几何意义，转化为求规则图形(三角形、矩形、圆或其一部分等)的面积． ②应用微积分基本定理：(2)求定积分⎠⎛ab f(x)d x 时，可按以下两步进行：第一步：求使F ′(x)＝f(x)，成立的F(x)． 第二步：计算F(b)－F(a)．(3)求曲边图形面积的方法与步骤：①画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；②对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限； ③确定被积函数；④求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．3．(2014·长春市高三调研)设a ＝⎠⎛01x －13d x ，b ＝1－⎠⎛01x 12d x ，c ＝⎠⎛01x 3d x ，则a 、b 、c 的大小关系为( )A ．a>b>cB ．b>a>cC ．a>c>bD ．b>c>a解析：选A .由题意可得a ＝⎠⎛01x －13d x ＝x －13＋1－13＋1| 10 ＝32x 23| 10＝32； b ＝1－⎠⎛01x 12d x ＝1－x 3232| 10＝1－(23－0)＝13；c ＝⎠⎛01x 3d x ＝x 44| 10＝14， 综上a ＞b ＞c ，故选A .[对应学生用书P 42]函数应用题的规范解答某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2，其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．【审题视点】 根据x ＝5，y ＝11，待定a 的值，从而写出y 的函数．再构造利润函数，求其最大值．【思维流程】根据题意，待定a.写销售量的函数y.写利润函数f(x)，并写出定义域．求导函数f ′(x)．研究单调性，求极大值．说明极大值为最大值．回答题目结论．【规范解答】 (1)因为x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.……2分(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2，…………3分所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)＝(x －3)·[2x －3＋10(x －6)2]＝2＋10(x －3)(x －6)2.(3＜x ＜6)………………7分从而，f ′(x)＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6).………………9分于是，当x由上表可得，x ＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x ＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42. ……12分∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.……13分【规范建议】 正确化简销售量函数y ＝f(x)并求导是解题的关键，确定函数的极大值是解答的中心内容，解题最后要答出题目所问问题．1．(2013·高考湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m /s )行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m )是( )A ．1＋25ln 5B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2解析：选C .首先求出速度等于0时的时刻，从而得到汽车行驶的时间，然后利用定积分求出汽车行驶的距离．由v(t)＝7－3t ＋251＋t＝0，可得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去，因此汽车从刹车到停止一共行驶了4 s ，此期间行驶的距离为∫40v(t)d t ＝∫40⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (t ＋1)40＝4＋25ln 5.2．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 2＜S 3＜S 1D ．S 3＜S 2＜S 1解析：选B .S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3| 21＝13×23－13＝73，S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x | 21＝ln 2，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x | 21＝e 2－e ＝e (e －1)，ln 2＜ln e ＝1，且73＜2.5＜e (e －1)，所以ln 2＜73＜e (e －1)，即S 2＜S 1＜S 3.3．(2013·高考浙江卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax .(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)若|a |>1，求f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值．解析：(1)当a ＝1时，f ′(x )＝6x 2－12x ＋6，所以f ′(2)＝6.又因为f (2)＝4，所以切线方程为y －4＝6(x －2)，即6x －y －8＝0. (2)记g (a )为f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值． f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )．令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝a .g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.综上所述，f (x )在闭区间[0,2|a |]上的最小值为g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1，a <－1，0，1<a ≤3，a 2(3－a )，a >3.4．(2013·高考重庆卷)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． 解析：(1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2πrh ＝200πrh (元)，底面的总成本为160πr 2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh ＋160πr 2)元．又根据题意200πrh ＋160πr 2＝12 000π，所以h ＝15r(300－4r 2)，从而V (r )＝πr 2h ＝π5(300r －4r 3)．因为r >0，又由h >0可得r <53，故函数V (r )的定义域为(0,53)．(2)因为V (r )＝π5(300r －4r 3)，所以V ′(r )＝π5(300－12r 2)．令V ′(r )＝0，解得r 1＝5，r 2＝－5(因为r 2＝－5不在定义域内，舍去)． 当r ∈(0,5)时，V ′(r )>0，故V (r )在(0,5)上为增函数；当r ∈(5,53)时，V ′(r )<0，故V (r )在(5,53)上为减函数． 由此可知，V (r )在r ＝5处取得最大值，此时h ＝8. 即当r ＝5，h ＝8时，该蓄水池的体积最大．。