第一次数学危机概要

是奇
是奇数而不能
被4整除，右端却因 n
n c 个矛盾说明开始的假设 m
是偶数而可以被4整除。这
是错误的。从而 c
不能表成两个整数的比。证毕。
[注]：这是“反证法”的开始。
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2）不可公度的线段
d 设正方形的边长为 a，对角线长为 ，如图：
d
a
a
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根据毕达哥拉斯定理，d 2 2a 2 。如果存在第三 个线段长为 如
如果不然，有两个正整数 m 和
n m
n
（不妨设
是既约分数即 (m, n) 1）。两端
。 2m 2 n 2
n 使 c m
n2 平方得 2 2 ，即 m
由此知
n 是偶数。由于偶数的平方是偶
2
数，奇数的平方是奇数，∴
n 是偶数。
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因 n “既约”， m 数。这样 2m 2 n 2
m
不能再是偶数，于是 m 的左端，因 m
危机，而危机的解决也就促使逻辑的发展和几何学的
体系化。
方程的解导致了虚数的出现，虚数从一开始就被 认为是“不实的”。可是这种不实的数却能解决实数 所不能解决的问题，从而为自己争得存在的权利。 几何学的发展从欧几里得几何的一统天下发展到
各种非欧几何学。
二、毕达哥拉斯学派和他们的 “万物皆数” 1. 毕达哥拉斯 Pythagoras
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四、反证法与无理数
1. 反证法
1）反证法的威力
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例：有数学书、物理书、外语书共十本。
证明：在这三种书籍中，有一种书籍
至少有四本。 穷举法： 数学书 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 … 物理书 外语书 反证法：
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0 …
0 0
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3…
0 … 10
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 … 10 …
如果正确地把两个整数之比叫做“比数”， 那么像 一类的数称为“非比数”，还是颇 2 有道理的。
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2. “两个量的比相等”的新定义
——部分地消除了危机
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a c 两个量的比相等，即 。 b d
约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契
塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第
三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量
t ，使得 a 和 d ，这里 nt a ， mt d
都是
t
的整数倍，
， n . m 是整数
a
d
t
a mt
d nt
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由 d 2 2a 2 得 n2t 2 2m2t 2 ，从而，又可以类
似于上一个证明导出矛盾。
所以，不可能存在长度为 且
t 的线段，使得 a mt
d nt 。
的任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他
的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小
于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个 量的倍数的相应关系”。
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“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严
格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，
几何从全部数学中脱颖而出。
欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定
“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数
之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道
的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。
n 把由自然数产生的数 叫做比数，其实才符合古人
的原意。
m
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在东方，最早把rational number 翻译过来的 是日本人。可能是那个日本人英文不好，数 学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日 本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个 字照搬过来，沿用至今，形成习惯。
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
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毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
6
毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
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相传“哲学”（希腊原词 意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
对“万物皆数”理论产生冲击的，却正是 毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用现在的 符号，这就是 。2
23
1.
2 的发现和危机的产生
1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 c ，则 c2 12 12 2 ，推出
c2 2
C
1
1
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下边证明，当 c 2 2 时， c 不能表成整数比。
“形数”体现了数与形的结合； 让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。
毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，
加强了数学中的理论化倾向。
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② 多个场合下的小整数比
ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比
绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
1）“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整
数，同时还包含它们的比，即正分数 ②任意两条线段 a、d 都是可公度的 “可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
n m
。
a mt
d nt
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2）实例
① 形数 三边形数、四边形数、五边形数、 六边形数；
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1 r
[思]：证明该定理。
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ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺正
多边形地砖的情形）
只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形 ，如图：
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毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和
谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。
“万物皆数”学说产生了很大的影响。
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三、 2 与第一次数学危机
3 第一次数学危机
1
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的
挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意
味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危
机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰
恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，
大大推动了数学科学的发展。
数比的数，称为无理数。 那样的一 2 类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻 译出了问题。 称两个整数之比为有理数，而把
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rational number 是有理数的英文名称，而rational是
一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。
而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对
“rational number”正确的翻译应该是“比数”。
于是，a 与 d 就是不可公度线段。
（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似
形”）
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3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
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4）无理数
像 c2 这样的数 ，和其它一些不能表成整 c 2
三边形数
四边形数
五边形数
六边形数
3 6 10 15
4 9 16 25
5 12 22 35
6 15 28 45

1 2
1 3
n(n 1) n 2

(2n 1) n
2


1 5 (4n 3) 2n2 n
17
1 4
(3n 2)
n(3n 2) 2
2）反证法的依据和步骤
依据：逻辑里的“排中律”
（命题A 与 命题非A 中，必有一个是正确
的）。
步骤：
否定原命题 → 推导出矛盾 → 原命题成立。
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3）哈代对反证法的评论
“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。 棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整 个一盘棋。”
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2. 定理：设 m是大于1的自然数， m n n m p p 1 r， 写成不同素数方幂的乘积为 则 nr 全是偶数。 m 是有理数 n1
2
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学 上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经
历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就
行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用
Байду номын сангаас
有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学
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中国数学史上最先完成勾股定理证明：
公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀
算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，
相当于运用面积的“出入相补”方法（刘
徽），证明了勾股定理。如图
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西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。 曾经有人编书，收集了勾股定理的370
种证法。
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3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是
全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩充和实数理论的建立。
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3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性
定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在