高一上学期半期考试数学试题(解析版)
广东深圳中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
深圳中学2023-2024学年度第一学期期中考试试题年级：高一科目：数学考试用时：120分钟 卷面总分：150分注意事项：答案写在答题卡指定的位置上，写在试题卷上无效.选择题作答必须用2B 铅笔. 参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以e(e 2.71828)= 为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{3P x x =∈≥N 或0}x ≤，{}2,4Q =，则()P Q =N （）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.{}1,2,4【答案】D 【解析】【分析】根据补集的定义和运算可得{}1,2P =N ，结合并集的定义和运算即可求解. 【详解】由题意知，{}1,2P =N ，{}2,4Q =，所以(){}1,2,4P Q =N ，故选：D ．2.命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+”的否定是（ ）A.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+B.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∉+C.()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∈+D.()1,x ∀∉+∞，都有()31,x ∞∈+【答案】A 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题命题“()()31,,1,x x ∞∞∃∈+∈+ ”的否定是“()1,x ∀∈+∞，都有()31,x ∞∉+.故选：A. 3.函数()f x =的定义域是（ ） A. (,1)(1,0)−∞−∪− B. [1,)−+∞ C. [1,0)− D. [1,0)(0,)−+∞【答案】D 【解析】【分析】根据根式与分式的定义域求解即可. 【详解】()f x =的定义域满足1020x x +≥ ≠ ，解得[1,0)(0,)x ∈−+∞ . 故选：D4. ()f x x 1x 2=−+−的值域是 A. ()0,∞+ B. [1,)+∞C. ()2,∞+D. [2,)+∞【答案】B 【解析】【分析】对x 的范围分类，把(f x 的表达式去绝对值分段来表示，转化成各段函数值域的并集求解．【详解】()32,1121,1223,2x x f x x x x x x −≤=−+−=<< −≥，作出函数()f x 的图像如图所以()12f x x x =−+−的值域为[)1,+∞， 故选B.【点睛】本题主要考查了绝对值知识，对x 的范围进行分类，可将含绝对值的函数转化成初等函数类型来解决5. 已知幂函数的图象经过点()8,4P ，则该幂函数在第一象限的大致图象是（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】根据求出幂函数的解析式，再根据幂函数的性质即可得出答案. 【详解】设()af x x =，则328422a a =⇔=，所以32a =，所以23a =，所以()23f x x ==，因为2013<<， 因为函数()f x 在()0,∞+上递增，且增加的速度越来越缓慢， 故该幂函数在第一象限的大致图象是B 选项. 故选：B .6. 函数31()81ln 803x f x x -⎛⎫ ⎪=-- ⎪⎝⎭的零点位于区间（ ）A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性及函数零点的存在性定理选择正确选项即可．【详解】因为函数81ln y x =与31803x y − =−−在()0,∞+上均为增函数，所以()f x 在()0,∞+上为增函数．因为()281ln 2830f =−<，()381ln 3810f =−>， 所以函数()f x 的零点位于区间()2,3内． 故选：B7. 已知不等式220ax bx ++>的解集为{}21x x −<<，则不等式220x bx a −+<的解集为（ ）A. 11,2 −B. 1,12−C. 1,12D. ()2,1−【答案】A 【解析】【分析】根据不等式解集，求得参数,a b ，再求不含参数的一元二次不等式即可.【详解】根据题意方程220ax bx ++=的两根为2,1−，则221,2b a a−+=−−=，解得1,1a b =−=−， 故220x bx a −+<，即2210x x +−<，()()2110x x −+<，解得11,2x ∈−. 即不等式220x bx a −+<的解集为11,2 −. 故选：A .8. 已知()f x 和()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()e x g x f x −=，则(1)(1)f g =（ ） A. 22e 1e 1+− B. 22e 1e 1−+C. 221e 1e −+D. 221e 1e +−【答案】C 【解析】【分析】根据奇函数与偶函数的性质即可代入1x =和=1x −求解.【详解】因为()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，所以由()()111e g f −−−−=有()()111e g f −+=， 又()()11e g f −=，所以()121e e g −=+，()121e ef −=−， 所以()()12121e e 1e 1e e 1e f g −−−−==++．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）A. ()1f x x =+与21()1x g x x −=−B. ()1f t t =−与()1g x x =−C. ()ln e x f x =与()g x =D. ln ()e x f x =与()g x =【答案】BC 【解析】【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A ，()f x 定义域为R ，()g x 定义域为{}|1x x ≠，定义域不相同，不是同一函数，A 错误； 对于B ，函数()f x 与()g x 的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数，故正确；对于C ，函数()()f x x x =∈R ，函数()()g x x x =∈R ，两函数的定义域与对应关系都一致，所以是同一函数，故正确；对于D ，()()0f x x x =>，()g x x =，所以对应关系不相同，定义域也不同，不是同一函数，D 错误． 故选：BC10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数1y x x=+的最小值为2 B. 若a ，b ∈R ，则“220a b +≠”是“0a b +≠”充要条件 C. 若a ，b ，m 为正实数，a b >，则a m ab m b+<+ D. “11a b>”是“a b <”的充分不必要条件 【答案】BC 【解析】【详解】根据基本不等式满足的前提条件即可判定A ，根据绝对值和平方的性质可判定B ，根据不等式的性质可判断CD.【分析】对于A ，当x 取负值时显然不成立，故A 错误， 对于B ，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可知a ，b 不同时为0， 由0a b +≠，可知a ，b 不同时为0，所以“220a b +≠”是“0a b +≠”的充要条件，故B 正确；对于C ，()()()()()0b a m a b m m b a a m a b m b b b m b b m +−+−+−==<+++，所以a m ab m b+<+，故C 正确， 对于D ，①若11a b>，则当0a >，0b >时，则0a b <<， 当0a <，0b <时，则0a b <<， 当a ，b 异号时，0a b >>．的②若a b <，则当a ，b 同号时，则11a b >， 当a ，b 异号时，0a b <<，则11a b<， 所以“11a b>”是“a b <”的既非充分也非必要条件，D 选项错误．故选：BC11. 下列命题正确的是（ ）A. 函数212log (23)y x x =−−在区间(1,)+∞上单调递减 B. 函数e 1e 1x xy −=+在R 上单调递增C. 函数lg y x =在区间(,0)−∞上单调递减D. 函数13xy =与3log y x =−的图像关于直线y x =对称【答案】BCD 【解析】【分析】A 项，由复合函数的定义域可知错误；B 项分离常数转化为()21e 1x f x =−+，逐层分析单调性可得；C 项由偶函数对称性可知；D 项，两函数互为反函数可知图象关于直线y x =对称.【详解】对于A ，由2230x x −−>，解得1x <−，或3x >， 故函数定义域为(,1)(3,)−∞−∪+∞，由复合函数的单调性可知该函数的减区间为()3,+∞，故A 错； 对于B ，()21e 1x f x =−+， 由于e 1x y =+在x ∈R 单调递增，且e 10x +>， 所以1e 1x y =+在R 上单调递减，2e 1xy =−+在R 上单调递增， 因此()f x 在R 上单调递增，B 正确；对于C ，当0x >时，lg y x =（即lg y x =）在区间()0,∞+上单调递增， 又因为lg y x =为偶函数，其图象关于y 轴对称， 所以在区间(),0∞−上单调递减，C 正确；对于D ，由于函数13xy =与13log y x =（即3log y x =−）互为反函数．所以两函数图象关于y x =对称，D 正确． 故选：BCD.12. 德国数学家狄里克雷在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵：只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x ，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图像、表格等形式表示，例如狄里克雷函数()D x ，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为0．下列关于狄里克雷函数()D x 的性质表述正确的是（ ） A. ()D x 的解析式为()R 1,,0,.x Q D x x Q ∈ = ∈B. ()D x 的值域为[]0,1C. ()D x 的图像关于直线1x =对称D. (())1D D x = 【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意，由狄里克雷函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A ，用分段函数的形式表示狄里克雷函数，故A 正确． 对于B ，由解析式得()D x 的值域为{}0,1，故B 错误；过于C ，若x 为有理数，则2x −为有理数，则()()21D x D x =−=；若x 为无理数，则2x −为无理数．则()()20D x D x =−=；所以()D x 的图像关于直线1x =对称，即C 正确；对于D ，当x 为有理数，可得()1D x =，则()()1D D x =，当x 为无理数，可得()0D x =，则()()1D D x =，所以()()1D D x =，所以D 正确． 故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.110.752356416(4)−−−++++=________．【答案】414##1104【解析】【分析】根据题意，结合指数幂的运算法则和运算性质，准确化简、运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则和运算性质，可得：11111430.752364353355426416(4)[()](2)(2)22233−−−−+=+−+++⋅ 221141821033444=−+++==． 故答案：414. 14. 已知a ，b 是方程22(ln )3ln 10x x −+=的两个实数根，则log log a b b a +=________． 【答案】52##2.5 【解析】【分析】方法一：利用韦达定理结合换底公式求解；方法二：解方程可得e a =，b =，代入运算求解即可.【详解】方法一：因为a ，b 是方程()22ln 3ln 10x x −+=的两个实数根， 由韦达定理得1ln ln 2a b ⋅=，3ln ln 2a b +=， 则()()()()2222ln ln ln ln 2ln ln ln ln ln ln 5log log 2ln ln ln ln ln ln ln ln 2a b a b a b a ba b b a b a a ba ba ba b++−⋅++=+===−=⋅⋅⋅，即5log log 2a b b a +=；方法二：因为22310t t −+=的根为1t =或12t =， 不妨设ln 1a =，1ln 2b =，则e a =，b =，所以e 15log log log 222e a b b a +==+=．故答案为：52.15. 已知0,0x y >>且2x y xy +=，则2x y +的最小值是__________． 【答案】8 【解析】【分析】运用“1”的代换及基本不等式即可求得结果.为【详解】因为2x y xy +=，所以211x y+=，所以()214222248x y x y x y x y y x +=++=+++≥+=，当且仅当4x y y x =，即4,2x y ==时取等号.所以2x y +的最小值为8. 故答案为：8.16. 记(12)(12)T x y =−−，其中221x y +=，则T 的取值范围是________．【答案】3,32 −+ ． 【解析】【分析】根据基本不等式，结合换元法，将问题转化为213222T t =−− ，t ≤≤上的范围，由二次函数的性质即可求解.【详解】()124T x y xy =−++，设x y t +=，则212t xy −=， 所以221124212t T t t t −=−+⋅=−．因为22x y xy + ≤，所以22124t t −≤．所以t ≤≤又213222T t =−− ，所以当12t =时，T 有最小值32−，当t =T 有最大值3+．故答案为：3,32 −+ 四、解答题：本题共6小题，共20分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合{}(,)|1Ax y y x ==−，{}2(,)|B x y y mx ax m ==++．（1）若1a =−，0m =，求A B ∩；（2）若1a =，且A B ∩≠∅，求实数m 的取值范围．【答案】（1）11,22A B=−（2）[]2,1−． 【解析】【分析】（1）联立两方程，求出交点坐标，得到交集；（2）联立后得到210mx m +++=，分0m =与0m ≠两种情况，，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 若1a =，0m =，则(){},|Bx y y x ==． 由1y x y x =−=− ，得1212x y= =− ． 所以11,22A B =−． 【小问2详解】由()211x y y mx x m −==+++消去y，得210mx m +++=①． 因为A B ∩≠∅，所以方程①有解．当0m =时，方程①可化为1=−，解得x =，所以1y ， 所以0m =符合要求．当0m ≠时，要使方程①有解，必须(()2Δ410m m =−+≥，即220m m +−≤，解得21m −≤≤， 所以21m −≤≤，且0m ≠． 综上所述，m 的取值范围是[]2,1−． 18. 设不等式2514x x −≤−的解集为A ，关于x 的不等式2(2)20x a x a −++≤的解集为B ． （1）求集合A ；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,4（2）[)1,4．【解析】【分析】（1）根据题意，结合分式不等式的解法，即可求解；（2）根据题意，转化为B A ，再结合一元二次不等式的解法，分类讨论，求得集合B ，进而求得a 取值范围.【小问1详解】 解：由不等式2514x x −≤−，可得2511044x x x x −−−=≤−−， 即()()140x x −−≤，且4x ≠，所以14x ≤<，所以[)1,4A =．【小问2详解】解：因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以集合B 是A 的真子集，由不等式()2220x a x a −++≤，可得()()20x x a −−≤， 当2a <时，不等式的解集为2a x ≤≤，即[],2B a =，因为B A ，则12a ≤<；当2a =时，不等式为2(2)0x −≤，解得2x =，即{}2B =；B A 成立；当2a >时，不等式的解集为2x a ≤≤，即[]2,B a =，因为B A ，则24a <<，综上所述14≤<a ，即a 的取值范围是[)1,4．19. 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()2f x x x =+，现已画出函数()f x 在y 轴左侧的图象，如图所示．（1）请将函数()f x 的图象补充完整，并求出()()f x x ∈R 的解析式；（2）求()f x 在区间[],0a 上的最大值．【答案】（1）作图见解析，()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据函数奇函数的对称性，即可根据对称作出函数图象，进而可利用奇函数的定义求解解析式，（2）根据二次函数的性质，结合函数图象即可求解.【小问1详解】作出函数()f x 的图象，如图所示，当0x >时，0x −<，则()()22()22f x x x x x −=−+−=−， 因为()f x 为奇函数，所以()()22f x f x x x =−−=−+， 所以()222,02,0x x x f x x x x +≤= −+>． 【小问2详解】易如()()200f f −==，当2a <−时，()f x 在x a =处有最大值()22f a a a =+； 当20a −≤<时，()f x 在0x =处有最大值()00f =.20. 为了减少能源损耗，某建筑物在屋顶和外墙建造了隔热层，该建筑物每年节省的能源费用h (万元)与的隔热层厚度(cm)x 满足关系式：()()3232020h x x x k=−≤≤+．当隔热层厚度为1cm 时，每年节省费用为16万元，但是隔热层自身需要消耗能源，每年隔热层自身消耗的能源费用g (万元)与隔热层厚度(cm)x 满足关系：()2g x x =．（1）求k 的值；（2）在建造厚度为(cm)x 的隔热层后，每年建筑物真正节省的能源费用为()()()=−f x h x g x ，求每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值.【答案】（1）1k =（2）18万元．【解析】【分析】（1）根据()116h =求解出k 值即可；（2）根据条件先表示出()f x ，然后利用基本不等式求解出最大值，注意取等条件.【小问1详解】由题知()116h =，所以3232161k −=+， 解得1k =；【小问2详解】由（1）知，()()32320201h x x x =−≤≤+， 所以()()323220201f x x x x =−−≤≤+， 所以()()()323232212342111f x x x x x −−++=−++= ++， 因为()3221161x x ++≥=+，当且仅当()32211x x =++，即3x =时取等号， 所以()341618f x ≤−=， 所以每年该建筑物真正节省的能源费用的最大值为18万元．21. 已知23()21x x a f x −−=+， （1）若定义在R 上的函数()ln ()g x f x =是奇函数，求a 的值；（2）若函数()()h x f x a =+在(1,)−+∞上有两个零点，求a 的取值范围．的【答案】（1）13− （2）41,3【解析】【分析】（1）根据题意，结合()()0g x g x −+=，得出方程，进而求得实数a 的值； （2）令()0h x =，得到()23210x x a a −−++=，得到()222210x x a a −⋅+=，令2x t =，转化方程可化为2210at at −+=1,2 +∞上有两个不相等的根， 方法一：设()221p t at at =−+，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解；方法二：把方程化为()211a t a −−=，求得1t =±，结合11,2 +∞，即可求解. 【小问1详解】 解：因为()g x 是奇函数，所以()()2323ln ln 02121x x x x a a g x g x −−−−−+=+=++， 可得232312121x x x x a a −−−−⋅=++，即()()2312291x x a a −++=−恒成立， 因为220x x −+≠，所以310a +=且2910a −=，所以13a =−． 【小问2详解】 解：由232()()1x x h a x f a a x −=+−=++，令()0h x =，可得23021x x a a −−+=+， 所以()23210x x a a −−++=， 两边同乘以2x 并整理，得()222210x x a a −⋅+=． 令2x t =，因为1x >−，所以12t >， 于是方程可化为2210at at −+=，（*） 问题转化为关于t 的方程（*）在1,2 +∞上有两个不相等的根，显然0a ≠， 方法一：设()221p t at at =−+，抛物线的对称轴为1t =，()01p =．若a<0，由()00p >知，()p t 必有一个零点为负数，不合题意； 若0a >，要使()p t 在1,2 +∞ 上有两个零点，由于对数轴112t =>， 故只需2102Δ440p a a > =−> ，即31044(1)0a a a −> −> ，解得413a <<． 综上可得，实数a 的取值范围是41,3． 方法二：方程（*）可化为()211a t a −=−，若0a =，则01=−，矛盾，故0a ≠，故()211a t a −−=， 所以10a a−>，即a<0或1a >，①此时，1t −=，即1t =±，其中11,2 +∞ ，则112−>12<，即114a a −<，可得340a a −<，解得403a << ② 由①②得a 的取值范围是41,3． 22. 定义在R 上函数()f x 满足如下条件：①()()()4f x y f x f y +=+−；②(2)6f =；③当0x >时，()4f x >．（1）求(0)f ，判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论； （2）当[)0,x ∈+∞时，不等式()()()ln 3e 122ln 310x f a f x a −++−−≤ 恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()04f =，函数()f x 在R 上为增函数，证明见解析 （2）[]1,3【解析】的【分析】（1）令2,0x y ==，求得()04f =，再根据函数单调性的定义和判定方法，证得函数()f x 在R 上为增函数；（2）根据题意，转化为不等式()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立，由对数函数的性质，求得03a <≤，再由不等式()23e 3e 10x x a a +−−≥成立，转化为max 1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，求得1a ≥，即可求得实数a 的取值范围．【小问1详解】解：令2x =，0y =，可得()04f =．函数()f x 在R 上为增函数，证明如下：设12x x <，因为()()()4f x y f x f y +−=−，令1x y x +=，2x x =，则21y x x =−，可得()()()21214f x f x f x x −=−−， 因为210x x −>，所以()214f x x −>，所以()2140f x x −−>， 所以()()210f x f x −>，即()()21f x f x >， 所以函数()f x 在R【小问2详解】解：由条件有()()()4f x f y f x y +=++，则不等式可化为()()ln 3e 122ln 3410x f a x a −++−−+≤ ，即()()ln 3e 122ln 36x f a x a −++−−≤ ， 又由()26f =，所以()()()ln 3e 122ln 32xf a x a f −++−−≤ ， 因为函数()f x 在R 上为增函数，可得()ln 3e 122ln 32x a x a −++−−≤即()ln 3e 12ln 30x a x a −+−−≤ （*）对于任意[)0,x ∈+∞成立， 根据对数函数的性质，可得()3e 10x a −+>，30a >对于任意[)0,x ∈+∞成立，则13e 0x a a <+ >，因为0x ≥，则e 1x ≥，所以101e x <≤， 可得1334ex <+≤，所以03a <≤ ①， 又由（*）式可化为()()2ln 3e 12ln 3ln 3e x x a x a a −+≤+= ， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()23e 13e x xa a −+≤成立，即()23e 3e 10x x a a +−−≥成立， 即对于任意[)0,x ∈+∞，()()3e 1e 10x x a +−≥成立， 因为3e 10x +>，所以e 10x a −≥对于任意[)0,x ∈+∞成立， 即max1e x a ≥ 对于任意[)0,x ∈+∞成立，所以1a ≥ ②． 由①②，可得13a ≤≤，所以实数a 的取值范围为[]1,3．。
2024学年重庆市渝北中学高一数学上学期期中质量监测试卷及答案解析
渝北中学2024-2025学年上期高一年级半期质量监测数学试题（全卷共四大题19小题，总分150分，考试时长120分钟）注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号、班级等填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.答非选择题时.必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{Z 1A x x =∈≤-或x ≥1}，{}12B x x =-≤≤∣，则A B = （ ）A. {}1,2B. {}1,1,2-C. {}0,1D. []1,2【答案】B 【解析】【分析】由交集定义直接计算即可得解.【详解】因为集合{Z 1A x x =∈≤-或x ≥1}，{}12B xx =-≤≤∣，所以{Z 1A B x x ⋂=∈≤-或}{}{}1121,1,2x xx ≥⋂-≤≤=-∣.故选：B.2. 设集合A 是偶数集，集合B 是奇数集.若命题:p x A ∀∈，21x B +∈，则（ ）A. :p x A ⌝∀∈，21x B +∉ B. :p x A ⌝∀∉，21x B +∉C. :p x A ⌝∃∈，21x B +∉ D. :p x A ⌝∃∉，21x B+∈【答案】C 【解析】【分析】由否定的定义即可得解.【详解】由否定的定义可知：若命题:p x A ∀∈，21x B +∈，则:p x A ⌝∃∈，21x B +∉.故选：C.3. 下列函数定义域和值域都是()0,∞+的是（ ）A. y =B. y x =C ()21y x =-D. y =【答案】D 【解析】【分析】由10x +≥即可求解判断A ；由函数定义域为R 可判断BC ；先求出函数定义域为()0,+∞，再求出值域即可判断D.【详解】对于A ，要使函数有意义，则101x x +≥⇒≥-，所以函数定义域为{}|1x x ≥-，不符合；对于BC ，函数定义域均为R ，不符合；对于D ，要使函数有意义，则x >0，所以函数定义域为()0,+∞，因为x >00>0，所以函数值域为()0,+∞，故D 正确.故选：D.4. 设R x ∈，则“102x <<”是“1x <或5x >”的（ ）A. 充要条件 B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】由充分不必要条件的定义即可得解.【详解】一方面：1012x x <<⇒<⇒1x <或5x >；另一方面：65x x =⇒>⇒1x <或5x >，但此时x 不满足102x <<；所以“102x <<”是“1x <或5x >”的充分不必要条件.故选：B.5. 函数()s f t =的图象如图所示（图象与t 正半轴无限接近，但永远不相交），则下列说法正确的是（ ）.A. 函数()s f t =的定义域为[)3,-+∞B. 函数()s f t =的值域为[]0,5C. 当[]2,4s ∈时，有三个不同的t 值与之对应D. 当1t ，()()2123,1t t t ∈--≠时，()()()12120t t f t f t ⎡⎤-⋅-<⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用图象可判断ABC 选项的正误，由图象可得出函数()s f t =在()3,1--上的单调性，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：由图象可知：函数()s f t =在()1,0-没有图象，故定义域不是[)3,∞-+，故A 错误； 对于B ：由图象可知函数()s f t =的值域为(]0,5，故B 错误；对于C ：由图象可知，当4s =时，有2个不同的t 值与之对应，故C 错误；对于D ：由图象可知函数()s f t =在()3,1--上单调递减，所以，当1t 、()()2123,1t t t ∈--≠时，不妨设12t t <，则()()12>f t f t ，则()()()12120t t f t f t ⎡⎤--<⎣⎦，故D 正确.故选：D.6. 实数a ，b ，c ，d ，下列说法正确的是（ ）A. 若a b <，c d <，则ac bd< B. 若0c b a >>>，则b ac a c b>--C. 若b c >，则11b c b>- D. 若2a b >>，则22a b a b+>+【答案】D【分析】对于A ，取3,1,2,3a b c d =-==-=即可判断；对于B ，取1,2,3a b c ===即可判断；对于C ，取1,1b c ==-即可判断；对于D ，作差并求得差值a +2a ―b>0即可判断D 得解.【详解】对于A ，取3,1,2,3a b c d =-==-=时，满足a b <，c d <，但()326,133ac bd =-⨯-==⨯=，不满足ac bd <，故A 错误；对于B ，取1,2,3a b c ===时，满足0c b a >>>，但211,13132b a c a c b ====----，不满足b a c a c b>--，故B 错误；对于C ，取1,1b c ==-，满足b c >，但111,12b c b ==-，不满足11b c b>-，故C 错误；对于D ，()()()()2222221b a a b a b a b a b a b a b ab ab -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=-+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为2a b >>，所以0,4a b ab ->>，所以210ab ->，所以a +2a ―b=(a ―b )1>0，即22a b a b+>+.故D 正确.故选：D.7. 若函数()245,221,2x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）A. []2,1--B. [)2,0-C. (],1-∞-D. [)1,0-【答案】A 【解析】【分析】由题意列出关于a 的不等式组即可求解.【详解】若函数()245,221,2x ax x f x ax x ⎧++≤=⎨+>⎩是R 上的减函数，则222202425221a a a a -≥⎧⎪<⎨⎪+⋅+≥⋅+⎩，解得21a -≤≤-.8. 已知0a >，0b >，且不等式22617a b m m +≤++对任意R m ∈恒成立，则()2a b +的最大值为（ ）A. 3 B. 6C. 18D. 36【答案】C 【解析】【分析】先由不等式22617a b m m +≤++对任意R m ∈恒成立求出28a b +≤，接着由0a >和0b >求出04a <<，再由28a b +≤得()()()2282a b a a +≤+-，求出()()282a a +-的最大值即可得解.【详解】因为不等式22617a b m m +≤++对任意R m ∈恒成立，所以()2min 2617a b m m +≤++，因为()22617883m m m ++=+≥+，所以28a b +≤，又0a >，0b >，所以082b a <≤-，所以04a <<，所以()()()()2222241621818821a b a a a a a +≤+=-++=-+≤--，当且仅当1a =时等号成立，故()2a b +的最大值为18.故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. {}0∅⊆B. 10|01x x ⎧⎫∈<⎨⎬+⎩⎭C. ()10x x -=是0x =的必要不充分条件D. 0ab =是220a b +=的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】由空集是任何集合的子集即可判断A ；由101x <+得1x <-，从而求出{}1|0|11x x x x ⎧⎫<=<-⎨⎬+⎩⎭即可判断B ；求出()10x x -=的解，再结合必要不充分条件的定义即可判断C ；由0ab =得0a =或0b =，且由220a b +=得0a =且0b =结合充分不必要条件的定义即可判断D.【详解】对于A ，空集是任何集合的子集，故A 正确；对于B ，因为101x <+，所以101x x +<⇒<-，所以{}1|0|11x x x x ⎧⎫<=<-⎨⎬+⎩⎭，所以10|01x x ⎧⎫∉<⎨⎬+⎩⎭，故B 错误；对于C ，由()10x x -=得0x =或1x =，故()10x x -=是0x =的必要不充分条件，故C 正确；对于D ，由0ab =得0a =或0b =，由220a b +=得0a =且0b =，所以0ab =不是220a b +=的充分不必要条件.故D 错误.故选：AC.10. 已知正数x ，y 满足2x y +=，则下列选项正确的是（ ）A. xy 的最小值是1B. 22x y +的最小值是2C.14x y+的最小值是9 D. ()1x y +的最大值是94【答案】BD 【解析】【分析】对于A ，由基本不等式22x y xy +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭得xy 的最大值是1即可判断；对于B ，变形结合基本不等式得()()22222222x y x y x y xy x y +⎛⎫+=+-≥+- ⎪⎝⎭即可计算得解；对于C ，由基本不等式“1”的妙用方法即可求解判断；对于D ，将()1x y +消元变形为一元二次函数()()21910224x y y y ⎛⎫+=--+<< ⎪⎝⎭即可求解判断.【详解】x ，y 为正数，且满足2x y +=，则020x y x >⎧⎨=->⎩且020y x y >⎧⎨=->⎩，所以02x <<，02y <<，对于A ，212x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭即1xy ≤，当且仅当1x y ==时等号成立，所以xy 最大值是1，故A 错误；对于B ，()()()22222222222x y x y x y xy x y x y ++⎛⎫=+-≥+-=⎪⎝+= ⎭，当且仅当1x y ==时等号成立，所以22x y +的最小值是2，故B 正确；对于C ，()141141419552222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =即423x y ==时等号成立，所以14x y +的最小值是92，故C 错误；对于D ，()()()()221912120224x y y y y y y y ⎛⎫+=-+=-++=--+<< ⎪⎝⎭，所以当12y =时，()1x y +有最大值94，故D 正确.故选：BD.11. 已知定义在()0,∞+上的函数()f x 满足：1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()1122120x f x x f x x x ->-，则称函数()f x 为“理想函数”.根据此定义，下列函数不是“理想函数”的是（ ）A. ()12f x =-B. ()212f x x =+C. ()1f x x x=- D. ()21f x x =-【答案】ABD 【解析】【分析】按“理想函数”定义依次去计算对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠下的()()112212x f x x f x x x --，并分析其结果即可得得解.的【详解】对于A ，因为()12f x =-，所以对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()12112212121112202x x x f x x f x x x x x ⎛⎫--- ⎪-⎝⎭==-<--，故()f x 不是“理想函数”.故A 正确；对于B ，因为()212f x x=+，所以对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()()121222112212112121221111222x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭==----+()211222111212x x x x x x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭==---，所以当10x <<且20x <<时，()()112212121220x f x x f x x x x x -=-<-=-，故()f x 不是“理想函数”.故B 正确；对于C ，因为()1f x x x=-，所以对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()1222221112112212112221011x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭==--+-->=，故()f x “理想函数”.故C 不正确；对于D ，因为()21f x x =-，所以对1x ∀，()20,x ∈+∞，当12x x ≠时，有()()()()()()()1211221121212122122212221212x x x x x f x x f x x x x x x x x x x x x x ------===+-1----，所以当1104x <<且2014x <<时，()()()112212*********x f x x f x x x x x -⎛⎫=+-1<2+-= ⎪-⎝⎭，故()f x 不是“理想函数”.故D 正确.故选：ABD.是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知()411f x x+=-，则()2f =__________.【答案】3【解析】【分析】由解析式取x =1即可求()2f .【详解】因为()411f x x+=-，所以取x =1得()42131f =-=.故答案为：3.13 已知函数3()2f x ax bx =++，()f m =.则()f m -=__________.【答案】4【解析】【分析】根据给定的函数式，代入计算即得.【详解】函数3()2f x ax bx =++，由()f m =，得32am bm ++=32am bm +=，所以33()()()2()22)24f m a m b m am bm -=-+-+=-++=-+=-.故答案为：414. 对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数.如[]1.71=，[]0.31-=-.定义在R 上的函数()[][]13f x x x =++，若(){},01A y y f x x ==≤≤，则A 中所有元素的和为_____.【答案】11【解析】【分析】就x 的取值范围分类讨论后可求函数值，从而可求A 中元素的和.【详解】注意到141245011,031;1,132;333333x x x x x x ≤<⇒≤+<≤<≤<⇒≤+<≤<且25112,233;112,33;33x x x x x x ≤<⇒≤+<≤<=⇒+==.所以()[][]11,03122,133323,135,1x x y f x x x x x ⎧≤<⎪⎪⎪≤<⎪==++=⎨⎪≤<⎪⎪⎪=⎩，所以{}1,2,3,5A =，故所求为123511+++=.故答案为：11.【点睛】关键点点睛：关键在于对新定义函数、集合的理解，分类讨论要做到不重不漏，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设集合U =R 、{}250A x x x =-≤，{}124B x m x m =-≤≤+.（1）若2m =时，求()U A B ⋂ð；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.【答案】（1）{}|01x x ≤< （2）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）解不等式250x x -≤求出集合A ，接着根据补集定义求出U B ð，再根据交集定义即可求解()U A B ⋂ð；（2）由A B A = 得A B ⊆，进而得10245m m -≤⎧⎨+≥⎩，解该不等式组即可得解.【小问1详解】解250x x -≤得05x ≤≤，所以{}{}25005A x x x x x =-≤=≤≤，若2m =，则{}{}12418B x m x m x x =-≤≤+=≤≤，所以{|1U B x x =<ð或}8x >，所以(){}{05|1U A B x x x x ⋂=≤≤⋂<ð或x >8}={x |0≤x <1}.【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，由（1）{}05A x x =≤≤，所以10245m m -≤⎧⎨+≥⎩，解得112m ≤≤.所以实数m 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦.16. 已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，且()4f x >的解集为()(),12,-∞-+∞ .（1）求函数()f x 的解析式；（2）当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）()22f x x x =-+；（2）k的取值范围为(,1⎤-∞+⎦.【解析】【分析】（1）先由()02f =求得2c =，接着由不等式的解集特征可得0a >，且1-和2是方程224ax bx ++=的两根，从而由韦达定理可求解.（2）先由“当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立”结合1t x =-得到21k t t≤++在()0,t ∈+∞上恒成立，从而()min 21,0,k t t t ⎛⎫≤++∈+∞ ⎪⎝⎭，再利用基本不等式求出min21t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭即可得解.【小问1详解】由题意可得()02f c ==，所以()22f x ax bx =++，又因为()4f x >的解集为()(),12,-∞-+∞ ，所以由不等式的解集特征可得0a >，且1-和2是方程224ax bx ++=的两根，所以121,1212b aa b a ⎧-+=-⎪⎪⇒==-⎨⎪-⨯=-⎪⎩，所以函数()f x 的解析式为()22f x x x =-+.【小问2详解】当()1,x ∈+∞时，()()1f x k x ≥-恒成立，所以由（1）知当()1,x ∈+∞时，()221x x k x -+≥-恒成立，即()()221122211111x x x x k x x x x -+-+-+≤==-++---在()1,+∞上恒成立，令1t x =-，则21k t t≤++在()0,t ∈+∞上恒成立，所以()min21,0,k t t t ⎛⎫≤++∈+∞ ⎪⎝⎭，又因为2111t t ++≥+=，当且仅当2t t =即t =时等号成立，所以min211t t ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，所以1k ≤，即k的取值范围为(,1⎤-∞+⎦.17. 某单位为响应政府旧城改造号召，决定在单位内投资156000元建一个长方体的功能用房，其高度3米，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用塑钢每平方400元，两侧墙砌砖，每平方米造价450元，地面和顶部每平方米造价均为600元，设正面长为x 米，每侧砖墙长均为y 米.（1）写出x 与y 的关系式；（2）求出功能用房占地面积S 的最大允许值是多少？此时正面长应设计为多少米？【答案】（1）()5204013094xy x x-=<<+（2）功能用房占地面积S 的最大允许值是100平方米，此时正面长应设计为15米.【解析】【分析】（1）先由题意列出等量关系3400234502600156000x y xy ⨯+⨯⨯+⨯=，接着化简即可得解.（2）先由基本不等式得49x y +≥，接着由（1）构建出不等式1300xy +-≤，解该不等式范围，进而可求解.【小问1详解】由题得3400234502600156000x y xy ⨯+⨯⨯+⨯=，化简得494520x y xy ++=，所以()5204013094xy x x-=<<+.【小问2详解】因为49x y +≥=49x y =时取等号，所以5204944x y xy xy =++≥+即1300xy +-≤，所以)01310≤-，解得010<≤，所以功能用房占地面积(]0100S xy =∈,，即功能用房占地面积S 的最大允许值是100平方米，此时49x y =且100xy =，即2015,3x y ==，故此时正面长应设计为15米.18. 已知函数()32f x x x =+.（1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）判断()f x 在R 上的单调性.并用单调性定义证明；（3）解关于t 的不等式()()()210R f ct t f ct c -+->∈.【答案】（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数.证明见解析； （2）函数()f x 在R 上单调递增.证明见解析； （3）答案见解析.【解析】【分析】（1）根据奇偶性的判断方法和步骤去计算判断即可.（2）根据函数单调性定义法的证明步骤去计算判定即可.（3）先由函数()f x 的奇偶性和单调性将原不等式f (ct 2―t )+f (1―ct )>0(c ∈R)等价转化为不等式ct 2―(c +1)t +1>0(c ∈R)，再解该不等式即可得解.【小问1详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数.证明如下：因为函数()32f x x x =+，所以函数定义域为R ，关于原点对称，且()()()()()333222f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-，所以函数()f x 是定义在R 上的奇函数.【小问2详解】函数()f x 在R 上单调递增.证明如下：任取12x x <，则()()()()()()33331211221212222f x f x x x x x x x x x -=+-+=-+-()()()()()22221211221212112222x x x x x x x x x x x x x x =-+++-=-+++()221212213224x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因为12x x <，所以x 1―x 2<0,x 1+12x 22+34x 22+2>0，所以()2212122132024x x x x x ⎡⎤⎛⎫-+++<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，即()()120f x f x -<，故()()12f x f x <，所以函数()f x 在R 上单调递增.【小问3详解】由（1）可知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以f (ct 2―t )+f (1―ct )>0(c ∈R)等价于f (ct 2―t )>f (ct ―1)(c ∈R)，又由（2）可知函数()f x 在R 上单调递增，所以()21R ct ct t c -<-∈即ct 2―(c +1)t +1>0(c ∈R)，当0c =时，不等式为10t -+>，解得1t <；当0c ≠时，解()211101ct c t t -++=⇒=或21t c=，若0c <，则21101t t c =<<=，所以不等式的解为11t c <<；若01c <<，则2111t t c =>=，所以不等式的解为1t <或1t c>；若1c =，则11c=，所以不等式的解为1t ≠；若1c >，则21101t t c <=<=，所以不等式的解为1t c<或1t >.综上，当0c =时，原不等式的解集为(),1-∞；当0c <，原不等式的解集为1,1c ⎛⎫⎪⎝⎭；当01c <<，原不等式的解集为()1,1,c ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；当1c =，原不等式的解集为()(),11,-∞⋃+∞；当1c >，原不等式的解集为()1,1,c ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭1t >.19. 设函数()()2212f x x t x =-++，其中R t ∈.（1）若0t =，求函数()f x 在区间[]0,4上的值域；（2）若()0,1x ∈时，()0f x ≤有解，求实数t 的取值范围；（3）若对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围.【答案】（1）[]1,10；（2）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）31⎡--+⎣.【解析】【分析】（1）先由0t =得()()211f x x =-+，接着根据函数在[0,4]上的单调性求出函数的最值即可得解.（2）先由()0f x ≤在x ∈(0,1)上有解得()()min 221,0,1t x x x ⎛⎫+≥+∈ ⎪⎝⎭，接着根据函数()()2,0,1g x x x x=+∈的单调性研究其最值情况得2(t +1)>3，从而得解.（3）先由任意的1x ，[]20,4x ∈都有()()128f x f x -≤得对任意[]0,4x ∈有()()max min 8f x f x -≤，接着分类讨论研究函数()f x 在闭区间[0,4]的最值即可依据()()max min 8f x f x -≤计算求解实数t 的取值范围.【小问1详解】若0t =，则()()()2222122211f x x t x x x x =-++=-+=-+，所以函数()f x 在[0,1]上单调递减，在(]1,4上单调递增，又()()()02,410,11f f f ===，所以()()min max 1,10f x f x ==，所以函数()f x 在区间[0,4]上的值域为[]1,10.【小问2详解】因为x ∈(0,1)时，()0f x ≤有解，即()22120x t x -++≤在x ∈(0,1)上有解，所以()22221x t x x x++≥=+在x ∈(0,1)上有解，所以()()min 221,0,1t x x x ⎛⎫+≥+∈ ⎪⎝⎭，令()()2,0,1g x x x x=+∈，任取1201x x <<<，则()()12121212122222g x g x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112121212221x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭，因为1201x x <<<，所以121220,1x x x x -<>，所以12210x x -<，所以g (x 1)―g (x 2)=(x 1―x 2)1>0，即()()12g x g x >，所以函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以()()13g x g >=，所以2(t +1)>3，解得12t >.所以实数t 的取值范围为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问3详解】因为对任意的1x ，[]20,4x ∈，都有()()128f x f x -≤，所以对任意[]0,4x ∈，有()()max min 8f x f x -≤，因为()()()()222212121f x x t x x t t ⎡⎤=-++=-++-+⎣⎦，所以函数()f x 在(),1t ∞-+上单调递减，在()1,t ∞++上单调递增，则当10t +≤即1t ≤-时，函数()f x 在[0,4]上单调递增，所以()()()()max min 40888f x f x f f t -=-=-≤，解得0t ≥，不符；当14t +≥即3t ≥时，函数()f x 在[0,4]上单调递减，所以()()()()max min 04888f x f x f f t -=-=-≤，解得2t ≤，不符；当012t <+≤即11t -<≤时，函数()f x 在[]0,1t +上单调递减，在(]1,4t +上单调递增，又()()4101t t -+≥-+，所以()()()()2max min 41698f x f x f f t t t -=-+=-+≤，解得33t -≤≤+，又11t -<≤，所以31t -≤≤；当214t <+<即13t <<时，函数()f x 在[]0,1t +上单调递减，在(]1,4t +上单调递增，又()()4101t t -+<-+，所以()()()()()2max min 0118f x f x f f t t -=-+=+≤，解得11t --≤≤-+又13t <<，所以11t <≤-+综上，实数t 的取值范围为31⎡--+⎣.【点睛】关键点睛：“对任意的1x ，[]20,4x ∈都有()()128f x f x -≤，求实数t 的取值范围”问题的关键是将问题等价转化为“对任意[]0,4x ∈有()()max min 8f x f x -≤，求实数t 的取值范围”，再分类讨论研究一元二次函数()f x 在闭区间[0,4]的最值即可依据()()max min 8f x f x -≤计算求解实数t 的取值范围.。
山东省高一上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ） {}N 12A x x =∈-≤≤{}Z 1B x x =∈≤A B ⋃=A ． B ．C ．D ．{0,1}{1,0,1}-{1,0,1,2}-{0,1,2}【答案】C【分析】根据给定条件，利用列举法表示出集合A ，B ，再利用并集的定义求解作答. 【详解】集合，， {}N 12A x x =∈-≤≤{0,1,2}={}{}Z 11,0,1B x x =∈≤=-所以. {1,0,1,2}A B =- 故选：C2．“”是“”的 2x >1x >()A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】结合充分条件和必要条件的判定,即可.【详解】结合题意可知可以推出,但是并不能保证,故为充分不必要条件,故选A. 2x >1x >1x >2x >【点睛】考查了充分条件和必要条件的判定,难度较容易. 3．不等式的解集为（ ） ()()120x x -->A ．或 B ． {|1x x <}2x >{}|12x x <<C ．或 D ． {|2x x <-}1x >-{}|21x x -<<-【答案】B【分析】先将二次项系数转化为正，再结合一元二次不等式求解即可. 【详解】将不等式化为，解得， ()()120x x -->()()120x x --<12x <<所以解集为 {}|12x x <<故选：B.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，需注意使用“大于取两边，小于取中间”的前提是二次项系数为正，属于基础题.4．全称命题“，”的否定是（ ） x ∀∈R 21x ≥A ．， B ．，C ．，D ．，x ∀∈R 21x <x ∀∉R 21x ≥x ∃∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <【答案】D【分析】利用全称命题的否定可得出结论.【详解】由全称命题的否定可知，命题“，”的否定是“，”. x ∀∈R 21x ≥x ∃∈R 21x <故选：D.5．函数的定义域为 (l )n f x x =A ． B ．C ．D ．(0,)+∞(1,)+∞(0,1](0,1)(1,)⋃+∞【答案】B【分析】根据分母不为零、偶次根式下被开方数非负、对数中真数大于零列不等式，解得定义域. 【详解】由题意得：，选B. 10{10x x x ->∴>>【点睛】本题考查函数定义域，考查基本求解能力，属于基础题. 6．如果，，那么下列不等式成立的是（ ） 0<a 10b -<<A ． B ．C ．D ．2a ab ab >>2ab ab a >>2ab a ab >>2ab ab a >>【答案】D【分析】通过观察三个数的特征可知最大，再利用作差法判断即可得出结果. ab 【详解】由选项可知，仅需要比较三个数的大小， 2,,a ab ab 显然， ，所以最大， 20,0,0a ab ab <><ab 由可得，， 10b -<<201b <<所以，即 22(1)0ab a a b -=->2ab a >可得. 2ab ab a >>故选：D7．设,且,则的最小值为（ ）,x y R +∈191x y +=x y +A ．6 B ．12 C ．14 D ．16【答案】D【分析】利用基本不等式求得，并验证等号成立的条件. 16x y +≥【详解】因为， 199()(1916x yx y x y x y y x+=+⋅+=+++≥等号成立当且仅当，所以的最小值为.选D.4,12x y ==x y +16【点睛】本题考查基本不等式求最小值，求解过程中要利用到“1”的代换这一重要的思想方法，并注意验证等号成立的条件.8．函数的零点所在的区间是（ ）()32xf x x =+-A ． B ． C ． D ．()0,1()1,2()2,3()3,4【答案】A【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理可得出合适的选项.()f x 【详解】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，3x y =2y x =-R ()32xf x x =+-R 因为，，由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是. ()010f =-<()120f =>()f x ()0,1故选：A.9．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（ ） A ．B ．C ．D ．12log y x =3y x =-1y x=12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【分析】根据基本初等函数的奇偶性与单调性逐项判断可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，A 不满足12log y x =()0,∞+条件；对于B 选项，函数为奇函数，且在定义域上为减函数，B 满足条件；3y x =-R 对于C 选项，函数为奇函数，且在定义域上不单调，C 不满足条件；1y x=()(),00,∞-+∞U 对于D 选项，函数为非奇非偶函数，且在定义域上为减函数，D 不满足条件.12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭R 故选：B.10．已知偶函数满足：对任意的，都有成立，则满足()f x [)()1212,0,x x x x ∈+∞≠()()12120f x f x x x ->-的取值范围是()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭x A ． B ．C ．D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,23⎛⎫⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】因为函数是偶函数，所以不等式转化为，再根据函数的单调性转化为()1213f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭解不等式.1213x -<【详解】有题意可知，时，函数单调递增， x ∈[)0,∞+且函数是偶函数，()()11212133f x f f x f ⎛⎫⎛⎫∴-<⇔-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1213x ∴-<112133x ∴-<-<解得.1233x <<故选A.【点睛】本题考查了利用函数的性质解抽象不等式，当函数是偶函数，并且在单调递增()0,∞+时，解不等式时，根据转化为原不等式为，再根据单调()()12f x f x <()()f x f x =()()12f x f x <性表示为求解.12x x <二、多选题11．下列关系中，正确的有（ ） A ． B ．3-∈Z π∉Q C ． D ．{}a a ⊆{}210x x ∅=∈+=R 【答案】ABD【分析】根据元素与集合的关系可判断ABC 选项；根据集合与集合的关系可判断D 选项. 【详解】，，，3-∈Z π∉Q {}a a ∈方程无解，，ABD 对，C 错.210x +={}210x x ∈+==∅R 故选：ABD.12．设，，若，则实数的值可以为（ ）2{|8150}A x x x =-+={|10}B x ax =-=A B B = a A ．B ．C ．D ．150313【答案】ABD【分析】先将集合表示出来，由可得，则根据集合中的元素讨论即可求出A A B B = B A ⊆A a 的值.【详解】集合，由可得， 2{|8150}{3,5}A x x x =-+==A B B = B A ⊆则分和或或， B =∅{3}=B {5}{3,5}当时，满足即可；B =∅0a =当时，满足，解得：；{3}=B 310a -=13a =当时，满足，解得：；{5}B =510a -=15a =当时，显然不符合条件，{3,5}B =所以的值可以为，a 110,,35故选：.ABD三、填空题13．已知幂函数的图象过点，则______． ()y f x =(()9f =【答案】3【分析】先利用待定系数法代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求的值.()y f x =()9f【详解】设，由于图象过点,()ay f x x ==(， 12,2aa ==，()12y f x x ∴==，故答案为3.()12993f ∴==【点睛】本题考查幂函数的解析式，以及根据解析式求函数值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.14．设集合，，，集合M 的真子集的个数为{0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈_____． 【答案】15【分析】根据给定条件，求出集合即可求解作答.M 【详解】集合，，而， {0,1,2}A ={4,5}B ={},,M x x a b a A b B ==+∈∈则，所以集合M 的真子集的个数为. {4,5,6,7}M =42115-=故答案为：1515_____（写成分数指数幂的形式）=(0)a >【答案】56a 【分析】利用根式与分数指数幂的关系以及指数幂的运算性质计算可得结果..7522661223a aa a-+===故答案为：.56a 16．已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则__________. ()f x R (,0)x ∈-∞32()2f x x x =+(2)f =【答案】12【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. ()()22f f =--【详解】函数是定义在上的奇函数，，则，()f x ()()f x f x -=-()()f x f x =--.()()()()322222212f f ⎡⎤=--=-⨯-+-=⎣⎦【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型.四、解答题17．计算下列各式，写出演算过程(1)； 1222318324272-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(2). 5525lg 42lg 52log 10log 20log 5log 8++--⋅【答案】(1) 72(2)12-【分析】（1）利用根式、指数幂的运算性质计算可得结果； （2）利用对数的运算性质、换底公式计算可得结果.【详解】（1）解：原式. 23324344722392992⎡⎤⎛⎫=-+=+-+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦（2）解：原式.()225101ln 53ln 211lg 45log 213202ln 2ln 522=⨯+--⋅=+--=-18．已知函数．21()21x x f x -=+(1)判断函数的奇偶性；()f x (2)判断并证明函数在其定义域上的单调性； ()f x 【答案】(1)奇函数(2)函数在R 上单调递增，证明见解析 ()f x【分析】(1)结合已知条件，利用奇偶性定义即可求解；(2)结合指数函数单调性，利用单调性定义即可证明.【详解】（1）∵的定义域R 关于原点对称，且， ()f x ()()2122112()()2112212x xx xxxx x f x f x -----⋅---====-+++⋅∴为奇函数．()f x （2）函数在R 上单调递增． ()f x 证明如下：设是R 上的任意两个实数，且．12,x x 12x x <，()()212121212121212(22)2121(21)(21)x x x x x x x x f x f x ----=-=++++∵函数在R 上为增函数， 2x y =∴，故，2122x x >21220x x ->∴，即. ()()210f x f x ->21()()f x f x >∴函数在R 上单调递增．()f x 19．已知幂函数为偶函数．()()2157m f x m m x -=-+(1)求的解析式；()f x (2)若，求函数在区间上的值域．()()34g x f x x =-+()g x []1,2-【答案】(1)()2f x x =(2) 7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数为幂函数可得出实数的值，结合函数为偶函()()2157m f x m m x -=-+m ()f x 数可得出的值，由此可得出函数的解析式；m ()f x （2）利用二次函数的单调性可求得函数在上的值域.()g x []1,2-【详解】（1）解：因为函数为幂函数，则，解得或.()()2157m f x m m x -=-+2571m m -+=2m =3当时，函数为奇函数，不合乎题意；2m =()f x x =当时，函数为偶函数，合乎题意.3m =()2f x x =综上所述，.()2f x x =（2）解：由（1）可得，()234g x x x =-+所以函数在上为减函数，在上为增函数，()g x 31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭3,22⎛⎤ ⎥⎝⎦所以，，.()min 3724g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭()()max 18g x g =-=因此，函数在区间上的值域为.()g x []1,2-7,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦20．已知函数，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，()5151xx a f x ⋅=-+（1）求a ，b 的值；（2）若f （x ）是区间（b ﹣3，2b ）上的减函数且f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）；（2）2,1a b ==()1,0-【分析】（1）根据奇函数性质可得定义域关于原点对称解得b,再根据f （0）=0解得a ，（2）根据奇函数性质以及单调性化简不等式，解不等式得实数m 的取值范围．【详解】（1）∵函数f （x ）=1﹣，x ∈（b ﹣3，2b ）是奇函数，∴f （0）=1﹣=0，且b ﹣3+2b=0，即a=2，b=1． （2）∵f （m ﹣1）+f （2m+1）＞0， ∴f （m ﹣1）＞﹣f （2m+1）．∵f （x ）是奇函数，∴f （m ﹣1）＞f （﹣2m ﹣1）， ∵f （x ）是区间（﹣2，2）上的减函数，∴，即有，∴﹣1＜m ＜0，则实数m 的取值范围是（﹣1，0）．【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据(())(())f g x f h x >函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的f ()g x ()h x 定义域内.21．某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍稀水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关x 系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工()()()()253025050251x x W x x x ⎧+≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩10x 费）元.已知这种水果的市场售价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求.记该水果树的单株利20x 润为（单位：元）. ()f x (1)求的函数关系式；()f x (2)当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？【答案】(1) ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………(2)当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元【分析】（1）利用，即可求解；()15()30f x W x x =⨯-（2）对进行化简，得到，然后，分类讨论和()f x ()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………02x ……时，的取值，进而得到答案.25x <≤max ()f x 【详解】（1）根据题意，，化简得，()15()30f x W x x =⨯-()()151020f x W x x x =--=27530225,0275030,251x x x x x x x⎧-+⎪⎨-<⎪+⎩………（2）由（1）得 ()27530225,0275030,251x x x f x xx x x⎧-+⎪=⎨-<⎪+⎩………()2175222,02,525780301,251x x x x x ⎧⎛⎫-+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎡⎤⎪-++<⎢⎥⎪+⎣⎦⎩………当时，02x ……()()max 2465f x f ==当时， 25x <≤()()257803011f x x x ⎡⎤=-++⎢⎥+⎣⎦78030480-⨯=…当且仅当时，即时等号成立. 2511x x=++4x =因为，所以当时，.465480<4x =()max 480f x =故当施用肥料为4千克时，该水果树的单株利润最大，最大利润为480元.。
高一上半期数学试题含答案
高一上期半期考试数学试卷一、选择题：1.已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |22x >｝，则M ∩N ＝ ( )A ．∅B ．｛x |0＜x ＜3｝C ．｛x |1＜x ＜3｝D ．｛x |2＜x ＜3｝ 2. 有五个关系式：①∅≠⊂}0{；②}0{=∅；③∅=0；④}0{0∈；⑤∅∈0其中正确的有 （ ） A.1个. B.2个. C.3个. D.4个. 3．下列各组函数中表示同一函数的是（ ） A ．()f x x = 与()()2g x x =B ．()f x x = 与()33g x x =C ．()f x x x = 与()()()2200x x g x x x ⎧ >⎪=⎨- <⎪⎩D ．()211x f x x -=- 与()()11g x x x =+ ≠4. 下列各图形中，是函数的图象的是( )5.设,)31(,)31(,)32(313231===c b a 则c b a ,,的大小关系是（ ）A.b c a >>B.c b a >>C.b a c >>D.a c b >>6．下列函数为偶函数且在[)+∞,0上为增函数的是（ ） A ．y x = B ．2y x = C ．2x y = D ．2x y -=7．已知函数⎩⎨⎧>-≤=2),1(log 2,2)(2x x x x f x ，则))5((f f 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 8.下列函数中值域为),0(+∞的是（ ） A. y =－5xB.y =(31)1-x C.y =1)21(-xD.y =x 21-9.若)(x f 是偶函数，其定义域为()+∞∞-,，且在[)+∞,0上是减函数，则)252()23(2++-a a f f 与的大小关系是（ ）OxyO x yOxyO xyA B C DA ．)23(-f >)252(2++a a fB ．)23(-f <)252(2++a a fC ．)23(-f ≥)252(2++a a fD ．)23(-f ≤)252(2++a a f{}{}[][][)[][]2,0.1,0.,21,0.),2(1,0.B A ,0,,2A .)()(B A .1022D C B x y y B x y x B A x B A x x B A xx +∞+∞⨯>==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==⋂∉⋃∈=⨯ Ａ等于（）则已知且是非空集合，定义、设 二、填空题 11.函数y =的定义域是 ；12．函数)10(1)(1≠>+=-a a a x f x 且恒过定点 ; 13．300)32(10])2[(])37(2[25.013132021--+-⨯⨯----=___________;14. 设{}{}25,121A x x B x m x m =-≤≤=+≤≤-，若A B B ⋂=,则实数m 的取值范围是 ;15. 设定义在R 的函数)(x f 同时满足以下条件：①0)()(=-+x f x f ； ②)2()(+=x f x f ；③当10<≤x 时，12)(-=x x f 。
高一上学期半期考试数学试题含答案
2018-2019学年度上期期中考试数学试题命题人： 审题人： 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}4,3,2,1=U ，{}3,2,1=M ，{}4,3,2=N ，则()U C M N ＝（ ） A ．{}2,1B ．{}4,1C ．{}3,2 D ．{}4,22.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+∞上单调递增的函数是（ ） A. 21y x =+ B. 2x y = C. 1y x x=+ D.21y x =-3.函数2)(-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A.)1,2(-- B ．)0,1(- C ．)1,0( D ．)2,1(4.已知函数⎩⎨⎧>-≤=2),1(log 2,2)(2x x x x f x 则))5((f f 的值为( )A.1B. 2C. 3D.4 5.已知函数,∈(2,5]的值域是（ ）A ．(－1,2]B.(－2,2] C. [－2,－1)D. [－2,2] 6.三个数34.0=a ，3.0ln =b ，4.03=c 之间的大小关系是（） A ．b c a <<．B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b << 7.已知函数(其中a b >)()()()f x x a x b =--的图象如图所示,则函数()xg x a b =+的图象是( )8.已知偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，则满足不等式(21)(3)f x f -<的x 的取值范围是（ ）1.(,2)2A .(1,2)B -.(,2)C -∞1.[,2)2D9.已知函数21()1x f x x +=-，其定义域是 [8,4)--，则下列说法正确的是（）A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值D ．()f x 有最大值2，最小值7510.已知函数f (x )＝2×4x －a2x的图象关于原点对称，g (x )＝ln(e x ＋1)－bx 是偶函数，则log a b ＝（） A ．1 B ．－12C ．－1D ．1411.函数()()log 5(0,1)a f x ax a a =->≠在()1,3上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,15⎛⎫⎪⎝⎭C ．51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数()y f x =与()y F x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y F x =在区间[],a b 同时递增或同时递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数2x y t =-的“不动区间”，则实数t 的取值范围是（） A ．(]0.2 B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,24,2⎡⎤⋃+∞⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数若2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上单调递减,则实数a 的取值范围是.14.函数)10(32≠<+=-a a y x 的图像恒过定点A ，且点A 在幂函数)(x f 的图像上，则)2(f =．15. 函数()213()log 32f x x x =-+的单调递增区间为.16、给出下列命题，其中正确的序号是_________（写出所有正确命题的序号）.①函数()22log 23y x x =-+图象恒在x 轴的上方；②将函数x y 2log =的图像经过先关于y 轴对称，再向右平移2个单位的变化，就变为)-2(log 2x y =的图像；③若函数()()22log 21f x x ax =-+的值域为R ，则实数a 的取值范围是()1,1-；④函数()x f x e =的图像关于y x =对称的函数解析式为；，)0(ln >=x x y⑤已知4log 3p =，3log 25q =，则lg5（用p ，q 表示）等于1pqp q ++。
江西省部分学校2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题(含解析)
江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学试卷共4页，19小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.考查范围：必修第一册第一章至第三章第二节。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则A.{2,3,4,5}B.{1,3,4}C.{3,4}D.{3}2.已知命题，，则为A.， B.，C.， D.，3.已知为定义在R 上的奇函数，当时，，则A. B.C. D.4.已知是幂函数，若，则a =A.B.2C.4D.65.若A. B. C. D.6.已知定义在R 上的函数满足，且，且，，则A. B.C. D.7.若关于x 的不等式的解集为，且，则实数m 的值为}{1,2,3,4,5U =2}{1,M =}2,{3,4N =()U M N = ð:1p x ∃>320x ->p ⌝1x ∀…320x ->1x ∀…320x -…1x ∀>320x -<1x ∀>320x -…()f x 0x >31()1f x x x =-+(1)f -=12-1232-3292()(4)m f x m x -=-()2f a =121a <-=5(1)a -+5(1)a +6(1)a -+6(1)a +()f x (5)(5)f x f x +=-12,(5,)x x ∀∈+∞12x x ≠121[(()()x x x f --2]()0f x >(5.5)(4.5)f f >(2.7)(3.2)f f <(7.3)(7.9)f f >(2.7)(5.2)f f >220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 12112x x +=A.-4B.-1C.1D.48.已知函数若存在实数x ，使，则实数a 的取值围为A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列计算中正确的是A.C. D.10.使成立的一个充分条件可以是A.且 B.且C.且 D.且11.已知函数的定义域为R ，且的图象关于原点对称，的图象关于y 轴对称，则A. B.C.函数是增函数D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则________.13.已知幂函数的图象过点，则________.14.对于任意实数x ，表示不小于x 的最小整数，例如(1.2)=2，，表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]=1，.已知定义在R 上的函数，若集合，则集合A 中所有元素的和为________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数在上单调递减，其中，且.（1）求的解析式；（2）求函数，的值域.16.（15分）已知集合，，且.23,2,(),2,x ax a x f x a x ⎧-++>⎪=…()0f x <(,1)-∞-(,2)(6,)-∞-+∞(,6)(1,)-∞--+∞(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=±23(8)4-=23184-=3a b c ->a c >2b c >-2a c >b c >-2a c >b c>-3a c >2b c>()f x (2)4y f x =+-(4)4y f x x =++(2)4f =(6)12f =-()f x (8)(4)824f x f x x -+-=-30,()()1,0,x f x g x x x x ==-<⎪⎩…((1))g f -=()m f x x =3(3,33[(2)]f =()x (0.2)0-=[]x 0.21[]-=-()(2)[3]f x x x =⋅4|(),23A y y f x x ⎧⎫==-<-⎨⎬⎩⎭…()af x b x=+(0,)+∞24a =(1)1f =()f x 2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈(4,29]A m =+{|2233}B x m x m =-+……12B ∈（1）当时，求实数m 的取值范围；（2）设；，若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.17.（15分）已知定义在R 上的奇函数与偶函数满足，若.（1）求的解析式；（2）求关于x 的不等式的解集.18.（17分）某糕点连锁店现有五家分店，出售A ，B 两款糕点，A 为特价糕点，为吸引顾客，按进价销售.已知用16000元购进A 糕点与用22000元购进B 糕点的重量相同，且B 糕点每斤的进价比A 糕点每斤的进价多6元.（1）求A ，B 两种糕点每斤的进价；（2）经市场调查发现，B 糕点每斤售价30元时，每月可售出3120斤，售价每提高1元，则每月少售出120斤，售价每降低1元，则每月多售出120斤，糕点店不会低于进价销售.则B 糕点每斤定价为多少元时，糕点店通过卖B 糕点获得的月利润最大？最大是多少？（3）因为使用进价销售的A 糕点物美价廉，所以深受顾客青睐，五个分店每月的总销量为10000斤.今年年初该连锁店用50万购进一批设备，用于生产A 糕点.已知每斤糕点的原材料价格为8元，若生产A 糕点n 个月（）所用的原材料之外的各种费用总计为万元，若只考虑A 糕点，记该连锁店前n 个月的月平均利润为z 万元，求z 的最大值.19.（17分）对非空数集A 及实数k ，定义，，已知.（1）当时，若集合A 为单元素集，求A ；（2）当时，若集合，求ab 的所有取值构成的集合；（3）若A 中有3个元素，求实数k 的取值范围.16A ∉:p t A ∈:q t B ∈()f x ()g x ()()2||2f x g x x x +=++()()()h x f x g x =⋅()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<*n ∈N 211324n n +2{|,}A k x x a k a A ==-∈ {|,}A k x x k a a A ⊗==-∈A k A k =⊗ 1k =3k ={,}A a b =江西省2024—2025学年上学期第一次模拟选科联考高一数学参考答案及评分细则1.【答案】A【解析】，故选A.2.【答案】D【解析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，得，.故选D.3.【答案】B【解析】因为为定义在R 上的奇函数，所以.故选B.4.【答案】C【解析】因为是幂函数，所以，得，故时，.故选C.5.【答案】C【解析】当时，.故选C.6.【答案】D【解析】由题意得函数在上单调递减，在上单调递增.对选项A ，，A 错误；对选项B ，因为函数在上单调递减，所以，B 错误；对选项C ，因为函数在上单调递增，所以，C 错误；对选项D ，因为，函数在上单调递减，故，D 正确.故选D.7.【答案】B【解析】因为关于x 的不等式的解集为，所以关于x 的方程有两个不相等的实数根，所以，解得，且，，所以，解得.故选B.8.【答案】D【解析】当时，，即，因为，所以，故有解，{3,4,5}{2,3,4}{2,3,4,5}()U M N == ð:1p x ⌝∀>320x -…()f x 311(1)(1)1112f f ⎛⎫-=-=--= ⎪+⎝⎭92()(4)m f x m x-=-41m -=5m =12()f x x ==2=4a =1a <-10a +<3(1)a =--3(1)a =+=336(1)(1)(1)a a a --+=-+()f x (,5)-∞(5,)+∞(5.5)(50.5)f f =+=(50.5)(4.5)f f -=()f x (,5)-∞(2.7)(3.2)f f <()f x (5,)+∞(7.3)(7.9)f f >(5.2)(5f f =+0.2)(50.2)(4.8)f f =-=()f x (,5)-∞(2.7)(4.8)(5.2)f f f >=220()21x m x m m +-+-<12(,)x x 220()21x m x m m +-+-=12,x x 22[2(1)]41()440m m m m ∆=--⨯⋅-=-+>1m <122(1)x x m +=--212x x m m =-1221212112(1)2x x m x x x x m m+--+===-1m =-2x >230x ax a -++<23(1)x a x +<-2x >11x ->231x a x +>-即，因为，当且仅当，即时等号成立，故；当时，有解，即有解，也即，因为单调递增，故时，取最大值-1，故.综上，实数a的取值范围为.故选D.9.【答案】ACD （每选对1个得2分）【解析】对于A ，，A 正确；对于B，B 错误；对于C ，，C 正确；对于D ，，D 正确.故选ACD.10.【答案】AC （每选对1个得3分）【解析】充分性成立，即选项能推出，对于A ，，又，同向不等式相加得，A 成立；对于B ，令，，，满足且，但，B 不成立；对于C ，，又，同向不等式相加得，，C 成立；对于D ，令，，，满足且，但，D 不成立.故选AC.11.【答案】ABD （每选对1个得2分）【解析】A 选项，的定义域为R ，因为的图象关于原点对称，所以为奇函数，所以，故，令，得，A 正确；B 选项，由的图象关于y 轴对称，得为偶函数，所以，即，令，得，得，B 正确；C 选项，因为，C 错误；D 选项，因为，所以，因为，令，得，即，故，，D 正确.故选ABD.12.【答案】-8【解析】，.13.【答案】64【解析】由，所以.14.【答案】67【解析】当时，；当时，，，2min31x ax ⎛⎫+>⎪-⎝⎭223(11)341226111x x x x x x +-++==-+++=--- (4)11x x -=-3x =6a >2x …0a +<a <max (a <y =2x =y =1a <-(,1)(6,)-∞-+∞ 1144-=2=23(8)4-==232311848-===3a b c ->22b c b c <-⇒->a c >3a b c ->3a =7b =1c =-2a c >b c >-433a b c -=-<-=b c b c <-⇒->2a c >3a b c ->5a =8b =1c =-3a c >2b c >33a b c -=-=()f x (2)4y f x =+-(2)4y f x =+-(2)4(2)40f x f x --++-=(2)(2)8f x f x -++=0x =(2)4f =(4)4y f x x =++(4)4y f x x =++(4)4(4)4f x x f x x --=++(4)(4)8f x f x x -=++2x =4(2)(6)16f f ==+(6)12f =-(2)(6)f f >(2)(2)8f x f x -++=()8(4)f x f x =--(4)(4)8f x f x x -=++4x t -=()(8)328f t f t t =-+-()(8)328f x f x x =-+-8(4)(8)328f x f x x --=-+-(8)(4)824f x f x x -+-=-(1)112f -=--=-3((1))(2)(2)8g f g -=-=-=-333m =3m =-3()f x x =333(3(36[(2)](22264f ⨯====2x =-()(4)[6](4)(6)24f x =-⋅-=-⨯-=523x -<<-10423x -<<-(2)3x =-，，；当时，，，，，；当时，，，，，.综上，，集合A 中所有元素的和为67.15.解：（1）由得，（2分）因为函数在上单调递减，所以，故.（5分）由得，所以.（7分）（2），（10分）当时，，，，所以函数，的值域为.（13分）【评分细则】值域写成集合或区间形式均给分.16.解：（1）因为，所以，得，（2分）又因为，所以，即，（5分）故当时，m 的取值范围是.（7分）（2）因为，所以，，若p 是q 的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，（10分）故（12分）解得.故实数m 的取值范围是.（15分）【评分细则】结果写成集合或区间或不等式形式均给分.17.解：（1）因为，即，又，得，，（4分）635x -<<-[3]6x =-()(2)[3](3)(6)18f x x x =⋅=-⨯-=5332x -- (10)233x --……(2)3x =-9532x --……[3]5x =-()(2)[3](3)(5)15f x x x =⋅=-⨯-=3423x -<<-8323x -<<-(2)2x =-9342x -<<-[3]5x =-()(2)[3](2)(5)10f x x x =⋅=-⨯-={24,18,15,10}A =24a =2a =±()af x b x=+(0,)+∞0a >2a =(1)21f b =+=1b =-2()1f x x=-222424()2()[()]211g x f x f x x x x ⎛⎫=+=-+-=- ⎪⎝⎭[1,4]x ∈2[1,16]x ∈241,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2131,34x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦2()2()[()]g x f x f x =+[1,4]x ∈3,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦12B ∈221233m m -+……37m ……16A ∉2916m +<72m <16A ∉73,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭37m ……A O ≠B O ≠224,3329,m m m ->⎧⎨++⎩…36m <…(3,6]()()2||2f x g x x x -+-=-+-+()()2||2f x g x x x -+=-++()()2||2f x g x x x +=++()2f x x =()||2g x x =+所以.（5分）（2）因为，所以为奇函数，（7分）又当时，单调递增，故函数在R 上单调递增.（9分）则不等式，可化为，即，即，（11分）①若，即时，；②若，即时，不等式无解；③若，即时，，综上，当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.（15分）【评分细则】1.第一问求出和的解析式分别给2分；2.第一问结果写成分段函数形式不扣分；3.第二间结果不写成集合或区间形式扣1分，未总结，但结果正确均给满分，三种情况每少一种情况扣1分.18.解：（1）设A 糕点每斤的进价为a 元，B 糕点每斤的进价为元，所以，解得，所以A 糕点每斤的进价为16元，B 糕点每斤的进价为22元.（4分）（2）设B 糕点每斤涨价元，蛋糕店通过B 糕点获得的月利润为y 元.由题意，（6分）当时，y 有最大值.（8分）所以B 糕点每斤定价为39元时，月利润最大，最大为34680元.（9分）（3）设前n 个月的总利润为w ，因为A 糕点每斤售价为16元，每月可售出10000斤，故每月可收入16万元，其中原材料为8万元，则，（12分）月平均利润万元，（15分）()()()2(||2)h x f x g x x x =⋅=+()2()(||2)2(||2)()h x x x x x h x -=--+=-+=-()h x 0x …2()24h x x x =+()h x 2(3)(3)0h x tx h x t -+-<2(3)(3)(3)h x tx h x t h t x -<--=-23(3)0x t x t +--<(3)(1)0x t x -+<13t <-3t <-13tx <<-13t=-3t =-13t >-3t >-13t x -<<3t <-|13t x x ⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭3t =-∅3t >-|13t x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭()f x ()g x (6)a +16000220006a a =+16a =(8)x x -…22(3022)(3120120)120216024960120(9)34680y x x x x x =+--=-++=--+9x =22*111311685050()324324w n n n n n n n ⎛⎫=--+-=-+-∈ ⎪⎝⎭N 503131215.2532444w n z n n ==--+-+==…当且仅当，即时等号成立，（16分）所以z 的最大值为5.25.（17分）【评分细则】1.第二问未配方，只要结果正确，就给分；2.第三问未说明等号成立条件扣1分.19.解：（1）时，设，由，得，所以，即，得或1，故或.（4分）（2）时，，由，得，得或即或（5分）当时，是方程的两根，故，（6分）当时，两式相减得，由集合中元素的互异性得，所以，故，即，同理，故是方程的两根，所以，（7分）故ab 的所有取值构成的集合为.（8分）（3）设，由，得，①若故是方程的三个不等的实数根，而此方程最多有两个实数根，不可能有三个实数根，故不成立；（11分）②若，当时，，令，得，（12分）对，，两式相减得，因为，所以，代入，得，同理，5032n n=40n =1k ={}A a =11A A =⊗ 2{1}{1}a a -=-211a a -=-220a a +-=2a =-{2}A =-1}{A =3k ={,}A a b =33A A =⊗ 22{3,3}{3,3}a b a b --=--2233,33a a b b ⎧-=-⎨-=-⎩2233,33,a b b a ⎧-=-⎨-=-⎩2260,60a a b b ⎧+-=⎨+-=⎩226,6,a b b a ⎧=-⎨=-⎩2260,60a ab b ⎧+-=⎨+-=⎩,a b 260x x +-=6ab =-226,6a b b a⎧=-⎨=-⎩22a b a b -=-a b ≠1a b +=266(1)5a b a a =-=--=+250a a --=250b b --=,a b 250x x --=5ab =-{6,5}--{,,}A a b c =A k A k =⊗ 222{,,}{,,}a k b k c k k a k b k c ---=---222,,,a k k a b k k b c k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩,,a b c 220x x k +-=222,,,a k kb b k k ac k k c ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2c k k c -=-220c c k +-=180k ∆=+ (1)8k -…2a k k b -=-2b k k a -=-22a b a b -=-a b ≠1a b +=2a k k b -=-2120a a k -+-=2120b b k -+-=故为方程的两个不相等的实根，令，得，（13分）当时，与均有两个不相等的实根，且这两个方程的根不完全相同，故符合题意；（14分）③若则，根据集合中元素的互异性，两两不相等，不妨设，（ⅰ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅱ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅲ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立；（ⅳ）当时，，又，所以，这与矛盾，故不成立.（16分）综上，实数k 的取值范围是.（17分）【评分细则】1.第一问只得出一种情况，扣2分；结果不写成集合形式，扣1分；2.第二问求出ab 的一个值，给2分，最后结果不写成集合形式，扣1分；3.第三问结果写成不等式、集合或区间形式，结果正确即给满分.,a b 2120x x k -+-=14(12)0k '∆=-->38k >38k >2120x x k -+-=220x x k +-=222,,,a k k b b k k c c k k a ⎧-=-⎪-=-⎨⎪-=-⎩2222a b b c c a k +=+=+=,,a b c a b c >>0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22a b >b c >22c a b b ++>22c a b b ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=0a b c >>>22b c <c a <22b c a c ++<22b c a c ++=3,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
高一数学上学期半期考试试题含解析 试题
智才艺州攀枝花市创界学校一中办学一共同体二零二零—二零二壹高一数学上学期半期考试试题〔含解析〕一、选择题〔一共60分，每一小题5分，每个小题有且仅有一个正确之答案〕，，那么等于〔)A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合交集的定义，找到集合A、B的公一共元素即可.【详解】那么应选D【点睛】此题考察集合运算，对于A，B两个集合，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与集合B的交集，记作A∩B.所以找出A、B的公一共元素是求交集的关键.，，那么满足条件的集合的个数为〔〕A.4B.8C.9D.16【答案】B【解析】根据集合A、B、C的关系，集合C中必然包含集合A中的元素，集合B一共有五个元素，只需要确定集合的子集个数，即为集合C的所有可能，所以集合C有种可能.【详解】集合C为：，，，，，，应选B【点睛】此题考察集合之间的关系以及集合子集个数的求法，首先需要确定集合中的元素，然后根据集合的特点确定集合子集个数，一般一个集合里有N个元素〔可以是数〕,那么它所有子集的数目是,所有真子集数目(子集除去本身),所有非空子集数目是〔子集除去空集〕,所有非空真子集数目〔子集除去本身和空集〕.3.集合A＝[0,8]，集合B＝[0,4]，那么以下对应关系中，不能看作从A到B的映射的是A.f：x→y＝xB.f：x→y＝xC.f：x→y＝xD.f：x→y＝x【答案】D【解析】试题分析：D选项里面的映射不能使集合A中的每一个元素都在集合B中找到一个元素与之对应，例如集合A 中的元素6就不能在集合B中找到一个元素与之对应.考点：运用映定义判断对应关系是否为映射.4.以下各组函数表示同一函数的是〔〕A. B.C. D.【答案】C试题分析：A中两函数定义域不同；B中两函数定义域不同；C中两函数定义域一样，对应关系一样，是同一函数；D中两函数定义域不同考点：判断两函数是否同一函数5.那么等于(〕A.π＋1B.0C.2D.【答案】A【解析】【分析】此题可以根据分段函数解析式，由内到外，依次求解函数值，即可求得答案.【详解】f(-2)=0,f(0)=,应选A【点睛】此题主要考察了函数值的求解问题，解答题目的过程中要准确把握分段函数的分段条件，正确选择相应的解析式计算求值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.6.以下函数中，既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据奇函数定义先判断出奇偶性，然后根据单调性定义判断单调性即可.【详解】A.非奇非偶函数；B.奇函数且是单调递增函数；C.奇函数但在定义域上不是增函数；D.奇函数，单调递减函数；【点睛】此题主要考察函数的奇偶性和单调性，结合初等函数的奇偶性和单调性判断出原函数的性质，主要考察了推理才能。
成都外国语学校2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
2022年成都外国语学校高2022级半期考试高一数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}4=1,3,A ，{}24,N B x x x =≤≤∈，则A B ⋂为（）A.{}24x ≤≤ B.{}3,4 C.{}1,3,4 D.{}1x x ≥【答案】B 【解析】【分析】化简集合B ，由交集定义即可求解.【详解】{}{}24,N 2,3,4B x x x =≤≤∈=，{}4=1,3,A ，所以{}3,4A B = .故选：B2.设命题2:Z,21p x x x ∃∈≥+，则p 的否定为（）A.2Z,21x x x ∀∉<+ B.2Z,21x x x ∀∈<+C.2Z,21x x x ∃∉<+ D.2Z,21x x x ∃∈<+【答案】B 【解析】【分析】根据特称命题的否定即可求解.【详解】因为2:Z,21p x x x ∃∈≥+，所以:p ⌝2Z,21x x x ∀∈<+.故选：B3.下列各组函数能表示同一个函数的是（）A.()f x =与()g x x = B.()211x f x x +=-与()11g x x =-C.()1f x x =+与()0g x x x =+ D.()x f x x=与()0g x x =【答案】D 【解析】【分析】根据两函数相等的三要素一一判断即可.【详解】对于A,()f x ==()g x =,故A 错误;对于B,()211x f x x +=-的定义域为(),1(1,1)(1,)-∞--+∞ ,()11g x x =-的定义域为(),1(1,)-∞+∞ ,所以不是相同函数,故B 错误;对于C,()1f x x =+的定义域是R ,()0g x x x =+的定义域是(),0(0,)-∞⋃+∞所以不是相同函数,故C 错误;对于D,()1xf x x==,且定义域是(),0(0,)-∞⋃+∞,()01g x x ==,且定义域是(),0(0,)-∞⋃+∞,故D 正确.故选：D.4.幂函数12y x =的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由12y x ==进行分析即可【详解】由12y x ==可知0x ≥故C ，D 错误随着自变量的增大函数值增大，故B 错误故选：A.5.下列命题正确的有（）A.若a b >，则11a b< B.若a b >，则22a b >C.若,a b c d >>，则ac bd > D.若33a b >，则a b>【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项.【详解】A 选项，1,1a b ==-时，a b >，但11a b>，A 选项错误；B 选项，1,1a b ==-时，a b >，但22a b =，B 选项错误；C 选项，2,1,1,2a b c d ===-=-时，,a b c d >>，但ac bd =，C 选项错误；D 选项，33a b >，330a b ->，()()()22223024b a b a ab b a b a b ⎡⎤⎛⎫-++=-++>⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以0,a b a b ->>，D 选项正确.故选：D6.已知04x <<，则194x x+-的最小值为（）A .2B.3C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】由04x <<，40x ->，则[]1(4)4(4)14x x x x +-=⇒+-⨯=，构造基本不等式即可.【详解】因为04x <<，所以40x ->，则[]1(4)4(4)14x x x x +-=⇒+-⨯=所以[]1191944(4)4x x x x x x ⎛⎫+=+⨯ ⎪--⎝+-⨯⎭1194494x x x x -+⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭-1119(196)444⎛≥⨯++=⨯++= ⎝当且仅当4914x xx x x-=⇒=-时，不等号成立，所以194x x+-的最小值为：4故选：C.7.命题“函数()f x =对[)1212,2,,x x x x ∀∈+∞≠，都有()()21210f x f x x x ->-”是真命题的一个充分不必要条件是（）A.()0,1a ∈ B.1,2a ∞⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭C.1,22a ⎛⎤∈⎥⎝⎦D.1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】原题等价于下[)2,x ∞∈+，()f x 单增，分0a =和0a ≠讨论，结合二次函数特征即可求解.【详解】由题可知，当[)2,x ∞∈+，()f x 单增，当0a =时，()f x 单减，不符合题意，舍去；当0a ≠时，要使[)2,x ∞∈+，()f x 单增，需满足2012222560a a a a >⎧⎪⎪≤⎨⎪⋅-⋅-+≥⎪⎩，解得1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：D8.函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且[0,)+∞增函数，若对任意[]0,1x t ∈-，均有()()2f x t f x -≥，则实数t 的最大值是（）A.32B.2C.52D.3【答案】A 【解析】【分析】利用函数的奇偶性单调性可得2x t x -≥，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可求解.【详解】因为[]0,1x t ∈-，所以10t ->，1t >，又因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，[0,)+∞增函数，且()()2f x t f x -≥，所以2x t x -≥，两边平方化简得22320x tx t +-≤在[]0,1x t ∈-恒成立，令22()32g x x tx t =+-，对称轴为03tx =-<，所以22()32g x x tx t =+-在[]0,1x t ∈-单调递增，则2max ()(1)4830g x g t t t =-=-+≤，解得1322≤≤t ，又因为1t >，所以312t <≤，所以t 的最大值为32.故选:A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数()412x f x x +=-，则（）A.()f x 的值域是{|4}y y ≠B.()f x 的定义域为2x ≠C.()(2020)42024f f +-=D.()(2019)82023f f +-=【答案】AD 【解析】【分析】根据题意可知：()414(2)994222x x f x x x x +-+===+---，进而判断定义域和值域，然后再根据函数的对称中心判断即可求解.【详解】因为()414(2)994222x x f x x x x +-+===+---，函数的定义域为{|2}x x ≠，值域为{|4}y y ≠，故选项A 正确，选项B 错误；又因为()(4)8f x f x +-=，所以函数()f x 关于点(2,4)成中心对称，故()(2019)82023f f +-=，()(2020)82024f f +-=，所以选项D 正确，选项C 错误，故选：AD.10.下列说法正确的是（）A.若函数4211x f x x x +⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()22f =B.若函数()f x 在(,0]-∞和[0,)+∞是减函数，则()f x 在(,)-∞+∞是单调减函数C.已知()32022f x ax bx =++，其中a ，b 为常数，若()22f -=，则()2f =4042D.若实数x ，y 满足14x y -≤+≤且23x y ≤-≤，则3x y +的取值范围是1113[,22-【答案】ABC【解析】【分析】A 选项先求出()f x ，计算()2f ，B 选项利用函数单调性判断；C 选项整体代入法计算，D 选项用待定系数法求解.【详解】选项A ：由函数2422211112x f x x x x x x x +⎛⎫⎛⎫+==+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()22f x x =-，所以()22222f =-=，故A 正确；选项B ：若函数()f x 在(,0]-∞和[0,)+∞是减函数，由(,0]-∞和[0,)+∞区间连续所以()f x 在(,)-∞+∞是单调减函数，故B 选项正确.选项C ：由()32022f x ax bx =++，()22f -=所以()322(2)2022(28)20222f a b a b -=-+⨯-+=-++=即282020a b +=所以()2282022202020224042f a b =++=+=，故C 选项正确.选项D ：设3()()()()x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-则1231m n m m n n +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩所以32()()x y x y x y +=+--由14x y -≤+≤，所以()228x y -≤+≤由23x y ≤-≤，所以()32x y -≤--≤-相加得：536x y -≤+≤，故D 项错误.故选：ABC.11.设函数()f x 的定义域为R ，()1y f x =+为偶函数，则下列正确的是（）A.()1(1)f x f x --=+B.(1)(1)-+=+f x f xC.()y f x =关于直线1x =对称D.()(2)f x f x -=+【答案】BCD 【解析】【分析】利用()1y f x =+为偶函数，判断A 和B ，再利用函数图像平移的相关性质判断C ，最后利用()1y f x =+为偶函数的性质，得到(1)(1)f x f x +=-+，进而进行化简转换，可判断D.【详解】对于A 和B ，()1y f x =+为偶函数，故(1)(1)-+=+f x f x ，故A 错，B 对；对于C ，令()(1)g x f x =+，x ∈R ，则(1)()g x f x -=，(1)g x -是()g x 向右平移一个单位后的图像，因为()g x 为偶函数，故(1)g x -关于直线1x =对称，故C 对；对于D ，(1)(1)f x f x +=-+，取1x t =-，则有()(2)f t f t =-+，故必有()(2)f x f x -=+成立.故选：BCD12.已知函数(3)3(2)()(2)a x x f x ax x x -+≤⎧⎪=⎨+>⎪⎩若对12,x x ∀≠都有12()()f x f x ≠，则实数a 的取值可以是（）A.103 B.113C.196D.4【答案】AC 【解析】【分析】利用题意判断函数单调性，从而求出参数的取值范围即可【详解】因为函数对12,x x ∀≠都有12()()f x f x ≠所以函数为R 上单调函数要使()af x x x=+在(2,)+∞上单调，结合分式型函数性质知：函数在R 上单调递增函数，所以()30103332322a a a a ->⎧⎪⇒<≤⎨-⨯+≤+⎪⎩.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若集合2{|210}x R x ax ∈++=只有两个子集，则实数a 取值集合_________.【答案】{}1,1-【解析】【分析】由子集个数判断集合只有一个元素，结合一元二次方程判别式即可求解.【详解】因为集合2{|210}x R x ax ∈++=只有两个子集，所以2{|210}x R x ax ∈++=只有一个元素，所以2440a ∆=-=，解得1a =±，所以实数a 取值集合为{}1,1-.故答案为：{}1,1-14.已知()1f x +的定义域是[]3,6，则函数()21f x -的定义域是___________.【答案】5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由已知(1)f x +的定义域求出函数()f x 的定义域，从而求出函数(21)y f x =-的定义域．【详解】解：因为()1f x +的定义域是[]3,6，所以36x ≤≤，所以417x ≤+≤．∴函数(21)f x -应满足4217x ≤-≤，解得542x ≤≤．∴函数(21)y f x =-的定义域为5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．15.关于x 的不等式2103x +≤-的解集为___________.【答案】[)1,3【解析】【分析】先通分，将分式不等式等价转化为二次不等式即可求解.【详解】223110333x x x x x +--+==≤---，原不等式等价于()()13030x x x ⎧--≤⎨-≠⎩，解得[)1,3x ∈.故答案为：[)1,316.已知正数,a b 满足1416a b a b+++=，则a b +的最大值是___________.【答案】8【解析】【分析】令=+t a b ，则1416t a b +=-，()()144165b a t t a b a b a b ⎛⎫-=++=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得t 的范围，进而得到答案.【详解】令=+t a b ，因为0a >，0b >，所以0t >.则1416t a b+=-，所以()()14416559b a t t a b a b a b ⎛⎫-=++=++≥+⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=即2b a =时等号成立.所以()169t t -≥，即21690t t -+≤，解得88t -≤≤+，所以a b +的最大值为8故答案为：8四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知集合{}34A x x =-≤<，{}211B x m x m =-≤≤+．（1）当1m =时，求出R A C B ⋂；（2）若“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()R A B ⋂ð={|31x x -≤<或}24x <<（2）1m ≥-【解析】【分析】（1）当1m =时，得{}|12B x x =≤≤，由补集和交集运算即可求解R A C B ⋂；（2）由题可知B A Ü，分集合B =∅和B ≠∅两种情况分类讨论，即可求解m 的取值范围.【小问1详解】当1m =时，{}|12B x x =≤≤，所以R B ð={|1x x <或}2x >，所以()R A B ⋂ð={|31x x -≤<或}24x <<；【小问2详解】因为“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要不充分条件，于是得B A Ü，①当B =∅时，121,2m m m +<-∴>；②当B ≠∅时，由B A Ü得12121314m m m m +≥-⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩，12m ∴-≤≤，综上所述，1m ≥-.18.已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增（1）求m 的值；（2）若00a b >>，，且1a b m +=+，求4bab+的最小值.【答案】（1）0m =（2）8【解析】【分析】(1)用幂函数的定义可求得m 的值，又由(0,)+∞上单调递增确定m .(2)结合第一问的结论，用基本不等式中的乘1法可以解决.【小问1详解】由幂函数的定义得：2(1)1m -=，0m ⇒=或2m =，当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，与题设矛盾，舍去；当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，符合题意；综上可知：0m =.【小问2详解】11a b m +=+=44()4448b b a b b a a b a b a b++=+=++≥=当且仅当4b a a b =且1a b +=时，即1323a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，4b a b +的最小值为8.19.美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的A 、B 两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为()0y kxx α=>（k 与α都为常数），其图象如图所示．（1）试分别求出生产A 、B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）函数关系式；（2）现在公司准备投入4亿元资金同时生产A 、B 两种芯片，设投入x 千万元生产B 芯片，用()f x 表示公司所获利润，当x 为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．（利润A =芯片毛收入B +芯片毛收入-研发耗费资金）【答案】（1）生产A 、B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）函数关系式分别为()104y x x =>、()0y x =>；（2）当4x =时，利润最大，最大利润为9千万元.【解析】【分析】（1）由题意得出生产A 种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）函数关系式，将点()1,1、()4,2的坐标代入函数()0y kx x α=>的解析式，求出k 、α的值，可得出生产B 种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）函数关系式；（2）由题意可得出())240122944x f x -=-=--+，利用二次函数的基本性质求解即可.【详解】（1）由题意可知，生产A 种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）函数关系式为()104y x x =>，将点()1,1、()4,2的坐标代入函数()0y kx x α=>的解析式，得142k k α=⎧⎨⋅=⎩，解得112k α=⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，生产B 种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x（千万元）函数关系式为()0y x =>；（2）由题意可得())24012729444x x f x -=-=-+=--+，040x <<2=时，即当4x =时，函数()y f x =取得最大值，即()()max 49f x f ==.因此，当4x =时，利润最大，且最大利润为9千万元.【点睛】本题考查函数模型的应用，考查二次函数基本性质的应用，解题的关键就是求出函数模型的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.20.（1）解关于x 的不等式22(1)22a x x x ax ++>++的解集（其中a<0）．（2）已知函数t y x x =+有如下性质：若常数0t >，则该函数在(上单调递减，在)+∞上单调递增．若()2412321--=+x x f x x ，[]0,1x ∈，利用上述性质，求函数()f x 值域；【答案】（1）答案见解析；（2）[]4,3--【解析】【分析】（1）利用一元二次不等式的解法，分类讨论即可；（2）根据双勾函数的图象和性质即可.【详解】解：（1）不等式22(1)22a x x x ax ++>++，等价于2(12)20ax a x +-->，即(2)(1)0x ax -+>，①当102a -<<时，因为12a ->，解不等式(2)(1)0x ax -+>得12x a <<-；②当12a =-时，因为12a-=，不等式(2)(1)0x ax -+>的解集为∅；③当12a <-时，因为12a -<，解不等式(2)(1)0x ax -+>得12x a -<<；综上所述，不等式的解集为：①当102a -<<时，不等式解集为12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②当12a =-时，不等式解集为∅；③当12a <-时，不等式解集为1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）()2412342182121x x y f x x x x --===++-++．设21u x =+，[]0,1x ∈，则48y u u=+-，[]1,3u ∈．由已知性质，得当12u ≤≤，即102x ≤≤时，()f x 单调递减，所以()f x 的单调递减区间为10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当23u ≤≤，即112x ≤≤时，()f x 单调递增，所以()f x 的单调递增区间为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．由()03f =-，142f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()1113f =-，得()f x 的值域为[]4,3--．21.已知()f x 定义域为R ，对任意,R x y ∈都有()()()1f x y f x f y +=+-，当0x >时，()1f x <，()12f -=．（1）试判断()f x 在R 上的单调性，并用单调性定义证明（2）求不等式()()223225f x x f x --+>的解集.【答案】（1）()f x 在R 上单调递减，证明见解析（2）102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】（1）设12,R x x ∀∈，且12x x <，结合定义得()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦，代换()211f x x x ⎡⎤-+⎣⎦即可证明；（2）令y x =化简得()()221f x f x =+，()()223225f x x f x --+>等价于()2232225f x x x --++>，赋值求得()23f -=，由函数单调性解不等式即可.【小问1详解】函数()f x 在R 上单调递减，证明如下：设12,R x x ∀∈，且12x x <，因为()()()()()()()12121112111f x f x f x f x x x f x f x x f x ⎡⎤⎡⎤-=--+=--+-⎣⎦⎣⎦()211f x x =--，又因为210x x ->，且0x >时，()1f x <，所以()211f x x -<，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以()f x 在R 上单调递减；【小问2详解】令y x =，得()()()21f x f x f x =+-，∴()()221f x f x =+，∴()()()()()222232223221232225f x x f x f x x f x f x x x --+=--++=--++>，∴()2223f x x -->，又()f x 在R 上的单调递减且()22(1)13f f -=--=，∴()()2222f x x f -->-，∴2222x x --<-．∴102x <<，即不等式解集为102x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.22.已知函数2()(,)x b f x a b R x a +=∈+是定义在[1,1]-上的奇函数且1(1)2f =（1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的单调性；并证明你的结论；（3）设()(1)2g x f x =-+，当121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得21112()()10()0g mx x g x f x -+->成立，请同学们探究实数m 的所有可能取值.【答案】（1）2()1xf x x =+（2）增函数，证明见解析（3）25<≤m 【解析】【分析】（1）由(0)0f =可求b ，由1(1)2f =可求a ，进而得到()f x 解析式；（2）由定义法直接证明即可；（3）原不等式化简得121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112111040f mx x f x f x --+--+>成立，即()()()21112min 11104f mx x f x f x --+->-成立，化简得11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()211111f mx x f x -->-成立，结合函数单调性和定义域去“f ”即可求解.【小问1详解】由()f x 在[1,1]-上的奇函数，所以(0)0f =，即0b =，由1(1)2f =得1a =，所以2()1x f x x =+；【小问2详解】函数()f x 在[-1,1]上增函数，证明如下：设12,[1,1]x x ∀∈∈-，且12x x <，又因为()()()()()()121212122222121211111x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，又12x x <，所以120x x -<，因为12,[1,1]x x ∈-，所以1210x x ->，所以()()()()121222121011x x x x x x --<++，即()()12f x f x <，故函数()f x 在[-1,1]上增函数；【小问3详解】121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112100g mx x g x f x -+->成立，即121,,12x x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()21112111040f mx x f x f x --+--+>成立，即()()()2111211104f mx x f x f x --+->-，2min 12()()25f x f == ，即11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()211121110405f mx x f x --+->⨯-=成立，11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得()()211111f mx x f x -->-，即11,12x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，211111mx x x -->-且1111mx x -≤--≤1，即11min21m x x ⎛⎫>-++ ⎪⎝⎭且1max 211m x ⎛⎫≤≤+ ⎪⎝⎭，即m>2且15m ≤≤，解得：25<≤m .。
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高一上学期半期考试数学试卷第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填涂在答题卡对应的位置.1. 定义集合运算，设，，则集合的子集个数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】∵，，∴∴集合的子集个数为故选：A点睛：本题以新定义为载体，考查了集合子集的概念，注意重要结论：集合的子集个数为,非空真子集个数为.2. 一个扇形的面积为，弧长为，则这个扇形的中心角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设这个扇形中心角的弧度数是θ，半径等于r，则由题意得θr=5π，θr2=15π，解得r=6，θ=．故选：D．3. 已知角的终边经过点，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵角的终边经过点，∴，∴故选：D4. 对定义域内的任意实数，满足的函数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，∴故选：C5. 已知函数，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意易得：，解得：，即∴的定义域是故选：B6. 函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的定义域为令，则在上单调递减，在上单调递增，为减函数，根据“同增异减”可知：函数的单调递增区间是故选：A点睛：：复合函数的单调性的判断口诀为“同增异减”，即内外层单调性一致为增函数，内外层单调性相反为减函数，易错点忽略了函数的定义域，单调区间必然是定义域的子集.7. 如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入—支出费用).由于目前本条线路在亏损，公司有关人员提出了两条建议：建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格. 图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态. 在上面四个图象中（）A. ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)B. ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)C. ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)D. ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)【答案】B【解析】∵建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；也就是增大，车票价格不变，即平行于原图象，∴①反映了建议(Ⅰ)；∵建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格，也就是图形增大倾斜度，提高价格，∴③反映了建议（Ⅱ），故选B.点睛：此题主要考查了函数图象的性质，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程是做题的关键；观察函数图象可知，函数的横坐标表示乘客量，纵坐标表示收支差额，根据题意得；（I）的平行于原图象，（II）与原图象纵截距相等，但斜率变大，进而得到答案.8. 已知函数，，，，则的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数关于直线轴对称，且在上单调递增，在上单调递减，=，，又，在上单调递减，∴故选：A9. 函数（且）的自变量与函数值的一组近似值为2 3 4 50.3010 0.4771 0.6020 0.6990则函数的一个零点存在区间是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由表格易知：，∴在定义域上单调递增，，,∴函数的一个零点存在区间是故选：C10. 已知函数，若存在实数，使函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵g(x)=f(x)−b有两个零点∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点，由于y=在[0,a)递增,y=2x在[a,+∞)递增，要使函数f(x)在[0,+∞)不单调，即有a2>2a,由g(a)=a2−2a,g(2)=g(4)=0，可得2<a<4.故选C.11. 已知函数对任意满足，且在上递增，若，且，则实数的范围为()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵函数f(x)对∀x∈R满足，∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，∵,f(x)在[2,+∞)上递增∴g(x)也为奇函数,并且在[0,+∞)是增函数，∵，∴3⩽3g(0)即⩽0解得：0<a⩽1.故选：A.12. 已知函数，，若对任意的实数，与中至少有一个为正数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数f(x)=tx,.△=16−4×(2−t)×1=8+4t，①当t=0时,f(x)=0,△>0,g(x)有正有负，不符合题意，故排除C.②当t=2时,f(x)=2x,g(x)=−4x+1，符合题意，③当t>2时,.f(x)=tx,当x取−∞时,与都为负值，不符合题意，故排除D④当t<−2时,△<0,∴恒成立，符合题意，故B不正确，故选：A点睛：本题重点考查了二次函数的图像与性质，合理分类讨论是解决好本题的关键所在，充分借助一次函数与二次函数的图象特征分析问题解决问题,小题小做，避免死缠烂打.第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡对应的位置.13. 已知函数满足，则____________.（其中为自然对数的底数，为常数）【答案】1【解析】由题意可得：，得：，，故答案为：114. 已知，则__________.【答案】2【解析】∵，又∴故答案为：215. 已知函数，若存在，不等式成立，则实数的取值范围是____________. 【答案】【解析】，易知：为奇函数且在上为增函数，由，可得：∴，即x，又∴，解得：故答案为：16. 已知，函数，，若关于的方程有个解，则的取值范围为_____________.【答案】【解析】令g（x）=t，则方程f（t）=λ的解有3个，由图象可得，0＜λ＜1．且三个解分别为t1=﹣1﹣λ，t2=﹣1+λ，t3=10λ，则x2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ，x2﹣4x+1+4λ=10λ，均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜，当0＜λ＜时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立，故λ的取值范围为．故答案为：．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知，计算下列各式的值.（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）利用同角基本关系式化简计算即可；（2）利用诱导公式及商数关系化简计算即可. 试题解析：由题易得：（Ⅰ）原式（Ⅱ）原式点睛：1．利用sin2＋cos2＝1可以实现角的正弦、余弦的互化，利用＝tan可以实现角的弦切互化．2．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin＋cos，sin cos，sin－cos这三个式子，利用(sin±cos)2＝1±2sin cos，可以知一求二．3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2＋cos2，sin2＝1－cos2，cos2＝1－sin2.18. 声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）（Ⅰ）一般正常人听觉能忍受的最高声强为，能听到的最低声强为，求人听觉的声强级范围；（Ⅱ）在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？【答案】(1) (2)该女高音的声强是该男低音声强的倍.【解析】试题分析：(1)由题意得：，再求的值域即可;(2)设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，由题意得到，进而得到，从而得到.试题解析：（Ⅰ）由题知：，，人听觉的声强级范围是（Ⅱ）设该女高音的声强级为，声强为，该男低音的声强级为，声强为，由题知：，则，故，该女高音的声强是该男低音声强的倍.19. 已知函数.（Ⅰ）求函数的零点的集合；（Ⅱ）设，讨论函数的零点个数.【答案】(1) (2) 当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.【解析】试题分析：(1)化简函数的解析式，明确函数图象的走势，从而得到函数的零点；(2)，研究函数的单调性及极值，从而得到函数的零点个数. 试题解析：（Ⅰ）当时，易知单调递增函数的零点的集合为.（Ⅱ）①当时，单调递增，则，②当时，单调递增，则又当时，，结合①②可知：当时，没有零点；当时，2个零点；当时，1个零点.另解：（Ⅱ）直接画出的草图，通过直观的观察拿出相应范围上的函数零点个数也给满分,20. 已知函数，若函数图象上任意一点关于原点对称的点在函数的图象上，且.（Ⅰ）写出函数的解析式和定义域；（Ⅱ）当,时，总有成立，求的取值范围；（Ⅲ）解不等式：.【答案】(1) 定义域为； (2) ；(3) 当时，；当时，【解析】试题分析：(1)由题知：，定义域为；(2)明确函数的最小值，原问题等价于，解得m的范围即可;(3)对底数a分类讨论转化为具体不等式问题.试题解析：（Ⅰ）由题知：（或），定义域为；（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，令，则当时，在上单增，又，，则原问题等价于另解：当时，单增，单减在上单增原问题等价于,（Ⅲ）当时，；当时，；结合.21. 已知函数在区间上有最大值和最小值.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，证明：对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点；（Ⅲ）设，是否存在实数m和n m＜n，使的定义域和值域分别为，如果存在，求出m和n的值．【答案】(1) ， (2)见解析（3），【解析】试题分析：(1)利用二次函数的单调性，明确函数的最值，得到关于a，b的方程组，解之即可；(2)函数的图象与直线最多只有一个交点转化为y=k与y=最多只有一个交点，(3)由可知：，即在上单增，从而转化为方程的两个不等实根.试题解析：（Ⅰ）在上单增，（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知：，令，令任取，则，，，，即为上的单增函数对任意实数，函数的图象与直线最多只有一个交点备注：若此问用分析法说明的得一半的分（Ⅲ）由题知：，，假设存在实数，使得当时，的值域为，则，，在上单增，则为方程的两个不等实根由得：，，经检验，满足条件，故存在.，.22. 已知集合是满足下列条件的函数的全体：在定义域内存在实数，使得成立.（Ⅰ）判断幂函数是否属于集合？并说明理由；（Ⅱ）设，，i）当时，若，求的取值范围；ii）若对任意的，都有，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：(1)根据条件，得到，解出x的值即可；(2) i）当时，根据及对数的运算，求出关于a的方程，再根据方程有解的条件求出a的取值范围；ii）同i）得到根据方程有解得到关于a的不等关系，解之即可.学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...学+科+网...试题解析：（Ⅰ），理由如下：令，则，即，解得：，均满足定义域.当时，（Ⅱ）当时，，,由题知：在上有解，令，则即，从而，原问题等价于或或又在上恒成立，另解：原问题等价于在上有解令，由根的分布知：或解得：或又，当或时，经检验仅满足条件ii)由i)知：对任意，在上有解，即，令，则则在上有解令，，则，即由可得：，令，则，，.点睛：本题以新定义为载体，重点考查了方程有解的问题，方程解的问题有两个转化方向，其一，转化为函数的值域问题；其二，转化为两个函数图象的交点个数问题,同时，对于初等函数二次函数要牢固掌握，很多问题最终会转化为二次函数问题.。