依分布收敛与依概率收敛
随机变量序列的两种收敛
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
2.1.4随机过程的微分与积分
2 2
且 lim E[ X n − X ] = 0, 则称随机变量序列 X n
Байду номын сангаас2 n→∞
均方收敛于 X .
均方收敛也可以表示为 : l.i.m X n = X ,
n →∞
式中 l.i.m表示均方意义下的极限 .
如果随机变量序列 X n 满足 lim E [ X n − X ] = 0,
2.1.4 随机过程的微分与积分
一、收敛 1、以概率1收敛（准处处收敛或a.e收敛,又称强收敛） 以概率1收敛（准处处收敛或a.e收敛,又称强收敛） a.e收敛
若随机变量序列 X n 满足 lim X n = X 的概率为 1, 则称
n→∞
序列 X n以概率 1收敛于 X , 记为 : lim P ( X n = X ) = 1
均方导数的运算和数学期望运算的次序可以交换
10
2、随机过程均方导数的自相关函数等于随机过程 自相关函数的二阶偏导数，即
dX (t) ∂2RX (t1, t2 ) 若Y(t) = X ' (t) = , 则: RY (t1, t2 ) = dt ∂t1∂t2
X (t1 + ∆t ) − X (t1 ) 证明 : RY (t1 , t 2 ) = E[Y (t1 )Y (t 2 )] = E[l.i.m ⋅ Y (t 2 )] ∆t → 0 ∆t
∂RXY (t1, t2 ) ∂2RX (t1, t2 ) RY (t1, t2 ) = = ∂t1 ∂t1∂t2
12
例 : 设Y (t ) = X ' (t ), m X (t ) = 2 sin t , R X (t1 , t 2 ) = e
概率论四种收敛性25页PPT
E(X)np7000, D (X)npq2100.
由车贝晓夫不等式可得:
P {6800X7200} P {|X7000|200}12 21 00 00 20.95．
例2：已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细 胞数平均是7300，标准差是700 . 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概 率.
1( 700 )2 1 1 8
2100
99
即估计每毫升白细胞数在5200~9400之间的概率不 小于8/9 .
例3：在每次试验中，事件A发生的概率为 0.75, 利 用车贝晓夫不等式求：n需要多么大时，才能使得在 n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之 间的概率至少为0.90?
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002
所求为 P(5200 X 9400) P(5200X 9400)
= P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)| 2100}
由车贝晓夫不等式
P{ |X-E(X)| 2100}
1
D( X ) (2100)2
= P{ |X-E(X)| <0.01n}
在车贝晓夫不等式中取 0.01n，则
P(0.74X0.76)= P{ |X-E(X)| <0.01n} n
1
D(X) (0.01n)2
1
0.187n5 0.000n12
1 1875 n
依题意，取 118750.9 n
解得
n 187518750
10.9
即n 取18750时，可以使得在n次独立重复试验中, 事件A出现的频率在0.74~0.76之间的概率至少为0.90 .
概率与统计：中心极限定理
案例分析—积分的蒙特卡罗计算
蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值 计算方法有很大区别。它以概率统计理论为基础。 由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点 及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问 题，因而该方法的应用领域日趋广泛。 其基本思想是：当所求问题的解是某个事件的概 率，或者是某个随机变量的期望，或与概率、数学 期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事 件发生的频率，或该随机变量若干个观察值的算术 平均值，根据大数定律得到问题的解；
x n p{ X i x} ( ) n i 1
n
例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于 300的概率是多少？ 2.德莫佛-拉普拉斯中心极限定理 (De Moivre-Laplace)(p105) 设随机变量n(n=1, 2, ...)服从参数为n, p(0<p<1) 的二项分布，则
概率与统计
中心极限定理
5.2. 中心极限定理 一.依分布收敛*
设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其 对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的 连续点，有 lim F ( x ) F( x ),
则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为
n n
Xn X.
w 现 令Yn X k , 若Yn的 标 准 化 r .v .Yn* ~ N (0, 1), k 1 n
检验员逐个检查某种产品，每查一件花10秒 时间，有的产品可能要复查一次而再花10秒时间. 假定每一件产品需复查的概率为1/2，求在8小时 内检验员能够至少检查1900件的概率. 解法一: 设Xi 为检查第i件产品所花时间,则
10 此件不需复查 Xi E ( X i ) 15, D( X i ) 25 20 此件需复查
李贤平-概率论基础-Chap5
1 1 1/ 2 1/ 2
(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
依概率收敛
2：定理， X n P X X n L X （或 Fn x W F (x) ）
证明：往证
F
x
0
lim
n
Fn
(x)
lim
n
Fn
(x)
F
x
0
：
先令 x' x
X x' X x'，X n x X n x X x'，X n x X x'，X n x
因此 PX x' PX x'，X n x X x'，X n x
对于随机变量序列X i ,i 1,2,...和某个随机变量 X ，假定 X 的 cdf 为 Fx ，
若，对于 Fx 得任何连续点 x ，都成立 PX i x n PX x，即
Fi x n F x ，则称随机变量序列 X i ,i 1,2,...依分布收敛到随机变量 X 。
也可以说，cdfs Fi x,i 1,2,....弱收敛到 Fx
P Xn 1 1, n
则他的分布函数：
n=1,2,3........
Fn
x
0
1
x1 n
x1 n
在点点都收敛的情况下 Fnx 的极限函数是：
注意极限函数后面限制中的 x 与分布函数是同等地位的 第一段：当n 时，即极限函数中x lim 1 0,而分布函数中的第一段
n n x 1 , (n 1,2) 包含了x 0的情形，所以：
F(x') PX x' PX x'，X n x PX x'，X n x Fn (x) PX x'，X n x
Fn (x) PX n X x x' Fn (x) P X n X x x'
第六章均方微积分
6 均方微积分均方极限均方连续均方微分均方积分均方随机微分方程6.1 均方极限随机变量序列极限定义1、依概率收敛若对于任意给定的正数ε>0，随机变量序列Xn满足则称序列Xn依概率收敛于X。
2、以概率1收敛若随机变量序列Xn满足则称序列Xn 以概率1收敛于X。
lim()1nnP X X→∞== lim(||)1nnP X Xε→∞−<=6.1 均方极限3、分布收敛设随机序列X n 的概率分布函数在x 的每一连续点收敛于随机变量X 的概率分布函数，则称随机序列X n 依分布收敛于X ，记为4、均方收敛设有随机序列X n 和随机变量X ，且，若则称随机序列X n 均方收敛于X ，X 是X n 的均方极限，记为2||n E X <+∞2||E X <+∞2lim ||0n n E X X →∞−=l.i.m n n X X →∞=lim ()()n X X n F x F x →∞=6.1 均方极限均方极限性质(1) 均方极限是唯一的,即若且则(2)若, 则(极限与数学期望可交换次序)l.i.m n n X X→∞=l.i.m n n X Y →∞={}1P X Y ==l.i.m n n X X →∞=lim ()(l.i.m )()n n n n E X E X E X →∞→∞==6.1 均方极限均方极限性质(3) 若, , 则(4)若, , 则对任意常数a,b 有(线性)l.i.m m m X X →∞=l.i.m n n Y Y →∞=l.i.m n n X X →∞=l.i.m()n n n aX bY aX bY →∞+=+lim ()()m n n m E X X E XY →∞→∞=2lim ()()m n n m E X X E X →∞→∞=l.i.m n n Y Y →∞=6.1 均方极限均方极限性质(5) 设{a n }为普通数列,若, 则(6)若均方收敛必依概率收, 即若,则lim 0n n a →∞=l.i.m()0n n a X →∞=l.i.m n n X X→∞=lim (||)1n n P X X ε→∞−<=lim (||)0n n P X X ε→∞−≥=6.1 均方极限随机过程均方极限设随机过程{X (t),t ∈T}是二阶矩过程, X 是二阶矩变量,t 0∈T, 若则称当t →t 0时, 随机过程X(t)均方收敛于X ，或称X 是X(t)的均方极限，记为2lim |()|0t t E X t X →−=0l.i.m ()t t X t X →=随机过程均方极限的性质与随机变量序列均方极限性质类似。
高等教育：概率论四种收敛性
第三章3・1四种收敛性车贝晓夫不等式2几乎处处收敛3依概率收敛4依分布收敛5r■阶收敛【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有I•阶绝对矩，EX 「<00,则对任意£ > 0有P(\X\>s)<^4-【证明】设X的分布函数为F(x)，则有:P(\X\>£)= f dF(x) < f x-\rdF(x)1 r00 ir< —-f x dF(x) 』J・8引理的特殊情况： P(|X|> £)<纟甲取一2,并以X ・E(X)代替X 得车贝晓夫不等式 * 【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X 有2阶中心矩，E[X-E(X)] 则对任意£ > 0有P (|X -E (X )|>^)<^2【证明】设X 的分布函数为尸(兀)，则有：DX = f (X -E(X))2JF(X )>f (x-E(X))2dF(x)\x-E(X)\^> J£2dF(x)= e 2P{\X-E(X)\>e}从而尸(|X - E(X)\ >e)< 代耳 <=^> P(\X 一 E(X)\ <^)>1-2^8 82 <00,P(\X-E(X)\<s)>l-^^ 8由车贝晓夫不等式可以看出，若b?越小，贝!I 事件［\X-E(X)\<£］的概率越大，即随机变量X集中在期望附近的可能性越大.特别地，若D(X)=O,则对任意£>0,恒<P{|X-EX|>g}|0- 因此P{X HE¥} = 0,即P{X = EX} = 1,所以方差为0的随机鑼是常数菱P{\X-E(X)\>当方差已知时，车贝晓夫不等式给出了/X与它的期望的偏差不小于8的概率的估计式・如取£ = 3b2P{IX-E(X)I> 3<r} <— ".1119(7 屋可见，对任给的分布，只要期望和方差亍存蠹则r.v X取值偏离超过3a的概率小于0.1117二车贝晓夫不等式的用途:车贝晓夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就可对的概率分布进行估计。
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依分布收敛与依概率收敛
依分布收敛与依概率收敛是概率论和统计学中的两个重要概念，常
用于描述随机变量序列的收敛性质。
下面分别介绍这两种收敛的定义
和特点。
依分布收敛：
所谓依分布收敛，是指随机变量序列逐渐趋向于某个分布的过程。
具
体而言，对于一组随机变量序列{Xi}和分布函数F(x)，如果对于任意
的x，当n趋向于无穷大时，有Fn(x)都趋向于F(x)，则称{Xi}依分布
收敛于分布函数F(x)，记作Xi~F(x)。
依分布收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个分布函数，可以通过累加分布函数来计算概率值。
2. 收敛的充分条件是连续的性质，具有普遍性。
3. 各种随机变量均可以进行依分布收敛。
依概率收敛：
依概率收敛是指随机变量序列以大概率趋近于某一常数的过程。
具体
而言，对于一组随机变量序列{Xi}和常数a，如果对于任意的小于等于ε（ε>0），有lim P(|Xi-a|>ε)=0，则称{Xi}依概率收敛于a，记作Xi→a （p）。
依概率收敛的特点是：
1. 收敛的结果是一个确定值，其概率趋向于1。
2. 收敛的充分条件是可测性的性质，具有更弱的条件限制。
3. 仅限于实数的随机变量序列（也可以进行有限维的推广）。
以上是依分布收敛与依概率收敛的定义和特点，两者之间存在差异，但都是表示随机变量序列逐渐趋向于某一结果的重要方法。
在实际应用中，需要根据具体问题和需求选择适合的方法进行处理。