高考数学(理)抢分秘籍12 数系的扩充与复数的引入(解析版)

秘籍12 数系的扩充与复数的引入1．如果复数z=2−1+i，则（ ）A ．|z|=2B ．z 的实部为1C ．z 的虚部为﹣1D ．z 的共轭复数为1+i 【答案】C【解答】：由z=2−1+i =2(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−1−i ， 所以|z|=√2，z 的实部为﹣1，z 的虚部为﹣1， z 的共轭复数为﹣1+i ， 故选：C ．【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.复数的定义形如a +b i （a ，b ∈R ）的数叫作复数，其中a 叫作复数的实部，b 叫作复数的虚部，i 为虚数单位且规定i 2=–1．注意：复数的虚部是b ，而不是b i ．2．复数21−i（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1+iD ．﹣1﹣i【答案】B【解答】：化简可得z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ， ∴z 的共轭复数z =1﹣i 故选：B ．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数． 互为共轭复数的充要条件：a +b i 与c +d i 互为共轭复数⇔a =c ，b =–d （a ，b ，c ，d ∈R ）．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．3．若i 是虚数单位，复数z 的共轭复数是z ，且2i ﹣z =4﹣i ，则复数z 的模等于（ ） A ．5B ．25C ．√5D ．√17 【答案】A【解答】：∵2i ﹣z =4﹣i ，∴z =﹣4+3i ，∴z=﹣4﹣3i ，∴|z|=√(−4)2+(−3)2=5， 故选：A ．【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.复数的模向量OZ u u u r的长度r 叫作复数z =a +b i 的模，记作|z |或|a +b i|，则|z |=|a +b i|=r 22a b r ≥0，r ∈R ），即复数a +b i的模表示点Z （a ，b ）与原点O 的距离． 特别地，b =0时，z =a +b i 是实数a ，则|z |=|a |． 求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a +b i|=22a b 和性质|z 2|=|z |2=z ·z ，|z 1·z 2|=|z 1|·|z 2|，|12z z |=12||||z z ，|z |=|z |等进行计算．1．己知点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数z 对应的向量为Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则复数z 对应点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】因为点Z 1，Z 2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以Z 1Z 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =(−1,1),所以复数z 对应点位于第二象限，故本题选B.【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.复数的几何意义2．已知复数a+i2−i 是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于（ ）A ．﹣2B ．2C ．12D ．﹣1【答案】C 【解答】：∵a+i 2−i =(a+i)(2+i)(2−i)(2+i)=2a−1+(a+2)i 5=2a−15+a+25i 是纯虚数，∴{2a −1=0a +2≠0，解得a=12．故选：C ．复数的分类z =a +b i 0000b a b a =⎧⎪=⎧⎨≠⎨⎪≠⎩⎩实数（）纯虚数（）虚数（）非纯虚数（）注意：（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0； （2）两个不全是实数的复数不能比较大小；（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．3．已知i 为虚数单位，则2342018i i i i i ++++⋯+=（ ） A ．﹣1+iB ．﹣1C．1﹣i D ．0【答案】A【解答】：2342018i i i i i ++++⋯+=i(1−i 2018)1−i=i[1−(i 4)504⋅i 2]1−i=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ．故选：A．复数的四则运算1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．2．复数运算中的常用结论：（1）（1±i）2=±2i；（2）1i1i+-=i；（3）1i1i-+=–i；（4）iia b+=b–a i；（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．1．下列命题中，假命题的是（）A．若z为实数，则z=z B．若z=z，则z为实数C．若z为实数，则z•z为实数D．若z•z为实数，则z为实数2．已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（）A．2B．1C．0D．﹣13．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（）A．﹣2B．−12C．2D．124．设复数z满足z+i1−i=1+i，则z=（）A ．2﹣iB ．√2+iC ．√3 iD ．2+i5．设z=﹣12+√32i ，则z 2+z=（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．26．若z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ，则|z 1z 2|=（ ） A ．6 B ．√10C ．√6D ．√27．已知复数2i ﹣3是方程2x 2+px+q=0的一个根，则实数p ，q 的值分别是（ ） A ．12，0 B ．24，26C ．12，26D ．6，88.复数z 1、z 2满足|z 1|=|z 2|=1，z 1﹣z 2=2−4i2+i ，则z 1•z 2=（ ） A ．1 B ．﹣1C ．iD ．﹣i9.若复数z 满足（1﹣2i ）z=2﹣i ，则在复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10.已知复数z=2+bi （b ∈R ）（i 为虚数单位）的共轭复数为z ，且满足z 2为纯虚数，则z ⋅z =（ ） A ．2√2 B ．2√3C ．8D ．1211. 复平面上矩形 ABCD 的四个顶点中，A ，B ，C 所对应的复数分别为 2+3i ，3+2i ，−2−3i ，则 D 点对应的复数是 ( )A. −2+3iB. −3−2iC. 2−3iD. 3−2i12.复数 z 1=3a+5+(10−a 2)i ，z 2=21−a+(2a −5)i ，若 z 1+z 2 是实数，实数 a 的值为 .1.D 【解答】：对于A 、若z 为实数，则z =z ，正确；对于B 、设z=a+bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ，由z =z ，可得b=﹣b ，则b=0，即z 为实数，故B 正确； 对于C 、若z 为实数，则z •z=|z|2为实数，故C 正确； 对于D 、对于任意复数z ，都有z •z=|z|2为实数，故D 错误． 故选：D ．2.D 【解答】：∵（a+i ）2i=（a 2﹣1+2ai ）i=﹣2a+（a 2﹣1）i 为正实数，∴22010a a -⎧⎨-=⎩＞，解得a=﹣1．故选：D ．3.C 【解答】：设z=bi （b ≠0），由z （1﹣2i ）=a+i ，得bi （1﹣2i ）=a+i ， 即2b+bi=a+i ， ∴b=1，a=2． 故选：C ． 4.A 【解答】：∵z+i 1−i=1+i ，∴z+i=（1+i ）（1﹣i ）=2， ∴z=2﹣i ． 故选：A ．5.A 【解答】：由z=﹣12+√32i ， 得z 2+z=z(z +1)=(−12+√32i)(12+√32i)=(√32i)2−(12)2=−1．故选：A ．6.B 【解答】：∵z 1=1+2i ，z 2=1﹣i ， ∴|z 1z 2|=|1+2i|•|1﹣i|=√5×√2=√10． 故选：B ．7.C 【解答】：∵2i ﹣3是关于x 的方程2x 2+px+q=0的一个根， 由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i ﹣3，则q2=（﹣3+2i ）（﹣3﹣2i ）=13，即q=26， ﹣p2=﹣3+2i ﹣3﹣2i=﹣6，即p=12 故选：C ．8.A 【解答】：z 1﹣z 2=2−4i 2+i=(2−4i)(2−i)(2+i)(2−i)=−10i 5=﹣2i ，由|z 1|=|z 2|=1，设z 1=cos α+isin α，z 2=cos β+isin β， ∴cos α=cos β，sin α﹣sin β=﹣2， ∴cos α=cos β=0，sin α=﹣1，sin β=1， ∴z 1=﹣i ，z 2=i ， 则z 1•z 2=﹣i •i=1． 故选：A ．9.A 【解答】：由（1﹣2i ）z=2﹣i ，得z=2−i 1−2i =(2−i)(1+2i)(1−2i)(1+2i)=45+35i ， ∴在复平面内z 对应的点的坐标为（45，35），位于第一象限． 故选：A ．10.C 【解答】：∵z=2+bi ， ∴z 2=4﹣b 2+4bi ，由z 2为纯虚数，得{4−b 2=04b ≠0，得b=±2． ∴z ⋅z =|z|2=22+b 2=8． 故选：C ． 11.答案：B 12.3【解答】：z 1+z 2=3a+5+(a 2−10)i +21−a +(2a −5)i =(3a+5+21−a)+[(a 2−10)+(2a −5)]i =a−13(a+5)(a−1)+(a 2+2a −15)i.因为 z 1+z 2 是实数，所以 a 2+2a −15=0，解得 a =−5 或 a =3 . 因为 a +5≠0，所以 a ≠−5， 故 a =3 .。