黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
一、单选题
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
1. 抛物线的准线方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2. 为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从，
，三所中学抽取60名教师进行调查，已知
，，三所学校中
分别有180，270，90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ）A ．10
B ．12
C ．18
D ．24
3. 竞赛获奖的3名学生和2名指导老师站成一排合影，则2名老师相邻的排法种数为（ ）A ．12
B ．36
C ．48
D ．120
4. 对于常数、，“”是“方程表示的曲线是双曲线”的（ ）
A ．充分非必要条件
B ．必要非充分条件
C ．充要条件
D ．既非充分又非必要条件
5. 执行如图的程序框图，输出的值为（）
A．65B．64C．63D．33
6. 将十进制数61化成四进制数的末位数字是（）
A．1B．2C．0D．3
7. 对具有线性相关关系的两个变量和，测得一组数据如下表所示：
24568
20406070
根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为，则（）
A．85.5B．80C．85D．90
8. 设，则（）
A．8B．16C．32D．64
二、填空题
9. 如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有200粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
10. 甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（ ）A ．
B ．
C ．
D ．
11. 在棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为，则点到
直线的距离为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12. 双曲线，过定点的两条垂线分别交双曲线于
、
两点，直恒过定点（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
13. 在的展开式中，的系数为_____．（用数字作答）
14. 过椭圆右焦点的最短弦长为________.
三、解答题
15.
如图，在平行六面体中，以顶点为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则
__________.
16. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线
就是其中之一（如图），给出下列三个结论：
①曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
②曲线上任意一点到原点的距离都不超过.
③曲线
所围成的“花形”区域的面积小于4.
其中，所有正确结论的序号是_______.
17. 为节约生活用水，某市计划试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定出居民月均用水量标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：），并制作了频率分布直方图
.
（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整，并说明理由；
（2）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数.
18. 如图，在直三棱柱中，，，，，为的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制，按男、女生比例采用分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动.在活动前对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图.
（1）根据这10名同学的测试成绩，估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；
（2）若成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取2名男生，2名女生，求这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.
20. 如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面P AD所成角为45º，是的中点，E是BC上的动点．
（1）证明：PE⊥AF；
（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．
21. 某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：
日期11月1日11月2日11月3日11月4日11月5日
温差（℃）811121310
发芽数（颗）1625263023
设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.
（参考：，）
（1）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据进行检验，请根据11月2日至11月4日的三组数据，求出关于的线性回归方程；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？
22. 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过坐标原点的直线交椭圆于两点，在第一象限，轴，垂足为，连接延长交椭圆于点.
①求证：；
②求面积最大值.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高一上学期9月月考数学试题
22．已知关于 x 的不等式 ax2 3x 2 0 的解集为x x 1或 x b.
(1)求 a ， b 的值；
(2)已知 c R ，解关于 x 的不等式 cx2 c b x a 0 .
4
试卷第 4页，共 4页
黑龙江省哈尔滨市第九中学校 2023-2024 学年高一上学期 9 月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合U R ，若集合 A {x | 1 x 1}， B {x | x 0} ，则 ðU A B （ ）
A． x y
B．
x y
1
C．
1 x
1 y
） D． x3 y3
11．已知 a 0 ， b 0 ， a 2b 1 ，下列说法正确的是（ ）
A． ab 1 8
C． ab b2 1 2
B． a2 4b2 1 2
D．
ab 2a
b
1 16
三、单选题 12．已知区间 (a, b) 是关于 x 的一元二次不等式 mx2 2x 1 0 的解集，则 3a 2b 的最小
序列”．
(1)对于 2、3、7、11，有序数对 3,11 是 2, 7 的“下位序列”吗？请简单说明理由；
(Hale Waihona Puke )设 a、b、a、d均为正数，且 a,b 是 c, d 的“下位序列”，试判断
a 、c bd
、a c b d
之间的
大小关系．
19．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜
园的长为 xm，宽为 ym．
(1)若菜园面积为 18m2，则 x，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题
的不等式 (x 2) f x f 7 的解集为（ ）
A．x 1 x 2 或 x 4 C．x 1 x 4
B．x x 7 D．x x 1或 2 x 4
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6．已知函数
f
x
x2
a x
2ax, x 2
4
的最大值为 ,x 2
2x
1，则实数
a
的值为（
）
两点，且 A，B 两ห้องสมุดไป่ตู้的横坐标分别为 3 ， 5 . 5 13
(1)求 cos 的值；
(2)求 sin 2 cos2 的值. 1 cos 2
18．在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为 60 米的水底进行作业，根据
以往经验，潜水员下潜的平均速度为 v
(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为
D．若 g x f x 1 ax2 在 x 0 处取得极小值，则 a 0 或 2
2
11．已知函数 f x log1 ax2 3ax 2 ，下列说法正确的是（ ）
3
A．若 f x 值域为 R ，则 a 8
9
B．若
f
x
定义域为
R
，则
a
0,
8 9
C．若 f x 最大值为 0，则 a 4
v 10
3
1
(升)，在水底作业 10 个单位时间，每单位时间用氧量为 0.9(升)，返回水面的平均速度
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v 为 (米/单位时间)，每单位时间用氧量为 1.5(升)，记该潜水员在此次考察活动中的总
2 用氧量为 y (升). (1)求 y 关于 v 的函数关系式；
(2)若 c v 15c 0 ，求当下潜速度 v 取什么值时，总用氧量最少.
专题12 利用导数解决函数的单调性-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】(原卷版)
专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
黑龙江哈尔滨高第九中学2019-2020学年度上学期期中考试高一生物试题
哈尔滨市第九中学2019---2020学年度上学期期中学业阶段性评价考试高一学年生物学科试卷本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），共53题，满分90分，考试时间70分钟。
第I卷一、选择题（本题包括50小题，每题只有一个选项符合题意，1-40题每题1分,41-50题每题2分，合计60分）1. 下列组合中，依次属于种群、群落和生态系统的一组是①公园中的全部菊花②一块棉田中的所有棉蚜③一个果园中所有的果树及其无机环境④一片原始森林中的全部动物和绿色植物⑤东海岛的全部生物⑥瑞云湖公园中的全部生物及其无机环境A．①③⑥B．②④③C．②⑤⑥D．①⑤③2.细胞的统一性体现在①一切生物都由细胞和细胞产物组成②细胞都有相似的基本结构，如细胞膜、细胞质等③真核细胞细胞核内有染色体，原核细胞无染色体，但有拟核，其中都含有DNA ④真核细胞和原核细胞都多种多样A.②④B.②③C.①②D.①②③3.下列关于细胞学说及其建立的叙述，正确的项数是①细胞学说认为细胞分为真核细胞和原核细胞②细胞学说的重要内容之一是：动物和植物都是由细胞发育而来的③细胞学说主要是由施莱登和施旺提出④细胞学说认同细胞是一个绝对独立的单位A.一项B.两项C.三项D.四项4. 下列关于显微镜的操作正确的是A. 移动装片,视野中的污点不动,说明污点在物镜上B. 换用高倍镜后视野变暗,可换用大的通光孔提高亮度C. 视野左上方有一细胞,往左上方移动玻片可使其移到视野中央D. 换高倍镜后,先用粗准焦螺旋再用细准焦螺旋调至物像清晰5. 在光线充足的实验室里，观察某植物细胞时，在显微镜视野中能清晰地观察到细胞的轮廓，但是看不清内部结构。
为便于判断，此时应A. 改用凹面反光镜、放大光圈B. 改用凹面反光镜、缩小光圈C. 改用平面反光镜、放大光圈D. 改用平面反光镜、缩小光圈6.下列关于原核细胞与真核细胞的叙述，错误的是A．蓝藻和水绵细胞中都含有核糖体B．细菌细胞膜与真菌细胞膜相似C．发菜与草履虫都有染色体D．蓝球藻和小球藻都有细胞壁，但成分不同7.生物界在基本组成上的高度一致性表现在(1)组成生物体的化学元素基本一致 (2)各种生物体的蛋白质都相同(3)构成核酸的碱基都相同 (4)各种生物体的核酸都相同(5)构成蛋白质的氨基酸都相同.A. (1)(2)(4)B. (1)(3)(5)C. (2)(4)(5)D. (1)(2)(3)8.如图所示为组成人体细胞的主要的元素及其比例。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．5B．156．已知A，B是曲线||x-最大值与最小值的比值是（A．5B．3-7．在平行六面体ABCD ABD=（∠= ，则1DAB60二、多选题9．直线()12:0,:00,l ax y b l bx y a ab a b --=-+=≠≠，下列图象中正确的是（）A ．B ．C ．D ．10．（多选题）两条平行直线l 1，l 2分别过点P (-1，3)，Q (2，-1)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间的距离可能取值为（）A ．1B ．3C ．5D ．711．下列结论正确的是（）A ．若向量,,a b c是空间一组基底，则,,23-+- a b a c c b 也是空间的一组基底B ．直线l 的方向向量()0,3,0a = ，平面α的法向量是()0,5,0u =-，则//l αC ．若()()()2,1,4,4,2,0,0,4,8AB AC AP =--==--，则点P 在平面ABC 内D ．若向量m 垂直于向量a 和b ，向量,(,λμλμ=+∈ n a b R 且,0λμ≠），则//m nu r r12．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 是棱1DD 上的动点，则下列说法正确的是（）三、填空题四、解答题17．已知点()2,1A -，()2,3B ，()1,3C --：(1)若BC 中点为D ，求过点A 与D 的直线方程；(2)求过点B 且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程．18．已知ABC 的顶点()4,1A ，AB 边上的高所在直线平行于直线3510x y +-=，角B 的平分线所在直线方程为50x y --=(1)求点B 坐标；(2)求BC 边所在直线方程.19．已知圆C 经过()2,3-，()4,3，()1,0三点.(1)求圆C 的方程；(2)设点A 在圆C 上运动，点()7,6B ，且点M 满足2AM MB =，记点M 的轨迹为Γ，求Γ的方程.20．如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C 分别为AM ，MD 的中点．在五棱锥P ABCDE -中，PA ⊥底面ABCDE ，且PA AE =，F 为棱PE 的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G ，H ．(1)求直线BC 与平面ABF 所成角的大小；(2)求线段PH 的长．21．直线l 过点()3,2P 且与x 轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点．(1)若直线l 与直线2320x y +-=垂直，求直线l 的方程；(2)如图，若2AP PB =，过点P 作平行于x 轴的直线交y 轴于点M ，动点E 、F 分别在线段MP 和OA 上，若直线EF 平分直角梯形OAPM 的面积，求证：直线EF 必过一定点，并求出该定点坐标．22．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC AA ==，D 为11A B 的中点，G 为1AA 的中点，E 为1C D 的中点，3BF AF =，点P 为线段1BC 上的动点（不包括线段1BC 的端点）．（1）若//EP 平面CFG ，请确定点P 的位置；（2）求直线CP与平面CFG所成角的正弦值的最大值．。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高二(上)期中数学试卷(理科)及答案
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分，请将答案填涂在客观题答题卡上）1．（5分）抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．1D．22．（5分）椭圆＝1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2B．2C．4D．43．（5分）已知原命题“若a＝1，则（a﹣1）（a﹣2）＝0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题4．（5分）点P（﹣3，0）是圆x2+y2﹣6x﹣55＝0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，如图，则圆心M的轨迹方程为（）A．B．C．D．5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1C．2D．47．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（）A．B．8C．D．168．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且与椭圆＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（）A．B．C．D．10．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）经过一、三象限的渐近线斜率为k，当k＞1时，则双曲线离心率的取值范围（）A．B．C．D．11．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆的离心率e＝，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P（4，0）的直线交抛物线A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于M，N点，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则＝（）A．1B．2C．3D．4二、填空题（13-15每小题5分，16小题第一问2分，第二问3分，共20分.）13．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是．15．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝．16．（5分）已知椭圆方程为＝1（a＞b＞0），过椭圆外一点P可以做出两条切线（如图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”．若P点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P到原点的距离始终为一个定值，即P的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是.若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCD的面积最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过点（﹣1，1），若过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为．（1）求|AB|；（2）若P是抛物线上的一个动点，设B（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．20．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．21．（12分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A、B两点，过原点的直线l2交椭圆于C、D 两点．若l1∥l2，求证：为定值．22．（12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S 和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨九中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，请将答案填涂在客观题答题卡上）1．（5分）抛物线y2＝2x的焦点到其准线的距离是（）A．B．C．1D．2【分析】利用抛物线y2＝2px（p＞0）中p的几何意义即可得答案．【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝2x，∴2p＝4，p＝1．由p的几何意义可知，焦点到其准线的距离是p＝1．故选：C．【点评】本题考查抛物线的简单性质，掌握抛物线y2＝2px（p＞0）中p的几何意义是关键，属于基础题．2．（5分）椭圆＝1过点（﹣2，），则其焦距为（）A．2B．2C．4D．4【分析】先由条件把椭圆经过的点的坐标代入椭圆的方程，即可求出待定系数m，从而得到椭圆的标准方程，再根据椭圆的a，b，c之间的关系即可求出焦距2c．【解答】解：由题意知，把点（﹣2，）代入椭圆的方程可求得b2＝4，故椭圆的方程为，∴a＝4，b＝2，c＝＝＝2，则其焦距为4．故选：D．【点评】本题考查用待定系数法求椭圆的标准方程，以及椭圆方程中a、b、c之间的关系．3．（5分）已知原命题“若a＝1，则（a﹣1）（a﹣2）＝0”，那么原命题与其逆命题的真假情况是（）A．原命题为真，逆命题为假B．原命题为假，逆命题为真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题【分析】根据原命题“若p，则q”，写出它的逆命题是“若q，则p”，再判断它们的真假性．【解答】解：原命题“若a＝1，则（a﹣1）（a﹣2）＝0”，是真命题；所以它的逆命题是“若（a﹣1）（a﹣2）＝0，则a＝1”，是假命题；因为（a﹣1）（a﹣2）＝0时，a＝1或a＝2，所以是假命题．故选：A．【点评】本题考查了四种命题的应用问题，是基础题．4．（5分）点P（﹣3，0）是圆x2+y2﹣6x﹣55＝0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，如图，则圆心M的轨迹方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知条件可得所求圆的圆心M到点P和圆C的圆心的距离的和为定值，符合椭圆定义，且求得a，c的值，再由b2＝a2﹣c2求得b2，则椭圆方程可求．【解答】解：圆x2+y2﹣6x﹣55＝0的圆心C的坐标为（3，0），半径为8，又动圆M与已知圆相切，可得|MP|+|MC|＝8＞|PC|，即所求圆的圆心M到点P和点C的距离的和为定值．∴点M的轨迹是以点P和点C为焦点，长轴长为8椭圆，由椭圆定义得2a＝8，a＝4，c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝16﹣9＝7．故所求的圆心M的轨迹方程为+＝1．故选：B．【点评】本题考查了轨迹方程的求法，训练了利用定义法求椭圆的轨迹方程，是中档题．5．（5分）以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：b＝c，所以a＝，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b＝c，所以a＝，所以离心率e＝．故选：B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．6．（5分）已知双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M 到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（）A．B．1C．2D．4【分析】利用ON是△MF1F2的中位线，ON＝MF1，再由双曲线的定义求出MF1，进而得到|ON|的值．【解答】解：∵双曲线＝1的左、右焦点分别为F1、F2，左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，连接MF1，ON是△MF1F2的中位线，∴ON∥MF1，ON＝MF1，∵由双曲线的定义知，MF2﹣MF1＝2×5，∴MF1＝8．∴ON＝4，故选：D．【点评】本题以双曲线的标准方程为载体，考查双曲线的定义，考查三角形中位线的性质，属于基础题．7．（5分）设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|＝（）A．B．8C．D．16【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF 的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x＝﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|＝6+2＝8故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义、抛物线的焦点与准线、直线与抛物线的位置关系，考查了等价转化的思想．8．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且与椭圆＝1有相等的焦距，则C的方程为（）A．B．C．D．【分析】利用双曲线的离心率以及焦距，求出a、c，然后求解b，即可得到双曲线方程．【解答】解：椭圆＝1的焦距：2c＝4，双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，且与椭圆＝1有相等的焦距，可得，解得a＝1．则b＝．所以双曲线方程为：．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单性质，双曲线的简单性质以及双曲线方程的求法，是基础题．9．（5分）一个正三角形的顶点都在抛物线y2＝4x上，其中一个顶点在坐标原点，这个三角形的面积是（）A．B．C．D．【分析】根据抛物线方程先设其中一个顶点是（x，2），根据正三角形的性质＝tan30°＝求得x，进而可得另两个顶点坐标，最后根据面积公式求得答案．【解答】解：设其中一个顶点是（x，2）因为是正三角形所以＝tan30°＝即解得x＝12所以另外两个顶点是（12，4）与（12，﹣4）三角形的面积12•（4+4）＝48故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的应用．利用抛物线性质解决解三角形问题．10．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）经过一、三象限的渐近线斜率为k，当k＞1时，则双曲线离心率的取值范围（）A．B．C．D．【分析】利用渐近线斜率的范围，得到a，b不等式，然后求解离心率的范围．【解答】解：依题意双曲线＝1（a＞0，b＞0）经过一、三象限的渐近线斜率为k，当k＞1时，可知＞1，则离心率e＝＝∈（，+∞）．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，比较基础．11．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1：+＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2＝90°，若椭圆的离心率e＝，则双曲线C2的离心率e1为（）A．B．C．D．【分析】利用椭圆与双曲线的定义列出方程，通过勾股定理求解离心率即可．【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1|+|MF2|＝2a，|MF1|﹣|MF2|＝2a1，所以|MF1|＝a+a1，|MF2|＝a﹣a1．因为∠F1MF2＝90°，所以，即，即，因为，所以．故选：B．【点评】本题考查双曲线以及椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．12．（5分）如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P（4，0）的直线交抛物线A（x1，y1），B（x2，y2）两点，直线AF，BF分别与抛物线交于M，N点，记直线MN的斜率为k1，直线AB的斜率为k2，则＝（）A．1B．2C．3D．4【分析】求得抛物线的焦点F，设AB：x＝my+4，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，设M（x3，y3），N（x4，y4），直线AM：x＝ny+1，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式，化简整理可得所求值．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），设AB：x＝my+4，与抛物线y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣16＝0，可得y1+y2＝4m，y1y2＝﹣16，设M（x3，y3），N（x4，y4），直线AM：x＝ny+1，与抛物线的方程联立，可得y2﹣4ny﹣4＝0，则y1y3＝4n，y1y3＝﹣4，同理可得y2y4＝﹣4，则＝•m＝•＝＝＝﹣＝4，故选：D．【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、填空题（13-15每小题5分，16小题第一问2分，第二问3分，共20分.）13．（5分）命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为[﹣2，2]．【分析】根据题意，原命题的否定“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．【解答】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△＝9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．故答案为：[﹣2，2]【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14．（5分）如果椭圆的弦被点（4，2）平分，那么这条弦所在直线的方程是x+2y ﹣8＝0．【分析】设弦的两端点的坐标，代入椭圆方程，作出整理可得直线斜率，再由直线方程点斜式得答案．【解答】解：设弦的两端点A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，，两式相减得，即k＝，∴弦所在的直线方程y﹣2＝﹣（x﹣4），即x+2y﹣8＝0．故答案为：x+2y﹣8＝0．【点评】本题考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用“点差法”求解与弦中点有关的问题，是中档题．15．（5分）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝5，则|BF|＝．【分析】根据抛物线的定义，结合|AF|＝5，求出A的坐标，然后求出AF的方程求出B 点的横坐标即可得到结论．【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设A（x，y），则|AF|＝x+1＝5，故x＝4，此时y＝4，即A（4，4），则直线AF的方程为，即y＝（x﹣1），代入y2＝4x得4x2﹣17x+4＝0，解得x＝4（舍）或x＝，则|BF|＝+1＝，故答案为：．【点评】本题主要考查抛物线的弦长的计算，根据抛物线的定义是解决本题的关键．16．（5分）已知椭圆方程为＝1（a＞b＞0），过椭圆外一点P可以做出两条切线（如图一），我们形象的称为“筷子夹汤圆”．若P点在变化过程中，保持两根“筷子”垂直不变，则P到原点的距离始终为一个定值，即P的运动轨迹为一个以原点为圆心，半径为定值的一个圆，我们把该圆称为椭圆的“准圆”，试写出该“准圆”的方程是x2+y2＝a2+b2.若矩形ABCD的四条边都与该椭圆相切（如图二），则矩形ABCD的面积最大值为2（a2+b2）．【分析】根据特殊位置P点的坐标，求得准圆的半径，由此求得准圆方程，根据圆内接矩形的几何性质，求得矩形ABCD的面积的最大值．【解答】解：由于准圆上的点P到原点的距离一直为一个定值，不妨取P（a，b），则P到原点的距离为，所以准圆的半径为，准圆的方程为x2+y2＝a2+b2，由于四边形ABCD是准圆的内接矩形，对角线AC，BD是准圆的直径，所以OA＝OB＝OC＝OD，所以当AC⊥BD时，矩形ABCD的面积最大，最大值为4×，故答案为：x2+y2＝a2+b2；2（a2+b2）．【点评】本题主要考查了新定义圆的概念的理解和运用，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（10分）已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．【分析】根据不等式的性质求解命题p，q以及￢p和￢q，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论【解答】解：由题意p：﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5．∴￢p：x＜1或x＞5．q：m﹣1≤x≤m+1，∴￢q：x＜m﹣1或x＞m+1．又∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴或∴2≤m≤4．因此实数m的取值范围是[2，4]．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，属于基础题．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于，求动点P的轨迹方程．【分析】设出P的坐标，利用直线AP与BP的斜率之积等于，列出方程化简求解即可．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．由题意得，化简得x2+3y2＝4（x≠±1），故动点P的轨迹方程为x2+3y2＝4（x≠±1）．【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查．19．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过点（﹣1，1），若过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为．（1）求|AB|；（2）若P是抛物线上的一个动点，设B（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．【分析】（1）利用抛物线的准线方程经过的点，求解p，得到抛物线方程，然后利用抛物线的性质求解|AB|；（2）过B作BA⊥准线，交准线于点A，则|PB|+|PF|的最小值为|AB|，由此能求出|PB|+|PF|的最小值．【解答】解：（1）因为抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过点（﹣1，1），所以﹣，即可得p＝2，从而可得抛物线方程为：y2＝4x，过焦点F的直线l与抛物线交于A、B两点，若A、B两点的横坐标之和为．|AB|＝x A+x B+p＝+2＝．（2）∵抛物线y2＝4x的焦点是F，∴焦点F（1，0），准线方程x＝﹣1，如图，过B作BA⊥准线，交准线于点A，∴|PB|+|PF|的最小值为|AB|，∵B（3，2），∴|PB|+|PF|的最小值（|PB|+|PF|）min＝|AB|＝1+3＝4．【点评】本题考查抛物线、直线方程等基础知识，考查两线段和的最小值的求法，逻辑推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题20．（12分）已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．（1）若|AF|+|BF|＝4，求l的方程；（2）若＝3，求|AB|．【分析】（1）根据韦达定理以及抛物线的定义可得．（2）若＝3，则y1＝﹣3y2，⇒x1＝﹣3x2+4t，再结合韦达定理可解得t＝1，x1＝3，x2＝，再用弦长公式可得．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝（x﹣t），将其代入抛物线y2＝3x得：x2﹣（t+3）x+t2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝＝2t+，①，x1x2＝t2②，由抛物线的定义可得：|AF|+|BF|＝x1+x2+p＝2t++＝4，解得t＝，直线l的方程为y＝x﹣．（2）若＝3，则y1＝﹣3y2，∴（x1﹣t）＝﹣3×（x2﹣t），化简得x1＝﹣3x2+4t，③由①②③解得t＝1，x1＝3，x2＝，∴|AB|＝＝．【点评】本题考查了抛物线的性质，属中档题．21．（12分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设过椭圆右焦点的直线l1交椭圆于A、B两点，过原点的直线l2交椭圆于C、D 两点．若l1∥l2，求证：为定值．【分析】（Ⅰ）依题意，．结合离心率求出a，然后求解椭圆方程．（Ⅱ）（1）当直线AB的斜率不存在时，验证结果．（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意k≠0，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1），直线CD的方程为y＝kx．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D （x4，y4），联立直线与椭圆方程，结合弦长公式转化求解即可．【解答】（本小题14分）解：（Ⅰ）依题意，．由，得．∴椭圆E的方程为．（Ⅱ）证明：（1）当直线AB的斜率不存在时，易求|AB|＝3，，则．（2）当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，依题意k≠0，则直线AB的方程为y＝k（x﹣1），直线CD的方程为y＝kx．设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，则，，＝＝．由整理得，则.．∴．综合（1）（2），为定值．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆的方程的求法以及简单性质的应用，考查分析问题解决问题的能力．22．（12分）已知椭圆的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，直线x+y+1＝0与以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆C上一点，若过点M（0，2）的直线l与椭圆C相交于不同的两点S 和T，满足（O为坐标原点），求实数t的取值范围．【分析】（1）圆心到直线x+y+1＝0的距离，由椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，知b＝c，由此能求出椭圆方程．（2）当直线l的斜率不存在时，可得t＝0；当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y＝kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识，结合已知条件能求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）由题意，以椭圆C的上焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为x2+（y﹣c）2＝a2，∴圆心到直线x+y+1＝0的距离∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c，，代入得b＝c＝1，∴，故所求椭圆方程为…（4分）（2）当直线l的斜率不存在时，可得t＝0，适合题意．…（5分）当直线l的斜率存在时，t≠0，设直线l方程为y＝kx+2，设P（x0，y0），将直线方程代入椭圆方程得：（k2+2）x2+4kx+2＝0，…（6分）∴△＝16k2﹣8（k2+2）＝8k2﹣16＞0，∴k2＞2．设S（x1，y1），T（x2，y2），则，…（7分）由，当t≠0，得…（8分）整理得：，由k2＞2知，0＜t2＜4，…（10分）所以t∈（﹣2，0）∪（0，2），…（11分）综上可得t∈（﹣2，2）．…（12分）【点评】本题考查椭圆方程求法，考查实数的取值范围的求法，考查椭圆、韦达定理、根的判别式、直线方程、向量知识等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(无答案)
哈尔滨市第九中学校2024—2025学年度上学期期中学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟，满分150分）第I 卷（选择题共58分）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，每小题只有一项是符合题目要求的）1.已知直线过点且与直线平行，则直线的一般式方程为（）A.B.C. D.2.“”是“直线与直线垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知为椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，，则的面积为（）A.6 B.8 C.D.4.正方体的棱长为1，则（ ）A. B. C.0 D.15.已知点分别是椭圆的左焦点､右顶点，满足，则椭圆的离心率等于（）6.已知是椭圆上的动点，是线段上的点，且满足，则动点的轨迹方程是（ ）A. B.C. D.7.已知平面的一个法向量为，点在外，点在内，且，则点到平面的距离（ ）1l ()2,5A 2:240l x y +-=1l 290x y ++=290x y +-=290x y ++=290x y +-=1a =()110ax a y +--=()110a x ay -+-=12,F F 2211612x y +=P 2135PF PF =12PF F V 1521111ABCD A B C D -()()1AB AD AD AA +⋅+= 2-1-,F A ()222210x y a b a b+=>>()0,B b 0FB AB ⋅= ()4,4,P Q --22216x y +=M PQ 13PM MQ = M 22(3)2(3)1x y -+-=22(3)2(3)1x y +++=22(1)2(1)9x y +++=22(1)2(1)9x y -+-=α()2,2,1n =- M αN α()1,4,3MN =-- M αd =A.1B.2C.3D.48.若圆上恰有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（）A. B. C.D.二､多选题（共3小题，每小题有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A.若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则B.若空间中任意一点，有，则四点共面C.若空间向量满足，则与夹角为钝角D.若空间向量，则在上的投影向量为10.已知直线和圆，则下列选项正确的是（）A.直线恒过点B.圆与圆公共弦所在直线方程为C.直线被圆截得的最短弦长为D.当时，圆上存在无数对关于直线对称的点11.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点A ，与下半圆交于点，则下列说法正确的有（ ）A.椭圆的长轴长为B.线段长度的取值范围是()2221:(1)(2)0C x y rr ++-=>:43100l x y --=r ()3,∞+()5,∞+()3,5[]3,5l ()2,4,2m =- α()1,2,1n =--l α⊥O 111362OP OA OB OC =++ ,,,P A B C ,a b 0a b ⋅< a b ()()1,0,1,0,1,1a b ==- a b 110,,22⎛⎫- ⎪⎝⎭:10l kx y -+=22:(1)(2)4M x y -+-=l ()0,1-M 22:1C x y +=210x y +-=lM 1k =M l ()0,2F y G OBAB 4,2⎡+⎣C.面积的最小值是4D.的周长为第II 卷（非选择题共92分）三､填空题（共3小题，每小题5分，请将答案写在答题纸指定位置上）12.已知椭圆的一个焦点是，则椭圆的长轴长是__________.13.已知点，点是圆上任意一点，则到直线距离的最小值为__________.14.关于有实数解，则实数的取值范围是__________.四､解答题（共5小题，满分77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）15.已知直线和圆.（1）若直线交圆于两点，求弦的长；（2）求过点且与圆相切的直线方程.16.已知椭圆长轴长为4，且椭圆.（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为的直线与椭圆交于两点，求的面积.17.如图，在以的圆锥中，底面圆的直径长为是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接.（1）求证：平面平面；（2）若是的中点，连接，当时，求平面与平面夹角的余弦值.ABF V AFG V 4+()222104x y a a +=>()()()1,0,0,3A B -P 222(3)5x y -+=P AB x 23kx k =-+k :10l x y -+=22:2440C x y x y +-+-=l C ,A B AB ()4,1-C ()2222:10x y C a b a b +=>>C 12,F F C 2F l C ,P Q 1F PQ V P O AB 2,C O AC O BC O D ,PD PC PAC ⊥PBC E PC ,OE ED 120BOD ∠= PAC DOE18.如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.（1）求椭圆的方程；（2）求中点E 的轨迹方程；（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值.19.如图，在四棱锥中，面，且分别为的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是？若存在，求出的值，若不存在，说明理由：（3）在平面内是否存在点，满足，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点的轨迹图形形状.()2222:10x y C a b a b+=>>()3,1P 13-l C P ,M N ,PM PN x C MN PM 1k PN 2k 12k k P ABCD -PA ⊥,ABCD AB ∥CD 2,1,1,,,CD AB BC AB BC E F ====⊥,PD BC EF ∥PAB PD M CM PBC 13DM DPPBC H 0HD HA ⋅=H。
黑龙江省哈尔滨市第九中学校2023-2024学年高三上学期期中数学试题含答案解析
哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.23.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.294.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A .27B.0C.716-D.916-8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b ，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为3511.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax xx f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．14.已知ABC的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.19.已知数列{}n a 满足11a =，且()1111n n a a n n n n +-=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，且312n n S -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABCBC S ⋅=；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．21.已知等差数列{}n a 满足212a a =，且1a ，32a -，4a 成等比数列.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T .若{}n a 的公差为整数，且()111nn n nS b S +-=-，求n T .22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()mf x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n++<++⋅⋅⋅++++．哈九中2024届高三上学期期中考试数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）Ⅰ卷一、单选题：本题共有8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}22log 2,20A x xB x x x =≤=--<，则A B ⋃=（）A.()0,2 B.()1,2- C.(],4∞- D.(]1,4-【答案】D 【解析】【分析】解不等式可得集合,A B ，根据集合的并集运算即得答案.【详解】因为{}(]2log 20,4A x x =≤=，{}()2201,2B x x x =--<=-，所以(]1,4A B =- ，故选：D.2.若复数z 满足i 2i z =+，则z 的共轭复数的虚部为（）A.2iB.2i- C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】先求出复数z ，得到z 的共轭复数，即可得到答案.【详解】因为复数z 满足i 2i z =+，所以2i12i iz +==-，所以z 的共轭复数12i z =+.其虚部为：2.故选：D3.在等差数列{}n a 中，若26510,9a a a +==，则10a =（）A.20B.24C.27D.29【答案】D 【解析】【分析】求出基本量，即可求解.【详解】解：2642=10a a a +=，所以45a =，又59a =，所以544d a a =-=，所以510592029a d a +=+==，故选：D 4.“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数，结合充分必要条件的概念即可判断.【详解】26k πθπ=+，Z k ∈时，1sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，526k πθπ=+，Z k ∈时，551sin sin 2sin 662k ππθπ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以“26k πθπ=+，Z k ∈”是“1sin 2θ=”的充分而不必要条件，故选:A .5.下列命题中，真命题的是（）A.函数sin ||y x =的周期是2πB.2,2x x R x ∀∈>C.函数2()ln 2x f x x +=-是奇函数. D.0a b +=的充要条件是1ab=-【答案】C 【解析】【分析】选项A ，由sin ||sin |2|33πππ-≠-+可判断；选项B ，代入2x =，可判断；选项C ，结合定义域和()()f x f x -=-，可判断；选项D ，由1ab=-得0a b +=且0b ≠，可判断【详解】由于353sin ||,sin |2|sin()32332ππππ-=-+==-，所以函数sin ||y x =的周期不是2π，故选项A 是假命题；当2x =时22x x =，故选项B 是假命题；函数2()ln 2x f x x+=-的定义域(2,2)-关于原点对称，且满足()()f x f x -=-，故函数()f x 是奇函数，即选项C 是真命题；由1a b =-得0a b +=且0b ≠，所以“0a b +=”的必要不充分条件是“1ab=-”，故选项D 是假命题故选：C6.设0,0,lg a b >>lg 4a 与lg 2b 的等差中项，则21a b+的最小值为（）A. B.3C.9D.【答案】C 【解析】【分析】根据等差中项的定义，利用对数的运算得到21a b +=，然后利用这一结论，将目标化为齐次式，利用基本不等式即可求最小值.【详解】解：0,0,lg a b >>Q 是lg 4a 与lg 2b 的等差中项，2lg4lg2,lg 2lg 2b a a b +∴=+∴=，即222a b +=，即21a b +=，则212122(2)559a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22a b b a=，即13a b ==时取等号.故选C .【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值中的其次化方法，涉及等差中项概念和对数运算，难度中等.当已知a b k αβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0m nm n a b+>，为常数)的最小值时常用()1m n m n a b a b k a b αβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭方法，展开后对变量部分利用基本不等式，从而求得最小值；已知k a bαβ+=（,,,,a b k αβ都是正实数，且,,k αβ为常数），求(,0ma nb m n +>，为常数)的最小值时也可以用同样的方法.7.已知ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 为AC 的中点，点M 为边BC 上一动点，则MD MC ⋅的最小值为（）A.27B.0C.716-D.916-【答案】D 【解析】【分析】根据图形特点，建立直角坐标系，由题设数量关系得出A ，B ，C 的坐标，再设出点M 的坐标，将所求问题转化为函数的最小值即可.【详解】解：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，()0,4A ，()3,0C ，3,22D ⎛⎫⎪⎝⎭，设(),0M t ，其中[]3,3t ∈-，则3,22MD t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3,0MC t =- ，故()22399993222416MD MC t t t t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以当94t =时，MD MC ⋅ 有最小值916-.故选：D.8.在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．0R 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于0R 1>，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数0R 3=，平均感染周期为7天（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，经过一个周期后这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：63729=，541024=）（）A.35B.42C.49D.56【答案】B 【解析】【分析】根据题意列出方程，利用等比数列的求和公式计算n 轮传染后感染的总人数，得到指数方程，求得近似解，然后可得需要的天数.【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n 轮传染,则每轮新增感染人数为0nR ，经过n 轮传染，总共感染人数为：1200000111n nR R R R R +-++++=- ，∵0R 3=，∴当感染人数增加到1000人时，113=100013n +--，化简得3=667n ，由563243,3729==，故得6n ≈，又∵平均感染周期为7天，所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要6742⨯=天，故选：B【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，N n *∈，下列说法正确的是（）A.数列1{}2n a +为等比数列 B.11322n n a =⨯-C.数列{}n a 是递减数列 D.{}n a 的前n 项和115344n n S +=⨯-【答案】AB 【解析】【分析】推导出1113()22n n a a ++=+，11322a +=，从而数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果．【详解】解： 数列{}n a 满足：11a =，1310n n a a +--=，*n ∈N ，131n n a a +∴=+，1113(22n n a a +∴+=+， 11322a +=，∴数列1{}2n a +为首项为32，公比为3的等比数列，故A 正确；113133222n n n a -+=⨯=⨯，∴11322n n a =⨯-，故B 正确；数列{}n a 是递增数列，故C 错误；数列1{}2n a +的前n 项和为：13(13)3132(31)313444n n n n S +-'==-=⨯--，{}n a ∴的前n 项和1111332424n n n S S n n +'=-=⨯--，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.在ABC 中，AB c = ，BC a = ，CA b = ，若0a b ⋅> ，则ABC 为锐角三角形B.非零向量a 和b满足1a = ，2=+= b a b，则a b -= C.已知()1,2a = ，()1,1b = ，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，若2350OA OB OC ++=，则AOC 与AOB 的面积之比为35【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的数量积的定义得到角C 为钝角，从而否定A ；利用向量的和、差的模的平方的关系求得26a b -= ，进而判定B ；注意到a 与a b λ+ 同向的情况，可以否定C ；延长AO 交BC 于D ,∵,AO OD共线，利用平面向量的线性运算和三点共线的条件得到58BD BC = ,进而35CD DB =，然后得到35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，利用分比定理得到35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，从而判定D.【详解】0a b ⋅>即0BC CA ⋅> ,∴0CB CA ⋅<,∴C 为钝角，故A 错误；2222222810a b a b a b -++=+=+= ，2224a b +== ，21046a b -=-=，a b -=B 正确；(1,2)a b λλλ+=++r r，当0λ=时，a 与a b λ+ 同向，夹角不是锐角，故C 错误；∵2350OA OB OC ++=，∴3522AO OB OC =+ ，延长AO 交BC 于D ,如图所示.∵,AO OD共线，∴存在实数k ，3522k k OD k AO OB OC ==+ ，∵,,D B C 共线，∴35122k k +=,∴14k =,∴3588OD OB OC =+ ，∴555888BD OD OB OB OC BC =-=-+= ，∴35CD DB =.∴35ODC ADC OBD ABD S S S S == ，∴35AOC ODC ADC AOB OBD ABD S S S S S S -==- ，故D 正确.故选：BD.11.已知函数()()[]()2cos 0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，则（）A.若()0f =，则π3ϕ=B.若函数()y f x =为偶函数，则2cos 1ϕ=C.若()f x 在[],a b 上单调，则π2b a ω-≤D.若2ϕπ=时，且()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎣⎦上单调，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】将0x =代入()f x 求出函数值，根据ϕ的范围即可判断选项A ；根据偶函数的性质即可判断选项B ；根据()f x 在[],a b 上单调，则2Tb a ≥-即可判断选项C ；根据整体思想以及正弦函数的性质即可判断选项D.【详解】对于选项A ，若()0f =，则2cos ϕ=3cos 2ϕ=，∵[]0,πϕ∈，∴π6ϕ=，则A错误；对于选项B ，若函数()y f x =为偶函数，则0ϕ=或πϕ=，即2cos 1ϕ=，则B 正确；对于选项C ：若()f x 在[],a b 上单调，则π2T b a ω-≤=，但不一定小于π2ω，则C 错误；对于选项D ：若2ϕπ=，则()2sin f x x ω=-，当ππ,34x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，ππ,34x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∵()f x 在ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，∴ππ32ππ42ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则D 正确．故选：BD ．12.已知()[)()[]sin 0,6π3π1cos 6π,7πax x x f x a x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩，若()0f x ≥恒成立，则不正确的是（）A.()f x 的单调递增区间为()0,6πB.方程()f x m =可能有三个实数根C.若函数()f x 在0x x =处的切线经过原点，则00tan x x =D.过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线【答案】ABC 【解析】【分析】A 选项，根据()0f x ≥，得到1a ≥，画出函数图象，可得单调区间；B 选项，结合函数图象得到方程()f x m =的根的个数；C 选项，分[0,6π)x ∈和[]6π,7πx ∈两种情况，得到00tan x x =或0001cos sin x x x -=；D 选项，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，分M 为切点和不是切点，结合函数图象可得过()f x 图象上任何一点，最多可作函数()f x 的8条切线.【详解】A 选项，因为函数()0f x ≥，[6π,7π]x ∈时，由于1cos 0x -≥恒成立，故3π(1cos )y a x =-要想恒正，则要满足0a ≥，[0,6π]x ∈时，sin 0y ax x =-≥恒成立，cos y a x '=-，当1a ≥时，cos 0y a x '=-≥在[)0,6π恒成立，故sin y ax x =-在[)0,6π单调递增，又当0x =时，0y =，故sin 0y ax x =-≥在[)0,6π上恒成立，满足要求，当01a <<时，令cos 0y a x '=-=，故存在0π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得0cos a x =，当()00,x x ∈时，0'<y ，当0π,2x x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0y '>，故sin y ax x =-在()00,x x ∈上单调递减，又当0x =时，0y =，故()00,x x ∈时，sin 0y ax x =-<，不合题意，舍去，综上：1a ≥，当6πx →时，sin 6πy ax x a =-→，(6)3π[1cos(6π)]0f a π=-=，且(7π)3π[1cos(7π)]6πf a a =-=，画出函数图象如下，故()f x 的单调递增区间为(0,6π),(6π,7π)，A 错误；B 选项，可以看出方程()f x m =最多有两个实数解，不可能有三个实数根，B 错误；C 选项，当[)0,6πx ∈时，()cos f x a x '=-，则()00cos f x a x '=-，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()()0000sin cos y ax x a x x x --=--，将()0,0代入切线方程得()()0000sin cos ax x x a x --=--，解得00tan x x =，当[]6π,7πx ∈时，()3πsin f x a x '=，则()003πsin f x a x '=，则函数()f x 在0x x =处的切线方程为()()0003π1cos 3πsin y a x a x x x --=-⎡⎤⎣⎦，将()0,0代入切线方程得，0001cos sin x x x -=，其中06πx =满足上式，不满足00tan x x =，故C 错误；D 选项，当[)0,6πx ∈时，设()f x 上一点()111,sin M x ax x -，()cos f x a x '=-，当切点为()111,sin M x ax x -，则()11cos f x a x '=-，故切线方程为()()()1111sin cos y ax x a x x x --=--，此时有一条切线，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()222,sin N x ax x -，则()22cos f x a x '=-，此时有()2211221sin sin cos ax x ax x a x x x ---=--，即12212sin sin cos x x x x x -=-，其中1212sin sin x x t x x -=-表示直线MN 的斜率，画出cos ,[0,6π)y x x =∈与y t =的图象，最多有6个交点，故可作6条切线，[]6π,7πx ∈时，当切点不为()111,sin M x ax x -时，设切点为()()22,3π1cos N x a x -，则()3πsin f x a x '=，()223πsin f x a x '=，()7π3πsin 7π0f a '==，()6π3πsin 6π0f a '==，13π13π3πsin 3π22f a a ⎛⎫⎪==⎭'⎝，结合图象可得，存在一个点()()22,3π1cos N x a x -，使得过点()()22,3π1cos N x a x -的切线过[)0,6πx ∈上时函数的一点，故可得一条切线，当M 点在[]6π,7πx ∈时的函数图象上时，由图象可知，不可能作8条切线，综上，过()f x 图象上任何一点，最多可作函数f(x)的8条切线，D 正确.故选：ABC【点睛】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1)已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='；(2)已知斜率k 求切点()()11,A x f x ,即解方程()1f x k '=；(3)已知切线过某点()()11,M x f x (不是切点)求切点,设出切点()()00,A x f x ,利用()()()10010f x f x k f x x x -=='-求解.Ⅱ卷三、填空题：本题共有4个小题，每小题5分，共20分．13.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =-，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】12n -【解析】【分析】当1n =时求得1a ；当2n ≥时，利用1nn n a S S -=-可知数列{}n a 为等比数列，利用等比数列通项公式可求得结果.【详解】当1n =时，1121a a =-，解得：11a =；当2n ≥时，()112121n n n n n a S S a a --=-=---，12n n a a -∴=，则数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴=⨯=.故答案为：12n -.14.已知ABC 的面积S =，3A π∠=，则AB AC ⋅= ________；【答案】2【解析】【分析】由三角形的面积可解得4bc =，再通过数量积的定义即可求得答案【详解】由题可知1sin 2S bc A ==3A π∠=，所以解得4bc =由数量积的定义可得1cos 422AB AC bc A ⋅==⨯= 【点睛】本题考查三角形的面积公式以及数量积的定义，属于简单题．15.若2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭________．【答案】19-【解析】【分析】由sin 2sin 2632πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，结合诱导公式和二倍角公式得出答案．【详解】2sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ，21cos 212sin 369ππαα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．22326πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，1sin 2sin 2cos 263239ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故答案为：19-16.()123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，{}{}1,0,11,2,3,,i a i n ∈-=⋅⋅⋅为一个有序实数组，()f A 表示把A 中每个-1都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，例如：()1,0,1A =-，则()()1,0,1,1,0,1f A =--．定义()1k k A f A +=，1,2,3,k =⋅⋅⋅，若()11,1A =-，n A 中有n b 项为1，则{}n b 的前2n 项和为________．【答案】21223n +-【解析】【分析】设n A 中有n c 项为0，其中1和1-的项数相同都为n b ，由已知条件可得()111222n n n b c n ---+=≥①，()112n n n b b c n --=+≥②，进而可得()1122n n n b b n --+=≥③，再结合12n n n b b ++=④可得()11122n n n b b n -+--=≥，分别研究n 为奇数与n 为偶数时{}n b 的通项公式，运用累加法及并项求和即可求得结果.【详解】因为()11,1A =-，依题意得，()21,0,0,1A =-，()31,0,1,1,1,1,0,1A =---，显然，1A 中有2项，其中1项为1-，1项为1，2A 中有4项，其中1项为1-，1项为1，2项为0，3A 中有8项，其中3项为1-，3项为1，2项为0，由此可得n A 中共有2n 项，其中1和1-的项数相同，设n A 中有n c 项为0，所以22nn n b c +=，11b =，从而()111222n n n b c n ---+=≥①，因为()f A 表示把A 中每个1-都变为1-，0，每个0都变为1-，1，每个1都变为0，1所得到的新的有序实数组，则()112n n n b b c n --=+≥②，①+②得，()1122n n n b b n --+=≥③，所以12nn n b b ++=④，④-③得，()11122n n n b b n -+--=≥，所以当n 为奇数且3n ≥时，()()()324122411222122211143n n n n n n n n n b b b b b b b b ------+=-+-+⋅⋅⋅+-+=++⋅⋅⋅++=+=-，经检验1n =时符合，所以213n n b +=（n为奇数），当n 为偶数时，则n 1-为奇数，又因为()1122n n n b b n --+=≥，所以111121212233n n n n n n b b ----+-=-=-=，所以2+1,321,3n n n n b n ⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，+112121233n n nn n b b ++-+=+=，所以{}n b 的前2n 项和为21211352112345621222422()()()()2+2+2++2143n n n n n b b b b b b b b -+---⨯-++++++++===- .故答案为：21223n +-.【点睛】本题的解题关键是根据题目中集合的变换规则找到递推式，求出通项公式，再利用数列的特征采取分组求和解出.四、解答题：本题共有6个小题，共70分．17.设向量)(),sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()()·,.f x a b f x =求的最大值【答案】（I ）6π（II ）max 3()2f x =【解析】【详解】(1)由2a ＝x )2＋(sin x )2＝4sin 2x ，2b ＝(cos x )2＋(sin x )2＝1，及a b =r r，得4sin 2x ＝1.又x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，从而sin x ＝12，所以x ＝6π.(2)()·=f x a b =sin x ·cos x ＋sin 2x＝32sin 2x －12cos 2x ＋12＝sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋12，当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，－6π≤2x －6π≤56π，∴当2x －6π＝2π时，即x ＝3π时，sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭取最大值1.所以f (x )的最大值为32.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠= ，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，且点,E F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ；（2）求PB 与平面PAD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）64【解析】【分析】（1）取PC 的中点M ，根据题意证得//AE MF 且AE MF =，得到四边形AEMF 为平行四边形，从而得到//AE ME ，结合线面平行的判定定理，即可得证；（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量31(,,1)22PB =-和平面PAD的一个法向量n =，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：取PC 的中点M ，连接,MF EM ，在PCD 中，因为,M F 分别为,PC PD 的中点，可得//MF CD 且12MF CD =，又因为E 为AB 的中点，所以//AE CD 且12AE CD =，所以//AE MF 且AE MF =，所以四边形AEMF 为平行四边形，所以//AE ME ，因为ME ⊂平面PCE ，AF ⊄平面PCE ，所以//AF 平面PCE .【小问2详解】解：因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，连接BD ，可得ABD △为等边三角形，又因为E 为AB 的中点，所以DE AB ⊥，则DE DC ⊥，又由PD⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以,,DE DC DP 所在的直线分别为,x y 和z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，因为底面ABCD 是菱形，且60DAB ∠= ，1PD AD ==，可得3131(0,0,0),(,,0),(,,0),(0,0,1)2222D A B P -，则3131(,,1),(,,0),(0,0,1)2222PB DA DP =-=-= ，设平面PAD 的法向量为(,,)n x y z = ，则310220n DA x y nDP z ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩ ，取x =，可得3,0y z ==，所以n =，设直线PB 与平面PAD 所成的角为θ，则6sin cos ,4n PB n PB n PB θ⋅=== ，所以直线PB与平面PAD 所成角的正弦值为6 4.19.已知数列{}n a满足11a=，且()1111n na an n n n+-=++．（1）求{}n a的通项公式；（2）若数列nnab⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和为n S，且312nnS-=，求数列{}n b的前n项和n T．【答案】（1）21na n=-（2）1133n nnT-+=-【解析】【分析】（1）利用累加法求出nan，进而得na；（2）求得1213n nnb--=，利用错位相减法可求出答案.【小问1详解】因为()1111111n na an n n n n n+-==-+++，所以11221111221n n n n na a a a a a a an n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111121212n n n n n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+=-⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21na n=-．【小问2详解】因为312n n S -=，所以当1n =时，1111a S b ==，得11b =；当2n ≥时，1113131322n n n n n n n a S S b -----=-=-=，所以1213n n n b --=（1n =时也成立）．因为0121135213333n n n T --=++++ ，所以12311352133333n n n T -=++++ ，所以1012111121222212133121333333313n n n n n n n T --⎛⎫- ⎪--⎝⎭=++++-=+⨯-- 112122112333n n n n n --+=+--=-，故1133n n n T -+=-．20.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为ABC S ．已知①2ABC BC S ⋅= ；②()()()sin sin sin sin sin sin sin B A B A C C A +-=+；③()2cos cos c a B b C +=-，从这三个条件中任选一个，回答下列问题．（1）求角B ；（2）若b =．求22a c +的取值范围．【答案】（1）2π3B =（2）[)8,12【解析】【分析】（1）选①时：利用面积和数量积公式代入化简即可；选②时：利用正弦定理代入，结合余弦定理得到；选③时：正弦定理进行边角转换，结合角度的范围即可确定角B .（2）结合（1）的角度，和边的大小，用余弦定理进行代换，结合基本不等式即可得到最终范围.【小问1详解】选①，由2ABC BC S ⋅=可得：1cos2sin sin2B ac B ac B=⋅=，故有sintancosBBB==又∵()0,πB∈，∴2π3B=；选②，∵()()()sin sin sin sin sin sin sinB A B AC C A+-=+，由正余弦定理得222c ac b a+=-，∴2221cos22a c bBac+-==-，又()0,πB∈，∴2π3B=；选③，∵()2cos cosc a B b C+=-，由正弦定理可得()sin2sin cos sin cosC A B B C+=-，∴()2sin cos sin cos sin cos sin sinA B B C C B C B A=--=-+=-，∵()0,πA∈，∴sin0A≠，∴1cos2B=-，又()0,πB∈，∴2π3B=．【小问2详解】由余弦定理得2222cos12c a b ac B ac+=+=-∵0ac>，∴2212a c+<．又有222222122c ac a ac c a+=++≤++，当且仅当2a c==时取等号，可得228c a+≥．即22a c+的取值范围是[)8,12．21.已知等差数列{}n a满足212a a=，且1a，32a-，4a成等比数列.（1）求{}n a的通项公式；（2）设{}n a，{}n b的前n项和分别为n S，n T.若{}n a的公差为整数，且()111n nnnSbS+-=-，求nT.【答案】（1）25na n=或2na n=（Nn+∈）（2）当n为正偶数时，1nnTn=-+，当n为正奇数时，231nnTn+=-+【解析】【分析】（1）设出公差d，根据已知条件列出相应的等式即可求解.（2）由题意可以先求出{}n b的通项公式，再对n进行讨论即可求解.【小问1详解】设等差数列{}n a的公差为d，∵2112a a a d ==+，∴1a d =，∵1a ，32a -，4a 成等比，∴()21432a a a =-，即()()2111322a a d a d +=+-，得()22432d d =-，解得25d =或2d =，∴当125d a ==时，25n a n =；当12d a ==时，2n a n =；∴25n a n =或2n a n =（N n +∈）.【小问2详解】因为等差数列{}n a 的公差为整数，由（1）得2n a n =，所以()()2212n n n S n n +==+，则()()112n S n n +=++，∴()()()()()()()12121111111111n n n n n n n b n n n n n n n ⎡⎤++-+⎛⎫=-=--=-++⎢⎥ ⎪+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦.①当n 为偶数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++--+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++----+++-+ 1111n =-++1n n =-+.②当n 为奇数时1231n n nT b b b b b -=+++++ 1111111111111111111223344511n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++++-+++++-+++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1111111111111111111223344511n n n n =---+++---+++-+++----+ 1111111n n n =-+---+231n n +=-+.所以当n 为正偶数时，1n n T n =-+，当n 为正奇数时，231n n T n +=-+.22.已知函数()ln ,f x x mx m =+∈R ．（1）当3m =-时，求()f x 的单调区间；（2）当()1,x ∈+∞时，若不等式()m f x x <恒成立，求m 的取值范围；（3）设*n ∈N ，证明：()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【答案】（1）递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭（2）1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出单调区间；（2）转化为1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭在()1,x ∈+∞上恒成立，令()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，分0m ≥和0m <两种情况，求导，结合导函数特征，再分类讨论，求出m 的取值范围；（3）在（2）基础上得到12ln x x x <-，赋值得到211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，利用累加法得到结论.【小问1详解】当3m =-时，()ln 3,0f x x x x =->，则()1133x f x x x -'=-=，令()0f x ¢>，得103x <<；令()0f x '<，得13x >，所以()f x 的单调递增区间为10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【小问2详解】由()m f x x <，得1ln 0x m x x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，设()()1ln ,1,g x x m x x x ⎛⎫=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，当()1,x ∈+∞时，1ln 0,0x x x >->，所以当0m ≥时，()0g x >，不符合题意．当0m <时，()2111g x m x x ⎛⎫=++ ⎝'⎪⎭22mx x m x ++=，设()()2,1,h x mx x m x =++∈+∞，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为12x m =-0>，当112m ->，即102m -<<时，因为()1210h m =+>，所以当11,2x m ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0h x >，即()0g x '>，此时()g x 单调递增，所以()()10g x g >=，不符合题意．当1012m <-≤，即12m ≤-时，()h x 在()1,+∞上单调递减，所以()()1210h x h m <=+≤，所以()0g x '<，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10g x g <=，符合题意．综上所述，m 的取值范围为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【小问3详解】由（2）可得当1x >时，11ln 02x x x ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，即12ln x x x <-，令*1,n x n n +=∈N ，则211212ln 1n n n n n n n n n +++<-=++，所以22223351212ln ,2ln ,,2ln 111222n n n n n++<<⋅⋅⋅<+++，以上各式相加得22223135212ln ln ln 121122n n n n n++⎛⎫++⋅⋅⋅+<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，即22223135212ln 121122n n n n n ++⎛⎫⨯⨯⋅⋅⋅⨯<++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭，所以()22235212ln 11122n n n n ++<++⋅⋅⋅++++．【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的，此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据特征式的特征而得到.。
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期末数学试题
2019-2020学年黑龙江省哈尔滨市第九中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．抛物线28x y =的准线方程为（ ） A ．2y = B ．2y =-C ．2x =-D ．2x =答案：B由抛物线方程可知，抛物线焦点在轴正半轴，且，所以所求准线方程为.2．为了调查老师对微课堂的了解程度，某市拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三所中学抽取60名教师进行调查，已知A ，B ，C 三所学校中分别有180，270，90名教师，则从C 学校中应抽取的人数为（ ） A ．10 B ．12C ．18D ．24解：A ，B ，C 三所学校教师总和为540，从中抽取60人，则从C 学校中应抽取的人数为609010540⨯=人. 故选:A. 点评：本题考查分层抽样抽取方法，按比例分配是解题的关键，属于基础题.3．竞赛获奖的3名学生和2名指导老师站成一排合影，则2名老师相邻的排法种数为（ ） A ．12 B ．36 C ．48 D ．120答案：C要求2名老师相邻，用捆绑法，合成4个元素排列. 解：用捆绑法解决排列组合问题，将2名老师捆绑成1个元素，和3名同学合成4个元素排列有44A 种方法，2名老师捆绑有22A 种不同的方法，一共有242448A A =种排法. 故选：C 点评：本题考查了排列组合综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.4．对于常数m 、n ，“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件答案：C根据双曲线的标准方程，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 解：由题意，方程221mx ny +=，可化为22111x y m n-=， 则对于常数m 、n ，“0mn <”，可得“方程22111x y m n-=表示的曲线是双曲线”是成立的；反之对于常数m 、n ，“方程22111x y m n-=表示的曲线是双曲线”，则“0mn <”是成立的，所以“0mn <”是“方程221mx ny +=表示的曲线是双曲线”的充要条件 故选：C. 点评：本题主要考查了双曲线的标准，以及充分条件、必要条件的判定，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．执行如图的程序框图，输出的S 值为（ ）A．65 B．64 C．63 D．33答案：C由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案.解：第一次执行循环体后，S=3，不满足循环条件，n=2；第二次执行循环体后，S=7，不满足循环条件，n=3；第三次执行循环体后，S=15，不满足循环条件，n=4；第四次执行循环体后，S=31，不满足循环条件，n=5；第五次执行循环体后，S=63，满足退出循环的条件；S故输出：63点评：本题考查了程序框图的循环结构，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题. 6．将十进制数61化成四进制数的末位数字是（）A．1 B．2 C．0 D．3答案：A利用“除k取余法”是将十进制数除以4，然后将商继续除以4，直到商为为止，然后将依次所得的余数倒序排列即得解.解：61415...1÷= 154 3...3÷= 340...3÷=故：461=331（），末位数字是1 故选：A 点评：本题考查了十进制向4进制转化，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.7．对具有线性相关关系的两个变量x 和y ，测得一组数据如下表所示：根据上表，利用最小二乘法得到他们的回归直线方程为ˆ10.5 1.5y x =+，则m =（ ）A ．85.5B ．80C ．85D ．90答案：B求出横坐标的平均数，代入线性回归方程，求出纵标的平均数，解方程求出m . 解：5x =Q ,回归直线方程为ˆ10.5 1.5yx =+， 54y ∴=5452040607080m m ∴⨯=++++∴=故选：B 点评：本题考查了线性回归方程，考查了学生数学应用，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.8．设6234560123456(1)x a a x a x a x a x a x a x +=++++++，则135a a a ++=（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64答案：C根据二项展开式的通项公式可得：135135666a a a C C C ++=++，计算结果可得. 解：根据二项展开式的通项公式可得：135135666=32a a a C C C++=++故选：C点评：本题考查了二项展开式的系数，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 9．如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有200粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（）A．15B．25C．35D．23答案：A利用几何概型的计算公式，豆子落在阴影部分的比例等于阴影部分和正方形的面积比，即得解.解：根据题意，由几何概型，2001==10005 SSS∴阴影阴影正方形故选：A点评：本题考查了几何概型的应用，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.10．甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一个人15分钟，过时即可离去，则两人能会面的概率是（）A．14B．34C．916D．716答案：D由题意知，本题为几何概型，记6时到7时为[6,7]，甲、乙到达的事件为,x y，根据题意列出不等式，根据面积比，即得解.解：由题意知，本题为几何概型，由于试验发生包含的所有事件对应的集合是：{(,)|67,67}x y x yΩ=≤≤≤≤，几何对应的面积是边长为1的正方形的面积S=1；而满足条件的事件对应的集合是：1{(,)|67,67,||}4A x y x y x y =≤≤≤≤-≤如图所示：建立平面直角坐标系，A 区域即图中阴影部分， 得到：21372=12()2416A S S S =--⨯⨯=正方形三角形， 因此两人能够会面的概率为716故选：D 点评：本题考查了几何概型在实际问题中的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，正方形ABCD 所在平面内的动点P 到直线11,AA BB 的距离之和为22,60APB ︒∠=，则点P 到直线AB 的距离为（ ） A ．3 B ．3 C ．2D ．22答案：B在平面ABCD 内，到直线11,AA BB 的距离即为到点A ，B 的距离，可得到动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆及其方程， 且60APB ︒∠=，结合21tan 332APB AP b B S ∆∠==可得解. 解：在平面ABCD 内，到直线11,AA BB 的距离即为到点A ，B 的距离，且动点P 到直线11,AA BB的距离之和为即动点P 到点A ，B的距离之和为由椭圆的定义，动点P 的轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆的一部分，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中点为圆心建立平面直角坐标系，如图，(1,0),(1,0)A B -因此椭圆的方程为：2212x y +=且2601tan 2APB A S b PB APB ︒∆∴=∠=∠=设点P 到直线AB 的距离为h ，则12h AB h ⋅==故选：B 点评：本题考查了立体几何和解析几何综合，考查了学生综合分析，转化划归，空间想象，数学运算的能力，属于较难题.12．双曲线22:12y C x -=，过定点(1,0)A -的两条垂线分别交双曲线于P 、Q 两点，直PQ 恒过定点（ ） A ．(1,0) B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0)答案：C设PQ 的方程为x my b =+，联立双曲线利用代数式恒成立即可求解PQ 恒过定点时b 的值，即得定点. 解：设PQ 的方程为x my b =+,则由222221()210212x my bm y bmy b y x =+⎧⎪∴-++-=⎨-=⎪⎩ 设2112212122221(,),(,),1122bm b P x y Q x y y y y y m m -∴+=-=--又(1,0)0A AP AQ AP AQ -⊥∴⋅=u u u r u u u r，，1212(1)(1)0x x y y ∴+++=，又1122x my b x my b =+=+，2212121212(1)(1)0(1)(1)()(1)0my b my b y y m y y b m y y b ∴+++++=∴++++++=代入212122221,1122bm b y y y y m m -+=-=--整理得：22222(1)(1)4(1)(21)(1)0b m bm b m m b -+-++-+=22303b b b ∴--=∴=或1b =-当1b =-，直线过(1,0)A -，舍去 当b =3时，过定点(3,0) 故选：C 点评：本题考查了直线与圆锥曲线综合，考查了学生转化与划归，数学运算得能力，属于中档题.二、填空题13． 在5(12)x +的展开式中，3x 的系数为_____．（用数字作答） 答案：80由条件利用二项式展开式的通项公式求得展开式3x 的系数. 解：解：在()512x +的展开式中，3x 的系数为335•280C =，故答案为80． 点评：本题考查了二项式定理，属于基础题.14．过椭圆2212516x y +=右焦点2F 的最短弦长为________. 答案：325过椭圆焦点的最短弦即为垂径，计算即得解. 解：由椭圆的性质，过椭圆焦点的最短弦即为垂径，由椭圆方程：5,43a b c ==∴= 故右焦点坐标为(3,0)，令3x =，代入解得：165y =±故答案为：325点评：本题考查了椭圆的性质和弦长，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 15．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =u u u u r__________.答案：6设1,,AB a AD b AA c===u u u r r u u u r r u u u r r ,且1|||++|AC a b c =u u u u r r r r ，利用数量积运算即得解. 解：设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴===<>=<>=<>=u u u r r u u u r r u u u r r r r r r r r r r r ， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=u u u u r r r r r r r r r r r r r||6AC ∴=u u u r故答案为：26点评：本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.16．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||C x y xy +=+就是其中之一（如图），给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2. ③曲线C 所围成的“花形”区域的面积小于4. 其中，所有正确结论的序号是_______. 答案：②①利用均值不等式，得到||1xy ≤，结合x ,y 均为整数，即得解； ②由于||1xy ≤，故221||2x y xy +=+≤，故得解；③构造222()1,430f y y xy x x =-+-∆=->，得到(01),0x y ∈>，，同理有(01),0y x ∈>，，即第一象限部分图像应在y =1,x =1与坐标轴围成的正方形外部，分析易得解. 解：①221||2||||1x y xy xy xy +=+≥∴≤，要使得x ,y 均为整数，只能取-1,0,1三个数，则可得整数点有8个：(1,1),((1,0),(0,1)±±±±，故①不正确；②由于||1xy ≤，故221||2x y xy +=+≤，故曲线C 上任意一点到原点的距离都不超过2③令22(01),010x y y xy x ∈>∴-+-=，记函数222()1,430f y y xy x x =-+-∆=->，所以函数有两个零点， 又因为2(0)0,(1)0f f x x <=-<，故两个零点一个小于0，一个大于1，即曲线上(01),0x y ∈>，，同理有(01),0y x ∈>， 即第一象限部分图像应在y =1,x =1与坐标轴围成的正方形外部，根据图像对称性可得面积大于4，故不正确. 故答案为：② 点评：本题考查了利用方程研究曲线的性质，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．为节约生活用水，某市计划试行居民生活用水定额管理，为了较为合理地确定出居民月均用水量标准，通过抽样获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t ），并制作了频率分布直方图.（1）由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整，并说明理由；（2）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的众数，中位数. 答案：（1）作图见解析，详见解析（2）众数为2.25；中位数为2 （1）根据题意，得到1.52t t -组频率为0.2，补全频率分布直方图; （2）根据频率分布直方图找到众数，中位数即可. 解：（1）根据题意，1.52t t -组频率为1(0.10.50.20.50.30.50.60.50.30.50.10.5)0.2-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.52t t -组频率/组距0.20.40.5==.频率分布直方图如图所示：（2）估计该100位居民月均用水量众数为2 2.52.252+= 由0.10.50.20.50.30.50.40.50.5⨯+⨯+⨯+⨯= ∴估计该100位居民月均用水量中位数为2. 点评：本题考查了频率分布直方图的画法，以及利用频率分布直方图估计众数、中位数，考查了学生数据处理，数学运算的能力，属于基础题.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，1AC =，13CC =，30ABC ∠=︒，D 为AB 的中点.（1）证明：1AC ∥平面1B CD ；（2）求直线1DC 与平面1B CD 所成角的正弦值.答案：（1）见解析 （215（1）连接1BC 交1B C 于点E ，连接DE ，由矩形的性质，结合三角形中位线定理可得1DE AC P ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）先证明AC BC ⊥，分别以CA ，CB ，1CC 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得直线1DC 的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求得平面1B CD 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 解：（1）连接1BC交1B C于点E，连接DE，因为四边形11BB C C是矩形，所以点E是1BC 的中点，又点D为AB的中点，所以DE是1ABC∆的中位线，所以1DE ACP.因为DE⊂平面1B CD，1AC⊄平面1B CD，所以1AC P平面1B CD.（2）由2AB=，1AC=，30ABC∠=︒，可得AC BC⊥，分别以CA，CB，1CC为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系C xyz-，则有()0,0,0C，(13,3B，132D⎛⎫⎪⎪⎝⎭，(13C，所以113,322DC⎛=--⎝u u u u v，(13,3CB=u u u v，13,22CD⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u v，设直线1DC与平面1B CD所成角为θ，平面1B CD的法向量为(),,m x y z=v，则1m CBm CD⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u vvu u u vv，即3301322zx y+=⎨+=⎪⎩，令1z=，得)3,1,1m=-v，所以1sin cos,m DCu u u u vvθ==3332213331144-++=++⨯++3151025=.点评：本题主要考查线面平行的判定定理，线面角的向量法，属于中档题. 利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19．一所学校计划举办“国学”系列讲座.由于条件限制，按男、女生比例采用分层抽样的方法，从某班选出10人参加活动.在活动前对所选的10名同学进行了国学素养测试，这10名同学的性别和测试成绩（百分制）的茎叶图如图.（1）根据这10名同学的测试成绩，估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩；（2）若成绩大于等于75分为优良，从这10名同学中随机选取2名男生，2名女生，求这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率.答案：（1）估计该班男、女国学素养测试平均成绩分别为73.75分，76分（2）15（1）由茎叶图中的数据分别计算10名同学中男女的平均成绩，估计该班男、女生国学素养测试的平均成绩即可；（2）设4名同学的国学素养测试成绩均为优良为事件A，分别计算从这10名同学中随机选取2名男生，2名女生的方法数，这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的方法数即可.解：（1）设这10名同学中男生平均成绩为1x，女生平均成绩为2x由茎叶图可知：1211(64767778)73.75,(567076798887)7646x x=+++==+++++=∴估计该班男、女国学素养测试平均成绩分别为73.75分，76分.（2）设4名同学的国学素养测试成绩均为优良为事件A223422461()5C CP AC C⋅==⋅∴这4名同学的国学素养测试成绩均为优良的概率为15.点评：本题考查了统计和概率综合，考查了学生数据处理，综合分析，数学运算的能力，属于基础题.20．如图，四棱锥P ABCD-的底面为矩形，PA是四棱锥的高，PB与平面PAD所成角为45º，F是PB的中点，E是BC上的动点．（1）证明：PE⊥AF；（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为21717，求二面角D-PE-B的余弦值．答案：（1）见解析；（2）542.42-(1)建立空间坐标系得到两直线的方向向量，进而证得垂直关系；（2）建立坐标系通过题干的线线角得到()3,2,0E，求两个面的法向量，进而得到二面角.解：（1）建立如图所示空间直角坐标系．设,,AP AB b BE a===，则，()()()()0,0,0,0,,0,,,0,0,0,,A B b E a b P b于是，(),,,0,,.22b bPE a b b AFu u u v u u u v⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则0PE AF⋅=u u u v u u u v，所以AF PE⊥．（2）设2AB=则4,BC=,()()()()4,0,0,0,2,0,,2,0,0,0,2,D BE a P()()0,2,0,,2,2,AB PE a==-u u u v u u u v若，则由217ABPEAB PEu u u vu u u vu u u u v u u u v=得()3,3,2,0a E=，设平面PDE的法向量为(),,n x y z=r，()()4,0,2,3,2,0,PD ED=-=-u u u v u u u v由00n PD n PE ⎛⋅= ⋅=⎝u u u v v u u u v v ，得：420,2022x xx z x y x y z x =⎧⎪-=⎧⎪=⎨⎨-=⎩⎪=⎪⎩，于是()2,1,4,n n ==v v，而(),0,1,1,AF PBC AF AF ⊥==u u v u Q u u u u v设二面角D-PE-B 为θ，则为钝角所以，cos 42n AF n AFθ=-==-u u u v v u u u u u u v u u u点评：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．21．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了11月1日至11月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如表资料：设农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.（参考：()()()1122211ˆnni iii i i n ni i i i x yn x yxx y y bx n x x x ====-⋅⋅--==-⋅-∑∑∑∑，ˆˆay bx =-） （1）若选取的是11月1日与11月5日的两组数据进行检验，请根据11月2日至11月4日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+； （2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（1）中所得的线性回归方程是否可靠？答案：（1）5ˆ32yx =-（2）该研究所得的线性回归方程是可靠的（1）利用表格中数据计算,y x ，代入公式，求解线性回归方程即可; （2）将数据代入（1）中求得的线性回归方程，根据标准判断即可. 解： （1）1(111312)123x =++=，1(253026)273y =++=∴()()315iii x x y y =--=∑，()212nii xx =-=∑∴5ˆˆ,32ba==-∴y 关于x 的线性回归方程为5ˆ32y x =- （2）8x =时，ˆ17,|1716|2y=-< 10x =时，ˆ22,|2223|2y=-< ∴该研究所得的线性回归方程是可靠的. 点评：本题考查了线性回归方程的求解和预测，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.22．椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率2e =，它的一个顶点恰好是抛物线28y x =的焦点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过坐标原点的直线l 交椭圆于,P Q 两点，P 在第一象限，PE x ⊥轴，垂足为E ，连接QE 延长交椭圆于点G . ①求证：PQ PG ⊥； ②求PQG ∆面积最大值.答案：（1）22142x y +=（2）①证明见解析②169（1）结合离心率e =，以及2a =，计算即得解; （2）设直线PQ 方程为(0)y kx k =>，与椭圆联立，可求得P ，Q 坐标，于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-，联立求得G 点坐标，利用数量积运算即得证；表示PQG ∆的面积()()()222218811||2122112k k k k S PQ PG k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭‖，利用均值不等式，即得解. 解：（1）由28y x =的焦点为(2,0)，椭圆离心率2e =∴2,a c ==22b =∴椭圆方程为22142x y +=（1）①设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得x =记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =- 由22()2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()222222280k x uk x k u +-+-=① 设(),G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故()22322Gu k x k +=+，由此得322G uk y k =+从而直线PG 的斜率为()322212322uk ukk k u k uk -+=-+-+所以PQ PG ⊥得证.②由①得||2PQ =22||2PG k=+所以PQG ∆的面积()()()222218811||2122112k k k k S PQ PG k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===++⎛⎫++ ⎪⎝⎭‖设1t k k=+，则由0k >得2t ≥，当且仅当1k =时取等号 因为2812t S t=+在[2,)+∞单调递减，所以2t =当，即1k =时，S 取得最大值169. 点评：本题考查了直线和圆锥曲线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.。
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题
黑龙江省哈尔滨市第九中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．sin 240︒=（）A ．12B ．12-C D ． 2．已知集合{}{}20,1,2,3,|30M N x x x ==-<，则MN =（ ）A ．0B ．{}x |0x <C ．{}x |03x <<D ．{}1,23．已知扇形的周长为6cm ,半径是2cm ,则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．4 B ．1C ．1或4D ．24．()f x =22,0,,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩若()f x =3,x 则的值为AB ．9C ．11-或D ．5．设()338x f x x =+-用二分法求方程3380x x +-=在(1,2)x ∈内近似解的过程中得(1)0,(1.5)0,(1.25)0f f f <><,则方程的根落在区间( ) A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．()1.5,2D ．不能确定6．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x 的解析式是（）A ．2n 2)3(si f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C ．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7．已知角A 是ABC ∆的一个内角，若7sin cos 13A A +=，则tan A 等于（ ） A ．1213B ．712C ．512-D ．125-8．函数2()sin ()f x x x =的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：万元）对年销售量y （单位：t ）的影响，对近6年的年宣传费i x 和年销售量()1,2,,6i y i =⋅⋅⋅进行整理，得数据如表所示：根据表中数据，下列函数中，适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的拟合函数的是（ ） A ．()0.51y x =+ B ．21x y =- C ．3log 1.5y x =+D ．22y x =-10．关于函数()()π4sin 23f x x x R ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列命题，其中个正确命题的个数是（ ）（1）()y f x =是以2π为最小正周期的周期函数； （2）()y f x =的图像关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称； （3）()y f x =的图像关于直线π6x =对称； （4）()y f x =的表达式可改写为()π4cos 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；11．已知函数()()sin 1f x x =-，()g x 满足()()20g x g x -+=，若函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，则这2019个交点的横坐标之和为（ ） A ．4038B ．2019C ．2018D ．100912．已知函数()()sin 0x f x x ωωω=>，若集合()(){}0,π1x f x ∈=-含有4个元素，则实数ω的取值范围是（ ） A．322⎡⎢⎣⎭B．3,22⎛⎝⎦ C ．725,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．725,26⎛⎤⎥⎝⎦13．函数|sin |y x =的最小正周期是________ . 14．sin 20cos10cos160sin10︒︒︒︒-=_____．15．若函数()22f x x x a =-+在()0,2内有两个零点，则a 的取值范围是______．16．已知函数()y f x =和()y g x =的图象关于y 轴对称，当函数()y f x =和()y g x =在区间上[],a b 同时单调递增或者同时单调递减时，把区间[],a b 叫做函数()y f x =的“不动区间”，若区间[]1,2为函数()2x f x t =+的“不动区间”，则实数t 的取值范围是______．17．已知角α的终边经过点()3,4P ，求下列各式的值． （1）()()cos πtan αα-+-；（2）()2πsin cos π2πsin 2ααα⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．18．函数()y f x =是定义在[]1,1-上的奇函数，当(]0,1x ∈时()f x x =+． （1）求()y f x =的解析式；（2）判断()y f x =的单调性（只写结果，不用证明），若()()21f a f a -<-，求实数a 的取值范围． 19．已知π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，且1sin cos 224αα⋅=．（1）求cos α的值；（2）若()3sin 5αβ-=-，π,π2β⎛⎫∈⎪⎝⎭，求cos β的值． 20．已知函数()1124xx f x a =--． （1）若1a =时，求满足()11f x =-的实数x 的值；（2）若存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立，求实数a 的取值范围．21．已知函数()()sin f x x ωϕ=+，()0,0πωϕ><<的图象两相邻对称轴之间的距离是π2，若将()f x 的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应的函数()g x 为奇函数．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴及单调增区间；（3）若对任意ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()()223204f x mf x m -+-≥恒成立，求实数m 的取值范围．22．对于定义在区间[],m n 上的两个函数()f x 和()g x ，如果对任意的[],x m n ∈，均有不等式()()1f x g x -≤成立，则称函数()f x 与()g x 在[],m n 上是“友好”的，否则称为“不友好”的．（1）若()f x x =，()2g x x x =-，则()f x 与()g x 在区间[]1,2上是否“友好”；（2）现在有两个函数()()log 3a f x x a =-与()()1log 0,1a g x a a x a=>≠-，给定区间[]2,3a a ++．①若()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，求a 的取值范围； ②讨论函数()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是否“友好”．参考答案1．D 【解析】 【分析】利用诱导公式可直接求得结果. 【详解】()3sin 240sin 18060sin 602=+=-=-本题正确选项：D 【点睛】本题考查利用诱导公式化简求值，属于基础题. 2．D 【解析】由题意得，集合{|03}N x x =<<，所以{}1,2M N ⋂=，故选D ． 考点：集合的运算． 3．B 【解析】 【分析】由题意布列关于扇形的圆心角的方程，解之即可. 【详解】设扇形的圆心角为αrad ，半径为Rcm ，则26R 2R R α+=⎧⎨=⎩，解得α＝1． 故选B ． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，注意区分扇形的周长与扇形的弧长，属于基础题. 4．A 【解析】因为()f x =22,0,03x x x x +≤⎧⎨<≤⎩,所以方程()3f x =等价于023x x ≤⎧⎨+=⎩或2303x x ⎧=⎨<≤⎩,求解可得x =故选A.5．B 【解析】 【分析】因为()338xf x x =+-,(1.5)0,(1.25)0f f ><,根据零点存在定理,即可求得答案.【详解】()338x f x x =+-又(1.5)0,(1.25)0f f ><∴ (1.5)(1.25)0f f ⋅<由零点存在定理可得()f x 在区间(1.25,1.5)存在零点.∴ 3380x x +-=方程的根落在区间(1.25,1.5)故选:B ． 【点睛】本题考查了判断零点的范围和求解方程根的范围,解题关键是掌握零点存在定理和二分法求方程根的解法,考查了分析能力,属于基础题. 6．B 【解析】 【分析】根据图像的最大值和最小值得到A ，根据图像得到周期，从而求出ω，再代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得到ϕ的值. 【详解】由图像可得函数的最大值为2，最小值为-2，故2A = 根据图像可知724632T πππ=-=， 所以22,1T Tππω===，代入点7,26π⎛⎫- ⎪⎝⎭得722sin 6πϕ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭所以73262k ππϕπ+=+，23k πϕπ=+ 因为02πϕ<<，所以0,3k πϕ==所以()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故选B .【点睛】本题考查根据正弦型函数的图像求函数的解析式，属于简单题. 7．D 【解析】 【分析】先由22sin cos 1A A +=，结合题中条件，得到60sin cos 169A A =-，再联立60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩求解，即可得出结果. 【详解】利用22sin cos 1A A +=，可得60sin cos 169A A =-，可知A 为钝角.解方程组 60,1697,13sinAcosA sinA cosA ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得12,135,13sinA cosA ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以12tan .5A =- 故选D 【点睛】本题主要考查已知正弦与余弦的和求正切的问题，熟记同角三角函数基本关系即可，属于常考题型. 8．A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，和2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负，排除选项，得到正确答案. 【详解】y x =是奇函数，()2sin y x =是偶函数()()2sin f x x x ∴=是奇函数，故排除B,C224πππ<<∴2sin 0224f πππ⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，故排除D.故选：A 【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项. 9．C 【解析】 【分析】观察表中数据，对所给函数进行逻辑推理即可. 【详解】由题表知，当自变量增加1个单位时，函数值依次增加0.55，0.40，0.16，0.14，0.20， 因此A 、B 不符合题意，当x 取1，4时，22y x =-的值分别为1,14-，与表中数据相 差较大. 故选：C 【点睛】本题考查函数模型的选取，考查学生逻辑推理与数据分析的能力，是一道容易题. 10．B 【解析】 【分析】由周期的计算公式可判断（1）；计算3f π⎛⎫⎪⎝⎭，6f π⎛⎫⎪⎝⎭结合正弦型函数的对称性可判断（2），（3）；由诱导公式可判断（4）. 【详解】 由已知，22T ππ==，所以()y f x =是以π为最小正周期的周期函数，故（1）错误； 将3x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得2π4sin 4sin 0333f πππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以 ()f x 得图象关于π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故（2）正确；将6x π=代入()π4sin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭中，得π4sin 4633f ππ⎛⎫⎛⎫=+=≠± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =不是其对称轴，故（3）错误； 因为()π4sin 24cos (2)4cos(2)3236f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=-+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π4cos 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以（4）正确. 故选：B 【点睛】本题考查正弦型函数的性质，涉及到周期性、对称性等知识，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 11．B 【解析】 【分析】由已知得到函数()f x 的图象与函数()g x 的图象均关于点(1,0)对称，注意到(1)(1)0f g ==，通过逻辑推理即可得到答案.【详解】因为sin y x =的图象关于(0,0)对称，所以()()sin 1f x x =-的图象关于点(1,0)对称， 由()()20g x g x -+=可知，()g x 的图象也关于点(1,0)对称，又函数()f x 的图象与函数()g x 的图象恰好有2019个交点，注意到(1)(1)0f g ==，所以()f x 的图象与函数()g x的图象在除(1,0)外还有2018个交点，且这些交点也都关于点(1,0)对称，其横坐标的和为 2018，所以这2019个交点的横坐标之和为2019. 故选：B 【点睛】本题主要考查函数的对称性、函数图象的对称性，考查学生分析问题、解决问题的能力，考查学生直观想象，逻辑推理的核心素养，是一道中档题. 12．D 【解析】 【分析】利用辅助角公式将()f x 化为()2sin()3f x x πω=-，3t x πω=-，问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，数形结合即可得到答案.【详解】由已知，()sin 2sin()3f x x x x πωωω==-，因为(0,)x π∈，所以(,)333x πππωωπ-∈--，令3t x πω=-，则问题转化为2sin y t =与1y =-在(,)33t ππωπ∈--有4个不同交点，如图只需19362336ππωπππωπ⎧->⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得72526ω<≤. 故选：D【点睛】本题主要考查已知方程根的个数求参数的取值范围，涉及到辅助角公式、正弦型函数的图象，考查学生等价转化思想、数形结合思想，是一道中档题. 13．π 【解析】 【分析】根据sin y x =与sin y x =函数图像的关系，求得sin y x =的最小正周期. 【详解】sin y x =的最小正周期为2π.sin y x =的图像是由sin y x =函数图像：x 轴上方的图像保留，x 轴下方的图像关于x 轴对称到x 轴上方所得.故sin y x =的周期为π，图像如下图所示. 故填：π.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数图像变换，属于基础题. 14．12【解析】 【分析】利用诱导公式，将cos160转化为cos 20-，然后利用两角和的正弦公式化简求出结果. 【详解】解：sin 20cos10cos160sin10︒︒-︒︒sin 20cos10cos20sin10=︒︒+︒︒()1sin 20102︒︒=+=，故答案为12．【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查两角和的正弦公式，属于基础题. 15．{|01}a a << 【解析】 【分析】对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解不等式组即可. 【详解】由已知，对称轴为1(0,2)x =∈，要使()f x 在()0,2内有两个零点，只需(1)0(2)0(0)0f f f <⎧⎪>⎨⎪>⎩，即104400a a a -+<⎧⎪-+>⎨⎪>⎩，解得01a <<.故答案为：{|01}a a << 【点睛】本题考查已知函数零点的个数求参数的取值范围，考查学生数形结合的思想及数学运算能力，是一道容易题. 16．12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由定义知()2x f x t =+与()|2|x g x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，注意到2xy t =+与2x y t -=+的单调性相反，将所求问题转化为不等式(2)(2)0x x t t -++≤在[]1,2上恒成立即可解决.【详解】由题意，()()|2|xg x f x t -=-=+，因为区间[]1,2为函数()2xf x t =+的“不动区间”，所以()2xf x t =+与()|2|xg x t -=+在[]1,2上有相同的单调性，又2x y t =+与2xy t -=+的单调性相反，所以(2)(2)0x xt t -++≤在[]1,2上恒成立，即21(22)0x x t t -+++≤在[]1,2上恒成立，即22x x t --≤≤-在[]1,2上恒成立，解得122t -≤≤-. 故答案为：12,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查函数的新定义的问题，涉及到函数的单调性、不等式恒成立，考查学生转化与化归的思想，是一道有一定难度的题. 17．（1）2915-（2）1 【解析】 【分析】（1）由三角函数的定义可得4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，再利用诱导公式化简求值即可；（2）直接利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由角α终边经过点()3,4P 知：4sin 5α，3cos 5α=，4tan 3α=，所以()()29cos πtan cos tan 15αααα-+-=--=-. （2）()()22πsin cos πcos cos 21πcos sin 2αααααα⎛⎫-+ ⎪-⋅-⎝⎭==⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的化简、求值，涉及到三角函数的定义，考查学生的运算能力，是一道容易题.18．（1）()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．312a ≤< 【解析】 【分析】（1）设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈()f x x -=-+，再利用()y f x =的奇偶性即可得到答案；（2）利用()y f x =的单调性即可，但要注意定义域. 【详解】（1）因为()y f x =是奇函数，所以()y f x =关于原点对称，∴()00f =．设[)1,0x ∈-，则(0,1]x -∈，()()f x x f x -=-+=-，∴()f x x =-．∴()[][)0,11,0x x f x x x ⎧+∈⎪=⎨-∈-⎪⎩．（2）()y f x =在区间[]1,1-上单调递增．∴12111121a a a a-≤-≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪-<-⎩，解得312a ≤<.综上，实数a 的取值范围为312a ≤<． 【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道容易题. 19．（1）cos 2α=-（2）310- 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式可得1sin 2α=，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再利用同角三角函数的平方关系计算即可得到答案；（2）()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()cos cos sin sin ααβααβ=⋅-+⋅-，只需求出()cos αβ-的值即可.【详解】 （1）∵1sincos224αα⋅=，∴1sin 2α=．∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，∴cos α=． （2）∵π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，ππ,2β⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭∴ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．∴()4cos 5αβ-=． ∴()cos cos βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()4133cos cos sin sin 252510ααβααβ+⎛⎫=⋅-+⋅-=-⨯+⨯-=-⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查两角差的余弦公式以及二倍角公式的应用，涉及到同角三角函数的平方关系、配角求三角函数值，考查学生的转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.20．（1）12log 3x =（2）34a > 【解析】 【分析】 （1）由已知，1111124x x --=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），再回代解方程即可;（2）将原问题转化为存在[]0,1x ∈，使得1124x xa >+，只需求出函数11()24x x h x =+的最小值即可，再利用换元法求()h x 的最小值. 【详解】（1）当1a =时，()1111124x x f x =--=-，令()102x t t =>，则2120t t +-=，解得3t =或4t =-（舍），由132x=，得12log 3x =， 所以12log 3x =．（2）由已知，存在[]0,1x ∈，使()0f x >成立可转化为存在[]0,1x ∈，使得1124xx a >+， 只需求出函数11()24x xh x =+的最小值即可， 令12x t =，∴1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．则2y t t =+，易知2y t t =+在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以 2min 113()224y =+=，∴min 3()4h x =，∴34a >．【点睛】本题考查解指数型方程以及函数能成立求参数的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算能力，是一道容易题.21．（1）()sin(2)3f x x π=+；（2）对称轴为,212k x k Z ππ=+∈，单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈；（3）(,-∞[1)+∞ 【解析】 【分析】（1）由已知可得到周期T ，进一步得到2ω=，()=sin(2)3g x x πϕ-+，由()g x 为奇函数所以,3k k Z πϕπ-+=∈，结合0ϕπ<<即可得到ϕ；（2）令2,32x k k Z πππ+=+∈可得对称轴方程，由222,232k x k k Zπππππ-≤+≤+∈可得单调增区间； （3）易得()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，()h t =22324t mt m -+-，问题可转化为()0h t ≥在[0,1]上恒成立，只需求出min ()h t 即可. 【详解】（1）由已知，周期2T ππω==，所以2ω=，()()sin(2)63g x f x x ππϕ=-=-+，因为()g x 为奇函数，所以,3k k Z πϕπ-+=∈，即,3k k Z πϕπ=+∈，又0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以()sin(2)3f x x π=+.（2）由（1）令2,32x k k Z πππ+=+∈，得,212k x k Z ππ=+∈， 所以()f x 的对称轴为,212k x k Z ππ=+∈； 由222,232k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 所以()f x 的单调增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈； （3）当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22[0,]33x ππ+∈，所以()sin(2)[0,1]3f x x π=+∈，令()[0,1]f x t =∈，则原问题可转化为223204t mt m -+-≥在[0,1]t ∈上恒成立， 令()h t =22324t mt m -+-， 当0m ≤时，()h t 在[0,1]上单调递增，所以2min 3()(0)04h t h m ==-≥，解得2m ≤或2m ≥，所以2m ≤； 当01m <<时，()h t 在[0,]m 上单调递减，[,1]m 上单调递增，所以min 3()()04h t h m ==-≥，此时无解； 当m 1≥时，()h t 在[0,1]上单调递减，所以2min 1()(1)204h t h m m ==-+≥，解得12m ≥+或12m ≤-，所以12m ≥+.综上，实数m 的取值范围为(,2-∞-[1)2++∞. 【点睛】本题考查三角函数的综合应用，涉及到求函数解析式、函数的对称轴、单调区间、不等式恒成立，考查学生的逻辑推理能力、数学运算能力，是一道中档题. 22．（1）是；（2）①(0,1)；②见解析 【解析】 【分析】（1）按照定义，只需判断()()2(1)11f x g x x -=--≤在区间[]1,2上是否恒成立；（2）①由题意解不等式组23020a a a a +->⎧⎨+->⎩即可；②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，即()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，只需求出函数22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上的最值，解不等式组即可.【详解】（1）由已知，()()222(1)1f x g x x x x -=-=--，因为[]1,2x ∈时，2(1)1[1,0]y x =--∈-，所以()()2(1)11f x g x x -=--≤恒成立，故()f x 与()g x 在区间[]1,2上是“友好”的.（2）①()f x 与()g x 在区间[]2,3a a ++上都有意义，则必须满足23020a a a a +->⎧⎨+->⎩，解得1a <，又0a >且1a ≠，所以a 的取值范围为(0,1).②假设存在实数a ，使得()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的，则()()22log (43)1a f x g x x ax a -=-+≤，即221log (43)1a x ax a -≤-+≤，因为(0,1)a ∈，则2(0,2)a ∈，22a +>，所以[]2,3a a ++在2x a =的右侧， 又复合函数的单调性可得22log (43)a y x ax a =-+在区间[]2,3a a ++上为减函数，从而max 2,log (44)a x a y a =+=-，min 3,log (96)a x a y a =+=-，所以log (44)1log (96)101a a a a a -≤⎧⎪-≥-⎨⎪<<⎩，解得9012a -<≤，所以当9012a <≤时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“友好”的；1a <<时，()f x 与()g x 与在区间[]2,3a a ++上是“不友好”的. 【点睛】本题考查函数的新定义问题，主要涉及到不等式恒成立的问题，考查学生转化与化归的思想、数学运算求解能力，是一道有一定难度的题.。